Внеклассное мероприятие по математике "Псевдария" (7 класс)

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №5

Разработка внеклассного мероприятия по математике

«Псевдария».

7 класс.

Сивченкова Е.В.,

учитель математики

Школы №5.

Тверская область

г.Нелидово

2014 г.

Цель:   развитие  познавательных интересов и творческих способностей учащихся, развитие внимания и логического мышления учащихся,  воспитание в себе математического чутья на ошибки.

Ведущий.    Сегодня очередное занятие нашего кружка мы проводим под необычным названием «Псевдария». В III веке до н. э. Книгу с таким названием написал великий греческий математик Евклид-автор знаменитых «Начал» по геометрии. Она состояла из различного рода ошибочных рассуждений, которые может сделать юноша, начинающий разбираться в области математики, а в особенности в геометрии.  Превосходным упражнением для дебютанта в трудном искусстве мышления было отыскивание (без помощи учителя), где кроется в данном рассуждении ошибка, на чем основано заблуждение.

        Этот труд Евклида до нас не дошел, однако, он не пропал. Огромное количество задач, содержащих ряд разнообразных ошибочных рассуждений – паралогизмов, софизмов и парадоксов можно встретить во всех разделах математики: арифметики, алгебры и геометрии.

         Некоторые  из этих задач основаны на простой оптической иллюзии, другие на иллюзиях слуховых. Например, не дослышишь что-нибудь, не заметишь некоторых предпосылок – принципиально изменится содержание задачи; в этом случае многое зависит не только от формы вопроса, но и от интонации, с какой произносятся его отдельные части. В других же паралогизмах ошибка кроется в самом предположении, в неправильно применённом правиле, в кажущемся правдоподобии, в пропуске одного звена в цепи силлогизмов, в необоснованном обобщении исключительного случая.

         Именно такие задачи я предлагаю вам сегодня порешать. Они не только интересны, но и полезны для развития внимания, логического мышления и воспитания в себе математического чутья на ошибки. Итак я приглашаю вас посетить математические чащи Евклида, ведущие к абсурду, заводящие на ту ошибочную тропу, где начинается блуждание.

I.                 Оптические иллюзии.

       Очень часто приходится слышать от учеников, что они не понимают,  зачем нужно рассуждениями доказывать геометрические теоремы. «Что вертикальные углы равны,- говорили они, - это и так видно». «Что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны - это показывает чертёж. Что же тут еще рассуждать?»  Так уж ли верен наш глаз? Рассмотрим  несколько примеров, представляющих собой характерные разновидности оптических  иллюзий.

1.     Иллюзии, вызванные особым расположением линий и фигур.

α)   Какой отрезок длиннее?

Отрезок, расположенный вертикально,

кажется  длиннее горизонтального.

На самом деле отрезки равны.

б)   А на этом рисунке кажется, что не только нижние точки кружков лежат на изогнутой к низу кривой, но и верхние так же расположены на кривой. Что совершенно не верно.

в)    Квадрат, заштрихованный

       вертикальными линиями,

кажется  более  широким, чем

            равный ему квадрат,

              заштрихованный 

  горизонтальными линиями.

2.  Иллюзии, вызванные контрастами.

α)   Круги, распложенные в центре  равны, но круг, помещенный в шести больших кругах, кажется меньше круга, окруженного маленькими кругами.

3.  Иллюзии,  возникшие в результате отвлечения внимания. α)  Глядя на эти отрезки умом мы понимаем, что они равны и параллельны, однако, стрелки на концах отрезков отвлекают наше внимание таким образом, что возникает иллюзия, будто нижний отрезок длиннее  верхнего.

	3.  Иллюзии,  возникшие в результате отвлечения внимания. α)  Глядя на эти отрезки умом мы понимаем, что они равны и параллельны, однако, стрелки на концах отрезков отвлекают наше внимание таким образом, что возникает иллюзия, будто нижний отрезок длиннее  верхнего.

 

б)  Пожалуй, нет человека, который не поддался бы иллюзии, что расстояние между клювами двух первых птичек меньше, чем расстояние  между клювами второй и третьей птичек. А между тем на рисунке клювы птичек находятся на одинаковом расстоянии.

в)   На рисунке 1 верхний силуэт кажется длиннее нижнего (смотри приложение 1).

4.  Иллюзии,  вызванные нарушением ритма.

α)   Прямая линия, пересеченная под достаточно острым углом двумя прямоугольными полосками, кажется рассеченной на части, не лежащие на одной прямой.

б)    Являются ли прямые слева и справа от полоски сторонами одного угла?  Вопреки впечатлению, которое получаешь, глядя на рисунок, линии, наклонно лежащие по правую сторону  полоски, после продолжения сходятся с линиями, лежащими по левую сторону полоски

в)  Еще один яркий пример  иллюзии, вызванной нарушением ритма. Параллельны ли длинные косые линии этой фигуры?

          Они совершенно параллельны, хотя кажутся расходящимися.

г)   Изменение ритма штриховки по обеим сторонам полосы, ограниченной двумя параллельными прямыми, вызывает иллюзию, что полоска или расширяется в центральной части, или суживается, в зависимости от характера штриховки.

5.  Иллюзии,  вызванные фоном, на котором расположены фигуры.

α)   Верите ли вы , что буквы этой надписи поставлены прямо. Этот вопрос кажется нелепым, настолько сильным является впечатление пляшущих букв. Никто не поверит в это не убедившись с помощью треугольника.

б)    Еще невероятнее окажутся следующие рисунки. Что вы видите на этих рисунках?

                  Кривые линии этой фигуры

        кажутся спиралью, между тем

        это окружности, в чем можно

             легко убедиться.

         Ну, уж ни за что не

скажешь, что на этом  рисунке изображены тоже окружности.

6.  Пространственные     

            иллюзии.                                                                            

       α)        При продолжительном рассматривании этой фигуры вам будут казаться выступающими вперед поочерёдно то два кубика вверху, то два куба внизу. Вы можете  и по произволу, усилием воображения, вызывать то или иное представление.

б)    Эта фигура может изображать, смотря по вашему желанию, либо брус с углублением (задняя стенка углубления  - плоскость АВ), либо брус с выступающим шипом (передняя грань шипа  - АВ).

         Таким образом, наш глаз хоть и является нам другом, но иногда может сыграть с   нами и злую шутку. Вот почему в математике ничего не принимают на веру, так сказать на глазок. Все утверждения принято доказывать с помощью логических рассуждений. 

         Но и здесь можно попасть в капканы логики.

II.             Математические софизмы.

Софизм – внешне формально правильное, но по существу ложное    

                       утверждение.   

Выступления учащихся.

1.     Дмитриев Евгений.

           Берусь доказать равенство     2=3  четырьмя строчками.

         Доказательство. Рассмотрим равенство

Его легко проверить, произведя элементарные  вычисления.  Левая правая части этого равенства представляют собой точные квадраты разности двух чисел.

 в справедливости написанного равенства. Извлечем из обеих частей равенства квадратный корень (это можно сделать, так как квадраты являются неотрицательными числами), получим

.

одно и то же число   получим «верное» равенство 2=3. 

Попробуйте опровергнуть моё доказательство.

Интересный факт, когда слышишь рассуждения типа:

Собака – животное.

Конь -  животное. Следовательно, собака и конь – одно  и  то   же –  это    вызывает только смех.

А математические рассуждения, такие же нелепые и абсурдные как только что прозвучавшие, у большинства людей не вызывают даже улыбки.

         Если квадраты двух чисел  равны, то сами числа необязательно будут равны, поскольку они могут быть с противоположными знаками как у нас в примере.

Не учли, что квадраты отрицательных чисел положительны, так же как и квадраты положительных чисел.

2.  Фролова Анжела.

Я докажу вам, что каждое число равно своей половине, т. е. что справедлива формула  α =

Доказательство.  Возьмём два равных числа  α  и   b,  α=b. Умножим обе части данного равенства на   α   и вычтем    из каждой его части.

α=b,

формулу разности квадратов, а в правой вынесем общий множитель за скобки.

обе части уравнения на скобку   мы получим равенство:  α+b=b, или   α+α=α (поскольку  α=b).  Тогда  2α=α,

.

 и требовалось доказать.

 опровергнуть моё доказательство?

 ошибка в рассуждениях допущена при делении на выражение    которое равно нулю, а на нуль делить нельзя.

3.   Вишняков Андрей.

Сейчас я докажу, что на самом деле среди всех действительных чисел найдётся наименьшее. Мы все знаем, что ноль меньше любого положительного числа. Я докажу, что ноль так же меньше и любого отрицательного числа.

Доказательство.   Возьмём произвольное отрицательное число  α. Очевидно, если от числа отнять 1, то оно станет меньше, т. е.

 обе части неравенства на (.

,

.

 , получим

смотря на то, что α  согласно нашему условию отрицательное число, однако оно больше нуля. Значит, нуль – наименьшее из всех чисел числовой оси.

Найдите ошибку в рассуждениях.

Ошибка заключается в том, что при делении неравенства на  ( мы поменяли знак неравенства на противоположный, считая число (. На самом же деле отрицательным является число  α, а число ( будет противоположным числу   α, т. е. положительным.

4.   Шелухина Мария.

Верите ли вы, что   64=65.  Сейчас  я вам это докажу.

Доказательство.   Возьмём квадрат произвольной величины и разделим его стороны на 8 равных частей (рисунок 1). Проведя линии, параллельные сторонам, получим 64 маленьких квадрата, заполняющих большой квадрат. Квадрат этот разделим на 4 части, для которых как это видно из рисунка, справедливы равенства  I=II  и III=IV. Если мы теперь уложим эти части так, как показано на рисунке  2, то получим прямоугольник, в котором маленьких квадратиков, совершенно равных квадратикам на рисунке 1, будет ровно  65. Это легко проверить, стороны прямоугольника разбиты соответственно на   5  и  13  частей, следовательно, квадратиков будет  5·13=65.

           Вот таким удивительным образом оказалось, что

64=65. 

          Поскольку разгадка здесь не является столь очевидной, как в алгебраических софизмах, то расскажу сама, что за ошибка здесь допущена.

         Легко увидеть, что получившиеся при разрезании квадрата  треугольники  III   и   IV  действительно равны между собой. Так же равны и трапеции  I  и  II.  Меньшее основание трапеции и меньший катет треугольника равны  3  и поэтому должны совпадать при совмещении треугольника   III   с трапецией  II, а так же треугольника   IV  с трапецией   I.  В чем же секрет?  Его легко обнаружить, если выполнить точный чертёж.

Рис.3

           Оказывается точки  А, В, С  и  точки  А, Д, С не лежат на одной прямой, являющейся диагональю прямоугольника.  Это ломаные, которые образуют очень узкий параллелограмм  АВСД.

          Площадь полученного прямоугольника действительно  65, но в нём есть щель в виде параллелограмма, площадь которого   равна в точности площади одного маленького квадратика.

           Щель настолько узка, что её очень трудно заметить, даже если вырезать, указанные на рисунке  1 части и составить из них прямоугольник.

Заключение.

Ведущий.   Оптические иллюзии или оптические обманы не случайные спутники нашего зрения  - они сопровождают его при строго определённых условиях, с неизменным постоянством закономерного явления  и имеют силу для каждого нормального человеческого глаза. Что касается причин обусловливающих ту или иную иллюзию зрения, то только для весьма немногих оптических обманов существует твёрдо установленное, бесспорное объяснение. В основном это иллюзии, которые обусловлены строением глаза. За этими «физиологическими» обманами зрения следует гораздо более многочисленный класс иллюзий, которые обусловлены причинами  психологическими, чаще всего еще недостаточно выясненными. По-видимому, можно считать установленным лишь то, что иллюзии этого рода являются следствием предвзятого, ложного суждения, непроизвольного и бессознательного. Источником обмана является здесь интеллект, а не чувство. К ним применимо меткое замечание Канта: «Наши чувства не обманывают нас не потому, что они всегда правильно судят, а потому, что они вовсе не судят».

Литература.

·        Щепан Еленьский.  «По следам Пифагора», государственное                             Издательство Детской Литературы    Министерства Просвещения РСФСР, Москва 1961 г.

·        Я.И. Перельман. «Занимательные задачи и опыты». Издательство «ВАП», 1994 г.

·        Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин. «Математическая шкатулка». Москва, «Просвещение», 1984 г.