Внеклассное мероприятие «Удивительный лист Мебиуса»

Внеклассное мероприятие

«Удивительный лист Мебиуса»

Внеклассное мероприятие по математике 7 класс

Составила учитель высшей категории Донецкой общеобразовательной школы № 57 Кадубина Галина Васильевна.

Формы работы: практическая групповая работа, эксперимент.

Цель: познакомить учащихся со знаменитым математиком Августом Фердинандом Мёбиусом и его таинственным и знаменитым листом Мёбиуса.

Задачи:

• Образовательные:

• рассказать о А.Ф. Мёбиусе и его изобретении;

• познакомить с элементами исследовательской работы;

• Расширить знания учащихся в области экспериментальной математики.

• Развивающие:

• развивать логическое мышление;

• развивать навык самостоятельной работы при проведении исследования;

• развивать умения выдвигать гипотезу и сопоставлять ее с полученным результатом.

• Воспитательные:

• воспитывать целеустремленность в достижении цели;

• прививать интерес к математике, математическим опытам

• воспитывать коллективизм, взаимопомощь.

Понятия:

• Исследование – процесс получения новых знаний.

• Гипотеза (от греч. hypothesis – предположение) – научное предположение, выдвигаемое для объяснений каких-либо явлений, достоверность которого еще не доказана опытным путем.

• Эксперимент – (от лат. experimentum – проба, опыт) – воспроизведение какого-либо явления с целью исследования. Научно поставленный опыт.

I. Организационный момент

III. Историческая справка

Слайд 2.

Август Фердинанд Мебиус

(1790-1868)

17 ноября 1790 года 215 лет назад в Германии родился мальчик – здоровый и крепкий малыш. Как и все дети, он сначала научился ползать, потом ходить, позже говорить. Все шло и развивалось своим чередом. Школа, университет. Мальчику повезло: астрономию ему преподавал сам Гаусс, математику – Пфафф. Как-то незаметно для окружающих в 26 лет он стал профессором, руководителем астрономической лаборатории в Лейпцигском университете. Научные статьи, лекции, работа. Все как у обычного профессора университета. Рассеянного доброго чудака студенты боготворили. Он любил ошарашивать их неожиданными задачками и назначал лекции, к примеру, на два часа ночи, чтобы показать ночное небо во всей его красе. Возможно, имя этого человека за 215 лет растворилось в истории, если бы ни одно ненастное утро…

На улице шел дождь. Была выкурена трубка, выпита чашка любимого кофе с молоком. Вид из окна навевал тоску. В кресле сидел мужчина. Мысли были разные, но как-то ничего особенного не приходило на ум. Только в воздухе витало ощущение, что именно этот день принесет славу и увековечит имя Августа Фердинанда Мебиуса.

На пороге комнаты появилась любимая жена. Правда, она была не в хорошем расположении духа. Правильнее сказать, она была разгневана, что для мирного дома Мебиусов было почти так же невероятно, как три раза в год увидеть парад планет, и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту.

Хмуро разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: “Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!”

В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие, поразившее всех. Это открытие односторонних поверхностей, одно из которых лист Мёбиуса. Как бы то ни было, но в 1858 году Мебиус астроном и геометр, послал в Парижскую академию наук работу, включавшую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы и, не дождавшись, опубликовал ее результаты.

Лист Мёбиуса (ле́нта Мёбиуса) — топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, односторонняя в обычном трёхмерном евклидовом пространстве R³. Удивительными свойствами обладает лист Мёбиуса – он имеет один край, одну сторону, - не связанные с его положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла и тем не менее имеют вполне геометрический характер. Изучением таких свойств и занимается топология. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края. Лента Мёбиуса была открыта независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 году.

Лента Мебиуса положила начало новой науке – топологии. Слово это придумал Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского университета. Наука эта молодая и потому озорная. Иначе не скажешь о тех правилах игры, которые в ней приняты. Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать – делать с ней всё что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все её свойства остались неизменными. Для него не имеют никакого значения ни расстояния, ни углы, ни площади. А что же его интересует? Самые общие свойства фигур, которые не меняются ни при каких преобразованиях, если только не случается катастрофы – “взрыва” фигуры. Поэтому иногда топологию называют “геометрией непрерывности”. В топологии изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывных деформациях (как если бы они были сделаны из резины). С точки зрения топологии баранка и кружка – это одно и то же. Сжимая и растягивая кусок резины, можно перейти от одного из этих тел к другому. А вот баранка и шар – разные объекты: чтобы сделать отверстие надо разрезать резину.

Понятия и теоремы топологии полезны математикам почти всех специальностей. Она используется и при применении математики в технике, экономике, психологии. Вот такая интересная и занимательная наука топология.

Давайте рассмотрим, что же такое лист Мёбиуса?

Давайте рассмотрим кольцо. Если двигаться по одной стороне кольца, то не «пересекая границы» нельзя очутиться на другой его стороне. Оно представляет собой двухстороннюю поверхность с которыми мы с вами уже встречались и не раз. …

А теперь смотрите. Я беру бумажную ленту ABCD, разделенную по ширине пополам пунктирной линией, и прикладываю ее концы AB и CD друг к другу и склеиваю. Но не как попало, а так, чтобы точка A совпала с точкой DB а точка B – с точкой С.

B С

A D

(Учащимся предлагается самостоятельно сделать лист Мёбиуса). Перед склейкой я перекрутила ленту один раз. Получилось знаменитое и таинственное кольцо Мёбиуса.

Слайд 1.

Несмотря на свою простоту, лист Мёбиуса обладает рядом неожиданных свойств. Сейчас мы проведём опыты и попробуем эти свойства установить.

Парам раздаются карточки с заданием, тексты с дополнительной информацией, заготовки лент, ножницы, маркер, клей

На столах у участников лежит лента, на которой изображены хитрая лиса и шустрый заяц. Хитрая лиса на одной стороне ленты, а шустрый заяц на другой

Соедините края полоски, так чтобы у вас получилось кольцо. Как вы думаете, сможет ли лиса, не пересекая кромки листа, догнать зайца? Сколько сторон у кольца?

Ответы коллег ……… . (У кольца 2 стороны . Лиса бегает по одной стороне, а заяц по другой стороне, поэтому лиса не сможет догнать зайца)

Давайте рассмотрим кольцо. Если двигаться по одной стороне кольца, то не «пересекая границы» нельзя очутиться на другой его стороне. Оно представляет собой двухстороннюю поверхность с которыми мы с вами уже встречались и не раз. …

А теперь давайте склеим полоску по-особенному.

Перед склеиванием противоположных сторон поверните одну из них на 180

и вместо кольца получим ленту Мёбиуса.

Эксперимент 1. Зададимся вопросом «Сколько сторон у листа Мёбиуса?»

У ленты из которой сделан Лист Мёбиуса, имеется две стороны. А у него самого, оказывается, есть только одна сторона!

Не верите? Хотите – проверьте.

Задание 1. Попробуйте покрасить одну сторону листа Мёбиуса – кусок за куском, не переходя через край ленты. И что же? Вы закрасили весь лист Мёбиуса.

Задание 2. Склеим теперь полоску с изображением хитрой лисы и шустрого зайца в ленту Мебиуса.

Представьте, что ваша лиса бежит по «дорожке», не пересекая, кромки листа и оставляет хвостом за собою след в виде непрерывной линии. Проведите эту линию по всей стороне, на которой находится лиса, пока она не сомкнется. По окончании исследования расскажите о своих результатах.

Парам выдаются карточка с вопросами, на которые они ответят, проведя исследование.

- Что вы получили?

- Сможет ли теперь лиса догнать зайца?

- Какой вывод вы можете сделать о количестве сторон ленты Мёбиуса?

- Как называется такая поверхность?

Послушаем, какой результат получили пары проводившие исследование.

Ответы коллег ……… .(Мы получили кольцо с одним оборотом, которое называется лентой Мёбиуса. Не пересекая кромки листа, мы провели непрерывную линию и убедились, что лиса догоняет зайца и оставляет след на всей поверхности ленты. Особенность ленты Мёбиуса в том , что она представляет собой одностороннюю поверхность.)

Вывод: у листа Мёбиуса одна сторона.

Эксперимент 2. Человечек - перевертыш.Задание 3. Вырежьте бумажного человечка (маленького) и отправьте его вдоль пунктира, идущего посередине листа Мебиуса.

Рис.1

Вывод. Он вернулся к месту старта. Но в каком виде! В перевернутом! А чтобы он вернулся к старту в нормальном положении, ему нужно совершить ещё одно «круголистное» путешествие. Проверьте!

Задание 4. Проследим путь муравья по поверхности листа Мёбиуса.

Рис.2

Наблюдение 1: Находясь на поверхности листа Мёбиуса, можно было бы двигаться по ней вечно.

Наблюдение 2: Если муравей отправится путешествовать по всем изгибам листа Мёбиуса, то в момент возвращения в исходную точку он превратится в своё зеркальное отражение.

Вывод 1: На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с другой точкой. Разрывов нет – непрерывность полная. Лента Мёбиуса является непрерывной поверхностью.

Вывод 2: Лента Мёбиуса – это неориентируемая поверхность.

Ориентированность – свойство, отсутствующее у листа Мёбиуса .

Выводы:

o Лист Мебиуса имеет одну сторону и один край.

o Лист Мёбиуса - топологический объект, не меняет своих свойств, пока его не разрезают, не склеивают его отдельные куски.

Слайд 3.

Лента вдохновила на подвиги не одного добряка-профессора. Взял ее на вооружение и цех парижских портных. Отныне в качестве экзамена для новичка, претендовавшего на зачисление в цех, было пришивание к подолу юбки тесьмы в форме ленты Мебиуса. Оценили по достоинству невольное изобретение Марты и учителя. Неугомонным нерадивым ученикам предлагалось покрасить стороны ленты Мебиуса в разные цвета. Пыхтя от усердия, школяры проводили за этим занятием немало времени.

Опыты с лентой Мёбиуса

Слайд 4.

Эксперимент 3. Теперь второй вопрос. Что будет, если разрезать обычный лист бумаги? Конечно же, два обычных листа бумаги. Точнее, две половинки листа. А что случится, если лист Мёбиуса разрезать по всей длине?

Задание 2. Разрезать вдоль, посередине это кольцо (это и есть лист Мёбиуса, или лента Мёбиуса) по всей длине.

Что же получится? Два кольца половинной ширины? А ничего подобного. А что? Не скажем. Разрежьте сами.

Рис.3

Вывод: Лента перекручена два раза

Эксперимент 4. А если на три части?

Задание 4. Разрезать вдоль лист Мёбиуса по всей длине на три равные части

(разрезать на расстоянии 1/3 от его ширины).

Вопрос. Что получится? Три ленты? Или, что?

Рис.4

Вывод. Получим два сцепленных кольца. Одно из них вдвое длиннее исходного и перекручено два раза. Второе- лист Мёбиуса, ширина которого втрое меньше, чем у исходного.

Эксперимент 5. Если же разрезать еще и маленькое кольцо вдоль, посередине, то у вас окажется весьма "затейливое” переплетение двух колец – одинаковых по размеру, но разных по ширине.

Эксперимент 6. Что получится, если перед склеиванием ленты перекрутить ее два раза (т.е. на 360градусов)? Такая поверхность будет уже двусторонней. И чтобы закрасить все кольцо целиком, вам придется непременно перевернуть ленту на другую сторону.

Свойства этой поверхности не менее удивительны. Ведь если разрезать ее вдоль посередине, то вы получите два одинаковых кольца, но опять же сцепленных между собой.

Эксперимент 7. Разрезав каждое из них еще раз вдоль посередине, вы обнаружите уже четыре кольца, соединенных друг с другом. Можно теперь рвать кольца по очереди – и всякий раз оставшиеся будут по-прежнему сцеплены вместе.

Если разрезать ленту на 6 равных частей, то получится 3 ленты с двумя полуоборотами, завязанными в узел.

Другие интересные комбинации лент могут быть получены из лент Мёбиуса с двумя или более полуоборотами в них. Например если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника. Разрез ленты Мёбиуса с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры, названные парадромными кольцами.

Слайд 5, 6.

Связь ленты Мёбиуса и бутылки Клейна

Мечта средневекового алхимика - это мистический совершенный герметичный сосуд, где внешнее переходит во внутреннее и внутреннее во внешнее; который содержит сам себя и переходит сам в себя; у которого внутреннее и внешнее пародоксально едино ... Всё это чем-то напоминает змею, свернувшуюся в кольцо и заглатывающую свой собственный хвост. О чем же мы? Оказывается, существует такой парадоксальный объект, как "бутылка Клейна", и поражает он своей необычностью всех! Впервые упоминание о нем появилось в1882 году, а автором был немецкий математик Феликс Клейн, создатель нового направления в геометрии.

Допустим, у нас есть бутылка с очень длинным горлом, в стенке и в донышке бутылки есть небольшие отверстия, соответствующие размеру горлышка. Берем бутылку за горло, изгибаем его, пропускаем вплотную через боковое отверстие, дотягиваемся горлышком до отверстия в дне бутылки и совмещаем их. Вот и получилось!

Где - начало, где - конец? - сказать невозможно ...

У такой бутылки нет края, и ее поверхности нельзя разделить на внешнюю (наружную) и внутреннюю!

Помните картинку с изображением ленты Мебиуса и ползущих по ней муравьев?

Путешествие того же муравья по поверхности бутылки Клейна тоже превратится в бесконечность! Ему не придется переходить с внешней стороны бутылки на внутреннюю - она единственная! И это будет справедливо и для теоретической, и для стеклянной "бутылки Клейна".

Если рассечь бутылку вдоль вертикальной оси симметрии, то мы получим две ленты Мебиуса.

Но, интересно, что с помощью одного замкнутого разреза бутылку Клейна можно превратить даже всего лишь в один лист Мебиуса!

Лист Мёбиуса – удивительный феномен. Его можно исследовать до бесконечности, мы рассмотрели лишь некоторые его свойства. Надеемся, что мы вас заинтересовали и вы продолжите исследования этого непредсказуемого листа.

Применение листа Мебиуса

Чудесные свойства ленты Мебиуса тут же породили множество научных трудов, изобретений (весьма полезных и совершенно нереальных), а также многочисленных фантастических рассказов. например в рассказе Артура Кларка «Стена Темноты». Иногда научно-фантастические рассказы (вслед за физиками-теоретиками) предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщенным листом Мёбиуса. Также кольцо Мёбиуса постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикле «В глубине Великого Кристалла» (напр., «Застава на Якорном Поле». Повесть.). В рассказе А. Дейча “Лента Мебиуса” описывался случай в Нью-Йоркском метро. Однажды случилось так, что пути метрополитена пересеклись, и весь он стал напоминать огромную ленту Мебиуса. Поезда один за другим стали исчезать, появляясь снова только через несколько месяцев. По мотивам рассказа был снят фантастический фильм «Мёбиус» режиссёра Густаво Москера. Также идея ленты Мебиуса используется в рассказе М. Клифтона «На ленте Мебиуса».

С лентой Мёбиуса сравнивается течение романа современного русского писателя Алексея А. Шепелёва «Echo» (СПб.: Амфора, 2003). Из аннотации к книге: «„Echo“ — литературная аналогия кольца Мёбиуса: две сюжетные линии — „мальчиков“ и „девочек“ — переплетаются, перетекают друг в друга, но не пересекаются».

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных — лист Мёбиуса II, показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса. Целую серию скульптур в виде листа Мебиуса создал скульптор Макс Билл.

А Козьма Прутков подарил читателям афоризм: "Где начало того конца, которым оканчивается начало?".

Благодаря ленте Мебиуса возникло множество самых разнообразных изобретений, в основе которых лежит односторонняя поверхность.

Парадоксальной геометрической фигуры можно, оказывается, изготовить лопасти бетономешалки или обычного бытового миксера — энергозатраты снизятся на одну пятую, а качество бетона (или кондитерского крема) улучшится.

Есть авторское свидетельство и на магнитофон с лентой Мёбиуса. Магнитофон прокручивает пленку в виде ленты Мебиуса вдвое дольше, чем обычную.

Полоса ленточного конвейера выполненная в виде ленты Мёбиуса, позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивается.

Концепт гоночной машины Toyota MOB воплощает в себе идею испанского дизайнера о том, как можно представить в транспортном средстве красоту и загадку ленты Мебиуса.

Ученые Института Биоразработок Государственного Университета Аризоны (США), возглавляемые профессором Хао Ян и профессором Ян Лью, присоединяя сегменты ДНК, создали на микроскопическом уровне биологическую структуру в виде ленты Мебиуса. Полученная структура имеет размер всего 50 нанометров в поперечнике (размер среднестатистического вируса).

В шведском городе Лунде планируется построить циклический ускоритель частиц под названием Max IV. По сути это будет еще один Большой адронный коллайдер. По форме здание Max IV напоминает ленту Мебиуса. Кроме научной необходимости такое решение основывается и на том, что эта форма поможет на 30% снизить солнечную нагрузку на здание.

Архитектурная компания DWP Architects, специально для вьетнамского города Хошимин, разработала проект многофункционального жилого комплекса. Вдохновителем этого проекта стала лента Мебиуса.

О ленте Мебиуса ходит очень много легенд, одна из которых заключается в том, что если посмотреть сквозь эту ленту на мир под каким-то особенным углом, можно увидеть его совсем в другом свете. Интересен в этом смысле проект «Дом Мебиус», построенный по принципу ленты Мебиуса. Дом возведен в 1992-1998 гг. в Голландии. Он представляет собой сосуществование двух параллельных миров (в каждом – офис и спальня), соединяющихся в некоторых общих точках и вновь расходящихся.

Достаточно большое число деятелей искусства использовали ленту Мебиуса в своем творчестве. Макс Билль - швейцарский архитектор, скульптор, дизайнер и художник создал целую серию скульптур, основанных на ленте Мебиуса, многие из которых выставлены в общественных местах. Его скульптура “Непрерывность” находится в национальном музее современного искусства в Париже.

Лента Мебиуса вдохновляла создателей ювелирных украшений. Среди их работ можно встретить кольца и кулоны в виде ленты Мебиуса.

Не остались равнодушными к ней и мебельщики. Одним из примеров их работы в этом направлении является шезлонг, который представляет собой ленту Мебиуса, склеенную из гнутого Британского дуба.

Поклонниками ленты Мебиуса стали даже обувщики. Так голландец Рэм Колхаас придумал остроумный силуэт туфель Мебиус, словно состоящих из одной хитро свернутой ленты.

Главной ландшафтной метафорой на флористической ярмарке стала лента Мебиуса, предложенная дизайнерами

А теперь перенесемся в мир предположений. Физики-теоретики пришли к выводу, что наша Вселенная вполне вероятно замкнута в ленту Мебиуса. Теория относительности Эйнштейна и его предположение, что космический корабль, всё время летящий прямо, может вернуться к месту старта, подтверждают неограниченность и конечность Вселенной, изогнутой в пространстве большого числа измерений. Из этого же, в свою очередь, можно сделать вывод о реальности теории зеркальных миров – ведь астронавты, совершившие путешествие по ленте Мебиуса, возвращаются в исходную точку, превращаясь в своих зеркальных двойников – сердце смещается вправо, правши превращаются в левшей, спираль ДНК меняет направление закрученности.

Примечательно, что эта лента является символом бесконечности. И если лента Мёбиуса окажется в руках романтика…Признания можно читать бесконечно!

Игрушка эта очень полюбилась не только математикам. Не зря ведь, наверное, сейчас у входа в Музей истории и техники в Вашингтоне стоит памятник ленте Мебиуса – на пьедестале медленно вращается стальная лента, закрученная на полвитка.

Слайды 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,14, 15, 17, 16, 18, 19, 20, 21, 22.

Заключение

Несмотря на то, что Мёбиус сделал своё удивительное открытие очень давно, оно очень популярно и в наши дни:

У математиков - идут дальнейшие исследования;

У школьников - очень интересно экспериментировать с лентой Мёбиуса;

У учителей – есть ещё один способ заинтересовать учеников математикой;

Домашнее задание

1. Показать родным эксперименты с листом Мебиуса.

2. Возьмите ленту, разделите ее на три равные части и склейте, перекрутив один раз. Получился лист Мёбиуса. Разрежьте по всем пунктирным линиям «не отрывая ножниц» от бумаги.

• 1 слайд

  Лента Мёбиуса

• 2 слайд

  Лист Мёбиуса относится к числу «математических неожиданностей». Рассказывают, что открыть свой «лист» Мёбиусу помогла служанка, сшившая однажды неправильно концы ленты. Как бы то ни было, но в 1858 году лейпцигский профессор Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), ученик К. Ф.  Гаусса, астроном и геометр, послал в Парижскую академию наук работу, включавшую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы и, не дождавшись, опубликовал ее результаты. Одновременно с Мёбиусом изобрел этот лист и другой ученик К. Ф.  Гаусса — Иоганн Бенедикт Листинг (1808-1882), профессор Геттингемского университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус,  — в 1862 году

• 3 слайд

  Что же поразило этих двух немецких профессоров? А то, что у листа Мёбиуса всего одна сторона. Мы же привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которой мы имеем дело  — две стороны. Убедиться в односторонности листа Мёбиуса несложно: начните постепенно окрашивать его в какой-нибудь цвет, начиная с любого места, и по завершении работы, вы обнаружите, что весь он полностью окрашен.

• 4 слайд

  Вторая неожиданность поджидает нас в тот момент, когда мы попробуем разрезать лист Мёбиуса по его средней линии. «Нормальное» кольцо при этом бы распалось на два куска, а лист Мёбиуса при этом превратится в одно перекрученное кольцо.

• 5 слайд

  Свойства геометрических объектов, которые не меняются при таких преобразованиях, изучает математическая наука — топология. Любопытно, что это название дал ей Иоганн Листинг. Свойство односторонности листа Мёбиуса было использовано в технике: если у ременной передачи ремень сделать в виде ленты Мёбиуса, то его поверхность будет изнашиваться вдвое медленнее, чем у обычного кольца. Это дает ощутимую экономию. Конечно же, главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям. Именно поэтому его часто считают символом современной математики и изображают на различных эмблемах и значках.

• 6 слайд

  Лента Мёбиуса обладает любопытными свойствами. Если попробовать разделить ленту пополам, разрезая её посередине по линии, параллельной краю, то вместо двух лент получится одна длинная лента с двумя полуоборотами (не лента Мёбиуса). Если теперь эту ленту разрезать посередине, то получаются две ленты намотанные друг на друга. Если же разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна — более тонкая лента Мёбиуса, другая — длинная лента с двумя полуоборотами (не лента Мёбиуса). Другие интересные комбинации лент могут быть получены из лент Мёбиуса с двумя или более полуоборотами в них. Например если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника. Разрез ленты Мёбиуса с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры, названные парадромными кольцами.

• 7 слайд

  Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Мауриц Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных — лист Мёбиуса II, показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.

• 8 слайд

  Существовали технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполнялась в виде ленты Мёбиуса, что позволяло ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивалась. Также в системах записи на непрерывную плёнку применялись ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи).

• 9 слайд

  Устройство под названием резистор Мёбиуса — это недавно изобретенный электронный элемент, который не имеет собственной индуктивности. Никола Тесла запатентовал подобное устройство в начале 1900-ых, патент US#512,340. Катушка для электромагнитов предназначалась для использования его в системе глобальной передачи электричества без проводов.

• 10 слайд

  Лист Мёбиуса также постоянно встречается в научной фантастике, например в рассказе Артура Кларка  «Стена Темноты». Иногда научно-фантастические рассказы предполагают, что наша вселенная может быть некоторым обобщенным листом Мёбиуса. В рассказе «Лист Мёбиуса» автора А. Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда.

• 11 слайд

  Лента Мёбиуса в окружающей нас жизни

• 12 слайд

  Лента Мёбиуса в окружающей нас жизни

• 13 слайд

  Лента Мёбиуса в окружающей нас жизни

• 14 слайд

  Лента Мёбиуса в окружающей нас жизни

• 15 слайд

  Лента Мёбиуса в окружающей нас жизни

• 16 слайд

  Лента Мёбиуса в окружающей нас жизни

• 17 слайд

  Лента Мёбиуса в окружающей нас жизни

• 18 слайд

  Лента Мёбиуса в окружающей нас жизни

• 19 слайд

  Лента Мёбиуса в окружающей нас жизни

• 20 слайд

  Лента Мёбиуса в окружающей нас жизни

• 21 слайд

  Лента Мёбиуса в окружающей нас жизни

• 22 слайд

  Памятник ленте Мёбиуса в Москве