Задания для школьного этапа ВсОШ по математике 10 кл.

Задания школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике в 2019-2020 учебном году

10 класс

Максимально 35 баллов.

10.1. Докажите, что n³ + 3n² + 5n + 3 при любом натуральном п делится на 3.

10.2. На какое наибольшее число натуральных слагаемых можно разложить число 96 так, чтобы все слагаемые были больше 1 и попарно взаимно просты?

10.3. Три подруги были в белом, красном и голубом платьях. Их туфли были так же трех цветов. Только у Тамары цвета платья и туфель совпадали. Валя была в белых туфлях. Ни платье, ни туфли Лиды не были красными. Определите цвет платья и туфель каждой из подруг.

10.4. По горизонтальной дороге мотоциклист ехал со скоростью 60 км/ч. На пути ему встретился подъём протяжённостью 2 км, за которым следовал спуск протяжённостью также 2км. На подъёме мотоциклист ехал со скоростью 30 км/ч. С какой скоростью мотоциклист должен ехать на спуске, чтобы средняя скорость на подъёме и на спуске составляла 6о км/ч?

10.5. В равнобедренном треугольнике с основанием, равным a и боковыми сторонами, равными b, угол при вершине треугольника равен 20^°. Докажите, что a³ + b³ =3ab².

Оценивание заданий.

Все задания оцениваются исходя из 7 баллов. Итого 35 баллов

Число баллов	Правильность (ошибочность) решения
7 баллов	Полное верное решение.
6 баллов	Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение.
4 – 5 баллов	Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать  полностью правильным после небольших исправлений или дополнений.
1 – 3 балла	Решение в целом неверно, но содержит более или менее существенное продвижение в верном направлении.
0 баллов	Решение неверно или отсутствует.

Решения и ответы

10.1. Докажите, что n³ + 3n² + 5n + 3 при любом натуральном п делится на 3.

,

т.к. первое слагаемое – это произведение трех последовательных натуральных чисел, т.е. оно кратно 3, а второе слагаемое содержит множитель 3, значит и вся сумма кратна 3.

10.2. Ответ: на семь слагаемых.

Решение. Приведём пример разбиения числа 96 на семь слагаемых:

9 6 = 2 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 41.

Если слагаемых больше, то среди них не менее восьми нечётных (если их семь, то сумма нечётна). Заменим каждое из них на наименьший простой сомножитель. При этом сумма не увеличится, и все слагаемые будут различны. Но сумма восьми наименьших нечётных простых чисел равна 98.

10.3. Решение

Имя	Белое платье	Красное платье	Голубое платье	Туфли
Тамара	-	+	-	Красные
Лида	+	-		Голубые
Валя			+	Белые

Ответ: у Тамары были красные туфли и платье, у Вали – белые туфли и голубое платье, у Лиды – белое платье и голубые туфли.

10.4. По горизонтальной дороге мотоциклист ехал со скоростью 60 км/ч. На пути ему встретился подъём протяжённостью 2 км, за которым следовал спуск протяжённостью также 2км. На подъёме мотоциклист ехал со скоростью 30 км/ч. С какой скоростью мотоциклист должен ехать на спуске, чтобы средняя скорость на подъёме и на спуске составляла 6о км/ч?

Ответ. Достичь требуемого невозможно. Следуя со скоростью 60 км/ч, мотоциклист проезжает за минуту 1км, а за 4 мин – 4 км. При скорости 30 км/ч он проезжает подъём протяжённостью 2км за 4 мин. Поэтому на спуск ему времени не останется.

10.5. В равнобедренном треугольнике с основанием, равным a и боковыми сторонами, равными b, угол при вершине треугольника равен 20^°. Докажите, что a³ + b³ =3ab².

Ответ.   Так как a = 2b ∙ sin 10^°, то a³ + b³ -3ab²=0

Последнее равенство выполнено в силу общей формулы sin 3α = 3 sin α — 4 sin³ α.