Задания для школьного этапа ВсОШ по математике 10 кл.
Инфоурок Математика Другие методич. материалыЗадания для школьного этапа ВсОШ по математике 10 кл.

Задания для школьного этапа ВсОШ по математике 10 кл.

Скачать материал

 

 

Задания школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике в 2019-2020 учебном году

10 класс

 

Максимально 35 баллов.

 

10.1. Докажите, что n3 + 3n2 + 5n + 3 при любом натуральном п делится на 3.

10.2. На какое наибольшее число натуральных слагаемых можно разложить число 96 так, чтобы все слагаемые были больше 1 и попарно взаимно просты?

10.3. Три подруги были в белом, красном и голубом платьях. Их туфли были так же трех цветов. Только у Тамары цвета платья и туфель совпадали. Валя была в белых туфлях. Ни платье, ни туфли Лиды не были красными. Определите цвет платья и туфель каждой из подруг.

10.4. По горизонтальной дороге мотоциклист ехал со скоростью 60 км/ч. На пути ему встретился подъём протяжённостью 2 км, за которым следовал спуск протяжённостью также 2км. На подъёме мотоциклист ехал со скоростью 30 км/ч. С какой скоростью мотоциклист должен ехать на спуске, чтобы средняя скорость на подъёме и на спуске составляла 6о км/ч?

 

10.5. В равнобедренном треугольнике с основанием, равным a и боковыми сторонами, равными b, угол при вершине треугольника равен 20°. Докажите, что a3 + b3 =3ab2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оценивание заданий.

Все задания оцениваются исходя из 7 баллов. Итого 35 баллов

 

Число баллов

Правильность (ошибочность) решения

7 баллов

Полное верное решение.

6 баллов

Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение.

4 – 5 баллов

 

 

Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать  полностью правильным после небольших исправлений или дополнений.

1 – 3 балла

Решение в целом неверно, но содержит более или менее существенное продвижение в верном направлении.

0 баллов

Решение неверно или отсутствует.

 

Решения и ответы

10.1. Докажите, что n3 + 3n2 + 5n + 3 при любом натуральном п делится на 3.

https://fsd..ru/html/2017/11/01/s_59f94b033d742/s727373_1_1.png

https://fsd..ru/html/2017/11/01/s_59f94b033d742/s727373_1_2.png,

т.к. первое слагаемое – это произведение трех последовательных натуральных чисел, т.е. оно кратно 3, а второе слагаемое содержит множитель 3, значит и вся сумма кратна 3.

 

10.2. Ответ: на семь слагаемых.

Решение. Приведём пример разбиения числа 96 на семь слагаемых:

9 6 = 2 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 41.

Если слагаемых больше, то среди них не менее восьми нечётных (если их семь, то сумма нечётна). Заменим каждое из них на наименьший простой сомножитель. При этом сумма не увеличится, и все слагаемые будут различны. Но сумма восьми наименьших нечётных простых чисел равна 98.

 

10.3. Решение

Имя

Белое платье

Красное платье

Голубое платье

Туфли

Тамара

-

+

-

Красные

Лида

+

-

Голубые

Валя

+

Белые

Ответ: у Тамары были красные туфли и платье, у Вали – белые туфли и голубое платье, у Лиды – белое платье и голубые туфли.

10.4. По горизонтальной дороге мотоциклист ехал со скоростью 60 км/ч. На пути ему встретился подъём протяжённостью 2 км, за которым следовал спуск протяжённостью также 2км. На подъёме мотоциклист ехал со скоростью 30 км/ч. С какой скоростью мотоциклист должен ехать на спуске, чтобы средняя скорость на подъёме и на спуске составляла 6о км/ч?

Ответ. Достичь требуемого невозможно. Следуя со скоростью 60 км/ч, мотоциклист проезжает за минуту 1км, а за 4 мин – 4 км. При скорости 30 км/ч он проезжает подъём протяжённостью 2км за 4 мин. Поэтому на спуск ему времени не останется.

 

10.5. В равнобедренном треугольнике с основанием, равным a и боковыми сторонами, равными b, угол при вершине треугольника равен 20°. Докажите, что a3 + b3 =3ab2.

Ответ.   Так как a = 2bsin 10°, то a3 + b3 -3ab2=0

Последнее равенство выполнено в силу общей формулы sin 3α = 3 sin α — 4 sin3 α.

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Пожаловаться на материал
Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

также Вы можете выбрать тип материала:

Проверен экспертом

Общая информация

Скачать материал

Похожие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.