Инфоурок / Математика / Научные работы / Доклад по теме " Решение уравнений, содержащих модуль".
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям рекомендуем принять участие в Международном конкурсе «Я люблю природу», приуроченном к году экологии. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

СЕГОДНЯ (15 ДЕКАБРЯ) ПОСЛЕДНИЙ ДЕНЬ ПРИЁМА ЗАЯВОК!

Конкурс "Я люблю природу"

Доклад по теме " Решение уравнений, содержащих модуль".

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

Выступление на конференции.

Тема: "Решение уравнений , содержащих модуль".


1. Введение


Я выбрал именно эту тему, потому что считаю, что она требует более глубокого и досконального исследования. Я хочу получить более широкие знания о модуле числа, различных способах решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины.

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово (омоним), которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках.

В архитектуре - это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.

В технике -это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и .т.п.

Модуль объемного сжатия( в физике)-отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.

2. Понятия и определения


Чтобы глубоко изучать данную тему, необходимо познакомиться с простейшими определениями, которые мне будут необходимы:

Уравнение-это равенство, содержащее переменные.

Уравнение с модулем -это уравнение, содержащие переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля).Например: |x|=1

Решить уравнение-это значит найти все его корни, или доказать, что корней нет.

В математике модуль имеет несколько значений, но в моей исследовательской работе я возьму лишь одно:

Модуль -абсолютная величина числа, равная расстоянию от начала отсчета до точки на числовой прямой.

3.Определения модуля. Свойства модуля.

Определение. Модуль числа a или абсолютная величина числа a равна a, если a больше или равно нулю и равна -a, если a меньше нуля:


hello_html_680fe43a.gif


Из определения следует, что для любого действительного числа a, hello_html_m1fb29958.gif

Теорема 1. Абсолютная величина действительного числа hello_html_m77b0890e.gif равна большему из двух чисел a или -a.

Следствие 1. Из теоремы следует, что |-a| = |a|.

Следствие 2. Для любого действительного числа a справедливы неравенства hello_html_35ca2aa0.gif

Теорема 2. Абсолютная величина любого действительного числа a равна арифметическому квадратному корню из hello_html_m35b2131b.gifhello_html_m7a857de2.gif

Эта теорема дает возможность при решении некоторых задач заменять |a| на hello_html_69e96e91.gif

Геометрически |a| означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число a, до начала отсчета.

Если hello_html_5048e87f.gif то на координатной прямой существует две точки a и -a, равноудаленной от нуля, модули которых равны.

Если a = 0, то на координатной прямой |a| изображается точкой 0 (см. рис.)


hello_html_m6ea21914.png

Рис

4.Способы решения уравнений, содержащих модуль


Для решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины, буду основываться на определении модуля числа и свойствах абсолютной величины числа. Решу несколько примеров одним и тем же способом и посмотрим, какой из способов окажется проще для решения уравнений, содержащих модуль.

Пример 1. Решим аналитически и графически уравнение |x - 2| = 3.

Решение

Аналитическое решение

1-й способ

Рассуждать будем, исходя из определения модуля. Если выражение, находящееся под модулем неотрицательно, т. е. x - 2 hello_html_12523b4a.gif 0, тогда оно "выйдет" из под знака модуля со знаком "плюс" и уравнение примет вид: x - 2 = 3. Если значения выражения под знаком модуля отрицательно, тогда, по определению, оно будет равно: hello_html_3d8ba8a2.gif или x - 2=-3

Таким образом, получаем, либо x - 2 = 3, либо x - 2 = -3. Решая полученные уравнения, находим: hello_html_m4d564579.gif

Ответ: hello_html_m4d564579.gif

Теперь можно сделать вывод: если модуль некоторого выражения равен действительному положительному числу a, тогда выражение под модулем равно либо a, либо hello_html_13083c68.gif.

Графическое решение

Одним из способов решения уравнений, содержащих модуль, является графический способ. Суть этого способа заключается в том, чтобы построить графики данных функций. В случае, если графики пересекутся, точки пересечений данных графиков будут являться корнями нашего уравнения. В случае, если графики не пересекутся, мы сможем сделать вывод, что уравнение корней не имеет. Этот способ, вероятно, реже других применяют для решения уравнений, содержащих модуль, так как, во-первых, он занимает достаточно много времени и не всегда рационален, а, во-вторых, результаты, полученные при построении графиков, не всегда являются точными.

Другой способ решения уравнений, содержащих модуль- это способ разбиения числовой прямой на промежутки. В этом случае нам нужно разбить числовую прямую так, что по определению модуля, знак абсолютной величины на данных промежутках можно будет снять. Затем, для каждого из промежутков мы должны будем решить данное уравнение и сделать вывод, относительно получившихся корней(удовлетворяют они нашему промежутку или нет). Корни, удовлетворяющие промежутки и дадут окончательный ответ.

2-й способ

Установим, при каких значениях x, модуль равен нулю: hello_html_m414b1759.gif

Получим два промежутка, на каждом из которых решим уравнение (см. рис. 9):


hello_html_m7ed360a1.png

Рис. 9


Получим две смешанных системы:


(1) hello_html_68598efc.gif (2) hello_html_m48c8071a.gif

Решим каждую систему:

(1) hello_html_35c9a4b5.gif (удовлетворяет данному промежутку)

(2) hello_html_5763d94d.gif (удовлетворяет данному промежутку)

Ответ: hello_html_32199b52.gif


Графическое решение

Для решения уравнения графическим способом, надо построить графики функций hello_html_560ad6e3.gif и hello_html_m6083b0ab.gif

Для построения графика функции hello_html_560ad6e3.gif, построим график функции hello_html_b42ac14.gif - это прямая, пересекающая ось OX в точке (2; 0), а ось OY в точке а затем часть прямой, лежащую ниже оси OX зеркально отразить в оси OX.

Графиком функции hello_html_me89fc90.gif является прямая, параллельная оси OX и проходящая через точку (0; 3) на оси OY (см. рис. 10).


hello_html_2bf181dc.png

Рис. 10

Абсциссы точек пересечения графиков функций дадут решения уравнения.

Прямая графика функции y=3 пересеклась с графиком функции y=|x – 2| в точках с координатами (-1; 3) и (5; 3), следовательно решениями уравнения будут абсциссы точек:


x=-1, x=5


Ответ: hello_html_32199b52.gif

Пример 2. Решим аналитически и графически уравнение 1 + |x| = 0.5.

Решение:

Аналитическое решение

Преобразуем уравнение: 1 + |x| = 0.5


|x| =0.5-1

|x|=-0.5


Понятно, что в этом случае уравнение не имеет решений, так как, по определению, модуль всегда неотрицателен.

Ответ: решений нет.

Графическое решение

Преобразуем уравнение: : 1 + |x| = 0.5


|x| =0.5-1

|x|=-0.5


Графиком функции hello_html_2990dac2.gif являются лучи - биссектрисы 1-го и 2-го координатных углов. Графиком функции hello_html_55c39910.gif является прямая, параллельная оси OX и проходящая через точку -0,5 на оси OY.


hello_html_6c6ac692.png

Рис. 11


Графики не пересекаются, значит уравнение не имеет решений (см. рис. 11).

Ответ: нет решений.




Пример 3. Решите аналитически и графически уравнение

|-x + 2| = 2x + 1.

Решение:

Аналитическое решение

1-й способ

Прежде следует установить область допустимых значений переменной. Возникает естественный вопрос, почему в предыдущих примерах не было необходимости делать этого, а сейчас она возникла.

Дело в том, что в этом примере в левой части уравнения модуль некоторого выражения, а в правой части не число, а выражение с переменной, - именно это важное обстоятельство отличает данный пример от предыдущих.

Поскольку в левой части - модуль, а в правой части, выражение, содержащее переменную, необходимо потребовать, чтобы это выражение было неотрицательным, т. е. hello_html_m19b7265.gif Таким образом, область допустимых значений модуля hello_html_6e75e4b3.gif

Теперь можно рассуждать также, как и в примере 1, когда в правой части равенства находилось положительной число. Получим две смешанных системы:

(1) hello_html_67fabbe2.gif и (2) hello_html_1c1e8130.gif

Решим каждую систему:

(1) hello_html_m4936b604.gif входит в промежуток hello_html_6f0ae40b.gif и является корнем уравнения.

(2) hello_html_m60b92292.gif x = -3 не входит в промежуток hello_html_6f0ae40b.gif и не является корнем уравнения.

Ответ: hello_html_m7c6bb648.gif


2-й способ

Установим, при каких значениях x модуль в левой части уравнения обращается в нуль: hello_html_2df2f567.gif

Получим два промежутка, на каждом из которых решим данное уравнение (см. рис. 12):


hello_html_m7ed360a1.png

Рис. 12


В результате будем иметь совокупность смешанных систем:


hello_html_1a22a685.gif

Решая полученные системы, находим:

(1) hello_html_m59e25328.gif; hello_html_mc8430a4.gif входит в промежуток, значит hello_html_5ef9ba66.gif является корнем уравнения.

(2) hello_html_m347fa20b.gif; -3 не входит в промежуток,значит x=-3 не является корнем уравнения

Ответ: hello_html_mc8430a4.gif

4.1 Решение при помощи зависимостей между числами a и b, их модулями и квадратами этих чисел


Помимо приведенных мною выше способов существует определенная равносильность, между числами и модулями данных чисел, а также между квадратами и модулями данных чисел:


1.Если |a|=|b| , то a=b или a=-b

2.Если a2=b2 ,то a=b или a=-b (1)


Отсюда в свою очередь получим, что


Если |a|=|b| , то a2=b2 (2)


Пример 4. Решим уравнение |x + 1|=|2x – 5| двумя различными способами.

1.Учитывая соотношение (1), получим:


x + 1=2x – 5 или x + 1=-2x + 5

x – 2x=-5 – 1 или x + 2x=5 – 1

x=6 или 3x=4

x=4/3


Корень первого уравнения x=6, корень второго уравнения x=4/3

Т


аким образом корни исходного уравнения x=6, x=4/3


2. В силу соотношения если |a|=|b| , то a2=b2 , получим


(x + 1)2=(2x – 5)2, или x2 + 2x + 1=4x2 – 20x + 25

x2 – 4x2 +2x+1 + 20x – 25=0

-3x2 + 22x – 24=0|(:-1)

3x2 – 22x + 24=0

x=4/3

x=6


Как показывает решение, корнями данного уравнения также являются числа 4/3 и 6


Ответ: x=6, x=4/3

1.hello_html_m5b908b4b.gif

2.hello_html_28aef66e.gif

3. hello_html_1b1168c1.gif

Например. а) hello_html_m44e294cd.gif

hello_html_m15123585.gifhello_html_680d06fe.gif Следовательно hello_html_m5c6c2b27.gif Ответ:1;8.






б) hello_html_m16c102b2.gif


в) hello_html_m47a4ff30.gif




1) hello_html_m1af83390.gif

1 способ 2 способ

hello_html_55083e99.gifhello_html_54c62d39.gif

Второй способ хорош тем, что не надо сравнивать f(x) с нулём

Например, hello_html_334908.gif

(3) hello_html_2383432.gif

2) hello_html_m654a8a8.gif

3) hello_html_m75131240.gif

4) hello_html_m2ad5fb24.gif

5) hello_html_7bc88047.gif




Пример 5. Решим уравнение (2x + 3)2=(x – 1)2.

Учитывая соотношение (2), получим, что |2x + 3|=|x – 1|, откуда по образцу предыдущего примера(и по соотношению (1)):


2х + 3=х – 1 или 2х + 3=-х + 1

2х – х=-1 – 3 2х+ х=1 – 3

х=-4 х=-0,(6)


Таким образом корнями уравнения являются х=-4, и х=-0,(6)

Ответ: х=-4, х=0,(6)


Пример 6. Решим уравнение |x – 6|=|x2 – 5x + 9|

Пользуясь соотношением (1), получим:


х – 6=х2 – 5х + 9 или х – 6 = -(х2 – 5х + 9)

-х2 + 5х + х – 6 – 9=0 |(-1) x – 6=-x2 + 5x - 9

x2 - 6x + 15=0 x2 – 4x + 3=0

D=36 – 4  15=36 – 60= -24 <0 D=16 – 4  3=4 >0,2 р.к.

корней нет. x=1

x=3

Проверка:1) |1 – 6|=|12 – 5  1 + 9| 2) |3 – 6|=|32 – 5  3 + 9| !!!!!!!!!

5 = 5(И)

3 = 3(И)

Ответ: x=1; x=3



4.4Решение нестандартных уравнений, содержащих модули


Пример9. Решить уравнение 3| x + 2 | + x2 + 6x + 2 = 0.

Решение.

Рассмотрим два случая.


hello_html_2e3578a8.png

Ответ: (– 4; – 1).



Пример11. Решить уравнение | x2 + 3x | = 2(x + 1).

Решение.

Уравнение равносильно системе


hello_html_m6c9578a7.png

Ответ: hello_html_m52c12f43.png


Пример12.Решить уравнение х2 - 4х +|x - 3| +3=0


Для освобождения от знака абсолютной величины разобьем числовую прямую на две области и будем искать решения исходного уравнения в каждой из этих областей отдельно:

1)x>3 2)x<3

|x – 3|=x – 3 |x – 3|=-x + 3

x2 - 4x + x – 3 + 3=0 x2 – 4x – x + 3 + 3=0

x2 – 3x=0 x2 – 5x + 6=0

x(x – 3) =0 x=2, x=3.

x=0 или x=3

x=0 –посторонний корень,не удовлетворяет промежутку.

Значит, исходное уравнение имеет два решения х=2 и х=3

Ответ: х1=2, х2=3


Пример13. Решить уравнение | 2x + 8 | – | x – 5 | = 12.


Решение.


Раскрытие пары модулей приводит к трем случаям.

hello_html_m3f6b71bd.png

Ответ: {– 25; 3}.


Список литературы


1.Учебник математики для Х класса - К. Вельскер, Л. Лепманн,Т. Лепманнн.

2.Уравнения и неравенства – Башмаков М. И.

3.Задачи всесоюзных математических олимпиад-Васильев Н.Б., Егоров А.А.

4.Задачи вступительных экзаменов по математике- Нестеренко Ю.В.,

Олехник С.Н., Потапов М.К.

5.Учебник В.П.Моденов «Математика».

6. Родионов Е.М., Синаков С.А. «Математика».




Решение.

Рассмотрим два случая.


hello_html_2e3578a8.png

Ответ: (– 4; – 1).

Пример10. Решить уравнение | 4 – x | + | (x – 1)(x – 3) | = 1.

Решение.

Учитывая, что | 4 – x | = | x – 4 |, рассмотрим четыре случая.


hello_html_3826608c.pngтак как hello_html_6111c190.png

2)

hello_html_659fcd9d.png

3)

4) hello_html_25af7f70.png


4) hello_html_e9a39ac.png


Ответ: 3.












Общая информация

Номер материала: ДБ-064712

Похожие материалы