Индивидуальный план-методичка для повышения профессионального уровня

1) Лекция (Краткий конспект)

2) Упражнения (кол-во баллов)

3) Задачи для самостоятельного решения (задачи)

Цели, задачи и принципы преподавания

статистики и теории вероятностей в школе.

Разделы теории вероятностей и статистики новые для российской школы. Задача курса — очертить основные цели, этапы и содержание теории вероятностей и статистики. Статистика первична. Тысячи лет в школьных программах господствовали идеи предопределённости и закономерности. Тем не менее, жизнь полна случайных событий; практически все величины вокруг нас изменчивы. Необходимость изучения изменчивости средствами математики стала очевидной не так давно: начало исчисления вероятностей относится к XVII веку, а строгой математической наукой теория вероятностей становится к середине XX века.

У человека не может сложиться полноценная и непротиворечивая картина мира, если он воспринимает мир упрощённо, не учитывает влияние случайностей, изменчивости явлений, ошибок и погрешностей. Вокруг много числовой информации, поэтому важной частью человеческой культуры становится культура статистическая. Математические методы статистики изучать в школе не следует, но стоит познакомить школьников с началом описательной статистики и обработки данных.

Слово статистика происходит от латинского status — положение вещей. Это название, объединяющее сбор, подсчёт и анализ количественных данных предложил немецкий ученый Готфрид Ахенвалль. Статистика — эмпирическая наука о данных, подверженных случайной изменчивости. Собирая данные, описывая их, статистика пытается делать правдоподобные выводы, искать связи и строить прогнозы. Центральное место в статистике занимает идея статистической устойчивости. Она позволяет по изученным свойствам одних совокупностей судить о других подобных совокупностях объектов.

Теория вероятностей является для статистики теоретическим фундаментом. Исчисление шансов, исчисление вероятностей зародилось в играх: людей интересовали шансы выиграть, построение выигрышных стратегий. Сегодня теория вероятностей — серьёзный раздел математики, область её применения уже давно не ограничивается исключительно играми. В настоящее время приложения теории вероятностей имеются во многих областях, например, в экономике, медицине, биологии, физике, страховом деле, лингвистике и т. д.

Вместе теория вероятностей и статистика составляют область знания, которая называется стохастикой. Статистика — эмпирическая её часть, тогда как теория вероятностей — теоретическая. Можно сказать, что статистика и теория вероятностей разными средствами изучают изменчивый мир. Статистика идёт к описанию реальных явлений от эксперимента, а теория вероятностей — от математических моделей. Теория вероятностей объясняет и обосновывает само явление статистической устойчивости, во многих случаях умеет выделять в изменчивых явлениях тенденции и отделять их от бессистемных случайных колебаний. Поэтому теорию вероятностей важно изучать в курсе математики основной школы.

Часто считают, что статистические данные — это обязательно большие массивы. На самом деле, даже одна величина может являться статистическим данным, если её использовать как источник информации.

Представление статистических данных. Статистические данные нужно собрать, систематизировать и представить подходящим образом. Основные виды — текстовое, табличное и графическое представление.

Описательная статистика — обработка собранных данных с помощью подходящих характеристик. Например, частот, средних значений, мер рассеивания или симметрии.

Анализ статистических данных — умение на основе данных и их описания делать выводы, выдвигать, проверять или опровергать гипотезы, исследовать случайную изменчивость первичных данных и описательных характеристик.

Начала теории вероятностей — теоретические основания для изучения закономерностей случайной изменчивости.

Математические методы статистики в школьном курсе не изучаются.

Предметные результаты изучения статистики и вероятности на базовом уровне должны обеспечивать:

ü умение оперировать понятиями: столбиковые и круговые диаграммы, таблицы; среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах числового набора;

ü умение извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию, представленную в таблицах и на диаграммах, отражающую свойства и характеристики процессов и явлений;

ü умение распознавать изменчивые величины в окружающем мире;

ü умение оперировать понятиями: случайный опыт, элементарное событие, случайное событие, вероятность события;

ü умение находить вероятности случайных событий в опытах с равновозможными элементарными событиями;

ü умение решать задачи методом организованного перебора и с использованием правила умножения;

ü умение оценивать вероятности реальных событий и явлений, понимать роль практически достоверных и маловероятных событий в окружающем мире и в жизни;

ü знакомство с понятием независимых событий;

ü знакомство с законом больших чисел и его ролью в массовых явлениях.

Под законом больших чисел в широком смысле понимается общий принцип, согласно которому совокупное действие случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая. Под законом больших чисел в узком смысле понимают ряд математических теорем, в каждой из которых для тех или иных совокупностей условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным.

Числовой набор — неупорядоченная коллекция данных. Для описания числовых массивов часто применяют средние значения (меры центра или меры центральной тенденции). Формально любое число из числового набора можно рассматривать как меру центральной тенденции.

Среднее арифметическое — наиболее употребительное среднее. Формула для среднего арифметического n чисел x₁, x₂, ..., x_n имеет вид

Важным свойством среднего арифметического является то, что оно в одинаковой степени зависит от всех чисел в наборе. Среднее арифметическое используется для описания однородных суммируемых данных. С механической точки зрения среднее арифметическое — центр масс, точка равновесия.

Пример. Средняя зарплата работников одинаковой квалификации в близких условиях. Наилучшее представление об этой величине даёт среднее арифметическое.

Неудачное применение среднего арифметического — школьные отметки, средний возраст игроков команды, средняя температура по больнице. Все эти величины не суммируемы. Другой пример неудачного среднего арифметического — средняя зарплата в отрасли или в городе. В этом примере нет однородности данных.

Пример. Средний процент по вкладу за несколько лет.

1-й год	2-й год	3-й год
5% годовых	4% годовых	6% годовых

Если сумма первоначального вклада S, то за три года вклад увеличивается в

1,04 ⋅ 1,05 ⋅ 1,06 = 1,15752 раз.

Средний ежегодный прирост составит

Мы нашли среднее геометрическое коэффициентов годового прироста вклада. Среднее геометрическое не больше среднего арифметического (они совпадают, только если все значения одинаковы).

Формула для среднего геометрического n положительных чисел x₁, x₂, ..., x_n имеет вид

При выборе описательных характеристик нужно учитывать следующие соображения:

Природу данных. Например, в предыдущих лекциях обсуждалось, что чтобы вычислить среднюю зарплату работников одинаковой квалификации в близких условиях, лучше всего использовать среднее арифметическое, а в случае банковских вкладов естественным способом усреднения процентов по вкладу является вычисление среднего геометрического.

Цель исследования. Рассмотрим пример: школьник прыгал в длину три раза. Длина первого прыжка — 1,5 м, длина второго прыжка — 2 м, длина третьего прыжка — 2,5 м. Если тренер захочет выяснить типичную длину прыжка этого школьника, то можно посчитать среднее арифметическое. Если цель — похвалить школьника и записать рекорд, то в качестве меры центральной тенденции тренер выберет максимальную длину прыжка. Если тренер хочет указать школьнику на неверную технику, он выберет минимальную длину прыжка.

Сложившиеся традиции. Мы уже обсуждали, что вычисление итоговой отметки с помощью среднего арифметического — не самое удачное решение, так как отметки не суммируемы. Тем не менее, это удобно, и все к этому привыкли.

Упражнение 1 (1б.)

В массиве 100 чисел. Каждое число массива увеличили на 1. Как изменилось среднее арифметическое?

Увеличилось на 100.

Увеличилось на 1.

Увеличилось на 0,01.

Зависит от конкретных чисел в массиве.

Ответ: 2

Упражнение 2 (1б.)

В таблице приведены данные об изменении средней цены на золото в течение 7 лет по отношению к прошлогодней цене.

Год	2011	2012	2013	2014	2015	2016	2017
Прирост (падение), %	+11,5%	+5,7%	–26,8%	–2,1%	–10,5%	+8,4%	+13,2%

Определите, на сколько процентов в год в среднем менялась цена золота за указанный период. Ответ округлите до сотых.

Ответ:

Задача 1. В конце 2018 года аналитик компании подсчитал среднее арифметическое курса доллара за три последних месяца 2018 года. У него получилось значение 66,46 рубля за доллар США. Может ли руководство компании использовать это значение при планировании своей экономической деятельности на три следующих месяца?

Число m называется медианой конечного числового массива, если в этом массиве хотя бы половина чисел не больше и хотя бы половина чисел не меньше, чем число m.

Для вычисления медианы числа в наборе сначала нужно упорядочить. Если количество чисел в массиве нечётно, то в упорядоченном наборе (вариационном ряду) можно однозначно определить центральное число. Это и есть медиана.

Пример. Ниже перечислены четвертные отметки по математике некоторого школьника.

2433244533244

В этом наборе всего 13 значений. Медианой является 7-е по величине значение, т. е. число 3.

Если количество значений чётно, то центральных чисел два. Любое из них и все числа между ними удовлетворяют определению медианы.

Пример. В наборе 23245344 восемь чисел. Упорядочивание даёт ряд 22334445. Число 3, число 4 и все числа между 3 и 4 являются медианами.

Медиана определена неоднозначно для наборов, где количество значений чётно. На практике для устранения неоднозначности обычно берут полусумму двух центральных чисел.

Главное свойство медианы — устойчивость относительно слишком больших и слишком малых значений, сильно отличающихся от большинства прочих значений массива (выбросов). Также медиана хорошо отвечает на вопрос о типичном представителе совокупности. Недостатком медианы является то, что она определяется лишь одним или двумя типичными представителями. При вычислении медианы теряется очень много информации о числах в наборе.

Пример. Население городов-миллионеров России.

Город	Население, тыс. чел.
Город	2010	2019
Волгоград	1021	1013
Воронеж	890	1054
Екатеринбург	1350	1483
Казань	1144	1252
Красноярск	974	1095
Москва	11504	12616
Нижний Новгород	1251	1254
Новосибирск	1474	1618
Омск	1154	1165
Пермь	991	1054
Ростов-на-Дону	1089	1133
Самара	1165	1157
Санкт-Петербург	4880	5384
Уфа	1062	1124
Челябинск	1130	1201

Средняя численность населения городов-миллионеров России в 2019 году составляет 2240,2 тыс. человек. Нет города, чьё население было бы близко к этому значению. Среднее арифметическое в данном случае не является показательной характеристикой из-за Москвы и Санкт-Петербурга, население которых сильно выделяется на общем фоне. Медиана населения равна 1165 тыс. чел., это население Омска. Омск — медианный представитель.

Числовой массив или числовой набор — общее название. Отличается от статистического ряда или выборки тем, что не имеет специальных свойств. Выборка может быть из некоторой большой совокупности. Для исследования выборочной совокупности нужны выборочные методы.

Статистический ряд — это данные, расположенные в определённой последовательности (по времени, по возрастанию, в лексикографическом порядке и т. п.). Для исследования рядов применяются специальные методы (например, скользящие средние, анализ динамики).

Упражнение 1 (1б.)

В массиве статистических данных каждое число увеличили на 4. Укажите, какие описательные характеристики также увеличились на 4. В ответ запишите номера без пробелов и других дополнительных символов.

1) Среднее арифметическое

2) Медиана

3) Среднее геометрическое

4) Наибольшее значение

5) Наименьшее значение

Ответ: 1245

Упражнение 2 (1б.)

Средний рост учащихся в классе 165 см. Медиана равна 168 см. Укажите утверждения, которые верны всегда, вне зависимости от конкретных чисел в наборе. В ответ запишите номера без пробелов и других дополнительных символов.

1) Не меньше половины учеников в этом классе выше 165 см.

2) Не меньше половины учеников в этом классе выше 168 см.

3) В этом классе обязательно найдётся ученик, рост которого больше 165, но меньше 168 см.

4) В этом классе обязательно найдётся ученик ростом ровно 168 см.

5) В этом классе обязательно найдётся ученик, рост которого меньше 165 см.

Ответ: 15

Задача 1. На рисунке схематично показаны четыре числовых набора на координатной прямой. Про какой набор естественнее ожидать, что медиана больше среднего арифметического?

На двух диаграммах показано, как с возрастом меняется вес девочек и мальчиков обычного телосложения. Эти данные медицинской статистики получены за много лет наблюдений. Средний ожидаемый вес увеличивается плавно — тенденция показана синей линией. Но каждый конкретный ребёнок может отставать от тенденции и обгонять её. Колебания вызваны индивидуальными особенностями, образом жизни и питания и другими случайными факторами, часть из которых неизвестна.

Тенденция (тренд) — характерное, устойчивое изменение во времени. Как правило, тенденция обусловлена долгосрочными факторами, которые заставляют величину расти или убывать.

Тысячи мальчиков и девочек взвешивают в школах, детских садах и поликлиниках. Поэтому общие тенденции в развитии детей известны. Однако бывает так, что изменчивая величина не имеет аналогов ни в прошлом, ни в настоящем. Например, таких явлений много в экономике: экономическая ситуация в мире уникальная и меняется всё время. При исследовании экономических процессов настоящее нельзя сравнивать с прошлым, а поэтому прогнозы в экономике обычно делать труднее, чем предсказывать погоду.

Тенденция формируется под действием факторов, которые действуют постоянно или длительное время. Случайные колебания вызваны краткосрочными случайными и бессистемными явлениями.

Часто изменчивость в природных, экономических и социальных явлениях состоит из двух составляющих. Первая составляющая — тенденция, которая обусловлена долгосрочными факторами. Вторая составляющая — случайные отклонения, вызванные разнонаправленными краткосрочными действиями, которые зачастую невозможно предвидеть.

Одна из важных задач статистики — научиться выделять тенденции в изменчивых явлениях и отличать их от незначительных случайных колебаний.

Один из способов выделения тенденции — усреднение. Средние значения многих величин меньше подвержены случайной изменчивости, чем отдельные значения. Это проявление статистической устойчивости.

Упражнение 1 (1б.)

В таблице даны результаты 25 измерений напряжения в бытовой электросети. Все измерения сделаны днём, в случайно выбранные моменты.

225	225	227	225	228
228	218	217	218	223
225	216	222	220	218
221	220	214	219	231
228	227	220	224	216

В России номинальное напряжение в бытовых сетях 220 В (вольт). На самом деле напряжение редко равно в точности 220 В. Моменты включения и выключения электрических приборов случайные и приводят к случайной изменчивости напряжения. Кроме того, производитель электроэнергии не может обеспечить напряжение в точности равное 220 В.

Электрические приборы в России рассчитаны на колебания напряжения в определённых пределах. На задней панели микроволновой печи или холодильника обычно есть табличка, где написан интервал рабочего напряжения. Например, от 190 до 250 В. Если напряжение выходит за эти пределы, прибор может выйти из строя. Поэтому в некоторых случаях люди используют стабилизаторы напряжения, которые уменьшают изменчивость.

Среднее арифметическое напряжение по данным таблицы равно 222,2 В. На сколько медиана отличается от среднего арифметического?

Решение:

214, 216, 216, 217, 218, 218, 218, 219, 220, 220, 220, 221, 222 - медиана, 223, 224, 225, 225, 225, 225, 227, 227, 228, 228, 228, 231.

222,2 – 222 = 0,2.

Ответ: 0,2

Задача 1. Рассмотрите таблицу с измерениями напряжения в электрической сети. Можно ли считать, что шансы событий «напряжение в случайный момент выше 220 В» и «напряжение в случайный момент ниже 220 В» примерно одинаковы?

225	225	227	225	228
228	218	217	218	223
225	216	222	220	218
221	220	214	219	231
228	227	210	224	216

Задача 2. Урожайность зерновых культур измеряется в центнерах с гектара. Например, в 2012 году с одного гектара посевной площади в среднем по России собрано 18,3 центнера зерновых культур. Построим на диаграмме два ряда данных: урожайность и скользящее среднее, то есть средняя урожайность за пять лет, включая текущий год и четыре предыдущих по данным с 2000 по 2018 гг.

Видно, что скользящее среднее подвержено колебаниям существенно меньше, чем урожайность сама по себе. Объясните это явление.

Школьникам можно предложить следующую практическую работу: измерить длину шнурка. Каждому участнику работы выдаётся несколько с виду одинаковых шнурков. Задача каждого — доступным ему способом измерить шесть шнурков. В процессе можно меняться шнурками.

Чтобы изобразить результаты графически, требуется группировка данных. Диапазон значений разбивается на интервалы, в каждый интервал попадает какое-то количество измерений: получаются частоты интервалов. Диаграмма частот называется гистограммой.

При подходящем выборе группировки получается характерная гистограмма. Очень малых (70–80 см) результатов мало. Так же мало очень больших результатов измерений (92–95 см). Края гистограммы низкие. Центральная часть высокая — это область концентрации значений.

Так получается из-за действия разнонаправленных и независимых факторов. Маловероятно, что все факторы, не сговариваясь, «уменьшат» результат. Поэтому малых результатов мало. Так же маловероятно, что все независимые факторы «сыграют в плюс». Поэтому больших результатов тоже мало. В большинстве случаев часть факторов увеличивает, а часть — уменьшает результат измерений.

Похожую картину можно наблюдать в простом эксперименте с монетой. Если бросить 10 монет, часть из них падает орлом, часть — решкой вверх. Маловероятно, что все 10 упадут орлом вверх или все 10 дадут решку. Диаграмма частоты выпадения орлов получается похожей на то, что мы видели в примере со шнурками.

Не все природные случайные величины имеют «двускатное» распределение.

На рисунке — гистограмма длительности телефонных разговоров абонента. Шаг группировки — 25 секунд. Видно, что коротких разговоров намного больше, чем длинных. Здесь совершенно иной вид изменчивости, случайные факторы работают иначе, и это отличие отражено на диаграмме распределения, которое имеет «односкатную» форму.

Получить похожее по форме распределение можно с помощью простого эксперимента. Например, можно бросать одну игральную кость до тех пор, пока не случится шестёрка. Чаще всего требуется один бросок! Два броска требуются реже, чем один, три — ещё реже и так далее.

Может показаться странным и неправдоподобным, что такие разные по своей сути эксперименты — замер длительности разговора и количество бросков кости до шестёрки — имеют схожие черты. Это кажется случайностью.

Разобраться в этом, увидеть общие черты и понять общую подоплёку этих опытов помогает уже теория вероятностей; только в рамках статистики здесь не справиться.

Задача 1. На рисунках три гистограммы длительности телефонных разговоров, построенные по одним и тем же данным (см. пример из лекции).

Почему гистограммы получились разные? Какая из них, с Вашей точки зрения, лучше отражает характер случайной изменчивости?

Всякое случайное событие связано с некоторыми условиями. Если мы создаём или описываем такие условия, мы тем самым производим некоторый случайный эксперимент, или случайный опыт. Если случайный эксперимент не описан или описан плохо, то нельзя говорить о вероятностях событий.

Например, о шансах спортивных команд на победу можно говорить, только если эти команды могут встретиться и сыграть. О вероятности выпадения шести очков на игральном кубике можно говорить, только если кубик бросают.

Случайный эксперимент (случайный опыт) — это условия и обстоятельства, в которых мы рассматриваем случайные события.

Пример. Случайный эксперимент — телефонный разговор. Можно говорить о разных случайных событиях. Например, «длительность разговора составит от 5 до 10 минут» или «разговор прервётся из-за плохой связи».

Пример. Школьник пишет контрольную работу по математике. Это в нашем понимании случайный эксперимент, и в нём возникают случайные события. Например, «школьник сделает не больше трёх ошибок» или «школьник получит отметку «отлично».

Пример. Бросание игрального кубика. Выпадение шестёрки — случайное событие. Другое случайное событие — «выпадет больше двух очков».

Пример. Подсчёт количества крупных пожаров в определённом городе в будущем году — тоже случайный опыт, поскольку условия определены, а результат неизвестен. Примеры случайных событий: «крупных пожаров не будет» или «крупных пожаров будет больше шести» и т. п.

Когда мы очертили границы опыта, мы можем определить события, о которых мы можем говорить. Шансы случайных событий измеряют числами и называют вероятностями. Вероятности случайных событий — это числа от 0 до 1.

Вероятность случайного события — это числовая мера правдоподобия этого события.

Невозможное случайное событие — это случайное событие, которое в случайном эксперименте не наступает. Вероятность невозможного события равна 0.

Достоверное случайное событие — это случайное событие, которое в случайном эксперименте обязательно наступает. Вероятность достоверного события равна 1.

Иногда вероятности событий можно рассчитать математически, но часто их приходится оценивать, то есть находить приближённо, повторяя один и тот же случайный опыт много раз.

Пусть, например, мы провели опыт 100 раз, и некоторое событие C произошло 45 раз. Отношение числа тех опытов, в которых событие C произошло, к общему числу проведённых опытов равно 0,45. Число 0,45 в этом случае является частотой случайного события C.

Отношение числа опытов, в которых случайное событие произошло, к общему числу проведённых опытов называется частотой данного случайного события в этой серии опытов.

Вероятности и частоты связаны. Если опыт повторять достаточно много раз, то окажется, что частота события близка к его вероятности.

Этот факт связывает теорию вероятностей с практикой. Он позволяет оценивать вероятности с помощью статистических опытов и прогнозировать частоты наступления событий, зная их вероятности. Так проявляется статистическая устойчивость в повторяющихся сериях случайных экспериментов.

Упражнение 1 (0,5б.)

Обычную симметричную монету, у которой на одной стороне изображён орёл, а другая сторона — решка, бросили шесть раз. Все шесть раз эта монета выпадала орлом. Какое утверждение или какие из утверждений верны?

В следующий раз более вероятно, что выпадет орёл, чем решка.

В следующий раз более вероятно, что выпадет решка, чем орёл.

В следующий раз орёл и решка могут выпасть с равными шансами.

Седьмой раз подряд орёл выпасть не может.

При седьмом броске тоже выпадет орёл.

Ответ: 3

Упражнение 2 (0,5б.)

Известно, что растения-потомки, полученные при определённом виде скрещивания двух растений гороха с жёлтыми горошинами, дают в среднем три четверти жёлтых и четверть зелёных горошин. В потомстве от скрещивания было 25 растений, с которых удалось собрать 900 горошин. Сколько среди них разумно ожидать зелёных горошин?

от 300 до 400

от 180 до 260

от 100 до 200

от 400 до 700

Решение: 900 : 4 * 1 = 224

Ответ: 2.

Задача 1. На заводе закаточная машина закрывает банки с вареньем. Контроль качества выявляет банки, закрытые негерметично. В таблице показано, сколько банок закрыто негерметично в пяти партиях.

Партия	1	2	3	4	5
Количество банок в партии	500	850	740	400	930
Количество негерметичных банок	4	7	5	3	8

По имеющимся данным оцените вероятность того, что случайно выбранная банка оказалась негерметично закатанной.

Какое количество негерметичных банок разумно ожидать в партии, в которой 1000 банок?

В каждом опыте можно выделить элементарные события, из которых состоят все остальные события. Здесь можно провести аналогию с геометрией. Геометрические фигуры на плоскости состоят из точек. Точно так же события внутри случайного опыта состоят из элементарных событий.

В результате случайного опыта обязательно наступает только одно элементарное событие.

Каждому элементарному событию назначается вероятность. Чаще всего это сделать непросто, но есть такие случайные опыты, в которых все элементарные события считаются равновозможными в силу симметрии.

Пример. В случайном опыте бросания монеты два элементарных события: выпадение орла и выпадение решки. Монета симметрична, поэтому оба эти события равновозможны и обоим назначается вероятность 0,5.

Пример. При подбрасывании игральной кости элементарных событий шесть: «выпадет одно очко», «выпадет два очка» и т. д. вплоть до события «выпадет шесть очков». Эти события также равновозможны, каждому из них назначается вероятность 16.

Опытов с равновозможными элементарными событиями не так много, в основном это искусственные опыты: игры, жеребьёвка и т. п.

Пример. Игральную кость бросают дважды. В этом опыте 6⋅6=36 элементарных событий, которые удобно представить таблицей.

1;1	1;2	1;3	1;4	1;5	1;6
2;1	2;2	2;3	2;4	2;5	2;6
3;1	3;2	3;3	3;4	3;5	3;6
4;1	4;2	4;3	4;4	4;5	4;6
5;1	5;2	5;3	5;4	5;5	5;6
6;1	6;2	6;3	6;4	6;5	6;6

Элементарное событие нельзя разделить на более простые. Может возникнуть вопрос, почему пару чисел, выпавших при двух бросаниях игральной кости, нельзя разделить на два более простых события: выпадение числа при первом броске и выпадение числа при втором броске. Ответ состоит в том, что выпадение первого числа является элементарным событием, но не в нашем опыте, а в опыте с одним броском. (При этом в нашем опыте это тоже событие, но не элементарное, так как оно отвечает целой строке из клеток таблицы).

Упражнение 1 (0,5б.)

В классе 25 учеников. Учитель во время урока вызывает к доске одного ученика. Сколько различных элементарных событий имеет этот случайный опыт? В классе 25 учеников. Учитель во время урока вызывает к доске одного ученика. Сколько различных элементарных событий имеет этот случайный опыт?

Ответ: 25

Упражнение 2 (0,5б.)

Сколько элементарных событий в случайном опыте, в котором монету бросают два раза?

Ответ: 4

Задача 1. В киоске продаётся мороженое трёх сортов: сливочное, шоколадное и клубничное. Андрей и Борис покупают по одной порции. Выпишите в виде таблицы элементарные события этого опыта. Сколько всего получилось элементарных событий? Начало таблицы показано ниже.

Андрей	Борис
сливочное	Сливочное

…	…

Задача 2. Игральную кость подбрасывают дважды. Нарисуйте в тетради таблицу элементарных событий этого эксперимента. Выделите в таблице элементарные события, при которых в сумме выпало:

менее 4 очков;

ровно 7 очков;

ровно 11 очков;

чётное число очков.

Задача 3. Монету бросают до тех пор, пока не выпадет орёл. Пользуясь обозначениями О и Р, запишите несколько элементарных событий этого опыта. Сколько всего элементарных событий в этом случайном опыте?

В некоторых случаях вероятности элементарных событий можно рассчитать. В других случаях их приближённо можно найти из наблюдений. Иногда вероятности элементарных событий так и остаются неизвестными.

В любом случайном опыте сумма вероятностей всех элементарных событий равна 1.

Интересен случай, когда элементарные события в опыте имеют одинаковые шансы. Например, при одном бросании игральной кости элементарные события это 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Если кость правильная, то шансы этих шести элементарных событий одинаковы.

Если в случайном опыте шансы всех элементарных событий одинаковы, то такой опыт называется случайным опытом с равновозможными элементарными событиями.

В природе опыты с равновозможными элементарными событиями встречаются очень редко.

Если в случайном опыте ровно N равновозможных элементарных событий, то вероятность каждого из них равна 1N.

Пример. В случайном опыте бросания монеты два элементарных события: выпадение орла и выпадение решки. Монета симметрична, поэтому эти события равновозможны и обоим назначается вероятность 0,5.

Пример. При бросании двух игральных костей элементарных событий 36, и все они равновозможны. В дальнейшем мы часто будем рассматривать случайные опыты, в которых все элементарные события равновозможны. Такие опыты также возникают при раздаче игральных карт, в лотереях, жребиях, социальных исследованиях и в других искусственных экспериментах.

Пример. Механические часы со стрелками остановились, потому что иссякла батарейка. В качестве случайного эксперимента возьмём время остановки часов. Все 720 элементарных событий этого эксперимента разумно считать равновозможными, поэтому вероятность одного элементарного события равна 1720. Можно было бы рассмотреть и другой случайный эксперимент — положение минутной стрелки в момент остановки часов. Набор элементарных событий этого эксперимента состоит уже не из 720, а из 60 элементарных событий, эти события также равновозможны. Следовательно, вероятность каждого из них равна 160.

Хотя в природе опыты с равновозможными элементарными событиями практически не встречаются, эти опыты очень важны. Во-первых, с помощью искусственных опытов с равновозможными событиями часто удаётся находить приближённые решения сложных и важных задач, причём не только задач по теории вероятностей. Во-вторых, эксперименты с равновозможными событиями удобны при изучении теории вероятностей. Традиционно теорию вероятностей начинают изучать именно с таких опытов. Здесь кроется опасность: из-за «злоупотребления» равновозможными элементарными событиями в обучении, многие думают, что во всех опытах события равновозможны.

Опыты с равновозможными элементарными событиями встречаются в природе очень редко. Как правило, они возникают в искусственных экспериментах.

Рассмотрим несколько примеров опытов с неравновозможными элементарными событиями.

Пример. В опыте измерения температуры спиртовым термометром элементарным событием является положение спирта в градуснике. Первое отличие от опытов, рассмотренных ранее, заключается в том, что элементарных событий в этом опыте бесконечное число. Более того, формально мы не можем ограничивать набор элементарных событий эксперимента максимальным значением на шкале термометра. В зависимости от помещения температура может достигать как очень высоких, так и очень низких значений, поэтому нужно отдельно задумываться о разумных границах эксперимента. Мы не можем считать элементарные исходы в этом опыте равновозможными. Как правило, концентрация вероятности приходится на диапазон 18∘–23∘.

Чтобы назначить вероятность элементарным событиям в опыте с неравновозможными элементарными исходами, приходится прибегать к статистическому измерению вероятности. Эксперимент многократно повторяют, подсчитывают частоту элементарных событий и объявляют частоту вероятностью.

Также встречаются эксперименты, в которых назначить вероятность элементарным событиям невозможно, потому что нет ни симметрии, ни частотного анализа, ни других средств.

Пример. Бросание чашки на пол. Элементарных событий в этом эксперименте два: чашка либо разобьётся, либо нет. В зависимости от условий эксперимента (сила броска, состояние чашки, характер поверхности пола) вероятности могут быть разные, поэтому элементарные события нельзя считать равновозможными. Повторить эксперимент много раз, чтобы вычислить частоту, также невозможно: если чашка разбилась, то эксперимент заканчивается.

Рассмотрим следующий эксперимент: изначально муха сидит в левом нижнем углу проволочной сетки (точка A) и ползёт в противоположную вершину квадрата (точку B). Необходимо найти вероятность того, что муха проползёт через точку C.

Всего мухе нужно сделать 6 шагов, из них 3 шага вправо и на 3 шага вверх. Поэтому количество элементарных исходов этого эксперимента, т. е. количество маршрутов из точки A в точку B, равно числу сочетаний из 6 по 3, т. е. C63=20. Через точку C при этом проходят 9 маршрутов.

В зависимости от того, как трактовать эксперимент, одному и тому же элементарному исходу можно назначить различные вероятности.

1 способ. Если считать, что мухе изначально предъявляют полный список из 20 маршрутов, она случайным образом выбирает один из них и ползёт по нему, то все элементарные события такого эксперимента равновозможны. В этом случае вероятность выбора каждого маршрута равна 120, а значит, вероятность того, что муха проползёт через точку C, равна 920.

2 способ. Если считать, что муха ползёт по сетке и в каждом узле с равными шансами выбирает, в какой узел ей ползти дальше, то маршруты окажутся не равновозможными. Например, вероятность того, что муха будет ползти по маршруту «вправо-вправо-вправо-вверх-вверх-вверх» равна 18, а вероятность маршрута «вверх-вверх-вправо-вверх-вправо-вправо» равна 116.

Упражнение 1 (0,5б.)

Случайный опыт может закончиться одним из трёх элементарных событий: a, b или c. Чему равна вероятность элементарного события c, если P(a)=0,4, P(b)=0,2?

Решение: 1 – (0,4 + 0,2) = 0,4.

Ответ: 0,4

Упражнение 2 (0,5б.)

В некотором случайном эксперименте 25 элементарных событий, все они равновозможны. Найдите вероятность каждого элементарного события.

Ответ: 0,04

Задача 1. Автомобиль подъезжает к перекрёстку. Определим возможные элементарные события:

«автомобиль повернёт направо»,

«автомобиль повернёт налево»,

«автомобиль поедет прямо»,

«автомобиль развернётся и поедет обратно».

Можно ли считать эти элементарные события равновозможными? Объясните свой ответ.

Задача 2. При подбрасывании монеты будем обозначать буквой О выпадение орла и буквой Р выпадение решки. Подбросим симметричную монету два раза. Равновозможны ли элементарные события ОО, РО, ОР и РР? Найдите их вероятности.

Определение. Вероятность события A равна сумме вероятностей всех элементарных событий, из которых состоит A. Элементарные события, при которых наступает событие A, называют благоприятствующими событию A.

Вероятность события A обозначается через P(A) (от английского слова probability).

Совокупность всех элементарных событий обозначают через Ω. Поскольку сумма вероятностей всех элементарных событий равна 1, то P(Ω)=1. Также несложно видеть, что P(∅)=0.

Пример. Эксперимент: Андрей, Борис и Владимир (А, Б и В) встают в очередь. Все возможные события в этом опыте складываются из элементарных событий, которых в данном случае всего шесть:

АБВ, АВБ, БВА, БАВ, ВАБ, ВБА.

Событию C={Андрей стоит первым} благоприятствуют два элементарных события: АБВ и АВБ. Если предположить, что все элементарные события равновероятны, то P(C)=1/3.

Событию D={Борис стоит прежде Владимира} благоприятствуют три элементарных события: АБВ, БАВ и БВА. Если предположить, что все элементарные события равновероятны, то P(D)=1/2.

События можно задавать разными способами. В примере из предыдущей лекции событие C={Андрей стоит первым}

можно задать перечислением элементарных событий: C={АБВ и АВБ}.

Событие D={Борис стоит прежде Владимира}

можно иначе задать следующим образом: D={АБВ, БАВ, БВА}.

Событие E={АВБ, БВА} словесно можно задать следующим образом E={Владимир стоит в очереди вторым}.

Пример. Игральную кость бросают дважды. Событие A={в сумме выпало 6 очков} можно описать перечислением элементарных событий:

A={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.

Также событие можно описать таблицей:

1; 1	1; 2	1; 3	1; 4	1; 5	1; 6
2; 1	2; 2	2; 3	2; 4	2; 5	2; 6
3; 1	3; 2	3; 3	3; 4	3; 5	3; 6
4; 1	4; 2	4; 3	4; 4	4; 5	4; 6
5; 1	5; 2	5; 3	5; 4	5; 5	5; 6
6; 1	6; 2	6; 3	6; 4	6; 5	6; 6

Пример. Муха сидит в левом нижнем углу проволочной сетки (точка A) и ползёт в противоположную вершину прямоугольника (точку B), двигаясь только вправо и вверх. На каждой развилке муха выбирает одно из направлений с равными вероятностями. Необходимо найти вероятность того, что муха проползёт через точку C.

Всего существует C₅²=10 путей из точки A в точку B, так как из 5 шагов нужно сделать 2 шага вправо и 3 шага вверх. Но эти пути не равновероятны. Если обозначить за П шаг вправо, а за В — шаг вверх, то событие C={муха пройдёт через точку C} можно описать следующим образом: C={ПВВПВ, ПВВВП, ВПВПВ, ВПВВП, ВВППВ, ВВПВП}.

Вероятность всех элементарных событий, благоприятствующих событию C, равна 1/16, поэтому P(C)=6/16=3/8, а не 6/10, потому что элементарные события изначально были не равновероятны.

Упражнение 1 (0,5б.)

Игральную кость бросают дважды. Сколько в этом эксперименте элементарных событий, благоприятствующих событию «сумма выпавших очков равна 7»?

Решение:

11	21	31	41	51	61
12	22	32	42	52	62
13	23	33	43	53	63
14	24	34	44	54	64
15	25	35	45	55	65
16	26	36	46	56	66

Ответ: 6

Упражнение 2 (0,5б.)

В классе 25 учеников, среди которых учится Петя. Учитель в течение урока по очереди вызывает к доске двух различных человек. Сколько элементарных событий благоприятствует событию «Петю вызвали к доске»?

Решение:

Пусть Петя – ученик 1

1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9	1,10	1,11
1,12	1,13	1,14	1,15	1,16	1,17	1,18	1,19	1,20	1,21
1,22	1,23	1,24	1,25	2,1	2,2	2,3	2,4	2,5	…

24 * 2 = 48.

Ответ: 48

Задача 1. Бросают одну игральную кость. Запишите событие «выпало чётное число очков» перечислением элементарных событий в фигурных скобках.

Задача 2. Монету бросают два раза. Опишите словами событие C={РО, РО, РР}.

Задача 3. Нарисуйте в тетради таблицу элементарных событий опыта, где игральную кость бросают дважды. Заштрихуйте в таблице элементарные события, благоприятствующие событиям:

а) «выпали одинаковые числа»;

б) «при каждом броске выпало число очков, кратное трём».

Пример. На соревнования приехали гимнастки из трёх стран. Из России 7 гимнасток, из Германии — 8, из Чехии — 5. Порядок выступлений гимнасток определяется жребием. Найдите вероятность того, что:

а) первой будет выступать гимнастка из России;

б) третьим по счёту будет выступление какой-нибудь гимнастки из Германии.

В пункте а) эксперимент состоит в выборе первой гимнастки, элементарными событиями является гимнастка, которая выступает первой. В пункте б) эксперимент состоит в выборе третьей гимнастки. Третьей спортсменкой всё равно может оказаться любая из спортсменок, поэтому эта задача аналогична задаче пункта а).

В теории вероятностей принято вероятность выражать в виде десятичной дроби, поскольку десятичные дроби удобнее сравнивать между собой.

Пример. На международный конкурс исполнителей приехали группы из России, Франции, Германии, Японии, Италии и Норвегии. Порядок выступления групп определяется жребием. Найдите вероятность того, что группа из России выступает не раньше группы из Японии и не позже группы из Франции.

Удобно от исходного эксперимента перейти к изучению второго эксперимента, в котором рассматривается порядок выступления исполнителей не из всех шести стран, а только из России, Франции и Японии. В этом эксперименте элементарных событий всего 6, а именно {РФЯ, РЯФ, ФРЯ, ФЯР, ЯРФ, ЯФР}. Если вернуться к первоначальному эксперименту, в котором есть исполнители ещё из трёх стран, то каждое из шести элементарных событий второго эксперимента «распадается» на 120 элементарных событий исходного эксперимента.

Мы видим, что при удачном описании эксперимента элементарных событий в эксперименте оказывается не 720, а всего 6. Из этих 6 элементарных событий событию {группа из России выступает не раньше группы из Японии и не позже группы из Франции} благоприятствует всего одно элементарное событие, откуда вероятность этого события равна 16.

Много учебных задач теории вероятностей связаны с бросанием монет и костей, поскольку они являются простыми и удобными моделями для иллюстрации вероятностных фактов и удобными инструментами для генерации опытов с равновозможными событиями.

Пример. Бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших на костях очков не меньше 6.

Для решения этой задачи удобно воспользоваться таблицей элементарных событий этого эксперимента. Также проще считать не элементарные события, благоприятствующие исходному событию, а элементарные события, благоприятствующие событию «сумма выпавших на костях очков меньше 6».

Пример. Бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших на костях очков равна 5 или 6.

Рассмотрим эксперимент: выбор товара. При выборе товара в магазине может показаться, что мы выбираем товар только из ассортимента, представленного в магазине. На самом деле, мы выбираем товар из партии, изготовленной производителем и распределённой по разным магазинам. Поскольку выпущенных товаров много, то в таких случаях часто говорят следующее: «некоторый признак в среднем наблюдается в 20% случаев», «в среднем на 100 единиц качественного товара приходится 2 единицы некачественного товара».

Пример. Условия «на 100 качественных сумок в среднем приходится 3 сумки с дефектом» и «на 100 сумок в среднем приходится 3 сумки с дефектом» различаются. В первом случае в качестве множества элементарных событий рассматривается 103 сумки, из которых 3 с дефектом, а во втором случае — 100 сумок, из которых 3 с дефектом.

Если в случайном опыте все элементарные события равновозможны, то вероятность произвольного события A в этом опыте равна отношению числа элементарных событий, благоприятствующих событию A, к общему числу элементарных событий.

Иначе говоря, если N — это общее число элементарных событий, N(A) — это число элементарных событий, благоприятствующих событию A, то вероятность P(A) события A можно вычислить по формуле P(A)=N(A)/N.

Эту формулу часто называют классическим определением вероятности. Здесь слово «определение» несёт не привычный математический смысл, а смысл слова «назначение». А именно, если опыт имеет равновозможные элементарные события, то вероятность будет вычисляться по предложенной формуле. Поэтому термин «классическое определение вероятности» лучше не употреблять в школе, поскольку это может ввести в заблуждение.

Упражнение 1 (0,5б.)

В магазине в коробке 25 одинаковых ручек. Из них 13 красных ручек, 5 зелёных, остальные синие. Продавец наудачу достаёт одну ручку. Найдите вероятность события «извлечённая ручка не зелёная».

Решение: 25 – (13 + 5) = 7 – синие

13 + 7 = 20 – не зелёные

20 : 25 = 0,8

Ответ: 0,8

Упражнение 2 (0,5б.)

Среди 40 экзаменационных билетов по геометрии ровно три билета содержат задачу на тему «Соотношения углов и сторон в прямоугольном треугольнике». Какова вероятность, выбирая наудачу один билет, вытянуть билет, в котором нет задачи на эту тему?

Решение: 40 – 3 = 37(б.) – не содержат задачу

37 : 40 = 0,925

Ответ: 0,925

Задача 1. Одно время на улицах и вокзалах профессиональные игроки предлагали прохожим испытать удачу в простой игре. Зажав в кулаке обычный носовой платок так, что наружу высовывались только четыре уголка, игрок просил прохожего взять два любые конца и потянуть за них. Если прохожий вытаскивал два соседних угла, то он проигрывал. Если прохожий вытаскивал два противоположных угла, то он выигрывал. Найдите вероятность выигрыша прохожего.

Задача 2. На день рождения к Паше пришли две Маши, две Даши и два Саши. Все семеро рассаживаются за круглым столом. Найдите вероятность того, что Паша окажется между двумя тёзками.

Задача 3. Существует несколько систем классификации групп крови. Чаще всего выделяют четыре группы: I, II, III и IV. Одна из самых простых систем выделяет только три группы: ММ, MN и NN. Один и тот же ген, отвечающий за группу крови, у каждого человека существует в двух вариантах (аллелях): М или N. Таким образом, человек может обладать одной из групп крови ММ, МN или NN. Ребёнку передаётся один из двух случайных аллелей от мамы и один из двух случайных аллелей от папы. Известно, что и мама, и папа имеют группу крови МN. Найдите вероятность рождения ребёнка с такой же группой крови МN.

Литература:

1. Лаборатория методики вероятности и статистики МЦНМО.

2. Тюрин Ю. Н., Макаров А. А., Высоцкий И. Р., Ященко И. В. Теория вероятностей и статистика. М.: МЦНМО: АО «Московские учебники», 2004.

3. Тюрин Ю. Н., Макаров А. А., Симонова Г. И. Теория вероятностей. М.: МЦНМО, 2009.

4. Тюрин Ю. Н., Макаров А. А., Высоцкий И. Р., Ященко И. В. Теория вероятностей и статистика. Экспериментальное учебное пособие для 10 и 11 классов общеобразовательных учреждений. М.: МЦНМО, 2014.

5. Тюрин Ю. Н., Макаров А. А., Высоцкий И. Р., Ященко И. В. Теория вероятностей и статистика. Методическое пособие для учителя. М.: МЦНМО, 2011.

6. Высоцкий И. Р., Нестерова В. В., Ященко И. В. Теория вероятностей и статистика. Контрольные работы и тренировочные задачи. 7–8 класс. М.: МЦНМО, 2013.

7. Высоцкий И. Р., Захаров П. И., Нестерова В. В., Ященко И. В. Задачи заочных интернет-олимпиад по теории вероятностей и статистике. М.: МЦНМО, 2011.

8. Высоцкий И. Р., Ященко И. В. Задачи заочных интернет-олимпиад по теории вероятностей и статистике. М.: МЦНМО, 2017.

9. Высоцкий И. Р. Кружок по теории вероятностей. М.: МЦНМО, 2017.

10. Высоцкий И. Р. Дидактические материалы по теории вероятностей. 8-9 классы. М.: МЦНМО, 2018.

11. Высоцкий И. Р. Теория вероятностей. Задачи и контрольные работы. 10 класс. М.: МЦНМО, 2019.

Графы.

Граф — это конечное множество точек, некоторые из которых соединены линиями. Точки называются вершинами графа, а соединяющие их линии — рёбрами. Каждое ребро соединяет ровно две различные вершины.

Пример. Транспортный граф. В стране есть пять городов: A, B, C, D и E. Дороги соединяют следующие пары городов: A и B, B и C, B и D, C и D, D и E. Это можно изобразить в виде следующего графа:

Иногда графы бывает удобно задавать перечислением множества вершин и множества рёбер. Например, граф на рисунке выше можно задать следующим образом: это граф c вершинами {A,B,C,D} и рёбрами {AB,BC,BD,CD,DE}.

Пример. Социальный граф. Андрей, Вася, Саша, Дима и Евгений отправились в поход. До начала похода Андрей был знаком с Васей, Сашей и Димой, а Саша — с Димой, другие ребята не были знакомы между собой. Это можно изобразить в виде следующего графа:

Пример. Турнирный граф. В школе между пятью классами проходил однокруговой турнир по футболу. К середине марта три класса сыграли все матчи между собой, а оставшиеся два класса не сыграли ни одного матча. К середине апреля все матчи были сыграны. Это можно изобразить в виде следующих графов:

Можно привести и другие примеры, когда графы возникают естественным образом: граф авиасообщений, генеалогическое древо.

Полный граф — это граф, в котором каждые две вершины соединены ребром.

Степень вершины — это количество рёбер, концом которых является эта вершина.

Посчитаем степени вершин на примере графов из предыдущей лекции.

У вершины A степень 1, у вершины B – 3, у вершины C – 2, у вершины D – 3, у вершины Е – 1.

У вершины «Андрей» степень 3, у вершины «Вася» степень 1, у вершины «Евгений» степень 0, у вершины «Дима» степень 2, у вершины «Саша» степень 2.

Изолированная вершина — это вершина графа, степень которой равна нулю.

Упражнение 1 (0,5б.)

На этой неделе в классе шестеро дежурных: Аня, Вера, Евгений, Данила, Сергей и Фёдор. Рассмотрим следующий граф: дежурные — это вершины графа, две вершины соединены ребром, если соответствующие ребята дружат между собой. Получившийся граф изображён ниже.

а) Сколько рёбер в этом графе?

б) С какими дежурными дружит Евгений?

Аня

Вера

Данила

Сергей

Фёдор

Ответ: а) 7; б) 4; 5

Упражнение 2 (0,5б.)

В однокруговом турнире по шахматам принимает участие 6 человек. За первую неделю ровно два человека успели сыграть все свои партии, остальные партии будут доиграны на следующей неделе. Рассмотрим следующий граф: участники турнира — это вершины графа (будем обозначать их A, B, C, D, E, F), две вершины соединены ребром, если соответствующие участники турнира сыграли друг с другом на первой неделе. Какие из графов подходят под условие?

Ответ: 3; 5

Упражнение 3 (0,5б.)

Ваня нарисовал граф в виде клетчатой таблицы 3×5. Узлы этой таблицы — вершины графа, отрезки длины один – рёбра графа. В получившемся графе ровно 8 вершин степени 4.

Сколько вершин степени 4 будет в аналогичном графе, изображённом в виде таблицы 15×17?

Ответ: 224

Упражнение 4 (0,5б.)

Граф можно по-разному изобразить на плоскости. Например, графы на рисунке ниже представляют собой один и тот же граф.

Такие одинаковые, но, может быть, по-разному нарисованные графы, называются изоморфными. Выберите все графы, для которых среди представленных ниже графов найдётся изоморфный ему.

Ответ: 1 и 6; 2 и 3;

Упражнение 4 (0,5б.)

Сопоставьте изображению графов их описание перечислением множества вершин и множества рёбер.

а)

вершины {A,B,C,D,E} и рёбра {AB,BC,BD,BE}

вершины {A,B,C,D} и рёбра {AB,AD,BC,CD}

вершины {A,B,C,D,E} и рёбра {AB,AD,BC,CD}

вершины {A,B,C,D,E} и рёбра {AB,AD,BD,CD}

б)

вершины {A,B,C,D,E} и рёбра {AB,BC,BD,BE}

вершины {A,B,C,D} и рёбра {AB,AD,BC,CD}

вершины {A,B,C,D,E} и рёбра {AB,AD,BC,CD}

вершины {A,B,C,D,E} и рёбра {AB,AD,BD,CD}

Ответ: а) 3; б) 1

Задача 1. В графе 9 вершин и 8 рёбер. Какое наибольшее количество вершин степени 1 в нём может быть?

Задача 2. Учитель нарисовал на доске граф. Ученики по очереди сделали утверждения.

Алёша: «В этом графе ровно 7 вершин.»

Боря: «Нет, ты обсчитался. В графе 8 вершин.»

Вера: «И в нём ровно 2 изолированные вершины.»

Галя: «А ещё в нём есть вершина степени 7.»

Денис: «Степени всех вершин в этом графе равны.»

Оказалось, что ровно три ученика сказали правду. Кто именно?

Утверждение. Количество рёбер в графе равно половине суммы степеней всех его вершин.

Следующие задачи демонстрируют, как можно использовать утверждение о вычислении количества рёбер в графе через сумму степеней его вершин.

Задача. (Подсчёт количества рёбер по известным степеням вершин.) В однокруговом футбольном турнире участвовали шесть команд. К середине турнира оказалось, что четыре команды сыграли по два матча, а две оставшиеся команды сыграли по одному матчу. Сколько матчей было сыграно к середине турнира?

Задача. (Поиск степени вершины по известным степеням остальных вершин и количеству рёбер.) В государстве есть 21 город: 10 малых городов, 10 средних городов и столица. Между городами построено 25 дорог. Известно, что из каждого малого города выходит ровно по одной дороге, а из каждого среднего — ровно по две. Сколько дорог может выходить из столицы?

Задача. (Поиск степени вершины по известным степеням остальных вершин и количеству рёбер.) Дядька Черномор и 33 богатыря в течение 50 дней каждый день отправляли двух человек патрулировать берег моря (либо двух богатырей, либо дядьку Черномора вместе с одним богатырём). Известно, что никакая пара людей не дежурила дважды. Могло ли так оказаться, что каждый богатырь дежурил ровно два раза?

Задача. (Поиск суммы степеней двух вершин по известным степеням остальных вершин и количеству рёбер.) В графе семь вершин и семь рёбер. Известно, что у каких-то двух его вершин степень 2, а у каких-то трёх — степень 3. Докажите, что в этом графе есть изолированная вершина.

Лемма о рукопожатиях. В любом графе количество вершин нечётной степени чётно.

Лемма о рукопожатиях является необходимым условием существования графа, но не достаточным.

Следующие задачи демонстрируют, как лемма о рукопожатиях помогает доказать, что графов с определённым набором степеней вершин не существует.

Задача. В шахматный клуб пришли 7 человек, они сыграли между собой несколько партий. Могло ли так оказаться, что каждый из них сыграл ровно 3 партии? Каждую партию играют два человека.

Задача. Архипелаг состоит из 20 островов, между некоторыми из которых построены мосты. Могло ли так оказаться, что из пяти островов выходит по 3 моста, из семи островов — по 4 моста, а из восьми островов — по 5 мостов?

Упражнение 1 (0,5б.)

В графе 7 вершин, степени которых равны 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3. Сколько рёбер в этом графе?

Ответ: 7

Упражнение 2 (0,5б.)

В школьном шахматном турнире принимали участие 10 человек: 3 пятиклассника, 3 шестиклассника, 3 семиклассника и 1 восьмиклассник. К концу первого игрового дня было сыграно двенадцать партий, причём каждый пятиклассник сыграл три партии, каждый шестиклассник — одну партию, каждый семиклассник — две партии. Сколько партий сыграл восьмиклассник?

Ответ: 6

Упражнение 3 (0,5б.)

До звонка на урок Вася успел поздороваться за руку со всеми своими одноклассниками, а Петя — со всеми, кроме Андрея. Больше никто ни с кем не успел поздороваться. Сколько в классе мальчиков, если известно, что было сделано 22 рукопожатия?

Ответ: 13

Задача 1. В графе 15 вершин. Может ли у этого графа быть одна вершина степени 1, две вершины степени 2, три вершины степени 3, четыре вершины степени 4, пять вершин степени 5?

Задача 2. Петя раскрасил некоторые клетки на полях тетради так, что каждая закрашенная клетка граничит по стороне с одной или тремя закрашенными клетками. Мог ли он закрасить ровно 21 клетку?

Задача 3. Каждый сплетник за вечер разговаривает с тремя другими сплетниками (каждый разговор происходит один на один). Могло ли за вечер состоятся 100 разговоров?

Граф называется двудольным, если его вершины можно разбить на две группы (две доли) так, что каждое ребро в этом графе соединяет вершины, принадлежащие разным группам.

Двудольный граф удобно изображать, нарисовав отдельно вершины двух долей.

Пример. На школьном балу каждый мальчик станцевал с тремя девочками, а каждая девочка — с четырьмя мальчиками. Этот граф может выглядеть следующим образом:

Не все графы являются двудольными. Например, граф с тремя вершинами, в котором каждые две вершины соединены ребром, не является двудольным.

Утверждение. Сумма степеней всех вершин одной доли двудольного графа равна сумме степеней всех вершин другой его доли и равна общему числу рёбер в двудольном графе.

Следующие задачи демонстрируют, как можно использовать равенство сумм степеней вершин в долях двудольного графа.

Задача. (Поиск количества вершин в одной доле по известным степеням всех вершин и количеству вершин в другой доле.) На школьном балу каждый мальчик станцевал с тремя девочками, а каждая девочка — с четырьмя мальчиками. Сколько мальчиков пришло на бал, если всего было 9 девочек?

Задача. (Поиск количества вершин в одной доле по известным степеням всех вершин и количеству вершин в другой доле.) Десять хулиганов кидали снежки в окна школы. Первый хулиган попал в окно ровно 1 раз, второй — ровно 2 раза, …, десятый — ровно 10 раз, причём никакой хулиган не попал в одно и то же окно дважды. В каждое школьное окно либо попали снежком 5 раз, либо не попали вовсе. Сколько школьных окон пострадали от снежков?

Задача. (Равенство сумм степеней вершин в долях используется для составления уравнения.) Футбольный мяч сшит из 32 лоскутов: белых шестиугольников и чёрных пятиугольников. Каждый лоскут чёрного цвета граничит только с лоскутами белого цвета, а каждый белый — с тремя чёрными и тремя белыми. Сколько в футбольном мяче лоскутов белого цвета?

Задача. (Равенство сумм степеней вершин в долях используется для составления уравнения.) В школе олимпийского резерва каждый хоккеист дружит с 5 гимнастками и 5 хоккеистами из школы, а каждая гимнастка дружит с 4 гимнастками и 4 хоккеистами. Какое наименьшее суммарное количество хоккеистов и гимнасток может учиться в школе олимпийского резерва?

Упражнение 1 (0,5б.)

Выберите из предложенных графов все двудольные графы.

Ответ: 2; 4; 5

Упражнение 2 (0,5б.)

В двудольном графе степени всех вершин первой доли равны 6, а степени всех вершин второй доли равны 10. Сколько вершин во второй доле, если в первой доле 20 вершин?

Ответ: 12

Упражнение 3 (0,5б.)

На левом берегу реки находится 10 деревень, а на правом берегу — 5 городов. Ежегодно проходит серия футбольных матчей между жителями левого и правого берегов: каждый населённый пункт выставляет одну команду, в каждом матче играет команда с левого берега против команды с правого берега.

Известно, что команда первого города сыграла 5 матчей, команда второго города — 6 матчей, третьего — 7 матчей, четвёртого — 8 матчей. Сколько матчей сыграла команда пятого города, если известно, что команды из деревень сыграли по 3 матча каждая?

Ответ: 4

Упражнение 4 (0,5б.)

В спортивной школе есть секция шахмат и секция настольного тенниса. Каждый ученик спортивной школы ходит либо на секцию шахмат, либо на секцию настольного тенниса. Каждый шахматист дружит с тремя теннисистами, а каждый теннисист — с пятью шахматистами. Сколько всего учеников в спортивной школе, если известно, что шахматистов больше 10, а теннисистов меньше 10?

15 ш. + 9 т. = 24 ученика всего

Ответ: 24

Задача 1. В первой доле двудольного графа 100 вершин, их степени равны 1, 2, …, 100. Степени всех вершин второй доли равны между собой. Докажите, что число вершин во второй доле больше числа вершин первой доли.

Задача 2. В школе проходило спортивное троеборье. В каждой из трёх дисциплин участвовало нечётное число семиклассников. Каждый семиклассник, который пришёл на троеборье, участвовал или в одной дисциплине, или во всех трёх. Докажите, что хотя бы один семиклассник не пришёл на троеборье, если известно, что в этой параллели школы учится 80 человек.

Задача 3. В некоторой стране все города поделены на большие и малые. Каждый город (и малый, и большой) соединён дорогами с тремя малыми и с тремя большими городами. Докажите, что общее число городов в стране делится на 4.

Следующие задачи демонстрируют, что некоторые задачи становятся существенно проще, если «перевести задачу на язык графов», то есть нарисовать граф, соответствующий задаче.

Задача. (При изображении графа легко видеть, является ли этот граф связным.) Архипелаг состоит из пятнадцати островов, пронумерованных числами от 1 до 15. Известно, что между двумя островами построен мост тогда и только тогда, когда сумма номеров этих островов делится на 5. Можно ли с острова №№1 добраться до острова №№15?

Задача. (При изображении графа можно лучше понять, как именно он устроен.) В клетках квадрата 3×3 записаны буквы (см. рисунок). Можно ли переставить эти буквы на доске так, чтобы любые две буквы, исходно отстоявшие на ход коня, после перестановки оказались в клетках, отстоящих на ход короля?

Задача. (При изображении графа легко видеть его структуру.) Два чёрных и два белых коня стоят на доске 3×3, как показано на левом рисунке. Могут ли кони сделать несколько ходов так, чтобы получилась расстановка, изображённая на правом рисунке? Конь не может ходить в клетку, на которой стоит другой конь.

Задача. (Увидеть в задаче двудольный граф.) Большой равносторонний треугольник разбит на 16 маленьких равносторонних треугольников. Какое наибольшее количество ромбов, состоящих из двух маленьких треугольников, можно вырезать из большого треугольника?

Упражнение 1 (0,5б.)

Андрей, Боря, Вася, Гена, Дима и Евгений пошли на обед в столовую. Трое из них сели за круглый стол. Оказалось, для любых двух сидящих рядом мальчиков найдутся хотя бы две буквы, которые есть в именах и у того, и у другого (в том написании, в котором они приведены в начале условия задачи). Кто сел за круглый стол?

Ответ: Андрей, Гена, Евгений

Упражнение 2 (0,5б.)

На переписывание контрольной работы пришли Аня, Вера, Саша, Денис, Елисей и Федя. Учитель знает, что следующие пары детей часто списывают друг у друга:

· Аня и Елисей;

· Вера и Саша;

· Елисей и Федя;

· Денис и Вера;

· Саша и Елисей;

· Вера и Федя.

Учитель подготовил 2 первых варианта и 4 вторых. Кому надо выдать первый вариант, чтобы ребята в каждой из пар получили разные варианты?

Ответ: Вера и Елисей

Упражнение 3 (0,5б.)

В сельском районе есть 5 деревень: А, Б, В, Г и Д. Между некоторыми из них налажено прямое автобусное сообщение.

Билет на автобус между А и Б стоит 15 рублей.

Билет на автобус между Б и В стоит 35 рублей.

Билет на автобус между Г и Д стоит 5 рублей.

Билет на автобус между А и Г стоит 40 рублей.

Билет на автобус между В и Д стоит 15 рублей.

Билет на автобус между Б и Г стоит 10 рублей.

Какое минимальное количество денег надо потратить, чтобы добраться из А в В?

Ответ: 45

Задача 1. Можно ли цифры от 1 до 9 расставить в ряд так, чтобы любые две соседние цифры образовывали число, кратное 3?

Задача 2. В трёх вершинах пятиугольника сидит по кузнечику. Любой кузнечик может прыгнуть по диагонали пятиугольника в свободную вершину. Могло ли так оказаться, что спустя какое-то время один кузнечик вернулся в первоначальную вершину, а двое других поменялись местами?

Задача 3. Хулиган Петя вырезал часть шахматной доски и поставил на неё коня, как показано на рисунке. Сколько существует способов обойти этим конём все клетки доски так, чтобы побывать на каждой клетке ровно один раз и вернуться в первоначальную клетку?

Путь в графе — это последовательность рёбер, в которой любые два соседних ребра имеют общую вершину и каждое ребро в этой последовательности встречается не более одного раза. Длина пути — это число рёбер в этом пути.

Цикл — это путь, у которого начальная и конечная вершины совпадают. Длина цикла — это число рёбер в этом цикле. Простой цикл — это цикл, который проходит через каждую вершину не более одного раза.

Примеры пути, цикла и простого цикла можно увидеть на рисунке ниже. В этом графе пути — это, например, A−B и B−C−E−F, циклы — это, например A−B−D−E−F−D−A и A−B−D−A, простые циклы — это, например, B−C−E−D−B и A−B−D−A.

Утверждение. Если в графе есть цикл, то в нём есть и простой цикл.

Задача. (Задача на проверку базового понимания, что такое цикл в графе.) Рассмотрим граф, изображённый на рисунке. Какие вершины этого графа содержатся хотя бы в одном простом цикле длины четыре?

Задача. (Задача на проверку базового понимания, что такое цикл в графе, и на аккуратный подсчёт количества циклов.) Сколько существует простых циклов длины четыре в полном графе с пятью вершинами?

Подграфом данного графа называется граф, все вершины и рёбра которого содержатся среди вершин и рёбер исходного графа.

Граф называется связным, если между каждой парой его вершин существует как минимум один путь.

Компонента связности графа — это связный подграф, удовлетворяющий следующим условиям:

Если две вершины компоненты связности соединены ребром в первоначальном графе, то они соединены ребром и в компоненте связности.

Не существует ребра, соединяющего вершину из компоненты связности с вершиной не из компоненты связности.

Задача. (Задача на проверку базового понимания, что такое компоненты связности графа.) Какое наименьшее число рёбер необходимо провести в графе, изображённом ниже, чтобы он стал связным?

Задача. (Задача на применение леммы о рукопожатиях для доказательства связности графа.) Между городами страны проложены дороги. Известно, что из города Западного выходит ровно 3 дороги, из города Восточного — ровно 5 дорог, а из всех остальных городов выходит ровно по 4 дороги. Докажите, что из города Западного можно по дорогам добраться в город Восточный.

Упражнение 1 (0,5б.)

Какие из вершин графа, изображённого ниже, не содержатся ни в одном простом цикле?

Ответ: В, I

Упражнение 2 (0,5б.)

Сколько простых циклов длины 4 есть в графе, изображённом ниже?

Ответ: 4

Упражнение 3 (0,5б.)

Сколько компонент связности в графе, изображённом ниже?

Ответ: 5

В некоторых задачах доступны следующие действия: сохранение, сброс, показ подсказки или ответа. Соответствующие кнопки расположены рядом с кнопкой «Отправить».

Упражнение 4 (0,5б.)

В графе 6 вершин. Какое наибольшее количество рёбер в нём может быть, если известно, что он несвязный?

Ответ: 10

Дерево — это связный граф без циклов. Удобно изображать дерево следующим образом: сначала изобразить одну вершину в верхнем ярусе, затем во втором ярусе изобразить все вершины, соединённые ребром с вершиной первого яруса, затем в третьем ярусе изобразить все вершины, соединённые ребром с вершинами второго яруса и т. д. Работа с деревьями и анализ их свойств упрощается, если изображать их послойно. Например, граф на рисунке слева можно изобразить, как показано на рисунке справа.

Примерами деревьев могут являться генеалогическое древо, файловая система хранения данных на компьютере, дерево перебора, дерево вероятностей.

Висячая вершина — это вершина степени один.

Утверждение. Если дерево содержит не меньше двух вершин, то в нём найдётся хотя бы одна висячая вершина.

Утверждение. В дереве количество рёбер на единицу меньше количества вершин.

Утверждение. Связный граф с n вершинами содержит хотя бы n−1 ребро.

Следующие задачи демонстрируют, как использовать оценку на количество рёбер в связном графе.

Задача. В стране 8 городов. Между любыми двумя городами построена автомобильная магистраль. Какое наибольшее количество магистралей можно закрыть на ремонт, чтобы из любого города можно было добраться в любой другой по оставшимся магистралям?

Задача. На рисунке схематично изображена клетка с хомяками (вид сверху). В каждом «квадратике» 1×1 сидит один хомяк. Какое наименьшее количество перегородок длины 1 нужно убрать, чтобы все хомяки смогли выбежать из клетки на волю?

Упражнение 1 (0,5б.)

В графе без циклов 20 вершин и 10 рёбер. Какое минимальное количество рёбер надо провести, чтобы граф стал связным?

Ответ: 9

Упражнение 2 (0,5б.)

У Лёни есть проволочный каркас 4×4 (см. рисунок). Какое наибольшее количество проволочных отрезков длины 1 он может перекусить кусачками, чтобы конструкция не распалась на части?

Ответ: 16

Упражнение 3 (0,5б.)

В государстве 30 городов: 20 малых и 10 больших. Из каждого малого города выходит ровно две дороги, а из каждого большого — ровно четыре. Известно, что по дорогам этого государства можно добраться из любого города в любой другой. Какое наибольшее количество дорог можно закрыть на ремонт, чтобы всё так же можно было из любого города попасть в любой другой?

Ответ: 11

Упражнение 4 (0,5б.)

В дереве ровно 7 вершин, которые не являются висячими. Их степени равны 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Сколько висячих вершин в этом дереве?

Ответ: 23

Задача 1. Дан граф (необязательно связный), в котором 100 вершин и 100 рёбер. Докажите, что в нём обязательно есть цикл.

Задача 2. В стране 7 городов. Любая пара городов сообщается с помощью автомобильной дороги, железной дороги, авиасообщения или не сообщается вовсе, причём из любого города можно доехать до любого другого. Известно, что если временно закрыть любой вид транспорта в стране, то всё равно можно будет добраться из любого города в любой другой. Какое минимальное количество пар городов первоначально имели какое-нибудь сообщение?

Задача 3. В городе есть несколько остановочных комплексов, между которыми налажены автобусные маршруты так, что от любого остановочного комплекса можно добраться до любого другого (каждый автобусный маршрут проложен от одного остановочного комплекса к другому). Докажите, что можно закрыть один остановочный комплекс со всеми маршрутами, выходящими из него, чтобы оставшаяся транспортная сеть продолжала быть связной.

Кратные рёбра — это рёбра, соединяющие одну и у же пару вершин.

Задача о кёнигсбергских мостах. Cреди жителей Кёнигсберга была распространена такая загадка: как пройти по всем городским мостам, не проходя ни по одному из них дважды. На языке графов задачу можно сформулировать следующим образом: существует ли путь, проходящий по каждому ребру графа, изображённого ниже, ровно один раз? Или, говоря простым языком, можно ли нарисовать этот граф, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя никакое ребро дважды?

Эйлеров путь — это путь, проходящий по каждому ребру графа ровно один раз.

Критерий эйлеровости графа. Эйлеров путь в графе существует тогда и только тогда, когда граф связен и содержит не более двух вершин нечётной степени.

Планарный граф — это граф, который можно изобразить на плоскости так, чтобы его рёбра не имели общих точек, кроме вершин. Области, на которые планарный граф разбивает плоскость, называются гранями.

Формула Эйлера. Пусть в связном планарном графе V вершин, E рёбер и G граней. Тогда V−E+G=2.

Список рекомендуемой литературы:

1. Гуровиц В. М., Ховрина В. В. Графы. 7 изд. М.: МЦНМО, 2019.

2. Генкин С. А., Итенберг И. В., Фомин Д. В. Ленинградские математические кружки: пособие для внеклассной работы. Киров: АСА, 1994.

3. Оре О. Графы и их применение. М.: Мир, 1965.

4. Курс Райгородского А. М. «Теория графов» на образовательной платформе Сoursera: https://www.coursera.org/learn/teoriya-grafov.

5. Доказательство критерия эйлеровости графа можно найти в [3], страницы 35–36.

6. Доказательство формулы Эйлера можно найти в [2], страницы 160–162, или в [3], страницы 131–135.

7. Доказательство того, что полный граф с 5 вершинами не является планарным, можно найти в [3], страница 136.

Функциональная грамотность.

Цели и задачи раздела «Функциональная грамотность», обсуждение тем, которые предстоит изучить в разделе.

Задачи на прикидки и оценки встречаются и в ЕГЭ, и в ОГЭ, и в ВПР. Они включены в эти экзаменационные работы по причине того, что умение примерно оценивать значения величин необходимо человеку в повседневной жизни. Умение прикидывать часто не менее важно, чем умение получать точный ответ. Оно позволяет находить ошибки, принимать решения о покупке/не покупке, определять достоверность данных.

Задача. Показания счётчика электроэнергии 1 января составляли 32768 киловатт-часов, а 1 февраля — 32864 киловатт-часов. По текущему тарифу стоимость 1 киловатт-часа электроэнергии составляет 3 рубля 50 копеек. Сколько нужно заплатить за электроэнергию за январь?

Одна из распространённых ошибок при решении задачи про электроэнергию — просто умножить показания января на цену электроэнергии. Школьники получают при этом величину, превосходящую сто тысяч рублей, но не могут поймать себя на ошибке, так как не чувствуют величину этого числа. Важно привить школьникам умение анализировать полученный в задаче ответ с точки зрения здравого смысла.

Составление практикоориентированных задач на прикидки и проверку здравого смысла требует от составителя методической грамотности. Посмотрим пример неудачно составленной задачи.

Задача. Гепард пробегает 100 м за 9,1 с. За какое время гепард пробежит расстояние от Москвы до Санкт-Петербурга, если это расстояние составляет 650 км?

На первый взгляд в этой задаче к условию привязаны реалии жизни в России: школьники могут вспомнить расстояние от Москвы до Санкт-Петербурга; также сообщаются любопытные данные о скорости бега гепарда. Но важно понимать, что гепард может бежать с такой скоростью буквально секунды, он никак не преодолеет расстояние в 650 км, поддерживая такую скорость. Задачи с практическим контекстом должны быть составлены на основе реальных данных, чтобы при решении этих задач действительно можно было использовать здравый смысл.

Задача. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями. К каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.

Величины	Значения
Рост жирафа	6400 км
Толщина лезвия бритвы	500 см
Радиус Земли	0,08 мм
Ширина футбольного поля	68 м

Для её решения не нужно заучивать точные значения подобных величин. Достаточно привыкать к чувству порядка величины, изучая математику, физику, другие предметы.

Упражнение 1 (0,5б.)

Установите соответствие между величинами и их возможными значениями. К каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.

Величины	Значения
А. Рост жирафа	1. 6400 км
Б. Толщина лезвия бритвы	2. 500 см
В. Радиус Земли	3. 0,08 мм
Г. Ширина футбольного поля	4. 68 м

А	Б	В	Г

Ответ: 2314

Задача. На рисунке изображены автобус и автомобиль. Длина автомобиля равна 4,2 м. Какова примерная длина автобуса? Ответ дайте в сантиметрах.

В приведённой задаче верный ответ не единственный, можно указать любое значение, принадлежащее отрезку от 800 см до 1200 см. Часто это сбивает ребят, они не понимают, как решать такую задачу. Необходимо подчеркнуть, что в задаче просят оценить именно примерную длину, искать точное значение не требуется. Также важно обратить внимание школьников на единицы измерения, в которых необходимо дать ответ: длина автомобиля дана в метрах, а ответ нужно указать в сантиметрах.

Задача. Оцените расстояние от Земли до Солнца, измеренное в диаметрах Солнца, по порядку величины. Выберите соответствующий порядок: 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000 и более.

Как правило, в качестве ответа на эту задачу выбирают варианты от 1000 и более, но здесь интуиция и прикидка нас обманывают.

Упражнение 2 (0,5б.)

На городской парковке припаркованы два легковых автомобиля (см. рисунок). Сколько примерно легковых автомобилей сможет припарковаться между ними?

Ответ: 2

Упражнение 3 (0,5б.)

В пачке 250 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется 700 листов. Какого наименьшего количества пачек бумаги хватит на 8 недель?

Ответ: 23

Задача 1. В одной столовой ложке — 25 г риса, а в один стакан входит 235 г риса. Сколько целых ложек риса помещается в одном стакане?

Задача 2. В таблице отражены цены на некоторые товары магазина «Музыкальный город».

Товар	Цена
MP3-плеер	155 зед
Наушники	86 зед
Колонки	79 зед

Вопрос 1. Ольга сложила цены на МР3-плеер, наушники и колонки на калькуляторе. В результате у неё получилось 248. Данный ответ неверный. Определите, какую из перечисленных ошибок сделала Ольга.

A. Она прибавила одну из цен дважды.

B. Она забыла прибавить одну из цен.

C. Она не набрала последнюю цифру в одной из цен.

D. Она вычла одну из цен вместо того, чтобы её прибавить.

Вопрос 2. В магазине «Музыкальный город» проходит распродажа: если вы покупаете два товара или больше, вам на эти товары предоставляется скидка 20%. Дмитрий может потратить 200 зед. Что он может позволить себе купить на распродаже?

A. MP3-плеер и наушники

B. MP3-плеер и колонки

C. MP3-плеер, наушники и колонки

Вопрос 3. Розничная цена на МР3-плеер включает в себя наценку размером 37,5%. Цена без наценки называется оптовой ценой. Наценка определяется как процент от оптовой цены. Какие формулы отражают правильное соотношение между оптовой (оо) и розничной (рр) ценами?

A. рор=о+0,375

B. орро=р –0,375р

C. рор=1,375о

D. оро=0,625р

Задача 3. Фотограф-анималист Жан Батист отправился в одногодичную экспедицию, где сделал много фотографий пингвинов и их птенцов. Он был особенно заинтересован в увеличении размеров различных колоний пингвинов.

Вопрос 1. Обычно у пары пингвинов каждый год вылупляются 2 птенца, но выживает только тот, который вылупляется из большего яйца. У хохлатых пингвинов первое яйцо весит примерно 78 граммов, а второе — 110 граммов. Примерно на сколько процентов второе яйцо тяжелее, чем первое?

A. 29%

B. 32%

C. 41%

D. 71%

Вопрос 2. Жан Батист хочет узнать, как изменится размер колонии пингвинов в течение нескольких лет. В процессе исследований он использует следующие предположения:

в начале года колония состоит из 10000 пингвинов (5000 пар);

весной каждого года у каждой пары вырастает птенец;

к концу года 20% пингвинов (взрослых и птенцов) умрут.

Сколько пингвинов (взрослых и птенцов) будет в колонии к концу первого года?

A. 2000

B. 8000

C. 12000

D. 15000

Один из первых и самых ключевых навыков функциональной грамотности в математике — чтение сложных текстов, из которых не всегда очевидно, что именно требуется в задаче. К сожалению, этой теме уделяется мало внимания, особенно в старших классах. Статистика проведения ЕГЭ говорит о том, что даже в очень простых задачах школьники допускают обидные ошибки, неправильно читая условия задач и находя ответ не на тот вопрос, который предлагался в задаче. Например, в задачах по планиметрии школьники верно находят площадь трапеции, хотя в задаче требовалось найти её среднюю линию. Другой пример: в задаче на поиск меньшего корня квадратного уравнения школьники невнимательно читают условие и записывают в ответ значение большего корня.

Важным признаком того, что условие прочитано неверно, может служить очень сложное решение или «некрасивый» ответ в задаче.

Обсудим задачу-шутку, которая хорошо иллюстрирует, как важно внимательно читать условие.

Задача. Представьте, что вы капитан круизного лайнера, на котором путешествуют 500 пассажиров. Этот лайнер плывёт со скоростью 20 узлов в час (один узел равен 1,852 км/ч), предполагаемое время путешествия 7 дней. Сколько лет капитану корабля?

Как правило, человек, решающий эту задачу, сразу переходит к анализу чисел и пропускает первую фразу. А именно она помогает ответить на вопрос задачи: решающему достаточно указать свой возраст.

Рассмотрим ещё один пример задачи, требующей вдумчивого чтения условия. Эту задачу предлагают школьникам, поступающим в Президентский физико-математический лицей №239 г. Санкт-Петербурга.

Задача. Братья Андрей и Миша Ивановы играют в игру. Андрей загадывает число n, имеющее ровно 7 простых делителей. Миша придумывает гладкое пятимерное многообразие, описываемое формулой степени не более чем n2. Андрей указывает 5 точек на этом многообразии и объявляет длины не более чем 7 отрезков, соединяющих эти точки в пространстве R25. Если выбранные точки вместе с указанными Андреем отрезками образуют жёсткую структуру второго порядка, то побеждает Миша. В противном случае мальчики меняются местами: Андрей придумывает другое гладкое многообразие, проходящее через эти 5 точек, и Миша указывает 5 точек на нём. Игра продолжается, пока либо у кого-то из мальчиков не получилась жёсткая структура, либо не прошло 1003 хода — в этом случае побеждает Миша. В зависимости от n назовите фамилию победителя при правильной игре.

Задача отпугивает своим громоздким условием и сложными терминами, но на самом деле для решения задачи не требуется знаний топологии. Чтобы дать верный ответ на задачу, достаточно прочитать только первое и последнее предложения из условия.

Упражнение 1 (0,5б.)

Братья Андрей и Миша Ивановы играют в игру. Андрей загадывает число n, имеющее ровно 7 простых делителей. Миша придумывает гладкое пятимерное многообразие, описываемое формулой степени не более чем n2. Андрей указывает 5 точек на этом многообразии и объявляет длины не более чем 7 отрезков, соединяющих эти точки в пространстве R25. Если выбранные точки вместе с указанными Андреем отрезками образуют жёсткую структуру второго порядка, то побеждает Миша. В противном случае мальчики меняются местами: Андрей придумывает другое гладкое многообразие, проходящее через эти 5 точек, и Миша указывает 5 точек на нём. Игра продолжается, пока либо у кого-то из мальчиков не получилась жёсткая структура, либо не прошло 1003 хода — в этом случае побеждает Миша. В зависимости от n, назовите фамилию победителя при правильной игре.

Ответ: Иванов

Бывают задачи, в которых большой нерафинированный текст содержит всю нужную информацию для решения и не требует специальных знаний в той области, к которой относится контекст этой задачи. В лекции обсуждается условие одной из таких задач без арифметики, а ответ предлагается посчитать самостоятельно в упражнениях после этой лекции.

Задача. В целях сохранения здоровья люди не должны допускать перенапряжения, например, во время занятий спортом, чтобы не превысить определённую частоту сердцебиения. На протяжении многих лет зависимость между максимальной рекомендуемой частотой сердечных сокращений и возрастом человека выражалась следующей формулой:

Рекомендуемая максимальная частота сердцебиения = 220 − возраст.

Последние исследования показали, что эту формулу следует немного изменить. Новая формула выглядит так:

Рекомендуемая максимальная частота сердцебиения = 208 − 0,7 ⋅ возраст.

В одной газетной статье утверждалось следующее: «Если использовать новую формулу вместо старой, то рекомендуемый максимум для молодых людей немного уменьшится, а для пожилых — немного увеличится». Начиная с какого возраста рекомендуемый максимум увеличивается при использовании новой формулы?

Упражнение 2 (0,5б.)

В целях сохранения здоровья люди не должны допускать перенапряжения, например, во время занятий спортом, чтобы не превысить определённую частоту сердцебиения. На протяжении многих лет зависимость между максимальной рекомендуемой частотой сердечных сокращений и возрастом человека выражалась следующей формулой:

Рекомендуемая максимальная частота сердцебиения = 220 − возраст.

Последние исследования показали, что эту формулу следует немного изменить. Новая формула выглядит так:

Рекомендуемая максимальная частота сердцебиения = 208 − 0,7 ⋅ возраст.

Ответ: 41

Упражнение 3 (0,5б.)

Для обслуживания международного семинара необходимо собрать группу переводчиков. Сведения о кандидатах представлены в таблице.

Номер переводчика	Язык	Стоимость услуг (руб. в день)
1	Немецкий, испанский	7000
2	Английский, немецкий	6000
3	Английский	3000
4	Английский, французский	6000
5	Французский	2000
6	Испанский	4000

Пользуясь таблицей, соберите хотя бы одну группу, в которой переводчики вместе владеют четырьмя иностранными языками: английским, немецким, французским и испанским, а суммарная стоимость их услуг не превышает 12000 рублей в день.

В ответе укажите какой-нибудь один набор номеров переводчиков без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Ответ: 256

Задача 1. В целях сохранения здоровья люди не должны допускать перенапряжения, например, во время занятий спортом, чтобы не превысить определённую частоту сердцебиения. На протяжении многих лет зависимость между максимальной рекомендуемой частотой сердечных сокращений и возрастом человека выражалась следующей формулой:

Рекомендуемая максимальная частота сердцебиения = 220 − возраст.

Последние исследования показали, что эту формулу следует немного изменить. Новая формула выглядит так:

Рекомендуемая максимальная частота сердцебиения = 208 − 0,7 ⋅ возраст.

Последняя формула также используется для того, чтобы определить, когда физические нагрузки наиболее эффективны. Исследования показали, что наибольшую эффективность физические нагрузки приобретают, когда частота сердцебиения составляет 80% от рекомендуемого максимума.

Запишите формулу для вычисления частоты сердцебиения для наиболее эффективных физических нагрузок, выраженную через возраст.

Задача 2. Девяносто пять процентов товаров в мире перевозят по морю примерно 50000 танкеров, грузовых кораблей и контейнеровозов. Большинство из этих кораблей используют дизельное топливо.

Инженеры планируют разработать поддержку кораблей, используя силу ветра. Их предложение заключается в прикреплении к кораблям кайтов (парящих в воздухе парусов) и использовании силы ветра, чтобы уменьшить расход дизельного топлива и его влияние на окружающую среду.

Одно из преимуществ использования кайта заключается в том, что он летает на высоте 150 м. Там скорость ветра примерно на 25% больше, чем на уровне палубы корабля.

С какой примерной скоростью дует ветер на кайт, когда скорость ветра, измеренная на палубе корабля, равна 24 км/ч?

A. 6 км/ч

B. 18 км/ч

C. 25 км/ч

D. 30 км/ч

E. 49 км/ч

Задача 3. Морскому котику нужно дышать, даже если он спит под водой. Мартин наблюдал за морским котиком в течение часа. В начале наблюдения морской котик всплыл на поверхность и сделал вдох. Затем он нырнул на дно и уснул. Со дна он медленно всплыл на поверхность за 8 минут и снова сделал вдох. Через три минуты он вновь был на дне. Мартин заметил, что данный процесс носил довольно регулярный характер. Через час морской котик:

A. Был на дне.

B. Поднимался.

C. Делал вдох.

D. Опускался.

Школьникам, которые никогда не будут использовать математику в работе, всё равно придётся принимать в жизни решения, которые будут основаны на анализе сложившейся ситуации, на анализе входных данных. Эти данные могут быть текстом договора, надписью на информационном щите, инструкцией к электроприбору и так далее.

В этом блоке мы покажем примеры заданий, с помощью которых школьники смогут научиться отвечать на вопрос «следует ли из этой информации тот или иной вывод?».

В ОГЭ, ЕГЭ и PISA есть задачи такого характера. Вот задача из открытых источников PISA.

Задача. Люди, проживающие в многоквартирном доме, решили выкупить этот дом. Они вместе хотят собрать деньги таким образом, чтобы каждый из них заплатил сумму, пропорциональную площади его квартиры. Например, мужчина, проживающий в квартире, которая занимает 1/5 площади всех квартир, должен будет заплатить 1/5 от всей стоимости здания. Выберите все верные утверждения.

A. Человек, проживающий в самой большой квартире, заплатит больше денег за каждый квадратный метр своей квартиры, чем человек из самой маленькой квартиры.

B. Зная площадь двух квартир и цену одной из них, мы можем вычислить цену второй.

C. Зная цену здания и сумму, которую заплатит каждый владелец, мы можем вычислить общую площадь всех квартир.

D. Если бы общая стоимость здания была снижена на 10%, каждый из владельцев заплатил бы на 10% меньше.

В этой задаче верны утверждения B и D, а утверждения A и C неверны.

Упражнение 1 (0,5б.)

Люди, проживающие в многоквартирном доме, решили выкупить этот дом. Они вместе хотят собрать деньги таким образом, чтобы каждый из них заплатил сумму, пропорциональную площади его квартиры. Например, мужчина, проживающий в квартире, которая занимает 15 площади всех квартир, должен будет заплатить 15 от всей стоимости здания. В здании три квартиры. Самая большая квартира, квартира №№1, имеет площадь 95 м2. Квартиры №№2 и №№3 имеют площадь 85 м2 и 70 м2 соответственно. Цена продажи здания — 300000 зед. Сколько должен заплатить владелец квартиры №№2?

Ответ: 102000

Особенность логической задачи ниже заключается в том, что при её решении удобно использовать графическое представление.

Задача. Кондитер испёк 40 печений, из них 10 штук он посыпал корицей, а 20 штук он собирается посыпать сахаром (кондитер может посыпать одно печенье и корицей, и сахаром, а может вообще ничем не посыпать). Выберите утверждения, которые будут верны при указанных условиях независимо от того, какие печенья кондитер посыплет сахаром.

A. Найдётся 7 печений, которые ничем не посыпаны.

B. Найдётся 8 печений, посыпанных и сахаром, и корицей.

C. Если печенье посыпано корицей, то оно посыпано и сахаром.

D. Не может оказаться 12 печений, посыпанных и сахаром, и корицей.

Упражнение 2 (0,5б.)

Некоторые сотрудники фирмы зимой ездили на курсы повышения квалификации в Пятигорск. Весной было решено, что некоторые сотрудники поедут на стажировку в Волгоград, причём среди них не будет тех, кто ездил на курсы повышения квалификации в Пятигорск. Выберите утверждения, которые будут верны при указанных условиях независимо от того, какие сотрудники поедут на стажировку в Волгоград.

1) Найдётся сотрудник, который не ездил на курсы в Пятигорск и не поедет на стажировку в Волгоград.

2) Среди сотрудников этой фирмы, которые не поедут на стажировку в Волгоград, есть хотя бы один, который посещал курсы в Пятигорске.

3) Каждый сотрудник, который не был на курсах в Пятигорске, поедет на стажировку в Волгоград.

4) Нет ни одного сотрудника этой фирмы, который посетил курсы в Пятигорске и поедет на стажировку в Волгоград.

Ответ: 2; 4

Задача 1. Однажды на уроке математики измерили рост всех учеников. Средний рост мальчиков оказался равен 160 см, а средний рост девочек — 150 см. Лена была самой высокой, её рост равен 180 см. Коля был самым низким, его рост — 130 см. Двое учащихся отсутствовали на уроке в тот день, но они пришли на следующий день. Их рост тоже измерили и пересчитали средние значения. Ко всеобщему удивлению, средний рост девочек и средний рост мальчиков не изменились. Какие из следующих выводов можно сделать?

A. Оба учащихся — это девочки.

B. Один из учащихся — мальчик, другой — девочка.

C. Оба учащихся имеют одинаковый рост.

D. Коля остался самым низким.

E. Средний рост всех учеников не изменился.

Задача 2. В Зедтауне собираются установить ветряные электростанции для выработки электричества. В таблице представлена информация, собранная советом Зедтауна, об одной из моделей электростанции.

Модель	E-82
Высота	138 метров
Количество лопастей	3
Длина одной лопасти	40 метров
Максимальная скорость вращения	20 оборотов в минуту
Цена установки	3200000 зед
Эксплуатационные затраты	0,01 зед за произведённый киловатт-час
Величина оборота	0,1 зед за произведённый киловатт-час
Эффективность функционирования	функционирует 97% года

Примечание. Киловатт-час — это единица измерения электрической энергии.

Определите, можно ли прийти к следующим выводам о ветряной электростанции E-82, основываясь на вышеизложенной информации.

A. Установка трёх электростанций будет стоить более 8000000 зед.

B. Эксплуатационные затраты на одну электростанцию составляют примерно 5% от её оборота.

C. Эксплуатационные затраты на одну электростанцию зависят от количества произведённых киловатт-часов.

D. Электростанция не функционирует 97 дней в году.

Скачать материал

Скачать материал "Индивидуальный план-методичка для повышения профессионального уровня"

Как учитель может зарабатывать на Инфоуроке?

Краткое описание документа:

Методическое пособие для учителей. Подготовка учащихся к ОГЭ и ЕГЭ.

Составлено по заданиям, в которых обучающиеся допускают "обидные" ошибки. Я считаю, что об этих ошибках детям нужно говорить во время подготовки к экзаменам.

План:

Лекция (Краткий конспект)
Упражнения (кол-во баллов)
Задачи для самостоятельного решения (задачи)

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 665 220 материалов в базе

Найти материалы

Скачать материал

Другие материалы

docx

Рабочая программа по музыке 1 класс

01.10.2020
566
0

docx

Открытый урок по математике для учащихся 5 класса "Доли. Обыкновенные дроби"

Учебник: «Математика (в 2 частях)», Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И.
Тема: § 5. Обыкновенные дроби

01.10.2020
838
3

«Математика (в 2 частях)», Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И.

docx

Конспект урока математики по теме: "Площадь геометрических фигур" Сравнение площадей

01.10.2020
614
0

docx

План-конспект урока по математике на тему "Простые и составные числа" 5 класс по учебнику Дорофеева Г.В. и др.

Учебник: «Математика», Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др. / Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.
Тема: 6.2. Простые и составные числа

01.10.2020
1245
21

«Математика», Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др. / Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.

docx

Тема открытого урока: «Решение задач с величинами - Цена. Количество. Стоимость»

01.10.2020
1556
34

docx

C математикой по жизни!

Учебник: «Математика», Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др.
Тема: § 1. Натуральные числа и шкалы

01.10.2020
1207
1

«Математика», Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др.

docx

Математика в 4 классе Раздел: Решение задач на движение, урожайность. «Природные явления» Тема: Комбинаторные задачи, решаемые методом перебора. Радуга

01.10.2020
1957
89

docx

Экзаменационный тест по математике 1 курс СПО

01.10.2020
3062
32

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Скачать материал
- 01.10.2020 2416
- DOCX 2 мбайт
- 18 скачиваний
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Алексеева Анна Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Автор материала

Алексеева Анна Александровна
- На сайте: 3 года и 7 месяцев
- Подписчики: 0
- Всего просмотров: 6567
- Всего материалов: 8

Ваша скидка на курсы

40%

Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу

Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Копирайтер

500/1000 ч.

Курс повышения квалификации

Мастерство мышления: развитие SoftSkills и математической логики

36 ч. — 180 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.

Подать заявку О курсе

Сейчас обучается 22 человека из 10 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Учитель математики и информатики

500/1000 ч.

от 8900 руб. от 4150 руб.

Подать заявку О курсе

Сейчас обучается 683 человека из 79 регионов
Этот курс уже прошли 1 810 человек

Курс повышения квалификации

Система работы учителя математики по подготовке учащихся основной школы к математическим конкурсам и олимпиадам в рамках обновленного ФГОС ООО

36/72 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.

Подать заявку О курсе

Сейчас обучается 93 человека из 41 региона
Этот курс уже прошли 296 человек

Мини-курс

Подростковые проблемы: индивидуальный подход

3 ч.

780 руб. 390 руб.

Сейчас обучается 369 человек из 71 региона
Этот курс уже прошли 286 человек

Мини-курс

Психология и педагогика в работе с детьми: эмоциональные и зависимые расстройства

5 ч.

780 руб. 390 руб.

Подать заявку О курсе

Сейчас обучается 53 человека из 23 регионов
Этот курс уже прошли 23 человека

Мини-курс

Визуальные искусства: анимация и фотография

2 ч.

780 руб. 390 руб.

Найдите подходящий для Вас курс

«Инфоурок» ищет активных репетиторов по физике

Методист-разработчик онлайн-курсов

Индивидуальный план-методичка для повышения профессионального уровня

Методические разработки к Вашему уроку:

Специалист по сертификации продукции

Фитнес-тренер

Краткое описание документа:

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

Дистанционные курсы для педагогов

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Автор материала

Дистанционные курсы
для педагогов

Копирайтер

Мастерство мышления: развитие SoftSkills и математической логики

Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Система работы учителя математики по подготовке учащихся основной школы к математическим конкурсам и олимпиадам в рамках обновленного ФГОС ООО

Подростковые проблемы: индивидуальный подход

Психология и педагогика в работе с детьми: эмоциональные и зависимые расстройства

Визуальные искусства: анимация и фотография

Подарочные сертификаты

225	225	227	225	228
228	218	217	218	223
225	216	222	220	218
221	220	214	219	231
228	227	220	224	216

225	225	227	225	228
228	218	217	218	223
225	216	222	220	218
221	220	214	219	231
228	227	210	224	216

1;1	1;2	1;3	1;4	1;5	1;6
2;1	2;2	2;3	2;4	2;5	2;6
3;1	3;2	3;3	3;4	3;5	3;6
4;1	4;2	4;3	4;4	4;5	4;6
5;1	5;2	5;3	5;4	5;5	5;6
6;1	6;2	6;3	6;4	6;5	6;6

11	21	31	41	51	61
12	22	32	42	52	62
13	23	33	43	53	63
14	24	34	44	54	64
15	25	35	45	55	65
16	26	36	46	56	66

225	225	227	225	228
228	218	217	218	223
225	216	222	220	218
221	220	214	219	231
228	227	220	224	216

225	225	227	225	228
228	218	217	218	223
225	216	222	220	218
221	220	214	219	231
228	227	210	224	216

1;1	1;2	1;3	1;4	1;5	1;6
2;1	2;2	2;3	2;4	2;5	2;6
3;1	3;2	3;3	3;4	3;5	3;6
4;1	4;2	4;3	4;4	4;5	4;6
5;1	5;2	5;3	5;4	5;5	5;6
6;1	6;2	6;3	6;4	6;5	6;6

11	21	31	41	51	61
12	22	32	42	52	62
13	23	33	43	53	63
14	24	34	44	54	64
15	25	35	45	55	65
16	26	36	46	56	66

225	225	227	225	228
228	218	217	218	223
225	216	222	220	218
221	220	214	219	231
228	227	220	224	216

225	225	227	225	228
228	218	217	218	223
225	216	222	220	218
221	220	214	219	231
228	227	210	224	216

1;1	1;2	1;3	1;4	1;5	1;6
2;1	2;2	2;3	2;4	2;5	2;6
3;1	3;2	3;3	3;4	3;5	3;6
4;1	4;2	4;3	4;4	4;5	4;6
5;1	5;2	5;3	5;4	5;5	5;6
6;1	6;2	6;3	6;4	6;5	6;6

11	21	31	41	51	61
12	22	32	42	52	62
13	23	33	43	53	63
14	24	34	44	54	64
15	25	35	45	55	65
16	26	36	46	56	66