Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект урока "Арифметический квадратный корень"

Конспект урока "Арифметический квадратный корень"


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


Фешина Юлия Владимировна

АОУ Лицей №19

Учитель математики



Открытый урок по алгебре в 8 классе по теме «Арифметический квадратный корень»




Тип урока: урок получения новых знаний.


Дидактические цели:


  1. Ввести понятие арифметического квадратного корня. Тренироваться в извлечении арифметического корня при использовании таблицы квадратов двузначных чисел.

  2. Познакомиться с историей возникновения знака радикала.


Задачи урока:


  1. Образовательные:

- расширение понятие учащихся об операциях с числами;

- приобретение навыков использования таблицы квадратов двузначных чисел;

- научиться использовать определение арифметического квадратного корня при преобразованиях выражений и решении уравнений.

  1. Воспитательные:

- способствовать формированию познавательного интереса у учащихся.

- посредством информации об исторических фактах расширять научный и культурный кругозор учащихся.

  1. Развивающие:

- способствовать развитию у учащихся логического мышления;

- развить навыки самостоятельной работы;

- стимулировать развитие монологической речи учащихся.





Примечание: за несколько дней до данного урока учащимся было предложено подготовить презентацию об истории возникновения знака «радикала». Лучшая из презентаций была представлена на уроке (здесь представлен примерный образец такой презентации).






План урока:

  1. Задача с практическим содержанием. Создание проблемной ситуации. Исследование числа корней уравнения вида hello_html_mf9f4c84.gif.

  2. Ведение понятия квадратного корня из числа. Введение понятия арифметического квадратного корня.

  3. Введение обозначения, знак радикала(с использованием презентации учащегося на тему «История возникновения знака радикала»).

  4. Первичная отработка полученных навыков: упражнение в извлечении квадратного корня, использование таблицы квадратов двузначных чисел.

  5. Домашнее задание с комментарием.


Ход урока:

Орг. момент.

1. Вступительная беседа:

-Сегодня мы познакомимся с новой для нас математической операцией. Но прежде, чем о ней говорить решите задачу:

Площадь квадрата равна 144 hello_html_m6a018ff3.gif. Чему равна сторона квадрата?

Учитель выслушивает мнения учащихся. Подводит итог.

-Решая эту задачу, вы должны были составить математическую модель, а именно уравнение hello_html_mdc8c616.gif С помощью таблицы квадратов двузначных чисел найдем, что одним из корней этого уравнения является число 12. Понятно, что другим корнем служит противоположное ему , т.е. число -12. Почему ответом в задаче является только положительный корень? Верно, мы имеем дело с практической задачей, а длиной может служить лишь положительная величина.

Итак, выясним, сколько решений может иметь уравнение hello_html_mf9f4c84.gif, а результат нашего исследования занесем в таблицу.

Учитель чертит таблицу на доске, учащиеся в тетради. Учитель под диктовку учеников заполняет таблицу.

Решение уравнения

hello_html_mf9f4c84.gif

аhello_html_m360d6129.gif

а=0

аhello_html_m360d6129.gif

Уравнение не имеет корней

Уравнение имеет один корень: х= 0

Уравнение имеет два корня:

х= ; х= .

  1. -Смотрите, в таблице нам не удалось в общем виде записать полученные в третьем случае два корня. Как же это сделать?

Оказывается каждому из корней уравнения hello_html_mf9f4c84.gif дали название квадратный корень из а. То есть квадратный корень из числа а – это число, квадрат которого равен а. Неотрицательный квадратный корень из числа имеет специальное название – арифметический квадратный корень. Запишем определение:

Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а.

  1. -Для арифметического квадратного корня из а принято обозначение: hello_html_4f3ff4ed.gif. А знак hello_html_33544601.gifназывают знаком арифметического квадратного корня или знаком радикала. Читается такое выражение: «арифметический квадратный корень из а». Тогда, используя знак радикала, как можно закончить нашу таблицу?

Верно, она примет следующий вид:

Решение уравнения

hello_html_mf9f4c84.gif

аhello_html_m360d6129.gif

а=0

аhello_html_m360d6129.gif

Уравнение не имеет корней

Уравнение имеет один корень: х= 0

Уравнение имеет два корня:

х= hello_html_4f3ff4ed.gif; х= hello_html_4c5e8a34.gif.

-Откуда же взялся такой интересный знак? Об этом нам расскажет учащийся нашего класса, презентация которого, по-моему, наиболее полно отразила суть вопроса.


Выступление учащегося:


Текст выступления

Слайды презентации

Знак квадратного корня знаком всем. Его используют школьники и студенты, преподаватели и репетиторы по математике, доктора наук и академики. Однако не все знают, что современная форма \sqrt{x} и \sqrt[n]{x} появилась не сразу. Эволюция знака радикала длилась почти пять веков, начиная с в далекого XIII в., когда итальянские и некоторые европейские математики впервые называли квадратный корень латинским словом Radix (корень) или сокращенно R.


hello_html_m6df7a085.gif

В XV в. Н.Шюке писал R^212 вместо \sqrt{12}. Современный знак корня произошел от обозначения, примяемого немецкими математиками XV-XVI вв., называвшие алгебру — наукой «Косс», а математиков -алгебраистов «коссистами». (математики XII-XV вв. писали все свои труды исключительно на латинском языке. Они называли неизвестное — res (вещь). Итальянские математики перевели слово res как cosa. Последний термин заимствовали немцы, от которых и появилось коссисты и косс.)


hello_html_4b8ea02f.gif

В XV в. некоторые немецкие коссисты для обозначения квадратного корня пользовались точкой перед выражением или числом. В скорописи эти точки заменялись черточками, а позже они перешли в символ.
Один такой знак означал обычный квадратный корень. Если нужно было обозначить корень четвертой степени, то применялся сдвоенный знак, для обозначения кубического корня использовали утроенный знак


hello_html_mc52ba5.gif

Остается только гадать, как именно обозначался корень восьмой степени. Если брать аналогию с четвертой степенью, то этот знак должен был отождествлять трехкратное извлечение квадратного корня, то есть для этого нужно было поставить три квадратика. Однако, это обозначение занято кубическим корнем. Скорее всего, в последствии от таких обозначений как раз и образовался знак V, близкий по записи к знакомому школьникам современному знаку, но без верхней черты.

hello_html_m19aa6948.gif

Впервые этот знак был замечен в немецкой алгебре «Красивый и быстрый счет при помощи искусных правил алгебры». Автором этого труда был преподаватель математики из Вены, уроженец Чехии Криштоф Рудольф. Книга пользовалась большим успехом и постоянно переиздавалась на протяжении всего XVI в. и после аж до 1615г. Знаком корня, предложенного Криштофом пользовались А.Жирар, С.Стевин (он писал показатель корня справа от знака радикала в кружке:

V (2) или V (3).


hello_html_47a0fda.gif

В 1626г. нидерландский математик А.Жирар видоизменил знак корня Рудольфа и ввел совсем близкое к современному обозначение. Такая форма записи начала вытеснять прежний знак R. Однако некоторое время знак корня писали разрывая верхнюю черту, а именно так: V \overline{a+b}.


hello_html_m6e50ddc1.gif

И только в 1637 году Рене Декарт соединил горизонтальную черту с галочкой, применив новое обозначение в своей книге «Геометрия». Но и здесь не было точной копии современной формы. Запись Декарта несколько отличалась от той, к который мы с вами привыкли одной деталью. У него было записано: \sqrt{C+\frac{1}{2}q+\sqrt{\frac{1}{4}qq+\frac{1}{27}p^3}}, где буква С, поставленная сразу после радикала, указывала на запись кубического корня. В современном виде это выражение выглядело бы так: \sqrt[3]{+\frac{1}{2}q+\sqrt{\frac{1}{4}q^2+\frac{1}{27}p^3}}.


hello_html_m7cc89241.gif

Самое близкое к современному написанию радикала применял Ньютон в своей «Универсальной арифметике» (1685г.) Впервые запись корня, полностью совпадающая с сегодняшней, встречается в книге французского математика Ролля «Руководство алгебры», вышедшей в 1690г. Только через некоторое время после ее написания математики планеты приняли, наконец, единую и окончательную форму записи квадратного корня.


hello_html_m424616a0.gif



-Спасибо, было очень интересно и познавательно! Но давайте все же разберемся, всегда ли имеет смысл выражение hello_html_4f3ff4ed.gif?

Т.к. уравнение hello_html_mf9f4c84.gif имеет неотрицательный корень при аhello_html_m6d1256d7.gif0, то выражение hello_html_4f3ff4ed.gif имеет смысл при любом аhello_html_m6d1256d7.gif0. Если аhello_html_m360d6129.gif, то выражение hello_html_4f3ff4ed.gif не имеет смысла.

Из определения арифметического корня следует, что если выражение hello_html_4f3ff4ed.gif имеет смысл, то hello_html_5adf3c9d.gifи hello_html_4f89b895.gif=а.

Например: hello_html_m1f134348.gif=hello_html_4cb5e040.gif.


  1. Работа с упражнениями по учебнику:


457 – устно, фронтально (при необходимости помощь класса или учителя).

Имеет ли смысл выражение:

а) hello_html_m6f483024.gif; б)hello_html_1d348ba0.gif; в)hello_html_1f576be0.gif; г) hello_html_m72dac07b.gif; д) hello_html_m62a1a3f.gif, где nhello_html_m2e28bbd1.gifN;

е) hello_html_m5d57aecc.gif, где nhello_html_m2e28bbd1.gifN.



451 – письменно с комментарием. Учитель делает упор на правильное чтение выражений, содержащих знак радикала.

Пользуясь таблицей квадратов двузначных чисел, найдите:

а) hello_html_m692b937d.gif;

б) hello_html_m5d4b0fe8.gif;

в)hello_html_m17733f8a.gif;

г)hello_html_m113f9a5e.gif;

д) hello_html_5912abf4.gif;

е)hello_html_m3b0dea0d.gif.


455 – работа у доски учащихся, проявивших наибольшую активность на уроке, оценка по итогам («3» и «2» на этом уроке не ставятся).

Найдите значение выражения:

а)hello_html_2f05ccb4.gif;

б) hello_html_687c04d4.gif;

в) hello_html_26d4df1.gif;

г) hello_html_m1eb7d15a.gif;

д)hello_html_m6d01e25a.gif;

е)hello_html_m1c97dd73.gif.


  1. Домашнее задание с комментарием:

- п.21 учебника, прочитать, выучить определение.

- №№447, 449, 456, 458 (задания аналогичные сделанным в классе), №468 (упражнение на повторение).

- Дополнительное задание (для учащихся, проявляющих повышенный интерес к математике):

Доказать, что число hello_html_5909bbae.gif - иррациональное.


Краткое описание документа:

Данная публикация - это конспект открытого урока по алгебре для 8 класса лицея для учеников, обучающихся по учебнику для углубленного изучения алгебры Макарычева Ю.Н., Миндюка Н.Г., Нешкова и Феоктистова И.Е. (издательство Мнемозина).

Тип урока: урок получения новых знаний.

Дидактические цели:

  • 1.Ввести понятие арифметического квадратного корня. Тренироваться в извлечении арифметического корня при использовании таблицы квадратов двузначных чисел.

2.Познакомиться с историей возникновения знака радикала.

Задачи урока:

1.Образовательные:

- расширение понятие учащихся об операциях с числами;

- приобретение навыков использования таблицы квадратов двузначных чисел;

- научиться использовать определение арифметического квадратного корня при преобразованияхвыражений и решении уравнений.

  • 2.Воспитательные:

- способствовать формированию познавательного интереса у учащихся.

- посредством информации об исторических фактах расширять научный и культурный кругозор учащихся.

3.Развивающие:

- способствовать развитию у учащихся логического мышления;

- развить навыки самостоятельной работы;

- стимулировать развитие монологической речи учащихся.

Автор
Дата добавления 07.07.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров1030
Номер материала 315570
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх