ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ
Государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования
СТРОИТЕЛЬНЫЙ КОЛЛЕДЖ №26
Методическая разработка
«Правильные многогранники» (разработка факультативного курса по теме «Многогранники»)
Выполнила:
преподаватель математики
Якунина О.Л.
2012 - 2013
Цели:
1. Расширить знания обучающихся по теме «Многогранники», «Правильные многогранники»;
2. Научить применять знания по теме при решении профильных задач.
3. Развивать творческие способности обучающихся.
4. Воспитывать личность, способную к познанию, активному действию.
Содержание:
1. Обзор истории развития теории многогранников.
2. Многогранники. Основные определения. Выпуклые многогранники.
3. Правильные многогранники. Построение правильных многогранников.
1. Обзор истории развития теории многогранников.
Теория многогранников – это один из древнейших разделов математики.
Многогранники были известны в Древнем Египте и Вавилоне. Свидетельство тому Египетские пирамиды. Более известными школами, способствующих развитию геометрии оказались следующие:
- Пифагорейская школа (5 век до н.э.)
В школе Пифагора были известны правильные многоугольники и многогранники, но особых доказательств, связанных с ними не было.
- Школа Платона (4 век до н.э.)
Заслуга Платона в том, что в своём труде он изложил учения пифагорейцев о правильном многограннике. С тех пор правильные многогранники называют платоновыми телами.
- Александрийская школа (3 век до н.э.)
Школа знаменита учениками: Евклид, Архимед, Аполоний. 13 книга «Начала Евклида» посвящена многогранникам. В ней изложена теория правильных многогранников, установлено наличие только 5 правильных многогранников. В след за ним Архимед развил теорию правильных многогранников, он получил 13 полуправильных многогранников. Аполоний занимался объёмами правильных многогранников.
Дальнейшее развитие теории многогранников 15-16 века, эпоха Возрождения. Теория многогранников связана с интересами художников, скульпторов, архитекторов, среди них Леонардо да Винчи. Леонардо Эйлер занимался многогранниками и доказал знаменитую теорему о зависимости числа граней, вершин и рёбер выпуклого многогранника.
Очень существенный вклад в развитие теории многогранников внесли русские математики. В1950 году Александров А.Д. выпустил монографию «Выпуклые многогранники», в ней он дал полное, стройное, последовательное изложение теории выпуклых многогранников, в часности правильных многогранников.
Теория многогранников имеет большое практическое приложение в естествознании (теория кристаллов) и в линейном программировании прикладной математики.
Из теории многогранников выросли два крупных раздела математики: ТОПОЛОГИЯ и ТЕОРИЯ ГРАФОВ.
Топология занимается изучением свойств фигур, которые не изменяются при различных деформациях.
Теория графов берёт своё начало от работ Эйлера. Интерес к ней появился с исследованием электрических сетей и моделей кристаллов. Большое число головоломок было связано с теорией графов.
2. Многогранники. Основные определения. Выпуклые многогранники.
Многогранник – это тело, граница которого состоит из конечного числа многоугольников.
Точка Х пространственной фигуры Ф называется внутренней, если вблизи этой точки нет точек не принадлежащих фигуре Ф.
Точка Х в пространстве называется граничной точкой фигуры Ф, если сколь угодно близко от точки Х имеются точки принадлежащие фигуре Ф и не принадлежащие
Точка А – граничная, О –
центр куба – внутренняя точка.
Внутренностью фигуры Ф называется фигура, состоящая из всех внутренних точек.
Границей фигуры Ф называется фигура, состоящая из всех граничных точек.
Фигура называется замкнутой, если она содержит свою границу.
Фигура называется связной, если любые две её точки можно соединить содержащейся в ней ломаной или отрезком.
Открытая связная фигура называется пространственной областью.
Фигура называется ограниченной, если существует шар целиком содержащий эту фигуру.
Телом называется ограниченная пространственная область вместе со своей границей.
Задачи.
1) Укажите граничные точки у следующих фигур:
шар, сфера, плоскость, пространство.
2) Для вышеперечисленных фигур укажите:
- ограниченная или нет;
- замкнутая или нет;
- связная или нет;
- является телом или нет.
3) Указать какие фигуры
на рисунке являются многогранниками, а какие нет, и почему.
Фигура называется выпуклой, если она связная и, у которой вместе с двумя их точками ей принадлежит отрезок, соединяющий эти точки.
Многогранник называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой.
Задача.
Определить выпуклые и невыпуклые фигуры
3. Правильные многогранники. Построение правильных многогранников.
Свойства правильных многогранников.
1. Все рёбра равны.
2. Все плоские углы равны.
3. Все грани правильные равные многоугольники.
4. Все двугранные углы равны.
5. Все многогранные углы равны.
6. Все многогранные углы имеют одно и тоже число граней.
Определение: Многоугольник называется правильным, если все стороны равны и все углы равны.
Проведём аналогию между определением правильного многоугольника на плоскости и определением правильного многогранника в пространстве.
|
МНОГОУГОЛЬНИК |
МНОГОГРАННИК |
|
сторона |
грань |
|
угол |
двугранный угол |
|
вершина |
ребро |
Определение: Многогранник называется правильным, если все грани равные правильные многоугольники и все двугранные углы равны.
Теорема: существует не более 5 типов правильных многогранников.
Пусть имеется правильный
многогранник, тогда все грани правильные n-угольники,
а в каждой вершине сходится m
рёбер. При этом 
Г – грани, В –
вершины, Р – рёбра, тогда 
По теореме Эйлера Г+В-Р=2, значит
При m=3, n<6
Рассмотрим случаи,
когда 
|
m(ребра) |
3 |
4 |
5 |
|
n - угольник |
|||
|
3 |
Г=4,В=4,Р=6 Тетраэдр(правильная пирамида) |
Г=8,В=6,Р=12 октаэдр |
Г=20,В=12,Р=30 икосаэдр |
|
4 |
Г=6,В=8,Р=12 гексаэдр (куб)
|
Не существует |
Не существует |
|
5 |
Г=12,В=20,Р=30 додекаэдр |
Не существует |
Не существует |
Построение правильных многогранников.
1. В некоторой плоскости построим квадрат ABCD и восстановим перпендикуляры в каждой точке квадрата к плоскости, чтобы они были равны стороне квадрата.
Построили правильный многогранник – куб.
Из него можно получить все оставшиеся правильные многогранники.
2. Выберем вершину куба D1 и соединим с тремя другими вершинами: B1, A, C, получим тетраэдр.
3. Соединив середины граней куба получим октаэдр.
5. Если через каждое ребро куба проведём плоскость, не имеющую с поверхностью куба других общих точек кроме точек самого ребра, то получим 12 плоскостей, которые образуют 12-тигранник. При определённом выборе наклона этих плоскостей к граням куба получим додекаэдр.
6. Центры граней додекаэдра служат вершинами икосаэдра.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
"Методическая разработка является частью факультативного курса по теме «Многогранники», но может быть использована и на уроках геометрии в 11 классе.
"Данная работа поможет педагогам расширить знания обучающихся по темам «Многогранники», «Правильные многогранники».
"Учащиеся узнают историю возникновения теории многогранников, кто стоял у истоков учения, научатся определять свойства многогранников на конкретных примерах. В разработке есть задачи, которые учитель может предложить учащимся для самостоятельного решения. Также учащиеся познакомятся с пятью правильными многогранниками и проведут аналогию между фигурами на плоскости и в пространстве. Научатся строить тетраэдр и октаэдр с помощью куба.
"Цели:
Содержание:
Обзор истории развития теории многогранников.
Теория многогранников – это один из древнейших разделов математики.
Многогранники были известны в Древнем Египте и Вавилоне. Свидетельство тому Египетские пирамиды. Более известными школами, способствующих развитию геометрии оказались следующие:
В школе Пифагора были известны правильные многоугольники и многогранники, но особых доказательств, связанных с ними не было.
Заслуга Платона в том, что в своём труде он изложил учения пифагорейцев о правильном многограннике. С тех пор правильные многогранники называют платоновыми телами.
Школа знаменита учениками: Евклид, Архимед, Аполлоний. 13 книга «Начала Евклида» посвящена многогранникам. В ней изложена теория правильных многогранников, установлено наличие только 5 правильных многогранников. В след за ним Архимед развил теорию правильных многогранников, он получил 13 полуправильных многогранников. Аполлоний занимался объёмами правильных многогранников.
Дальнейшее развитие теории многогранников 15-16 века, эпоха Возрождения. Теория многогранников связана с интересами художников, скульпторов, архитекторов, среди них Леонардо да Винчи. Леонардо Эйлер занимался многогранниками и доказал знаменитую теорему о зависимости числа граней, вершин и рёбер выпуклого многогранника.
Очень существенный вклад в развитие теории многогранников внесли русские математики. В1950 году Александров А.Д. выпустил монографию «Выпуклые многогранники», в ней он дал полное, стройное, последовательное изложение теории выпуклых многогранников, в частности правильных многогранников.
Теория многогранников имеет большое практическое приложение в естествознании (теория кристаллов) и в линейном программировании прикладной математики.
6 672 689 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Якунина Ольга Львовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
300 ч. — 1200 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Мини-курс
6 ч.
Мини-курс
6 ч.
Мини-курс
6 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.