Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Геометрия
масс
2 слайд
«…Я счёл нужным написать тебе и…изложить особый метод, при помощи которого ты получишь возможность находить некоторые математические теоремы. Я уверен, что этот метод будет ничуть не менее полезен и для доказательства самих теорем».
Архимед
(III в. до н.э )
3 слайд
Всякая система, состоящая из конечного числа материальных точек, имеет центр масс и притом единственный.
.Центр масс двух материальных точек расположен на отрезке, соединяющем эти точки, его положение определяется архимедовым правилом рычага (или, как его еще называют, «золотым правилом механики»):
произведение массы материальной точки на расстояние от нее до центра масс одинаково для обеих, т.е. m1d1= m2d2, где m1, m2 – массы материальных точек, а d1,d2 – соответствующие плечи, т.е. расстояния от материальных точек до центра масс.
Если в системе, состоящей из конечного числа материальных точек, отменить несколько материальных точек и массы всех отмеченных точек перенести в их центр масс, то от этого положение центра масс всей системы не изменится.
4 слайд
Цель:
Изучение и практическое применение
барицентрического метода при решении
геометрических задач.
5 слайд
Задачи:
Познакомиться с литературой по истории математики.
Изучить литературу по исследуемой проблеме математического характера.
Осмыслить свойства центров масс материальных точек.
Показать практическое применение и сравнить и сравнить с традиционным методом решения геометрических задач.
По итогам работы сделать презентацию.
6 слайд
Теорема Архимеда:
три медианы треугольника имеют общую
точку, и каждая из медиан делится этой
точкой в отношении 2:1, считая от вершины.
7 слайд
Доказательство.
1)Пусть АВС- произвольный треугольник, АF, ВT и СD- медианы треугольника. Докажем, что медианы пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.
2)Обозначим буквой О точку пересечения медиан АF и ВT треугольника.
3)Так как отрезок TF – средняя линия треугольника АВС, то TF //АВ, а значит, ﮮ1=ﮮ2 и ﮮ3=ﮮ4. отсюда следует, что треугольник АОВ подобен треугольнику FОТ по двум углам.
4)Из подобия треугольников АОВ и FОТ следует, что АО = BO = АВ
ОF ТO FT
Так как отрезок TF – средняя линия, то АВ = 2:1.
FT
Таким образом, АО = ВО =2:1.
FT ТО
Следовательно. Точка О пересечения медиан АF и BT делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.
5)Аналогично доказывается, что точка О1 пересечения медиан ВТ и СD делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины, а значит, она совпадает с точкой О. Таким образом, все три медианы треугольника АВС пересекаются в точке О и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.
Теорема доказана.
8 слайд
Пусть АВС - данный треугольник; АА1,ВВ1,СС1- его медианы. Загрузим вершины А, В, С равными массами,- скажем, по 1 грамму. Получающаяся система трех материальных точек 1А, 1В, 1С имеет однозначно определенный центр масс Z (свойство 1).
В силу свойства 3 положение центра масс не изменится, если массы материальных точек 1В и 1С мы перенесем в их центр масс, т.е. (согласно свойству 2) в точку А1. Но тогда Z окажется центром масс лишь двух материальных точек 2А1 и 1А. Значит, Z є AA1.аналогично убедимся, что Z є ВВ1 и Z є СС1. Таким образом, все три медианы имеют общую точку Z. Кроме того, по правилу рычага (свойство 2) имеем 2ZA1=1ZA или ZA:ZA1=2:1
9 слайд
Методы исследования:
Поисковый метод с использованием дополнительной литературы по книге М.В. Балк, В.Г. Болтянский «Геометрия масс» М «Наука», Библиотечка «Квант», выпуск 61, 1987 год , с. 4 −23.
Метод проб при доказательстве различными способами.
Практический метод обобщения и систематизации, направленный на получении конечного результата.
Умение анализировать , систематизировать и обобщать.
10 слайд
Задача №1 :
Дано: ∆АВС,
Кє АВ,
N є AC, CK : KA = 2:3,
CN : NB = 4:3,
AN ∩ BK=O
Найти: ОК
ВО
Решение:
4 ∙ ВО= 5∙ ОК
ОК = 4
ВО 5
о
11 слайд
Задача №2:
Дано:∆ АВС, М є ВС,
N є AB,
AM ∩ CN=O,AN:NB=2:3,
CM:MB=2:1,S∆ABC=5
Найти: SNBMO
Решение: S∆АМВ =5 ,
3
S∆AON = AO ∙AN = 1∙2 = 1
S∆MAB AM ∙AB 2∙ 5 5
3 ∙ AO=3 ∙ OM, AO=OM,
S∆AON = 1 ,
3
SNBMO =5 − 1 = 4
3 3 3
12 слайд
Выводы:
При решении геометрических задач барицентрическим методом мы загружаем отдельные точки массами с т.е. сопоставляем, приписываем этим точкам определенные положительные числа. Затем привлекаем свойства центров масс всех полученных м.т. или части этих м.т. Искусство применения барицентрического метода состоит в том, чтобы по условию задачи осуществить такой выбор точек и помещаемых в эти точки масс, при котором задача легко и красиво решается. Три основных свойства центров масс особенно важны при решении задач:
Наличие и единственность центра масс у любой системы материальных точек.
Принадлежность центра масс двух материальных точек отрезку, соединяющему эти точки.
Возможность перегруппировки материальных точек системы без изменения положения центра масс всей системы.
13 слайд
Заключение:
Утверждения и теоремы, доказанные в курсе планиметрии, можно доказывать используя барицентрический метод.
В работе размещены задачи, которые были предложены при подготовке к Централизованному тестированию и на Централизованном тестировании.
Этот материал может быть изложен на спецкурсе по математике и при подготовке к тестированию.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
"Описание материала:
При решении некоторых "геометрических задач целесообразно применить физическое свойство масс.
так называемое барицентрические решения геометрических задач приводят к введению очень интересной системы координат, не похожей ни на декартову, ни на полярную систему, но богатую геометрическими приложениями,используя которую можно решить нестандартным способом ,казалось бы не решаемые задачи.
Важно загрузить отдельные точки массами с приписываем этим точкам определенных положительных чисел, верно выбранные определенные числа,позволяют задача достаточно просто и красиво решить задачу.
6 664 887 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Цвирко Светлана Викторовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Мини-курс
6 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.