Тема урока: Степень с рациональным показателем

Алгебра, 9 класс

 

Эпиграф: “Пусть кто-нибудь попробует вычеркнуть из математики степени, и он увидит, что без них далеко не уедешь”. (М.В.Ломоносов)

Цель урока:

обобщить и систематизировать знания учащихся по теме “Степень с рациональным показателем”.

Задачи урока:

• проконтролировать уровень усвоения материала, умения применять знания в новой ситуации;
• ликвидировать пробелы в знаниях и умениях учащихся;
• формировать навыки самоконтроля, создавать условия для саморазвития и самореализации учащихся;
• проводить пропедевтическую работу по развитию компетенции;
• создать атмосферу заинтересованности каждого ученика в работе, развивать познавательную активность учащихся; умение систематизировать знания;
• воспитывать интерес к предмету, к истории математики;
• развивать коммуникативные качества учащихся;
• развивать речь, умение чётко выражать свою мысль.

Оборудование: интерактивная доска, оценочные листы, карточки с заданиями, тесты для каждого учащегося.

Методы обучения: наглядный, частично-поисковый, самостоятельная и творческая деятельность учащихся.

Форма обучения: групповая.   

Структура урока:

1.      Организационный момент.

2.      Проверка домашнего задания.

3.      Актуализация знаний учащихся (кроссворд).

4.      Практическое задание.

5.      Исторические сведения о развитии понятия степени.

6.      Проверь себя (тест).

7.      Творческая работа (задание повышенной трудности).

8.      Задание на дом.

9.      Подведение итогов урока.

Предварительная подготовка: класс разбит на группы. В каждой группе руководитель-менеджер.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент.

Учитель. Мы закончили изучение темы “Степень с рациональным показателем и её свойства”. Ваша задача на этом уроке, показать, как вы усвоили изученный материал и умеете применять полученные знания при решении конкретных задач. На столе у каждого из вас есть оценочный лист. В него вы будете вносить свою оценку за каждый этап урока. В конце урока выставите средний балл за урок.

II. Проверка домашнего задания (ответы на доске).

III. Актуализация знаний учащихся.

Учитель. Известный французский писатель Анатоль Франс сказал в свое время: “Учиться надо весело.…Чтобы поглощать знания надо поглощать их с аппетитом”.

Повторить необходимые теоретические сведения я предлагаю вам в ходе разгадывания кроссворда.

 

По горизонтали:

1. Действие, с помощью которого вычисляется значение степени (возведение).

2. Произведение, состоящее из одинаковых множителей (степень).

3. Действие показателей степеней при возведении степени в степень (произведение).

4. Действие степеней, при которых показатели степеней вычитаются (деление).

По вертикали:

5. Число всех одинаковых множителей (показатель).

6. Степень с нулевым показателем (единица).

7. Повторяющийся множитель (основание).

8. Значение 10⁵ : ( 2³ • 5⁵ ) (четыре).

9. Показатель степени, который обычно не пишут (единица).

IV. Математическая разминка.  Практическое задание.

1.Выполнить действия

 =

2. Представить в виде степени с основанием  x:

=

3. При каких значениях переменной определено выражение:

а) ;     б).

4. Решить уравнения:

а) ;            б) ;            в).

5. Определить знак числа:

6. Укажите точки пересечения графика функции

  с осью OX.

7. Внести множитель под знак корня:

а)  , где a≠0, b≥0;

б) -ab , где a≥0, b≤0;

в) -ab , где a≥0, b≥0.

V. Исторические сведения о развитии понятия степени (сообщения учеников).

Понятие степени с натуральным показателем сформировалось ещё у древних народов. Квадрат и куб числа использовались для вычисления площадей и объемов. Степени некоторых чисел использовались при решении отдельных задач учеными Древнего Египта и Вавилона.

В III веке вышла книга греческого ученого Диофанта “Арифметика”, в которой было положено начало введению буквенной символики. Диофант вводит символы для первых шести степеней неизвестного и обратных им величин. В этой книге квадрат обозначается знаком с индексом r; куб – знаком k c индексом r и т.д.

Из практики решения более сложных алгебраических задач и оперирования со степенями возникла необходимость обобщения понятия степени и расширения его посредством введения в качестве показателя нуля, отрицательных и дробных чисел. К идее обобщения понятия степени на степень с ненатуральным показателем математики пришли постепенно.

Дробные показатели степени и наиболее простые правила действии над степенями с дробными показателями встречаются у французского математика Николая Орема (1323–1382 гг.) в его труде “Алгоризм пропорций”.

Равенство, а⁰ =1 (для а не равного 0) применял в своих трудах в начале ХV века самаркандский ученый Гиясаддин Каши Джемшид. Независимо от него нулевой показатель был введен Николаем Шюке в ХV веке. Известно, что Николай Шюке (1445–1500 гг.), рассматривал степени с отрицательными и нулевым показателями.

Позже дробные и отрицательные, показатели встречаются в “Полной арифметике” (1544 г.) немецкого математика М.Штифеля и у Симона Стевина. Симон Стевин предположил подразумевать под а^1/n корень .

Немецкий математик М.Штифель (1487–1567 гг.) дал определение а⁰=1 при и ввел название показатель (это буквенный перевод с немецкого Exponent). Немецкое potenzieren означает возведение в степень.

В конце ХVI века Франсуа Виет ввел буквы для обозначения не только переменных, но и их коэффициентов. Он применял сокращения: N, Q, C – для первой, второй и третьей степеней. Но современные обозначения (типа а⁴, а⁵) в XVII в ввел Рене Декарт.

Современные определения и обозначения степени с нулевым, отрицательным и дробным показателем берут начало от работ английских математиков Джона Валлиса (1616–1703) и Исаака Ньютона (1643–1727).

О целесообразности введения нулевого, отрицательных и дробных показателей и современных символов впервые подробно писал в 1665 г. английский математик Джон Валлис. Его дело завершил Исаак Ньютон, который стал систематически применять новые символы, после чего они вошли в общий обиход.

Введение степени с рациональным показателем является одним из многих примеров обобщение понятий математического действия. Степень с нулевым, отрицательным и дробными показателями определяется таким образом, чтобы к ней были применены те же правила действий, которые имеют место для степени с натуральным показателем, т.е. чтобы сохранились основные свойства первоначального определённого понятия степени.

Новое определение степени с рациональным показателем не противоречит старому определению степени с натуральным показателем, то есть смысл нового определения степени с рациональным показателем сохраняется и для частного случая степени с натуральным показателем. Этот принцип, соблюдаемый при обобщении математических понятий, называется принципом перманентности (сохранения постоянства).

В несовершенной форме его высказал 1830 г. английский математик Дж.Пикок, полностью и четко его установил немецкий математик Г.Ганкель в 1867 г.

VI. Проверь себя. Тест.

1) Найти значение выражения  :

A) 28;        B) 26;       C) 24;      D) 14;      E) 196.

2) Найти значение выражения , при a =  :

A)  -4;        B) -1/4;       C) 1/4;      D) 4;      E) 1.

3) Записать(  )^-6 в виде степени с основанием x:

A) x ;        B) x^-42;       C) x^-11;      D) x^-12;      E) 1.

4) Записать выражение ( )⁵ в виде степени с основанием x:

A)  x^-3;        B) x³;       C) x¹³;      D) x^-40;      E) x⁴⁰.

5) Найти значение выражения |a|-|b|-|c|-|d| при a=3, b=-2, c=-1, d=-5:

A)  5;        B) -5;       C) -4;      D) 4;      E) -3.

6) Найти значение выражения  при x=

A)  1/5;        B) 5;       C) 1;      D) 2;      E) 1/2.

7) Упростить  :

A)  1;        B) 3;       C) 5;      D) 4;      E) 2.

8) Вычислить:

A)  12;        B) 27;       C) 32;      D) 23;      E) 16.

9) Вычислить: :

A)  4;        B) 8;       C) 2;      D) 16;      E) 1/2.

10) Вычислить:   + :

A) 9;        B) 3;       C) 18;      D) 30;      E) 1/3.

 

VII. Творческая работа.

 при x = -3,1…12, y = 1,8…88

VIII. Задание на дом.

IX. Подведение итогов урока.

1.      Менеджер группы комментирует оценку каждого ученика своей группы.

2.      Рефлексия.

Литература:

1.      А. Абылкасымова,  Алгебра 9, Изд. «Просвещение-Казахстан»;

2.      Н.Я. Виленкин, Алгебра 9, Изд. «Просвещение»;

3.      Ю.Н. Макарычев, Алгебра 9, Изд. «Просвещение»;

4.      М.В. Симакин, Математика. Тестовые задания, Изд. «Келешек-2030»