Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Опубликуйте свой материал в официальном Печатном сборнике методических разработок проекта «Инфоурок»

(с присвоением ISBN)

Выберите любой материал на Вашем учительском сайте или загрузите новый

Оформите заявку на публикацию в сборник(займет не более 3 минут)

+

Получите свой экземпляр сборника и свидетельство о публикации в нем

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Инструкционные карты по математике «Применение производной», «Наибольшее и наименьшее значения функции», «Направление выпуклости графика функции», «Точки перегиба»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Инструкционные карты по математике «Применение производной», «Наибольшее и наименьшее значения функции», «Направление выпуклости графика функции», «Точки перегиба»

библиотека
материалов

Инструкционная карта


Тема: Критические точки функции, максимумы и минимумы.

Цель: Научиться исследовать функцию на максимум и минимум.


Определение .Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции.

Признак максимума функции. .Если функция f непрерывна в точке х0 ,

а f '(х) > 0 на интервале (а, х0) и f '(х) < 0 на интервале (х0, в) , то точка х0 является точкой максимума функции f .

Признак минимума функции. .Если функция f непрерывна в точке х0 ,

а f '(х) < 0 на интервале (а, х0) и f '(х) > 0 на интервале (х0, в) , то точка х0 является точкой минимума функции f .

Алгоритм исследования функции на максимум и минимум

1.Найти область определения функции.

2.Найти производную f '(х)

3.Найти точки, в которых производная равна нулю т.е. f '(х)=0

4.Найти точки, в которых производная не существует.

5.Исследовать знак производной в промежутках, на которые делят точки, найденные в 3 пункте. Если в точке х0 производная меняет знак с плюса на минус, то х0 есть точка максимума. Если в точке х0 производная меняет знак с минуса на плюс , то х0 есть точка минимума.


Пример: Найдите критические точки функции. Определите, какие из них являются точками максимума, а какие- точками минимума

f (х) =5+12х –х 3

Решение: Находим по алгоритму:

1. f '(х) = 12 – 3 х 2

2. 12 – 3 х 2 = 0

3 х 2 = 12

х 2 = 4

х1 = -2, х2 = 2

3.В точке -2 производная меняет знак с минуса на плюс, в точке 2 производная меняет знак с плюса на минус Значит точка -2 является точкой минимума, точка 2 является точкой максимума.

Упражнения

Найдите критические точки функции. Определите, какие из них являются точками максимума, а какие- точками минимума

1. у = 9 + 8х 2– х 4

2. у = 2х 3+3 х 2– 4

3. у = 1/2х 4- х 2

4. у= х 3- 6х 2 + 9х +1

5. у= 4х 3+ х 2– 4х - 2




Инструкционная карта


Тема: Наибольшее и наименьшее значения функции.

Цель: Научиться находить наибольшее и наименьшее значения функции.


Теорема Вейершрасса. Непрерывная на отрезке [а;в] функция f принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения.


Алгоритм исследования функции на наибольшее и наименьшее значения функции у = f (х) на отрезке [а;в]

1.Найти производную f '(х)

2.Найти точки, в которых производная равна нулю т.е. f '(х)=0 или f '(х не существует, и отобрать из них те, что лежат внутри отрезка [а;в]

3.Вычислить значения функции у = f) в точках полученных в п.2 и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее. Наибольшее и наименьшее значения функции обозначаются так: mах у(х) и min у(х)

[а;в] [а;в]

Пример: Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

у (х) =х 3-1,5 х 2– 6х +1 на промежутке [-2;0]

Решение: Находим по алгоритму:

1. f '(х) = 3 х 2-3 х – 6

2. 3 х 2-3 х – 6 = 0

х1 = -1, х2 = 2

3. Выберем наибольшее и наименьшее значения из чисел у(-2) = -1,

у(-1) = 4,5, у(0) = 1.Критическая точка х = 2 не принадлежит промежутку

[-2;0]. Наименьшее значение достигается в точке х = -2 и равно -1, а наибольшее в точке х = -1 и равно 4,5. Коротко это записывается так:

mах у(х) = у (-1) = 4.5

[-2;0]

min у(х) = у(-2) = -1

[-2;0]

Упражнения

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

1. у = х 4- 8 х 2– 9 на промежутке [-1;1]

2. у = 3х 5- 5х 3 на промежутке [ 1;3]

3. у = 5+12х –х 3 на промежутке [-2;3]

4. у= х 3-+ 3х 2 - 9х на промежутке [ 3;4]

5. у= х 4- 2х 2 + 4 на промежутке [ 2;3]







Инструкционная карта


Тема: Уравнение касательной к графику функции

Цель: Научиться составлять уравнение касательной к графику функции


Определение1.Касательная к графику дифференцируемой в точке х0 , функции f - это прямая, проходящая через точку ( х0 ;f (х0) ) и имеющая угловой коэффициентf '0)

Определение2. Уравнение касательной имеет вид:

у = f0) + f '0) (х- х0)


Алгоритм нахождения уравнения касательной.


1.Найти производную f '(х)

2.Найти производную в точке х0 т.е. f '0)

3.Вычислить значения функции f) в точке х0

4.Подставляем значения f0) и f '0) в уравнение касательной получаем искомое уравнение


Пример: Напишите уравнение касательной к графику функции

f (х) = х 3- 2х 2 + 1 в точке с абсциссой 2

Решение: Находим по алгоритму

1. f '(х) = 3х 2- 4х

2. f '(2) = 3 2 2- 4 2 = 4

3. f (2) = 2 3 – 2 2 2+ 1 = 1

4. у = 1 + 4 (х - 2) = 1+4х – 8 = 4х - 7 т.е. у = 4х – 7


Упражнения Напишите уравнение касательной к графику функции f в точке с абсциссой х0

1. f (х) = 2х - х 2 , х0 = 0, х0 = 2

2. f (х) = х 2 + 1 , х0 = 0, х0 = 1

3 f (х) = х 3- 1 , х0 = -1, х0 = 2

4. f (х) = 3/х , х0 = -1, х0 = 1

5. f (х) = 5/х , х0 = 1, х0 = 2












Инструкционная карта


Тема: Возрастание и убывание функции.

Цель: Научиться исследовать функцию на возрастание и убывание.


Определение1.

Достаточный признак возрастания функции. .Если f '(х) > 0 в каждой точке интервала I , то функция f возрастает на I.

Достаточный признак убывания функции. .Если f '(х) < 0 в каждой точке интервала I , то функция f убывает на I.


Алгоритм исследования функции на возрастание и убывание функции.

1.Найти область определения функции Д (f).

2.Найти производную f '(х)

3.Найти промежутки, в которых производная больше нуля т.е. f '(х) > 0 и

f '(х) < 0

3.Исследовать знак производной в полученных промежутках т.е.

если. f '(х) > 0 ,то функция возрастает и если f '(х) < 0, то функция убывает


Пример: Найдите промежутки возрастания и убывания функции

f (х) = –х 2+ 2х - 3

Решение: Находим по алгоритму:

1 Д (f) = R

2. f '(х) = - 2 х + 2

3. f '(х) > 0 если - 2х + 2 > 0, - 2х > -2 , х < 1

f '(х) < 0 если - 2 х + 2 < 0, - 2 х < -2 , х > 1

Функция возрастает на.(- ∞; 1] ; убывает на [ 1; .+∞) )


Упражнения

Найдите промежутки возрастания и убывания функций

1. f (х) = х 4– 3 х 2

2. f (х) = х 4 /4 - 2 х 2

3. f (х) = х 3 / 3 + 2 х 2– 5 х + 4

4. f (х) = 3 – 0,5 х

5. f (х) = х 2– 4х + 6

6. f (х) = 4– х 4









Инструкционная карта


Тема: Направление выпуклости графика функции.

Цель: Научиться исследовать на направление выпуклости


Определение 1 Кривая у= .f (х) называется выпуклой вниз в промежутке (а,в), если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка.

Определение 2 Кривая у= .f (х) называется выпуклой вниз в промежутке (а,в), если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

Определение 3. Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции.

.Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции

у= .f (х), характеризуется знаком ее второй производной ; если в некотором промежутке f '' (х) > 0, то кривая выпукла вниз в этом промежутке; если же f '' (х) < 0, то кривая выпукла вверх в этом промежутке.


Алгоритм нахождения промежутков выпуклости кривой

1. Найти первую производную f '(х)

2. Найти вторую производную f '' (х)

3. Найти промежутки, в которых производная f '' (х)> 0 и

f '' (х)< 0

4. Исследовать знак производной в полученных промежутках т.е.

если в некотором промежутке f '' (х) > 0, то кривая выпукла вниз в этом промежутке; если же f '' (х) < 0, то кривая выпукла вверх в этом промежутке.


Пример: Найдите промежутки выпуклости кривой у = х 3

Решение: Находим по алгоритму:

1. f '(х) = 3х 2

2. f '' (х) = 6х

3. f '' (х)> 0 в промежутке (0 ; ∞) и f '' (х)< 0 в промежутке (- ∞; 0)

4.В промежутке (- ∞; 0) кривая выпукла вверх, а в промежутке (0 ; ∞) кривая выпукла вниз.

Упражнения

Найдите промежутки выпуклости кривой

1. у = х 2

2. у = 2х 3

3. у = - х 2 - 1

4. у= х 2 + 3х - 1

5. у= х 3+ 6х 2+ 2х - 6





Инструкционная карта


Тема: Исследование функции на экстремум с помощью второй производной.

Цель: Научиться исследовать функцию на экстремум.

Определение .Если у' есть производная от функции у = f (х) ,то производная от у' по х (если она существует), называется второй производной (или производной второго порядка).

Обозначение у ' '


Алгоритм исследования функции на экстремум с помощью второй производной.

1.Найти производную f '(х)

2.Найти стационарные точки данной функции, т.е. точки, в которых f '(х)=0

3.Найти точки, вторую производную f '' (х)

4. Исследовать знак второй производной в каждой из стационарных точек.

Если при этом вторая производная окажется отрицательной, то функция в такой точке имеет максимум, а если положительная ,то-минимум.Если же вторая производная равна нулю, то экстремум функции надо искать с помощью первой производной.

5. Вычислить значение функции в точках экстремума.


Пример: Исследовать функцию на экстремум с помощью второй производной.

f (х) = х 2– 2х - 3

Решение: Находим по алгоритму:

1. f '(х) = 2х - 2

2. 2х – 2= 0

2х = 2

х = 1

3. f '' (х) = 2

4. f '' (х) = 2 > 0 .значит в точке х =1 функция имеет минимум и f min = f (1) = -4


Упражнения

Исследовать функцию на экстремум с помощью второй производной.

1. у = 9 + 8х 2– х 4

2. у = 2х 3+3 х 2– 4

3. у = 1/2х 4- х 2

4. у= х 3- 6х 2 + 9х +1

5. у= 4х 3+ х 2– 4х - 2






Инструкционная карта


Тема: Точки перегиба

Цель: Научиться находить точки перегиба графика функции

Определение .Точка графика функции у = f (х) , разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика, называется точкой перегиба.

Точками перегиба могут служить только критические точки 2 рода т.е. точки , принадлежащие области определения функции у = f (х) , в которых вторая производная f '' (х) обращается в нуль или терпит разрыв.

Если при переходе через критическую точку вторая производная f '' (х) меняет знак , то график функции имеет точку перегиба (х 0 ;f0))


Алгоритм нахождения точек перегиба графика функции у = f (х)

1. Найти вторую производную f '' (х)

2. Найти критические точки 2 рода т.е. точки , принадлежащие области определения функции у = f (х) , в которых вторая производная f '' (х) обращается в нуль или терпит разрыв.

3. Исследовать знак второй производной f '' (х) в промежутках ,на которые найденные критические точки делят область определения функции f (х).

Если при этом критическая точка х 0 разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений ,то х 0 является абсциссой точки перегиба графика функции.

4.Вычислить значения функции в точках перегиба.


Пример: Найти точки перегиба кривой

f (х) = 6х 2– х 3

Решение: Находим по алгоритму:

1. f ' (х) = 12х -3 х 2

f '' (х) = 12 -6 х

2. 12 – 6х = 0

12 = 6 х

х = 2

3.Так как f '' (х)> 0 в промежутке (- ∞; 2) и f '' (х)< 0 в промежутке

(2 ; +∞),то при х = 2 кривая имеет точку перегиба.

4. f (2) = 16 Итак (2 ; 16) – точка перегиба.


Упражнения

Найти точки перегиба следующих кривых

1. у = х 4- 10х 3+36х 2– 100

2. у = х 4- 6х 3+18х 2– 48х + 31

3. у = 1/3х 3- 3х 2+ 8х – 4

4. у= х 3- х

5. у= 4х 3+ х 2– 4х - 2


Инструкционная карта


Тема: Исследование функции на экстремум с помощью второй производной и построение графиков функций.

Цель: Научиться исследовать функцию и строить графики функций


Алгоритм построения графиков функций.

1.Найти область определения функции.

2.Выяснить, не является ли функция четной, нечетной или периодической.

3. Найти точки пересечения графика с осями координат.

4. Найти асимптоты графика функции..

5. Найти точки монотонности функции и ее экстремумы.

6. Найдите промежутки выпуклости графика функции и точки перегиба.

7. Постройте график, используя полученные результаты исследования.


Пример: Построить график функции у = х 3 - 6 х 2+ 9 х - 34

Решение: 1.Функция определена на всей числовой оси ,т.е. Д (у) = R.

2. Данная функция не является ни четной,ни нечетной; кроме того она не является периодической.

3. Найдем точку пересечения графика с осью Оу полагая х = 0.,получим

у = -3. Точки пересечения графика с осью Ох в данном случае найти затруднительно.

4. Очевидно, что график функции не имеет асимптот.

5.Найдем производную у' = 3 х 2– 12х + 9

Решая уравнение 3 х 2– 12х + 9 = 0, получим корни х1 =1, х2 =3

Т.к. у ' > 0 , то в промежутках (- ∞; 1) и (3 ;+ ∞) функция возрастает

и у ' < 0 ,то в промежутке (1; 3) функция убывает.

Точки экстремума у min = у (3) = - 3, у mах = у (1) = 1.

6.Найдем вторую производную у'' = 6 х - 12

6 х – 12 = 0

6х = 12

х = 2

Точка х = 2 делит область определения функции на два промежутка

(- ∞; 2) и (2 ;+ ∞) .В первом из них у'' < 0, а во втором у'' > 0 т.е. в промежутке (- ∞; 2) кривая выпукла вверх, а в промежутке (2 ;+ ∞) кривая выпукла вниз.Таким образом получаем точку перегиба (2,-1)

7.Используя полученные данные , строим искомый график

Упражнения

Исследуйте следующие функции и постройте их графики

1. у = х 2 + 5х + 4

2. у = -3 х 2+ 12 х

3. у = - х 3 + х

4. у= 2х 2 - 8х

5. у= 3х 3– х



















4.



Краткое описание документа:

"Описание материала:

Инструкционные карты по предмету "математика.

В инструкционных картах рассмотрены следующие темы «Применение производной», «Наибольшее и наименьшее значения функции», «Направление выпуклости графика функции», «Точки перегиба», .

«Разработка содержит теоретический материал, алгоритм решения заданий,образцы решения задач,упражнения для самостоятельного решения.

Применение инструкционных карт на уроке дает возможность учащимся самостоятельно изучить, а также решить задания.

Что развивает самостоятельность, в изучении нового материала.

Автор
Дата добавления 25.02.2014
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров896
Номер материала 32253022522
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх