Инструкционная карта
Тема: Критические точки функции, максимумы и минимумы.
Цель: Научиться исследовать функцию на максимум и минимум.
Определение .Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции.
Признак максимума функции. .Если функция f непрерывна в точке х0 ,
а f '(х) > 0 на интервале (а, х0) и f '(х) < 0 на интервале (х0, в) , то точка х0 является точкой максимума функции f .
Признак минимума функции. .Если функция f непрерывна в точке х0 ,
а f '(х) < 0 на интервале (а, х0) и f '(х) > 0 на интервале (х0, в) , то точка х0 является точкой минимума функции f .
Алгоритм исследования функции на максимум и минимум
1.Найти область определения функции.
2.Найти производную f '(х)
3.Найти точки, в которых производная равна нулю т.е. f '(х)=0
4.Найти точки, в которых производная не существует.
5.Исследовать знак производной в промежутках, на которые делят точки, найденные в 3 пункте. Если в точке х0 производная меняет знак с плюса на минус, то х0 есть точка максимума. Если в точке х0 производная меняет знак с минуса на плюс , то х0 есть точка минимума.
Пример: Найдите критические точки функции. Определите, какие из них являются точками максимума, а какие- точками минимума
f (х) =5+12х –х 3
Решение: Находим по алгоритму:
1. f '(х) = 12 – 3 х 2
2. 12 – 3 х 2 = 0
3 х 2 = 12
х 2 = 4
х1 = -2, х2 = 2
3.В точке -2 производная меняет знак с минуса на плюс, в точке 2 производная меняет знак с плюса на минус Значит точка -2 является точкой минимума, точка 2 является точкой максимума.
Упражнения
Найдите критические точки функции. Определите, какие из них являются точками максимума, а какие- точками минимума
1. у = 9 + 8х 2– х 4
2. у = 2х 3+3 х 2– 4
3. у = 1/2х 4- х 2
4. у= х 3- 6х 2 + 9х +1
5. у= 4х 3+ х 2– 4х - 2
Инструкционная карта
Тема: Наибольшее и наименьшее значения функции.
Цель: Научиться находить наибольшее и наименьшее значения функции.
Теорема Вейершрасса. Непрерывная на отрезке [а;в] функция f принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения.
Алгоритм исследования функции на наибольшее и наименьшее значения функции у = f (х) на отрезке [а;в]
1.Найти производную f '(х)
2.Найти точки, в которых производная равна нулю т.е. f '(х)=0 или f '(х не существует, и отобрать из них те, что лежат внутри отрезка [а;в]
3.Вычислить значения функции у = f (х) в точках полученных в п.2 и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее. Наибольшее и наименьшее значения функции обозначаются так: mах у(х) и min у(х)
[а;в] [а;в]
Пример: Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у (х) =х 3-1,5 х 2– 6х +1 на промежутке [-2;0]
Решение: Находим по алгоритму:
1. f '(х) = 3 х 2-3 х – 6
2. 3 х 2-3 х – 6 = 0
х1 = -1, х2 = 2
3. Выберем наибольшее и наименьшее значения из чисел у(-2) = -1,
у(-1) = 4,5, у(0) = 1.Критическая точка х = 2 не принадлежит промежутку
[-2;0]. Наименьшее значение достигается в точке х = -2 и равно -1, а наибольшее в точке х = -1 и равно 4,5. Коротко это записывается так:
mах у(х) = у (-1) = 4.5
[-2;0]
min у(х) = у(-2) = -1
[-2;0]
Упражнения
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
1. у = х 4- 8 х 2– 9 на промежутке [-1;1]
2. у = 3х 5- 5х 3 на промежутке [ 1;3]
3. у = 5+12х –х 3 на промежутке [-2;3]
4. у= х 3-+ 3х 2 - 9х на промежутке [ 3;4]
5. у= х 4- 2х 2 + 4 на промежутке [ 2;3]
Инструкционная карта
Тема: Уравнение касательной к графику функции
Цель: Научиться составлять уравнение касательной к графику функции
Определение1.Касательная к графику дифференцируемой в точке х0 , функции f - это прямая, проходящая через точку ( х0 ;f (х0) ) и имеющая угловой коэффициентf '(х0)
Определение2. Уравнение касательной имеет вид:
у = f (х0) + f '(х0) (х- х0)
Алгоритм нахождения уравнения касательной.
1.Найти производную f '(х)
2.Найти производную в точке х0 т.е. f '(х0)
3.Вычислить значения функции f (х) в точке х0
4.Подставляем значения f (х0) и f '(х0) в уравнение касательной получаем искомое уравнение
Пример: Напишите уравнение касательной к графику функции
f (х) = х 3- 2х 2 + 1 в точке с абсциссой 2
Решение: Находим по алгоритму
1. f '(х) = 3х 2- 4х
2. f '(2) = 3 2 2- 4 2 = 4
3. f (2) = 2 3 – 2 2 2+ 1 = 1
4. у = 1 + 4 (х - 2) = 1+4х – 8 = 4х - 7 т.е. у = 4х – 7
Упражнения Напишите уравнение касательной к графику функции f в точке с абсциссой х0
1. f (х) = 2х - х 2 , х0 = 0, х0 = 2
2. f (х) = х 2 + 1 , х0 = 0, х0 = 1
3 f (х) = х 3- 1 , х0 = -1, х0 = 2
4. f (х) = 3/х , х0 = -1, х0 = 1
5. f (х) = 5/х , х0 = 1, х0 = 2
Инструкционная карта
Тема: Возрастание и убывание функции.
Цель: Научиться исследовать функцию на возрастание и убывание.
Определение1.
Достаточный признак возрастания функции. .Если f '(х) > 0 в каждой точке интервала I , то функция f возрастает на I.
Достаточный признак убывания функции. .Если f '(х) < 0 в каждой точке интервала I , то функция f убывает на I.
Алгоритм исследования функции на возрастание и убывание функции.
1.Найти область определения функции Д (f).
2.Найти производную f '(х)
3.Найти промежутки, в которых производная больше нуля т.е. f '(х) > 0 и
f '(х) < 0
3.Исследовать знак производной в полученных промежутках т.е.
если. f '(х) > 0 ,то функция возрастает и если f '(х) < 0, то функция убывает
Пример: Найдите промежутки возрастания и убывания функции
f (х) = –х 2+ 2х - 3
Решение: Находим по алгоритму:
1 Д (f) = R
2. f '(х) = - 2 х + 2
3. f '(х) > 0 если - 2х + 2 > 0, - 2х > -2 , х < 1
f '(х) < 0 если - 2 х + 2 < 0, - 2 х < -2 , х > 1
Функция возрастает на.(- ∞; 1] ; убывает на [ 1; .+∞) )
Упражнения
Найдите промежутки возрастания и убывания функций
1. f (х) = х 4– 3 х 2
2. f (х) = х 4 /4 - 2 х 2
3. f (х) = х 3 / 3 + 2 х 2– 5 х + 4
4. f (х) = 3 – 0,5 х
5. f (х) = х 2– 4х + 6
6. f (х) = 4– х 4
Инструкционная карта
Тема: Направление выпуклости графика функции.
Цель: Научиться исследовать на направление выпуклости
Определение 1 Кривая у= .f (х) называется выпуклой вниз в промежутке (а,в), если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка.
Определение 2 Кривая у= .f (х) называется выпуклой вниз в промежутке (а,в), если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.
Определение 3. Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции.
.Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции
у= .f (х), характеризуется знаком ее второй производной ; если в некотором промежутке f '' (х) > 0, то кривая выпукла вниз в этом промежутке; если же f '' (х) < 0, то кривая выпукла вверх в этом промежутке.
Алгоритм нахождения промежутков выпуклости кривой
1. Найти первую производную f '(х)
2. Найти вторую производную f '' (х)
3. Найти промежутки, в которых производная f '' (х)> 0 и
f '' (х)< 0
4. Исследовать знак производной в полученных промежутках т.е.
если в некотором промежутке f '' (х) > 0, то кривая выпукла вниз в этом промежутке; если же f '' (х) < 0, то кривая выпукла вверх в этом промежутке.
Пример: Найдите промежутки выпуклости кривой у = х 3
Решение: Находим по алгоритму:
1. f '(х) = 3х 2
2. f '' (х) = 6х
3. f '' (х)> 0 в промежутке (0 ; ∞) и f '' (х)< 0 в промежутке (- ∞; 0)
4.В промежутке (- ∞; 0) кривая выпукла вверх, а в промежутке (0 ; ∞) кривая выпукла вниз.
Упражнения
Найдите промежутки выпуклости кривой
1. у = х 2
2. у = 2х 3
3. у = - х 2 - 1
4. у= х 2 + 3х - 1
5. у= х 3+ 6х 2+ 2х - 6
Инструкционная карта
Тема: Исследование функции на экстремум с помощью второй производной.
Цель: Научиться исследовать функцию на экстремум.
Определение .Если у' есть производная от функции у = f (х) ,то производная от у' по х (если она существует), называется второй производной (или производной второго порядка).
Обозначение у ' '
Алгоритм исследования функции на экстремум с помощью второй производной.
1.Найти производную f '(х)
2.Найти стационарные точки данной функции, т.е. точки, в которых f '(х)=0
3.Найти точки, вторую производную f '' (х)
4. Исследовать знак второй производной в каждой из стационарных точек.
Если при этом вторая производная окажется отрицательной, то функция в такой точке имеет максимум, а если положительная ,то-минимум.Если же вторая производная равна нулю, то экстремум функции надо искать с помощью первой производной.
5. Вычислить значение функции в точках экстремума.
Пример: Исследовать функцию на экстремум с помощью второй производной.
f (х) = х 2– 2х - 3
Решение: Находим по алгоритму:
1. f '(х) = 2х - 2
2. 2х – 2= 0
2х = 2
х = 1
3. f '' (х) = 2
4. f '' (х) = 2 > 0 .значит в точке х =1 функция имеет минимум и f min = f (1) = -4
Упражнения
Исследовать функцию на экстремум с помощью второй производной.
1. у = 9 + 8х 2– х 4
2. у = 2х 3+3 х 2– 4
3. у = 1/2х 4- х 2
4. у= х 3- 6х 2 + 9х +1
5. у= 4х 3+ х 2– 4х - 2
Инструкционная карта
Тема: Точки перегиба
Цель: Научиться находить точки перегиба графика функции
Определение .Точка графика функции у = f (х) , разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика, называется точкой перегиба.
Точками перегиба могут служить только критические точки 2 рода т.е. точки , принадлежащие области определения функции у = f (х) , в которых вторая производная f '' (х) обращается в нуль или терпит разрыв.
Если при переходе через критическую точку вторая производная f '' (х) меняет знак , то график функции имеет точку перегиба (х 0 ;f (х 0))
Алгоритм нахождения точек перегиба графика функции у = f (х)
1. Найти вторую производную f '' (х)
2. Найти критические точки 2 рода т.е. точки , принадлежащие области определения функции у = f (х) , в которых вторая производная f '' (х) обращается в нуль или терпит разрыв.
3. Исследовать знак второй производной f '' (х) в промежутках ,на которые найденные критические точки делят область определения функции f (х).
Если при этом критическая точка х 0 разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений ,то х 0 является абсциссой точки перегиба графика функции.
4.Вычислить значения функции в точках перегиба.
Пример: Найти точки перегиба кривой
f (х) = 6х 2– х 3
Решение: Находим по алгоритму:
1. f ' (х) = 12х -3 х 2
f '' (х) = 12 -6 х
2. 12 – 6х = 0
12 = 6 х
х = 2
3.Так как f '' (х)> 0 в промежутке (- ∞; 2) и f '' (х)< 0 в промежутке
(2 ; +∞),то при х = 2 кривая имеет точку перегиба.
4. f (2) = 16 Итак (2 ; 16) – точка перегиба.
Упражнения
Найти точки перегиба следующих кривых
1. у = х 4- 10х 3+36х 2– 100
2. у = х 4- 6х 3+18х 2– 48х + 31
3. у = 1/3х 3- 3х 2+ 8х – 4
4. у= х 3- х
5. у= 4х 3+ х 2– 4х - 2
Инструкционная карта
Тема: Исследование функции на экстремум с помощью второй производной и построение графиков функций.
Цель: Научиться исследовать функцию и строить графики функций
Алгоритм построения графиков функций.
1.Найти область определения функции.
2.Выяснить, не является ли функция четной, нечетной или периодической.
3. Найти точки пересечения графика с осями координат.
4. Найти асимптоты графика функции..
5. Найти точки монотонности функции и ее экстремумы.
6. Найдите промежутки выпуклости графика функции и точки перегиба.
7. Постройте график, используя полученные результаты исследования.
Пример: Построить график функции у = х 3 - 6 х 2+ 9 х - 34
Решение: 1.Функция определена на всей числовой оси ,т.е. Д (у) = R.
2. Данная функция не является ни четной,ни нечетной; кроме того она не является периодической.
3. Найдем точку пересечения графика с осью Оу полагая х = 0.,получим
у = -3. Точки пересечения графика с осью Ох в данном случае найти затруднительно.
4. Очевидно, что график функции не имеет асимптот.
5.Найдем производную у' = 3 х 2– 12х + 9
Решая уравнение 3 х 2– 12х + 9 = 0, получим корни х1 =1, х2 =3
Т.к. у ' > 0 , то в промежутках (- ∞; 1) и (3 ;+ ∞) функция возрастает
и у ' < 0 ,то в промежутке (1; 3) функция убывает.
Точки экстремума у min = у (3) = - 3, у mах = у (1) = 1.
6.Найдем вторую производную у'' = 6 х - 12
6 х – 12 = 0
6х = 12
х = 2
Точка х = 2 делит область определения функции на два промежутка
(- ∞; 2) и (2 ;+ ∞) .В первом из них у'' < 0, а во втором у'' > 0 т.е. в промежутке (- ∞; 2) кривая выпукла вверх, а в промежутке (2 ;+ ∞) кривая выпукла вниз.Таким образом получаем точку перегиба (2,-1)
7.Используя полученные данные , строим искомый график
Упражнения
Исследуйте следующие функции и постройте их графики
1. у = х 2 + 5х + 4
2. у = -3 х 2+ 12 х
3. у = - х 3 + х
4. у= 2х 2 - 8х
5. у= 3х 3– х
4.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.