Внеурочное занятие для студентов СПО
«МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРИЕМЫ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ»
Василькова Т.А
Цель данной работы повысить уровень фундаментальной математической подготовки с усилием ее прикладной физической направленности. Основное внимание уделяется решению задач с физическим содержанием. Перед решением задач проводится справочная информация по физике; определения, закон; это помогает понять физическую суть задач и выбрать соответствующие математические модели и формулировки физических законов. Задачи систиматезированы по темам:
1) Скалярное произведение векторов
2) Векторное произведение векторов
3) Дифференцирование функций одной переменной
4) Исследование функций на экстремумы
5) Определение интеграла
Некоторые приложения скалярного произведения
Угол между векторами
Определение угла Ф между нулевыми векторами a и b:
Т.е 
Отсюда следует условие перпендикулярности нулевых векторов a и b:
Проекция вектора на заданное направление
Нахождение
проекции вектора 
на направление, заданное
вектором 
, может осуществляться по
формуле:
т.е 
Работа постоянной силы
Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из положения А в положение В под действием постоянной силы F, образующий угол ф с перемещением АВ = S. Из физики известно, что работа силы P при перемещении S равна
т.е 
Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.
Примеры
Вычислить работу, произведенную силой F=(3;2;4), если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положения А = (2;4;6) в положение В (4;2;7). Под каким углом к АВ направлена сила F?
Решение: Находим 8 = АВ = (2,-2,1). Стало быть,
Угол ф между F и S находим по формуле
, т.е
, 
Некоторые приложения векторного произведения
Установление коллинеарности векторов (См. рис.1)
Если a││b,
то a
b
= 0 и наоборот, если 
, то векторы
коллинеарны.
Определение момента силы относительной точки (См. рис 2)
Пусть в точке Л приложена сила Р = АВ и пусть О некоторая точка пространства. Из физики известно, что моментом силы F относительно точки О называется вектором М, который проходит через точку О и:
1) Перпендикулярен плоскости, проходящий через точки О, А, В;
2) Численно равен произведению силы на плечо
;
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
Понятие производной является одним из основных математических понятий. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики, других наук, в особенности при изучении скорости разных процессов.
Скорость прямолинейного движения
Пусть материальная точка (некоторое тело) М движется неравномерно по некоторой прямой. Каждому значению времени t соответствует определенное расстояние ОМ = 8 до некоторой фиксированной точки О. Это расстояние, зависит от иссекшего времени t, т.е S = S(t).
O M M1 1
∆S
S(t)
S(t+∆t)
Это равенство
называют законом движения точки. Требуется найти скорость движения точки. Если
в некоторый момент времени (точка занимает положение М, то в момент
времени t
+ ∂t
(∂t
– приращение времени) точка займет положение 
, где 
= S
+ ∂S
(∂S
- приращение расстояния)). Таким образом, перемещение точки М за время ∂t будет ∂S = S(t
+ ∂t)
– S(t).
Отношение ∂S∕∂t выражает среднюю скорость движения точки за время ∂t:
Vср.
= 
Средняя скорость зависит от значения ∂t чем меньше ∂t, тем точнее средняя скорость выражает скорость движения точки в данный момент времени. Предел средней скорости движения при стремлении к нулю промежутка времени ∂ t называют скоростью движения точки в данный момент времени (или мгновенной скоростью). Означив эту скорость через V, получим
V
= 
, или V =
К нахождению пределов приводят решения и множества других задач. Можно показать что:
- если Q = Q(t) – количество электричества, проходящее через поперечное сечение проводника за время t, то сила тока в момент времени t равна
I = 
=
;
- если N=N(t) – количество вещества, вступающего в химическую реакцию за время t, то скорость химической реакции в момент времени t равна
V
= 
= 
;
- если m = m(x) – масса неоднородного стержня между точками 0(0;) и М (х;0), то линейная плотность стержня в токе x есть
S = 
= 
.
Все эти пределы имеют одинаковый вид; везде требуется найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Этот предел называют производной. Эти пределы можно записать так:
Следующая формула используется для вычислений приближенных значений функций.
|
f
(x + ∆x) ≈ f (x) + |
Примеры
Какой путь пройдет тело при свободном падении на Луне за 10,04с от начала падения. Уравнение свободного падения тела
H
= 
, 9n
= 1,6 m/
Решение: Требуется найти H(10,04). Воспользуемся приближенной формулой (∂H = dH)
H(t+∆t)
≈ H (t)
+ 
(t)
∆t.
При t
= 10c и ∆t = dt
= 0, 04c,
(t)
= g
, находим
H
(10,04) ≈ 
+ 1.6 
10 
0, 04 = 80 + 0,64 = 80,
64 (м).
Механические приложения определенного интеграла
Работа переменной силы
Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси Ох под действием переменной силы F = F(x), направленной параллельной этой оси. Работа, произведенная силой при перемещении точки М из положения x = a в положении x = b (a<b), находится по формуле.
A
= 
(x)
dx
Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,05м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0,01 м?
Решение: По закону
Гука упругая сила, растягивающая пружину, пропорциональна этому растяжению x,
т.е F
= kx, где
k;
- коэффициент пропорциональности. Согласно условию
задачи, сила F = 100 H растягивает пружину на x
= 0,1 м; следовательно, 100 = k0,01 откуда k
= 10000;
Следовательно, F = 10000x.
Искомая работа а основании формулы приведенной выше равна
A
= 
xdx
= 500 
= 12,
5 (Дж).
Найти работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать через край жидкость из вертикального цилиндрического резервуара высоты H мм радиусом основания R м. (См. рис 3)
Решение: Работа,
затрачиваемая на поднятие тела весом P на
высоту H, равна PH.
Но различные слои жидкости в резервуаре находятся на различных глубинах и высота поднятия (до края резервуара) различных слоев неодинакова.
Для решения поставленной задачи введем систему координат так, как показано на рисунке.
1. Работа,
затраченная на выкачивания из резервуара слоя жидкости толщиной x
(0
xH),
есть функция от х, т.е.
A=A(x),
где
0xH (A(0) = 0, A(H) =Ao).
2. Находим главную часть приращения dA при изменении x на величину dx = dx, т.е. находим дифференциал dA функции A(x).
Ввиду малости их считаем, что «элементарный» слой жидкости находится на одной глубине x (от края резервуара).
Тогда
dA
= dpx,
где dp – вес
этого слоя, он равен gydv,
где g – ускорение свободного падения, y – плотность жидкости, dv – объем «элементарного» слоя жидкости, т.е dp
= gydv.Объем
указанного слоя жидкости, очевидно, равен пR2dx,
где dx – высота цилиндра (слоя), пR2
– площадь его основания, т.е. dv
= пR2dx.
Таким
образом, dp = gyп*R2dx и dA
= gynR2 dxx
3. Интегрируя полученное в пределах от x = 0 до x = H
A0
= 
xdx = 
(Дж)
Путь, пройденный телом
Пусть
материальная точка перемещается по прямой с переменной скоростью v
= v(t).
Найдем путь S, пройденный ею за
промежуток времени от t1
до t2.
Из физического смысла производной известно, что при
движении точки в одном направлении скорость прямолинейного движения равна
производной от пути по времени, т.е v(t)
= dS/dt.
Отсюда следует, что dS = v(t)
dt.
Интегрируя полученное равенство в пределах от t1
до t2.
S
=
.
Пример
Найти путь, пройденный телом за 4 секунды от начала движения, если скорость тела v(t) = 10t + 2 (м/c), то путь, пройденный телом от начала движения (t = 0) до конца 4-й секунды равен
S
= 
Давление жидкости на вертикальную поверхность (См. рис 4)
По
закону Паскаля давление жидкости на горизонтальную пластину равно весу столба
этой жидкости, имеющего основанием пластинку, а высотой глубиной её погружения
от свободной поверхности жидкости, т.е Р = gySH,
где g
- ускорение свободного падения, y
– плотность жидкости, S – площадь
пластинки, H - глубина ее
погружения.
По этой формуле нельзя искать давление жидкости на вертикально погруженную пластинку, так как ее разные точки лежат на разных глубинах. Пусть в жидкость погружена вертикально пластина, ограниченная линиями x = a, x = b, y1 = ƒ1(x) и y2 = ƒ2(x), система координат была выбрана так, как указано на рисунке 4. Для нахождения давления P жидкости на эту пластину применим метод дифференциала.
1) Пусть часть искомой величины P есть функция от x: p=p(x) , т.е p=p(x) давление на часть пластины, соответствующее отрезку (a,x) значение переменной x, где x = (a,b) (p(a) = 0, p(b) = P).
2) Дадим
аргументу x приращение ∂x
= dx.
Функция p(x)
получит приращение (на рисунке – полоска – слой
толщины dx). Найдем дифференциал ∂p этой
функции. Ввиду малости dx
будем приближенно считать полоску прямоугольником, точки которого находятся
на одной глубине x,
т.е. пластинка эта горизонтальная. Тогда по закону
Паскаля dp
= gy (y2-y1) dxx.
3) Интегрируя полученное равенство в пределах от x=a до x=b, получим
P
= g
y 
или
P
= gy
Пример
Определить величину давления воды на полукруг, вертикально погруженный в жидкость, если его радиус R, а центр О находится на свободной поверхности воды. (См. рис 5)
Решение: Воспользуемся полученной формулой для нахождения давления жидкости на вертикальную пластинку.
P = gy 
= 2gy 
= - gy 
B
M
O 
A O
 |
N
Рис. 1 Рис. 2.
x
O y
x
a
x y2 = ƒ2(x)
dx
H x+dx
R y1=ƒ1(x)
y
O b
Рис.
3 x
Рис. 4.
O
y
R
dx
x
R
x Рис. 5.
Заключение:
На уроках физики при решении задач часто используется
понятие производной, скалярно произведения. Так, например, определение
скорости, ускорения при заданном законе движения значительно упрощается, если
применить дифференцирование. Работа вычисляется как скалярное произведение силы
и перемещения A = FS
. Чтобы учащимся было
легче установить связь между физическими задачами математическими понятиями,
целесообразно эти вопросы дополнительно рассматривать с сильными учащимися на
факультативных занятиях или консультациях.
Цель такой работы: научится видеть в условиях физических задач математическую постановку вопроса, выявить математическую сущность проблемы. В статье раскрывается физический смысл математических понятий, приводятся простейшие приложения математики в физике: скорость и ускорение неравномерного движения; расчет с помощью определенного интеграла пути, пройденного телом; работы переменной силы, работа при поднятии груза, давление жидкости; закона охлаждения тел; закона изменения давления воздуха в зависимости от высоты.
Список литературы:
1. Ветрова В. Т. Сборник физических задач по общему курсу высшей математики. – Минск «Высшая шкала», 1997г.
2. Дмитрий Письменный. Конспект лекций по высшей математике. – Москва. Айрис Пресс, 2002г.
3. Шарыгин И.С. Сборник задач по математике с решениями. – Москва. Астрель. Аст, 2001г.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
"Описание материала:
Внеурочное занятие для СПО «Математические приемы при решении задач по физике» содержит 7 страниц и предназначено для более сильных студентов.
"Цель данной работы повысить уровень фундаментальной математической подготовки с усилием ее физической направленности. Особое внимание уделяется решению задач с физическим содержанием.
Перед решением задач проводится справочная информация по физике; определения, закон; это помогает понять физическую суть задач и выбрать соответствуюшие математические модели и формулировки физических законов.
6 672 079 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Василькова Татьяна Алексанлровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Мини-курс
5 ч.
Мини-курс
10 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.