Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Внеурочное занятие по математике для студентов СПО «Математические приемы при решении задач по физике»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Внеурочное занятие по математике для студентов СПО «Математические приемы при решении задач по физике»

библиотека
материалов

hello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_47958994.gifhello_html_m6d02de02.gifhello_html_m79305fe0.gifhello_html_486bad08.gifhello_html_m863d491.gifhello_html_m1058f158.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_6102b9f6.gifhello_html_633c318b.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_1f99af31.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_265c325b.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m255a5596.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m67c791f0.gifhello_html_7647fa23.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_12c1e938.gifhello_html_m98360f0.gifhello_html_m7a8e131a.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m41faf768.gifhello_html_m41faf768.gifhello_html_m41faf768.gifhello_html_m41faf768.gifhello_html_m41faf768.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m41faf768.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_18358d85.gifhello_html_18358d85.gifhello_html_m6663b0f5.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m41faf768.gifhello_html_m41faf768.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_mc29db43.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_5160660d.gifhello_html_m51eb1d11.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_mdb58b29.gifВнеурочное занятие для студентов СПО

«МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРИЕМЫ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ»



Василькова Т.А

Цель данной работы повысить уровень фундаментальной математической подготовки с усилием ее прикладной физической направленности. Основное внимание уделяется решению задач с физическим содержанием. Перед решением задач проводится справочная информация по физике; определения, закон; это помогает понять физическую суть задач и выбрать соответствующие математические модели и формулировки физических законов. Задачи систиматезированы по темам:

  1. Скалярное произведение векторов

  2. Векторное произведение векторов

  3. Дифференцирование функций одной переменной

  4. Исследование функций на экстремумы

  5. Определение интеграла

Некоторые приложения скалярного произведения

Угол между векторами

Определение угла Ф между нулевыми векторами a и b:

hello_html_1a8169f8.gif

Т.е hello_html_4a496daf.gif

Отсюда следует условие перпендикулярности нулевых векторов a и b:

hello_html_m43966487.gif

Проекция вектора на заданное направление

Нахождение проекции вектора hello_html_7d55c930.gifна направление, заданное вектором hello_html_m47822dc7.gif, может осуществляться по формуле:

hello_html_c1c4e8c.gifhello_html_m7663eb27.gifт.е hello_html_1b9a63f2.gif

Работа постоянной силы

Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из положения А в положение В под действием постоянной силы F, образующий угол ф с перемещением АВ = S. Из физики известно, что работа силы P при перемещении S равна

hello_html_m31b8707d.gifт.е hello_html_a2efa8f.gif

Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.







Примеры

Вычислить работу, произведенную силой F=(3;2;4), если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положения А = (2;4;6) в положение В (4;2;7). Под каким углом к АВ направлена сила F?

Решение: Находим 8 = АВ = (2,-2,1). Стало быть,

hello_html_28fc5b21.gif

Угол ф между F и S находим по формуле

hello_html_m4007fea2.gif, т.е

hello_html_4d503427.gif, hello_html_m3046195e.gif

Некоторые приложения векторного произведения

Установление коллинеарности векторов (См. рис.1)

Если a││b, то ahello_html_m7c48e444.gifb = 0 и наоборот, если hello_html_m2ad6775e.gif , то векторы коллинеарны.

Определение момента силы относительной точки (См. рис 2)

Пусть в точке Л приложена сила Р = АВ и пусть О некоторая точка пространства. Из физики известно, что моментом силы F относительно точки О называется вектором М, который проходит через точку О и:

  1. Перпендикулярен плоскости, проходящий через точки О, А, В;

  2. Численно равен произведению силы на плечо

hello_html_m4b54996c.gif;

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

Понятие производной является одним из основных математических понятий. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики, других наук, в особенности при изучении скорости разных процессов.

Скорость прямолинейного движения

Пусть материальная точка (некоторое тело) М движется неравномерно по некоторой прямой. Каждому значению времени t соответствует определенное расстояние ОМ = 8 до некоторой фиксированной точки О. Это расстояние, зависит от иссекшего времени t, т.е S = S(t).

O M M1 1

S

S(t)

S(t+t)









Это равенство называют законом движения точки. Требуется найти скорость движения точки. Если в некоторый момент времени (точка занимает положение М, то в момент времени t + ∂t (∂t – приращение времени) точка займет положение hello_html_29610d5f.gif, где hello_html_9d0ed1a.gif= S + ∂S (∂S - приращение расстояния)). Таким образом, перемещение точки М за время ∂t будет ∂S = S(t + ∂t) – S(t).

Отношение ∂S∕∂t выражает среднюю скорость движения точки за время ∂t:

Vср. = hello_html_m6378a8ee.gif

Средняя скорость зависит от значения ∂t чем меньше ∂t, тем точнее средняя скорость выражает скорость движения точки в данный момент времени. Предел средней скорости движения при стремлении к нулю промежутка времени ∂ t называют скоростью движения точки в данный момент времени (или мгновенной скоростью). Означив эту скорость через V, получим

V = hello_html_md41b639.gif hello_html_m20447900.gif, или V = hello_html_md41b639.gif hello_html_7c15c6f6.gif

К нахождению пределов приводят решения и множества других задач. Можно показать что:

- если Q = Q(t) – количество электричества, проходящее через поперечное сечение проводника за время t, то сила тока в момент времени t равна

I = hello_html_md41b639.gif hello_html_m28466670.gif = hello_html_md41b639.gif hello_html_1fceab13.gif;

- если N=N(t) – количество вещества, вступающего в химическую реакцию за время t, то скорость химической реакции в момент времени t равна

V = hello_html_md41b639.gif hello_html_m20927b75.gif = hello_html_md41b639.gif hello_html_m7299c43e.gif;

- если m = m(x) – масса неоднородного стержня между точками 0(0;) и М (х;0), то линейная плотность стержня в токе x есть

S = hello_html_17524a0c.gif hello_html_543dfe1a.gif = hello_html_17524a0c.gif hello_html_263847a0.gif.

Все эти пределы имеют одинаковый вид; везде требуется найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Этот предел называют производной. Эти пределы можно записать так:

hello_html_m2dbc86a6.gif



Следующая формула используется для вычислений приближенных значений функций.



f (x + ∆x) ≈ f (x) + hello_html_m2eb89217.gif (x) hello_html_7e6cc508.gif ∆x

















Примеры

Какой путь пройдет тело при свободном падении на Луне за 10,04с от начала падения. Уравнение свободного падения тела

H = hello_html_m11a404cf.gif, 9n = 1,6 m/hello_html_5ed3bbd2.gif

Решение: Требуется найти H(10,04). Воспользуемся приближенной формулой (∂H = dH)

H(t+∆t) ≈ H (t) + hello_html_545191a6.gif(t) hello_html_7e6cc508.gift.

При t = 10c и ∆t = dt = 0, 04c, hello_html_545191a6.gif(t) = ghello_html_328d4219.gif, находим

H (10,04) ≈ hello_html_598c1762.gif + 1.6 hello_html_7e6cc508.gif 10 hello_html_7e6cc508.gif0, 04 = 80 + 0,64 = 80, 64 (м).

Механические приложения определенного интеграла

Работа переменной силы

Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси Ох под действием переменной силы F = F(x), направленной параллельной этой оси. Работа, произведенная силой при перемещении точки М из положения x = a в положении x = b (a<b), находится по формуле.

A = hello_html_m57ff81a.gif (x) dx

Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,05м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0,01 м?

Решение: По закону Гука упругая сила, растягивающая пружину, пропорциональна этому растяжению x, т.е F = kx, где k; - коэффициент пропорциональности. Согласно условию задачи, сила F = 100 H растягивает пружину на x = 0,1 м; следовательно, 100 = khello_html_m7c48e444.gif0,01 откуда k = 10000;

Следовательно, F = 10000x.

Искомая работа а основании формулы приведенной выше равна

A = hello_html_m3a522e02.gif xdx = 500 hello_html_2b47312b.gif = 12, 5 (Дж).

Найти работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать через край жидкость из вертикального цилиндрического резервуара высоты H мм радиусом основания R м. (См. рис 3)

Решение: Работа, затрачиваемая на поднятие тела весом P на высоту H, равна Phello_html_m7c48e444.gifH.

Но различные слои жидкости в резервуаре находятся на различных глубинах и высота поднятия (до края резервуара) различных слоев неодинакова.

Для решения поставленной задачи введем систему координат так, как показано на рисунке.

  1. Работа, затраченная на выкачивания из резервуара слоя жидкости толщиной x (0hello_html_7c00753d.gifxhello_html_7c00753d.gifH), есть функция от х, т.е.



A=A(x), где 0hello_html_7c00753d.gifxhello_html_7c00753d.gifH (A(0) = 0, A(H) =Ao).

  1. Находим главную часть приращения dA при изменении x на величину dx = dx, т.е. находим дифференциал dA функции A(x).

Ввиду малости их считаем, что «элементарный» слой жидкости находится на одной глубине x (от края резервуара).



Тогда dA = dphello_html_m7c48e444.gifx, где dpвес этого слоя, он равен ghello_html_m7c48e444.gifyhello_html_m7c48e444.gifdv, где g – ускорение свободного падения, y – плотность жидкости, dv – объем «элементарного» слоя жидкости, т.е dp = ghello_html_m7c48e444.gifyhello_html_m7c48e444.gifdv.Объем указанного слоя жидкости, очевидно, равен пhello_html_m7c48e444.gifR2hello_html_m7c48e444.gifdx, где dx – высота цилиндра (слоя), пhello_html_m7c48e444.gifR2 – площадь его основания, т.е. dv = пhello_html_m7c48e444.gifR2hello_html_m7c48e444.gifdx.

Таким образом, dp = ghello_html_m7c48e444.gifyhello_html_m7c48e444.gifп*R2hello_html_m7c48e444.gifdx и dA = ghello_html_m7c48e444.gifyhello_html_m7c48e444.gifnhello_html_m7c48e444.gifR2hello_html_m7c48e444.gif dxhello_html_m7c48e444.gifx

  1. Интегрируя полученное в пределах от x = 0 до x = H

A0 = hello_html_643163be.gifxdx = hello_html_m5e7d9c36.gif (Дж)

Путь, пройденный телом

Пусть материальная точка перемещается по прямой с переменной скоростью v = v(t). Найдем путь S, пройденный ею за промежуток времени от t1 до t2. Из физического смысла производной известно, что при движении точки в одном направлении скорость прямолинейного движения равна производной от пути по времени, т.е v(t) = dS/dt. Отсюда следует, что dS = v(t)hello_html_m7c48e444.gifdt. Интегрируя полученное равенство в пределах от t1 до t2.hello_html_11852162.gif

S =hello_html_638a0a5d.gif.

Пример

Найти путь, пройденный телом за 4 секунды от начала движения, если скорость тела v(t) = 10t + 2 (м/c), то путь, пройденный телом от начала движения (t = 0) до конца 4-й секунды равен

S = hello_html_4eb0be1a.gif

Давление жидкости на вертикальную поверхность (См. рис 4)

По закону Паскаля давление жидкости на горизонтальную пластину равно весу столба этой жидкости, имеющего основанием пластинку, а высотой глубиной её погружения от свободной поверхности жидкости, т.е Р = ghello_html_m7c48e444.gifyhello_html_m7c48e444.gifShello_html_m7c48e444.gifH, где g - ускорение свободного падения, y – плотность жидкости, S – площадь пластинки, H - глубина ее погружения.

По этой формуле нельзя искать давление жидкости на вертикально погруженную пластинку, так как ее разные точки лежат на разных глубинах. Пусть в жидкость погружена вертикально пластина, ограниченная линиями x = a, x = b, y1 = ƒ1(x) и y2 = ƒ2(x), система координат была выбрана так, как указано на рисунке 4. Для нахождения давления P жидкости на эту пластину применим метод дифференциала.

  1. Пусть часть искомой величины P есть функция от x: p=p(x) , т.е p=p(x) давление на часть пластины, соответствующее отрезку (a,x) значение переменной x, где x = (a,b) (p(a) = 0, p(b) = P).

  2. Дадим аргументу x приращение ∂x = dx. Функция p(x) получит приращение (на рисунке – полоска – слой толщины dx). Найдем дифференциал ∂p этой функции. Ввиду малости dx будем приближенно считать полоску прямоугольником, точки которого находятся на одной глубине x, т.е. пластинка эта горизонтальная. Тогда по закону Паскаля dp = ghello_html_m7c48e444.gifyhello_html_m7c48e444.gif (y2-y1)hello_html_m7c48e444.gif dxhello_html_m7c48e444.gifx.

  3. Интегрируя полученное равенство в пределах от x=a до x=b, получим

P = ghello_html_7e6cc508.gify hello_html_m4866020f.gif или P = gyhello_html_5fb24609.gif







Пример

Определить величину давления воды на полукруг, вертикально погруженный в жидкость, если его радиус R, а центр О находится на свободной поверхности воды. (См. рис 5)

Решение: Воспользуемся полученной формулой для нахождения давления жидкости на вертикальную пластинку.

P = gy hello_html_7039843.gif

= 2gy hello_html_m6eeb461c.gif

= - gy hello_html_m75e6106.gif

hello_html_m400336fb.gifB hello_html_m55abfb4a.gif

hello_html_mffcebf0.gif M

O hello_html_m234a7208.gif hello_html_m29228db2.gif hello_html_m4c957872.gif hello_html_1f811c7c.gif

A O



N

Рис. 1 Рис. 2.

x

O y

x a

x y2 = ƒ2(x)

dx H x+dx



R y11(x)

y O b

Рис. 3 x Рис. 4.

O y

R

dx x



R

x Рис. 5.

Заключение: На уроках физики при решении задач часто используется понятие производной, скалярно произведения. Так, например, определение скорости, ускорения при заданном законе движения значительно упрощается, если применить дифференцирование. Работа вычисляется как скалярное произведение силы и перемещения A = FShello_html_d1ef14c.gif. Чтобы учащимся было легче установить связь между физическими задачами математическими понятиями, целесообразно эти вопросы дополнительно рассматривать с сильными учащимися на факультативных занятиях или консультациях.

Цель такой работы: научится видеть в условиях физических задач математическую постановку вопроса, выявить математическую сущность проблемы. В статье раскрывается физический смысл математических понятий, приводятся простейшие приложения математики в физике: скорость и ускорение неравномерного движения; расчет с помощью определенного интеграла пути, пройденного телом; работы переменной силы, работа при поднятии груза, давление жидкости; закона охлаждения тел; закона изменения давления воздуха в зависимости от высоты.







Список литературы:

  1. Ветрова В. Т. Сборник физических задач по общему курсу высшей математики. – Минск «Высшая шкала», 1997г.

  2. Дмитрий Письменный. Конспект лекций по высшей математике. – Москва. Айрис Пресс, 2002г.

  3. Шарыгин И.С. Сборник задач по математике с решениями. – Москва. Астрель. Аст, 2001г.




Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

"Описание материала:

Внеурочное занятие для СПО «Математические приемы при решении задач по физике» содержит 7 страниц и предназначено для более сильных студентов.

"Цель данной работы повысить уровень фундаментальной математической подготовки с усилием ее физической направленности. Особое внимание уделяется решению задач с физическим содержанием.

Перед решением задач проводится справочная информация по физике; определения, закон; это помогает понять физическую суть задач и выбрать соответствуюшие математические модели и формулировки физических законов.

Автор
Дата добавления 25.02.2014
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров500
Номер материала 32305022530
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх