Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Статья «Линейные однородные уравнения второго порядка и их свойства»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Статья «Линейные однородные уравнения второго порядка и их свойства»

библиотека
материалов

Линейные однородные уравнения второго порядка и их свойства


Теория линейных дифференциальных уравнений является самый простой и разработанной частью теории дифференциальных уравнений, и именно линейные уравнения наиболее часто встречаются в приложениях. Мы будем рассматривать линейные уравнения любого порядка и начнем с уравнений второго порядка.

Линейным однородным уравнением второго порядка называется уравнение вида

P(y)=y+p(x)y’+q(x)y, (1.1)

где через P(у) мы для краткости обозначили левую часть. Из линейности выражения P(у) относительно функции у и ее производных вытекает, что при произвольных постоянных C, C1 и C2:

P(Cу) = СР(у), Р(С1y1+C2y2) = С1 Р(у1) + С2 Р(у2).

Если y=y1 есть решение уравнения, то есть P(y1)=0, то, очевидно, P(Cy1)=0,то есть и у = Су1 есть также решение уравнения. Точно же, если у1 и у2 суть решения, то

y=C1y1+C2y2, (1.2)

eсть также решение при произвольных постоянных С1 и C2 то есть решения линейного однородного уравнения (1.1) можно умножать на произвольные постоянные и складывать, после чего опять получается решение. Очевидно, это же свойство имеет место и для линейного однородного уравнения любого порядка. Теорема существования и единственности для уравнения (1.1) формулируется особенно просто, как это мы покажем в конце этой главы: если p(x) и q(x) - непрерывные функции в некотором конечном замкнутом промежутке I (axb) - любое значение из этого промежутка, то имеется одно и только одно решение уравнения (1.1), удовлетворяющее начальным условиям

yhello_html_4dd2da75.gif yhello_html_m5626c128.gif (1.3)

где y0 и y0' - любые заданные числа, и это решение существует на всем промежутке I.

Если фиксировать x0 и придавать y0 и y'0 всевозможные численные значения, то указанные в теореме решения исчерпывают все решения уравнения (1.1). Во всех этих решениях функции у(x), у'(x) и y"(x) непрерывны вплоть до концов промежутка axb и предельные значения у' (x) и y'' (x) при x= а суть производные у' (a+0), у" (a+0) - справа, а при x= b производные слева у' (b-0), у"(b-0). В дальнейшем мы в аргументах не будем писать ± 0. Из формулированной выше теоремы непосредственно следует совершенно аналогичное утверждение и для открытого промежутка a<x<b, который может быть как конечным, так и бесконечным. Мы будем всегда рассматривать решения уравнения (1.1) на промежутке непрерывности коэффициентов p(x) и q(x).

Уравнение (1.1) имеет очевидное решение у ≡ 0 (нулевое решение). Ему соответствует y0 = y'0 = 0. В дальнейшем, говоря о решениях уравнения (1.1), мы будем подразумевать, что эти решения отличны от нулевого решения.

Введем одно новое понятие, которое нам понадобится в дальнейшем. Пусть y1 и y2 - два решения уравнения (1.1).Рассмотрим следующее выражение, составленное из них:

(y1,y2)=y1y'2-y2y'1. (1.4)

Оно называется определителем Вронского решений y1 и y2 для него имеет место следующая замечательная формула:

(y1,y2)=∆0hello_html_607bfce5.gif, (1.5)

где 0- постоянная, равная, очевидно, значению ∆(y1,y2) при x=x0. Для доказательства вычисляем производную

hello_html_m30025c6.gif.

Принимая во внимание, что y1 и y2 суть решения уравнения (1.1), можем написать

hello_html_1f77a408.gif, hello_html_m7b45696.gif.

Умножая первое уравнение на (-y2) второе на y1 и складывая почленно, получим

hello_html_m10586bf6.gif

и, следовательно,

hello_html_mddcd1bc.gif

Это есть линейное однородное уравнение относительно hello_html_6145e1b2.gif. Из этой формулы непосредственно следует, что определитель hello_html_6145e1b2.gif или тождественно на промежутке I равен нулю, если постоянная 0 равна нулю или не равен нулю ни при одном x из I, так как показательная функция в нуль не обращается. Напомним, что p (x) считается непрерывной на I функцией.

Два решения y1 и y2 уравнения (1.1), отличные от нулевого, называются линейно независимыми, если не существует тождественного относительно x на промежутке I соотношения

hello_html_m4e381603.gif(1.6)

с постоянными коэффициентами a1 и a2, отличными от нуля. Если такое соотношение имеется, то решения y1 и y2 называются линейно зависимыми. Отметим, что если один из коэффициентов, например a20, то из (1.3) следует y2≡0, а это противоречит тому что оба решения отличны от нулевого. Отсюда следует естественность требования того, что оба коэффициента отличны от нуля. Линейная зависимость решений y1 и y2 , выражаемая тождеством (1.6), равносильна, очевидно, тому, что одно из решений отличается от другого лишь постоянным множителем у2=Cy1, где постоянная C отлична от нуля. Продифференцируем это соотношение: у'2 = Cy'1 из двух соотношений

y2(x) = Cy1(x), y'2(x) = Cy'1(x),

непосредственно следует, что определитель Вронского (y1,y2) двух линейно зависимых решений тождественно равен нулю. Положим теперь наоборот, что определитель Вронского (y1,y2) тождественно равен нулю, и покажем, что при этом решения у1(x) и y2(x) -линейно зависимы. Фиксируем такое значение x=x0, при котором y1(x0)0, и напишем два уравнения, содержащие постоянную C, обозначая через y10, y20, y10,y20 значения y1, y2 и их производных при x=x0

y20=Cy10, y20=C y10

Из первого уравнения C=hello_html_mf927c68.gif и, подставляя это во второе уравнение,

убедимся, что оно также удовлетворено в силу того, что (y1,y2) равно 0 тождественно, и в частности при x=x0 . Таким образом, решение y(x)=y2(x)-Cy1(x) уравнения (1.1) удовлетворяет начальным условиям (3) при y0= 0 и y0=0, т. е. у (x) есть нулевое решение и следует, что y2(x)-Cy1(x)0 или y2(x)=Cy1(x). Мы приходим, таким образом, к следующему заключению: равенство нулю определителя Вронского (y1,y2) является необходимым и достаточным условием линейной зависимости решений y1 и y2 т. е. два решения y1 и y2 уравнения (1.1) линейно независимы тогда и только тогда, когда их определитель Вронского отличен от нуля.

Отметим еще следующую очевидную формулу для производной от частного двух решений:

hello_html_m63440736.gif(1.7)

Она, очевидно, теряет смысл в тех точках, где y1 обращается в нуль.

Покажем теперь, что если y1 и у2 – линейно независимых решения уравнения (1.1), то при надлежащем выборе постоянных C1 и С2 формула (1.2) дает нам решение уравнения (1.1), удовлетворяющее любым наперед заданным начальным условиям

yhello_html_4dd2da75.gif , yhello_html_m5626c128.gif (1.8)

Опять через y10,y20,y10, y20 обозначим значения y1,y2 и их первых производных при x = x0. Чтобы удовлетворить начальным условиям (1.8), надо определить C1 и C2 в формуле (1.2) из системы уравнений

C1 y10+ C2y20= y0, C1 y10+ C2 y20= y0.

Из линейной независимости y 1 и y2 вытекает, что

0= y10 y20- y20 y100,

и следовательно, из написанной системы мы получим определенные значения C1 и C2, что доказывает наше утверждение.

Но в силу теоремы существования и единственности всякое решение уравнения (1.1) вполне определяется своими начальными условиями, и мы можем поэтому высказать следующее предложение: если y1 и y2 -два линейно независимых решения уравнения (1.1), то формула (1.2) дает все решения этого уравнения.

Таким образом, задача интегрирования (1.1) приводится к нахождению его двух линейно независимых решений. Пусть у1 - одно из решений этого уравнения и у2 - какое-либо его решение. Интегрируя соотношение (1.7), получим

hello_html_3ba01d3b.gif(1.9)

т. е. если известно одно частное решение уравнения (1.1), то второе его решение может быть получено по формуле (1.9), где 0 - постоянная, которую можно положить и равной единице.



Краткое описание документа:

"Описание материала:

Этот материал может быть использован студентами при написание курсовых работ посвященным дифференциальным уравнениям, а также при написание дипломных работ и научных работ.

Статья также может быть использована преподавателями высших учебных заведений , как дополнительный материал на лекции или на семинаре по теме «Линейные однородные уравнения второго порядка», а также по теме «Определитель Вронского». Данный материал я написала при прохождение темы «Линейные дифференциальные уравнения и их приложения»
Автор
Дата добавления 06.03.2014
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров365
Номер материала 33469030637
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх