Линейные однородные уравнения второго
порядка и их свойства
Теория линейных дифференциальных
уравнений является самый простой и разработанной частью теории дифференциальных
уравнений, и именно линейные уравнения наиболее часто встречаются в
приложениях. Мы будем рассматривать линейные уравнения любого порядка и начнем
с уравнений второго порядка.
Линейным однородным уравнением
второго порядка называется уравнение вида
P(y)=y”+p(x)y’+q(x)y,
(1.1)
где
через P(у)
мы для краткости обозначили левую часть. Из линейности выражения P(у)
относительно функции у и ее производных вытекает, что при произвольных постоянных
C, C1
и C2:
P(Cу)
= СР(у), Р(С1y1+C2y2)
= С1 Р(у1) + С2 Р(у2).
Если y=y1
есть решение уравнения, то есть P(y1)=0, то, очевидно, P(Cy1)=0,то
есть и у = Су1 есть также решение уравнения. Точно же, если
у1 и у2 суть решения, то
y=C1y1+C2y2,
(1.2)
eсть
также решение при произвольных постоянных С1 и C2
то есть решения линейного однородного уравнения
(1.1) можно умножать на произвольные постоянные и складывать, после чего
опять получается решение. Очевидно, это же свойство имеет место и для
линейного однородного уравнения любого порядка. Теорема существования и
единственности для уравнения (1.1) формулируется особенно просто, как это мы
покажем в конце этой главы: если p(x)
и q(x)
- непрерывные функции в некотором конечном замкнутом промежутке I
(a≤x≤b)
- любое значение из этого промежутка, то имеется
одно и только одно решение уравнения (1.1), удовлетворяющее начальным
условиям
y
y
(1.3)
где
y0
и y0' - любые заданные числа, и это решение существует на
всем промежутке I.
Если фиксировать x0 и
придавать y0
и y'0
всевозможные численные значения, то указанные в теореме решения исчерпывают все
решения уравнения (1.1). Во всех этих решениях функции у(x),
у'(x)
и y"(x)
непрерывны вплоть до концов промежутка a≤x≤b
и предельные значения у' (x)
и y''
(x)
при x=
а суть производные у' (a+0),
у" (a+0)
- справа, а при x=
b
производные слева у' (b-0),
у"(b-0).
В дальнейшем мы в аргументах не будем писать ± 0. Из формулированной
выше теоремы непосредственно следует совершенно аналогичное утверждение и для
открытого промежутка a<x<b,
который может быть как конечным, так и бесконечным. Мы будем всегда рассматривать
решения уравнения (1.1) на промежутке непрерывности коэффициентов p(x)
и q(x).
Уравнение (1.1) имеет очевидное
решение у ≡ 0 (нулевое решение). Ему соответствует y0
= y'0
= 0. В дальнейшем, говоря о решениях уравнения
(1.1), мы будем подразумевать, что эти решения отличны от нулевого решения.
Введем одно новое понятие, которое нам
понадобится в дальнейшем. Пусть y1
и y2
- два решения уравнения (1.1).Рассмотрим следующее выражение, составленное из
них:
∆(y1,y2)=y1y'2-y2y'1.
(1.4)
Оно называется определителем
Вронского решений y1
и y2
для него имеет место следующая замечательная формула:
∆(y1,y2)=∆0,
(1.5)
где
∆0- постоянная, равная, очевидно, значению ∆(y1,y2)
при x=x0.
Для доказательства вычисляем производную
.
Принимая во внимание, что y1
и y2
суть решения уравнения (1.1), можем написать
, .
Умножая первое уравнение на (-y2)
второе на y1
и складывая почленно, получим
и,
следовательно,
Это есть линейное
однородное уравнение относительно . Из
этой формулы непосредственно следует, что определитель или тождественно на
промежутке I равен нулю, если постоянная ∆0 равна нулю
или не равен нулю ни при одном x
из I, так как показательная функция в нуль не
обращается. Напомним, что p
(x)
считается непрерывной на I функцией.
Два решения y1
и y2
уравнения (1.1), отличные от нулевого, называются линейно независимыми,
если не существует тождественного относительно x
на промежутке I
соотношения
(1.6)
с
постоянными коэффициентами a1
и a2,
отличными от нуля. Если такое соотношение имеется, то решения y1
и y2
называются линейно зависимыми. Отметим, что если один из коэффициентов,
например a2¹0,
то из (1.3) следует y2≡0,
а это противоречит тому что оба решения отличны от нулевого. Отсюда следует
естественность требования того, что оба коэффициента отличны от нуля. Линейная
зависимость решений y1
и y2
, выражаемая тождеством (1.6), равносильна, очевидно, тому, что одно из решений
отличается от другого лишь постоянным множителем у2=Cy1,
где постоянная C
отлична от нуля. Продифференцируем это соотношение: у'2 = Cy'1
из двух соотношений
y2(x)
= Cy1(x),
y'2(x)
= Cy'1(x),
непосредственно
следует, что определитель Вронского D(y1,y2)
двух линейно зависимых решений тождественно равен нулю. Положим теперь
наоборот, что определитель Вронского D(y1,y2)
тождественно равен нулю, и покажем, что при этом решения у1(x)
и y2(x)
-линейно зависимы. Фиксируем такое значение x=x0,
при котором y1(x0)¹0,
и напишем два уравнения, содержащие постоянную C,
обозначая через y10,
y20,
y¢10,y¢20
значения y1,
y2
и их производных при x=x0
y20=Cy10,
y¢20=C y¢10
Из первого уравнения C= и, подставляя это во
второе уравнение,
убедимся,
что оно также удовлетворено в силу того, что D(y1,y2)
равно 0 тождественно, и в частности при x=x0
. Таким образом, решение y(x)=y2(x)-Cy1(x)
уравнения (1.1) удовлетворяет начальным условиям (3) при y0=
0 и y¢0=0,
т. е. у (x)
есть нулевое решение и следует, что y2(x)-Cy1(x)º0
или y2(x)=Cy1(x). Мы приходим, таким образом, к следующему
заключению: равенство нулю определителя Вронского D(y1,y2)
является необходимым и достаточным условием линейной зависимости решений y1
и y2
т. е. два решения y1
и y2 уравнения
(1.1) линейно независимы тогда и только тогда, когда их определитель Вронского
отличен от нуля.
Отметим еще следующую очевидную
формулу для производной от частного двух решений:
(1.7)
Она, очевидно, теряет смысл в тех
точках, где y1
обращается в нуль.
Покажем теперь, что если y1
и у2 – линейно независимых решения уравнения (1.1),
то при надлежащем выборе постоянных C1
и С2 формула (1.2) дает нам решение уравнения (1.1),
удовлетворяющее любым наперед заданным начальным условиям
y ,
y
(1.8)
Опять через y10,y20,y¢10,
y¢20
обозначим значения y1,y2
и их первых производных при x
= x0. Чтобы удовлетворить начальным
условиям (1.8), надо определить C1
и C2
в формуле (1.2) из системы уравнений
C1 y10+
C2y20= y0, C1 y¢10+
C2 y¢20=
y¢0.
Из линейной независимости y 1 и
y2
вытекает, что
D0=
y10
y¢20-
y20
y¢10¹0,
и
следовательно, из написанной системы мы получим определенные значения C1
и C2,
что доказывает наше утверждение.
Но в силу теоремы существования и
единственности всякое решение уравнения (1.1) вполне определяется своими
начальными условиями, и мы можем поэтому высказать следующее предложение: если
y1
и y2
-два линейно независимых решения уравнения (1.1), то формула (1.2) дает все
решения этого уравнения.
Таким образом, задача интегрирования
(1.1) приводится к нахождению его двух линейно независимых решений. Пусть у1
- одно из решений этого уравнения и у2 - какое-либо его
решение. Интегрируя соотношение (1.7), получим
(1.9)
т.
е. если известно одно частное решение уравнения (1.1), то второе его решение
может быть получено по формуле (1.9), где D0
- постоянная, которую можно положить и равной
единице.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.