Пояснительная записка.

 

Программа предназначена для предпрофильной подготовки учащихся 9 класса, выбирающих в старшей школе математику в качестве профильного предмета.

Цели: 1) реализовать интерес к предмету «математика» как к предмету, освоение которого нужно для обучения по выбранному профилю;

2) дать возможность уточнить учащимся их готовность и способность осваивать выбранный предмет на повышенном уровне;

3) подготовить учащихся к экзамену по выбору.

 

 Тема выбрана не случайно. Несмотря на свое название (часто встречающееся в базовой школе) тема объединяет большое количество материала как изучаемого в основной школе, так и выходящего за рамки программы общеобразовательной программы.

  В ходе проведения занятий учащимся предлагается решать домашние контрольные работы, которые после проверки самими учащимися проверяются учителем. Результаты сравниваются, рассматриваются задания с наибольшим количеством вопросов. При окончании курсов ставится общая оценка учителем, и подводятся итоги занятий. Ученик решает надо ли ему продолжать обучение уже в профильном классе старшей школы.

    Включенный в программу материал может применяться и для тех учащихся, которые не склонны к серьезному изучению физико-математических дисциплин. Полученные знания им помогут при сдаче письменного экзамена по алгебре.

   В программе курсов включены исторические сведения по изучаемым темам, занимательные задачи, что позволяет заинтересовать каждого учащегося пришедшего на курсы.

 

 

 

 

Содержание программы.

 

 

1.   Введение.

 

2.      Разложение многочлена на множители.  Исторические сведения. Разложение на множители путем предварительного преобразования. Использование формул разности и суммы

     -ых степеней выражений.

    

3.      Сокращение дробей. Исторические сведения. Умножение дроби на одно и то же выражение с целью упрощения выкладок. Выделение целой части из рациональной дроби.

4.     Квадратные корни. Исторические сведения. Преобразование двойных радикалов. Освобождение от иррациональности в числителе и знаменателе дроби. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни.

 

5.      Квадратные уравнения. Исторические сведения. Исследование квадратных уравнений. Задачи на составление квадратных уравнений.

 

6.     Теорема Виета. Исторические сведения. Использование теоремы Виета для решения квадратного уравнения по данным его корням. Симметрические выражения, их связь с корнями и коэффициентами квадратного уравнения.

7. Модуль числа. Определение модуля числа. Решение уравнений,                                                          содержащих переменную под знаком модуля.

 

7.   Преобразование алгебраических выражений.

 

8.    Итоговая контрольная работа.

 

9.    Подведение итогов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Календарно-тематическое планирование.

 

№ п\п	Коли чество часов	Тема занятия	Форма проведе ния	Содержание работы и деятельность учащихся
1	1	Введение	Лекция учителя	Знакомство с программой. Требования к занятиям.
2.	3	Разложение на множители.	Лекция, практикум	В ходе беседы с учащимися учитель напоминает известные способы разложения на множители и знакомит с новыми. На уроке рассматриваются примеры, решаются  задачи. Задается домашнее задание в виде домашних контрольных работ.  Проверка домашней к\р, выявление ошибок, выставление оценок.
3.	2	Сокращение дробей.	Лекция, практикум	В ходе лекции рассматриваются новые способы сокращения дробей, приводятся примеры. Учащимся предлагаются аналогичные и более трудные задачи. Учащимся предлагаются аналогичные и более трудные задачи. Задается домашнее задание в виде домашних контрольных работ. Проверка домашней к\р, выявление ошибок, выставление оценок.
4.	2	Квадратные корни	Лекция учителя	В ходе лекции учитель рассказывает о появлении первых иррациональных чисел, сообщает исторические сведения об этом событии. Ученикам предлагается найти другие исторические сведения по этой теме, подготовить сообщения. Следующий урок посвятить чтению сообщений и решению исторических и занимательных задач  по этой теме.
5.	3	Преобразование двойных радикалов	Лекция, практикум	В ходе лекции учитель рассказывает о значимости данной темы, о частом использовании таких примеров в ходе выпускных экзаменов в 11 классе и посту-пающих в ВУЗ. Приводится формула преобразования двойных радикалов, способ подбора с помощью формул квадрата суммы (разности). Приводятся примеры с использованием обоих способов, приводятся примеры. Учащимся предлагаются аналогичные и более трудные задачи. Задается домашнее задание в виде домашних контрольных работ. Проверка домашней к\р, выявление ошибок, выставление оценок.
5.	2	Освобождение от ирраци-ональности	Беседа, лекция, практикум	В ходе беседы учащиеся с помощью учителя вспоминают, как освобождаются от иррациональности в простых случаях. Учитель коротко, в ходе небольшой лекции приводит более сложные примеры освобождения от иррациональности, приводятся примеры. Учащимся предлагаются аналогичные и более трудные задачи.
6.	3	Преобразование выражений, содержащих квадратные корни.	Практи-кум	Объяснение материала начинается с примеров, учитель показывает различные приемы преобразования таких выражений. Ученики решают аналогичные задачи, а на последующих занятиях и более трудные. Учитель говорит о значимости данной темы, приводятся примеры из сборников для поступающих в ВУЗы. Задается домашнее задание в виде домашних контрольных работ. Проверка домашней к\р, выявление ошибок, выставление оценок.
7.	3	Квадратные уравнения. Исследование квадратных уравнений.	Лекция, практикум	В ходе лекции даются кратко исторические сведения, основные знания по этой теме. Рассматриваются примеры исследования квадратных уравнений. Ученики решают аналогичные задачи, а на последующих занятиях и более трудные. Задается домашнее задание в виде домашних контрольных работ. Проверка домашней к\р, выявление ошибок, выставление оценок.
9.	3	Задачи на составление  квадратных уравнений	практикум	Учитель на примерах рассматривает основные задачи на составление квадратных уравнений, показывает их краткое оформление, подходы к решению. . Задается домашнее задание в виде домашних контрольных работ. Проверка домашней к\р, выявление ошибок, выставление оценок.
10.	2	Теорема Виета	Лекция учителя, выступле ния учащихся	В ходе лекции учитель сообщает исторические сведения о французском математике Ф. Виете, об историях, связанных с его именем, приводит исторические задачи. Ученикам предлагается найти другие исторические сведения или нестандартные задачи на эту тему и подготовить сообщения. На следующем уроке ученики выступают с сообщениями.
11.	3	Использование т.Виета для решения квадратных уравнений. Симметричес кие много- члены.	Лекция, практикум	В ходе лекции учитель сообщает основные сведения по т. Виета. Рассматривает примеры. Ученики решают задачи от простых к более сложным. На следующем уроке рассматриваются симметрические многочлены, показываются два способа решений в сравнении. Ученики решают задачи. Задается домашнее задание в виде домашних контрольных работ. Проверка домашней к\р, выявление ошибок, выставление оценок.
12.	2	Абсолютная величина. Уравнения с переменной под знаком модуля.	Лекция, практикум	В ходе лекции учитель напоминает определение модуля и показывает на примерах решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля. Задается домашнее задание в виде домашних контрольных работы. Проверка домашней к\р, выявление ошибок, выставление оценок.
13.	1	Преобразо- вание дробно-рациональных выражений	практикум	На занятиях рассматриваются задания из сборника для поступающих в ВУЗы с применением всех изученных ранее тем. Задается домашнее задание в виде домашних контрольных работы. Проверка домашней к\р, выявление ошибок, выставление оценок.
14.	2	Итоговая контрольная работа.
15.	1	Подведение итогов.	беседа		Выставляется  общая оценка за курсы учителем, учеником. Ученики делают выводы, надо ли начинать обучение в профильном классе? Какие темы мне хотелось бы еще рассмотреть? Проводится  анкета-опрос.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Занятие 2-4.

1.   Разложение целого многочлена на множители.

При решении уравнений и неравенств, при решении задач на делимость и в ряде других случаев часто приходится раскладывать многочлен на множители. Эта задача более сложная, чем преобразование целого выражения в многочлен.

      Если в преобразованиях целого выражения в многочлен обычно можно руководствоваться определенными правилами, то при решении обратной задачи - разложение многочлена на множители – приходится зачастую самостоятельно отыскивать те или иные приемы.

       Сначала рассмотрим примеры, в которых многочлен можно разложить на множители путем предварительного преобразования: добавить или вычесть одночлен или разбить его на  два слагаемых, представив тем самым многочлен в виде разности квадратов или в виде разности или суммы кубов.

Пример 1. Разложите на множители многочлен:

А) ;    Б);      В).

Решение:

А) ====

=.

Б) ====

.

В) .

Этот многочлен напоминает разложение куба двучлена. Действительно, х⁹=(х³)³; 8=2³, 6х⁶=3(х²)²2. Единственный член 11х³ не подходит. На этом месте должен быть 3х³2²=12х³. Это несоответствие можно исправить: прибавим и вычтем х³.

====.

Иногда, прежде чем раскладывать выражение на множители бывает выгодно использовать временные обозначения, т.е. производить замену выражения переменной.

Пример 2.

Представим выражение  в виде произведения.

Нетрудно заметить, что в это выражение входит лишь два буквенных выражения - двучлены и. С целью упрощения выкладок введем подстановку: и . Тогда исходное выражение примет вид:

====.

Произведем обратную замену, получим:

==.

Выражение  при  и  можно разложить на множители . Это формулы разности квадратов и разности кубов. Напомним их:

,

.

Выведем аналогичную формулу для  :

==.

Правая часть этих формул - произведение разности  на некоторый многочлен, в структуре которого хорошо просматривается определенная закономерность.

1)Этот многочлен расположен по убывающим степеням переменной ;

2) все его коэффициенты равны 1;

3) каждый член многочлена имеет одну и ту же степень, равную степени многочлена. Естественно предположить, что при любом имеет место тождество =.

 Возможно также разложение на множители суммы -х степеней.

Пусть  - нечетное натуральное число. Тогда =. Применим формулу разности -х степеней, получим: =.

Пример 3. Докажем, что при всяком натуральном  значение выражения  кратно 47.

Преобразуем данное выражение следующим образом:

===.

Первый множитель 47, а второй множитель целое число.

 Значит, данное выражение делится на 47.

 

Дополнительные задачи:

1.Разложите на множители:

а)   

б)

в)

г)

д) ;

е) ;

ж)

и)

2.     Докажите, что 

А) сумма  делится на 50;

Б) значение выражения  кратно 23;

В) при любом натуральном значение выражения  кратно 183.

 

 

Домашняя контрольная работа

1.     Разложите на множители:

А);

Б)

В)

Г)

Д)

Е)

Ж)

З)

2.     Докажите, что значение выражения

А) кратно 46;

Б) кратно 91;

В)  кратно 56;

Г)  кратно 14;

Д) при любом натуральном значение выражения  кратно 11.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Занятие 5-7.

Тема: «Сокращение дробей».

Одна из важных и часто встречающихся операций в преобразовании рациональных дробей – сокращение дробей. Чтобы сократить дробь, нужно, как известно, ее числитель и  и знаменатель разложить на множители. В общеобразовательной программе наиболее часто встречающиеся приемы: использование формул сокращенного умножения и разложение на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки или использование способа группировки. Покажем другие приемы сокращения рациональной дроби:

 

1)Числитель и знаменатель дроби умножается на одно и то же число с целью упрощения выкладок.

Пример:

Сократить дробь:.

Можно заметить, что знаменатель данной дроби представляет собой второй множитель в разложении по формуле двучлена , а числитель также представляет собой второй множитель в разложении двучлена . Поэтому, умножив числитель и знаменатель данной дроби на , мы сможем упростить эту дробь, а затем выполнить ее сокращение

==.

Пример 2.  Зная, что , найдите значение дроби .

Числитель и знаменатель дроби - однородные многочлены третьей степени (т.е. каждый член многочлена имеет степень, равную степени многочлена).

  Поэтому, если числитель и знаменатель этой дроби разделить на , то получим дробь, значение которой зависит от   :

.

Из условия , находим значение :

     

     

              

                 .

Подставив это значение в преобразованную дробь, найдем:

Пример 3. При каких целых значениях дробь   является целым числом?

Выделим в числителе дроби множитель :

 Получим:

=

Если , то  Дробь  окажется целым числом тогда и только тогда, когда 17 делится на . Число 17- простое, его делителями являются числа –17;-1;1;17.

Значит,   может принимать значения –20;-4;-2;14.

Таким образом,  данная дробь является целым числом , при .

Выделенное в примере преобразование называют выделением целой части из рациональной дроби.

 

 

Дополнительные задачи в классе:

1.     Сократите дробь:

А)    б) в) 

 

Г)    д)

2.     Найдите значение выражения: при  и

3.     Зная, что  найдите значение дроби:

а)  б)

Домашнее задание:

1.     Вычислите:

А)  б) ; в)  г).

2. Сократите дробь:

а); б) ; в); г);

 д) ; е) ;  ж) ; з) ;

 и)  . 

3. Найдите значение дроби:

а) при , ;

б) при , .

4. Зная, что , найдите значение выражения .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Занятие 8-9.

Тема: « Рациональные и иррациональные числа.

Из истории появления иррациональных чисел».

 

На почтовой корреспонденции адрес указывается последовательно: сначала страна, потом край, город, улица, дом, квартира. Так же и местоположение любого иррационального числа на числовой оси можно узнать с произвольной точностью, рассматривая разное количество цифр после запятой у представляющей его десятичной дроби. Так, дроби 1,4; 1,41; 1,414; … позволяют определить  с точностью до десятых, сотых, тысячных и т.д. Каждое из этих чисел рациональное, и мы, т.о., получаем приближение иррационального числа  последовательностью рациональных.

   Любое иррациональное число можно с произвольной точностью приблизить последовательностью рациональных чисел, поскольку последние «весьма плотно» располагаются на числовой оси: между каждыми двумя рациональными числами всегда имеются и другие рациональные числа.

  Находить некоторые приближения квадратных корней из произвольных чисел умели уже древние вавилоняне – об этом свидетельствуют клинописные таблички, составленные за несколько столетий до новой эры. Способ нахождения приближений  (притом наилучший при данном знаменателе) знали еще древние греки. Он был описан Теоном Смирнским (II в.)

Рациональные + иррациональные.

Рациональные и иррациональные числа вместе образуют множество действительных чисел. Построение системы действительных чисел было завершено только в XIX веке усилиями Ю.В.Р. Дедекинда, Г. Кантора, К,Т.В. Вейерштрасса и других математиков.

    Образом совокупности действительных чисел является прямая. Проведем на плоскости прямую, выберем на ней две точки, и пусть одна из них изображает нуль, а другая – единицу. Откладывая единичный отрезок в обе стороны от нуля, получим изображение на прямой целых чисел . Разделим единичный отрезок пополам и, откладывая его в обе стороны, получим изображение чисел . Затем разделим отрезок на 3,4,5, …,п частей и т.д., будем откдадывать отрезки длиной 1/п и получать изображение чисел .

  Но все равно таким образом нам не удастся заполнить всю прямую. Ведь ясно, что если отложить от нуля отрезок, равный диагонали квадрата со стороной 1, то конец этого отрезка не совпадет ни с одной из построенных нами рациональных точек. Число можно представить себе как «щель» между рациональными числами. Немецкий математик Юлиус Вильгельм Рихард Дедекинд вместо слова «щель» употребил термин «сечение». Число  рассекает рациональные числа на две части – те, квадрат которых меньше 2, и те, квадрат которых больше 2. Вот такими дедекиндовыми сечениями и пополняется множество рациональных чисел. Теперь прямая оказывается заполненной – каждой точке ставится в соответствие некоторое число.

      Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс пошел по другому пути: вместо сечений он рассматривал возрастающие  ограниченные последовательности рациональных чисел. Каждая из них представляла вполне определенное иррациональное число. Например, вычисляя последовательно десятичные знаки , мы получим представляющую это число последовательность .

Как появился знак корня.

 

Вначале поговорим о самом слове «корень». Кроме прямого, биологического значения: «корень дерева», «корень зуба» – у него имеется и метафорический, иносказательный смысл: « корень зла», «родовые корни». Крылатое изречение Козьмы Пруткова «Зри в корень!» призывает к постижению сути, первоосновы, первопричины проблемы.

      В Древней Индии неизвестное именовалось «мула», что означает «начало», «основание», «корень (дерева)». Арабы для этих целей использовали слово     «джизр» с тем же значением. (Европейцы перевели его на латынь как radix-  “корень”). Так возник математический термин  “радикал”.

 С этим названием связан привычный нам значок корня

А история его такова.

 На протяжении нескольких веков математики, вслед за Леонардо Пизанским, квадратный корень обозначали знаком. (сокращение от слова radix). Постепенно  превратилось в строчную букву r. В книге по алгебре Кристофа Рудольфа – первом руководстве подобного рода, написанного на немецком языке (1525г), - вместо r используется значок v. Этот символ уже похож на тот, которым пользуемся мы. Современную запись корней разных степеней - - мы находим у голландского математика Альбера Жерара. А горизонтальную черту над выражением под радикалом ввел в 1637 году  Рене Декарт.

 

Домашнее задание:

Подготовить сообщения, придумать или выписать интересные задачи, истории на эту тему

 

 

 

 

 

 

 

Занятие 10-13.

Тема: « Освобождение от иррациональности. Преобразование двойных радикалов».

Выражение видаобычно называют двойным радикалом или сложным радикалом.

 

 Если подкоренное выражение представляет собой полный квадрат, то можно в двойном радикале освободиться от внешнего радикала, воспользовавшись равенством .

Пример 1. Освободимся от внешнего радикала в выражении: а) ;   б) .

А) Слагаемое  можно рассматривать как удвоенное произведение чисел  и 1 или чисел  и 2. Число 7 должно быть равно сумме квадратов этих чисел. Подбором находим, что это условие выполняется для чисел  и 2, т.е. ==. Получаем,

= 

б)  Слагаемое  можно рассматривать как удвоенное произведение чисел   и 3,  и 1,  и 6, и 4,   и 2,  и 12. Число 57 должно быть равно сумме квадратов этих чисел. Подбором убеждаемся, что это условие выполняется для чисел  и 3, т.е.

=. В некоторых примерах удается освободиться от внешнего радикала с помощью тождества

.

Это тождество называют формулой двойного радикала.

Пример 2 . Освободимся от внешнего радикала в выражении .

Применим формулу двойного радикала, получим =.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дополнительные задания:

 

1.     Выполните умножение: а) ; б) .

2.      Освободитесь от иррациональности в знаменателе:

 а);  б) ;   в)

3.      Освободитесь от внешнего радикала, представив подкоренное выражение в виде квадрата: а)  б) в)

4.      Докажите, что значение выражения является натуральным числом

 

 

 

 

 

Домашняя контрольная работа:

 

1.     Выполните умножение:

 а);   б) ; в);  г).

 

2.     Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а); б); в) ;  г).

 

3.     Освободитесь от внешнего радикала:

а) б) ; в) г).

 

4.     Найдите значение  и , если .

 

5.      Докажите, что значение выражения является натуральным числом: .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Занятие 14-16.

Тема: «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».

 

Пример 1. Упростите выражение .

 Решение:

 ==. Ответ: .

 

Пример 2. Упростите выражение:. Решение:

==

==.

Ответ: .

Пример 2. Упростите выражение:.

Решение:

 

===.

Ответ: .

 

 

 

Дополнительные задания:

1.;

2..

 

 

Домашняя контрольная работа

Выполните действия:

1.     ;

2.     ;

3.     ;

4.     ;

5.     .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Занятие 17-18.

Тема: «Теорема Виета, исторические сведения».

 

Франсуа Виет (1540-1603)- французский математик, известный нам по одноименной теореме был известен в свое время еще одним самым замечательным достижением. Находясь на королевской службе он разгадал шифр, содержащий более 500 знаков, менявшихся время от времени.

  Его отстранили от должности тайного советника и, находясь в опале 4 года, он полюбил математику. По рассказам современников, Виет мог просиживать за письменным столом по трое суток подряд, только иногда забываясь сном на несколько минут.

  С именем Франсуа Виета связано несколько замечательных историй.

 Вот одна из них.

Однажды в ноябре 1594 года при дворе Генриха IV нидерландский посланник рассказал об известной задаче знаменитого математика

Адриена ван Ромена (1561-1615). Это был вызов математикам всего мира. Речь шла о решении уравнения 45-й степени:, где

В списке тех, кому следовало направить его научный вызов, ван Ромен не указал ни одного француза, и посланник заметил, что, по-видимому, во Франции нет математиков. « Но почему же?- возразил король.

-У меня есть математик, и весьма выдающийся».

 И  он послал за Виетом. Один корень Виет нашел сразу же, а на следующее утро представил еще 22 решения уравнения.

 

Экзаменационная задача.

 

Эту задачу предлагали решить поступающим в Московский университет на физический факультет.

Уравнение , где  имеет одним из своих корней число 3.

Решите уравнение .

 

Решение: Применим теорему Виета к первому уравнению: =, и, следовательно, <0. Обозначим , тогда второе уравнение примет вид . Сравнив это уравнение с исходным, получим =3; =, <0. Учитывая, что , значение  отбрасываем, а из равенства  =3 находим , т.е. .

Ответ: .

 

Домашняя работа:

Подготовить сообщения, придумать или выписать интересные задачи, истории на эту тему

 

 

Занятие 19-20.

Тема: «Теорема Виета».

Если в квадратном уравнении коэффициент при х² равен 1, то уравнение принимает вид , где  и -некоторые числа.

Уравнения такого вида называют приведенным квадратным уравнением.

            Зависимость между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения выражает, как, известно, теорема Виета, получившая свое название по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета:

Сумма корней  приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

          Пусть  и  - корни квадратного уравнения , тогда

Если квадратное не приведенное уравнение  имеет корни и , то

  Если условиться считать, что при  квадратное уравнение имеет два равных корня, то теорема Виета верна и в этом случае. О квадратном уравнении, имеющем единственный корень, говорят иногда, что оно имеет корень двойной кратности или что оно имеет два равных корня.

 Справедливо утверждение, обратное теореме Виета:

 Если  и  таковы, что их сумма равна , а произведение равно ,то эти числа являются корнями уравнения .

Пример 1. Найдем корни уравнения .

Решение: Нетрудно заметить, что 1998-907+1091=0, значит один из корней уравнения равен 1. Зная, что =1, найдем ,воспользовавшись теоремой Виета. Имеем =,  т.к. =1, то =.

Ответ: .

Пример 1. Решая уравнение , нашли, что оно имеет корни = и =. Выясним, правильно ли решено уравнение.

Решение: Чтобы выполнить проверку, можно подставить в уравнение данные значения и выяснить, обращается ли уравнение в верное равенство. Однако можно избежать громоздких вычислений, если воспользоваться теоремой обратной теореме Виета. Найдем сумму и произведение корней: +=+=-57;        *= *   =  .

По теореме, обратной теореме Виета, числа  и  являются корнями квадратного уравнения , а значит, и равносильного ему уравнения , которое получается из него умножением обеих частей уравнения на 9. Итак, можно сделать вывод, что корни уравнения найдены правильно.

Пример 3. Составим  приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются числа = и =.

Решение: Один из путей решения состоит в том, чтобы составить уравнение вида , т.е. уравнение вида , и, выполнив умножение, привести его к виду .

Можно поступить иначе. Вычислим сумму и произведение этих чисел:

+= +=9;      

 *= ()*()= 14 - . По теореме, обратной теореме Виета, получаем, что указанные корни имеет приведенное квадратное уравнение .

 

Теорема Виета позволяет решать задачи, в которых требуется найти коэффициенты квадратного уравнения по известному соотношению между его корнями. Решение таких задач сводится к решению системы уравнений, в которую, кроме уравнения, заданного условием, входит еще уравнение, составленное на основе теоремы Виета.

Пример 4. Найдем  в уравнении , если известно, что разность квадратов корней равна 288.

Решение: Пусть  и - Корни уравнения. По условию задачи

По теореме Виета +=-12.

Решим систему уравнений: Имеем:

По теореме Виета

Ответ: =-108.

 

 

 

Домашняя контрольная работа:

 

1.     Решите уравнение и выполните проверку, используя теорему, обратную теореме Виета:

А) ;           Б) ;

В)                       г)  .

2.     Один из корней уравнения  равен 7,5 . Найдите .

3.     Один из корней уравнения  в три раза больше другого. Найдите .

4.     Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, один из корней которого равен:

А);            б) ;          в) .

5.     Зная, что уравнение  имеет корни  и , составьте квадратное уравнение, имеющее корни:

А) +4 и +4;             б) 5 и 5;           в) и .

 

 

 

 

 

 

 

Занятие 21-22.

Тема: «Выражения, симметрические относительно корней квадратного уравнения, их связь с коэффициентами».

Выражения , , обладают тем свойством, что их значения не изменяются, если переменную  заменить на , а переменную заменить на . Такие выражения называются симметрическими относительно переменных  и .

  Вообще выражение с двумя переменными называется симметрическим относительно этих переменных, если его значение не меняется при взаимной замене переменных.

   Очевидно, что симметрическими относительно переменных  и  являются выражения, представляющие собой сумму и произведение -ых степеней () этих переменных:

, , , …, .

,     ,         ,…,  .

Симметрическими относительно переменных  и  являются также четные натуральные степени разности :

, , ,…, ,….

Можно привести другие примеры выражений с двумя переменными, которые симметричны относительно входящих в них переменных:

,  и т.п.

  Рассмотрим некоторые выражения, симметрические относительно корней квадратного уравнения, и покажем, как связаны их значения с коэффициентами квадратного уравнения. Для этого мы будем стремить выразить данное симметрическое выражение через сумму и произведение корней квадратного уравнения, чтобы иметь возможность применить затем теорему Виета.

Пример 1. Выразим через  коэффициенты квадратного уравнения  имеющего корни  и , сумму квадратов, сумму кубов и сумму четвертых степеней его корней.

Решение: Выразим сначала сумму квадратов корней уравнения, а затем, используя этот результат, выразим сумму кубов и четвертых степеней корней. Получим:

1)    ;

2)     =

3)    .

Пример 2. Известно, что  и -корни уравнения . Выразим через коэффициенты р и q значение выражения .

Имеем: = 

.

Ответ: .

  Умение выражать симметрические выражения относительно корней квадратного уравнения через коэффициенты этого уравнения находит применение при решении различных задач, в которых встречаются такие выражения. Приведем примеры:

Пример 3. Найдем, при каком значении   уравнение

имеет корни, сумма квадратов которых равна 25.

Решение: Пусть  и - корни уравнения. Тогда, используя условие задачи и формулы Виета, можно составить систему уравнений:

Решив эту систему уравнений способом подстановки, мы можем найти корни уравнения  и , а затем их произведение, равное .

Будем учитывать то, что нас интересуют не сами корни, а только их произведение. Тогда  мы можем решить задачу проще.

Возведем обе части второго уравнения в квадрат.

 Получим:

. Заменив в этом равенстве сумму  числом 25, будем иметь: 25+. Отсюда: *=-12.

Ответ:-12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дополнительные задания:

 

1.     Пусть  и - корни уравнения .

Найдите: А) + ; б) ; в) ;г) .

2.     Зная, что  и - корни уравнения , найдите:

А)  + ; б) ; в) ; г) .

3.     Не решая уравнения , найдите:

А) квадрат суммы корней;

Б) квадрат разности корней;

В) сумму квадратов корней;

Г) сумму кубов корней.

 

 

 

Домашняя контрольная работа.

1.     Пусть  и - корни уравнения . Не решая уравнения, найдите значение выражения:

А)  + ; б) ; в) ; г) .

2.     Известно, что сумма квадратов корней уравнения  равна 10084. Найдите корни уравнения и .

3.     Найдите значение т, при котором сумма корней уравнения  равна 41.

4.     Известно, что уравнение  имеет корни  и . Выразите через р:

А)  + ; б) ; в) ; г) .

5.     Известно, что уравнение  имеет корни  и . Составьте уравнение, корнями которого являются:

А) противоположные им числа;

Б) обратные им числа.

Занятие 23.

Тема: «Квадратные уравнения».

Квадратным называется уравнение вида , где а, в, с-действительные числа и а0. Если а=1, то квадратное уравнение называется приведенным.

  Впервые квадратное уравнение сумели решить математики Древнего Египта. В одном из математических папирусов содержится задача: « Найти стороны поля, имеющего форму прямоугольника, если его площадь 12, а 3\4 длины равна ширине».

     Рассмотрим ее.

 Пусть х - длина поля. Тогда 3х/4-его ширина,  - площадь. Получилось квадратное уравнение .

  В папирусе дано правило для его решения: « Раздели 12 на 3\4».

Итак, . « Длина поля равна 4»- указано в папирусе.

 

Задача о стае обезьян.

Составив квадратное уравнение, решите древнеиндийскую задачу о стае обезьян.

На две партии разбившись

Забавлялись обезьяны.

Часть восьмая их в квадрате

В роще весело резвилась.

Криком радостным двенадцать

Воздух свежий оглашали.

Вместе сколько, ты мне скажешь

Обезьян там было в роще?

Ответ: 16, 48.

 

 

Домашнее задание:

Найти интересные сообщения, истории, задачи на эту тему и приготовить их к следующему уроку.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Занятие 24-25.

Тема: « Исследование квадратных уравнений».

Сведения о зависимости числа корней квадратного уравнения от его дискриминанта и теорема Виета позволяют, не вычисляя корней квадратного уравнения, получить о нем достаточно широкую информацию: выяснить, имеет ли квадратное уравнение корни и сколько; для уравнения, имеющего корни, определить их знаки, сравнить корни по модулю, если знаки корней различные;

устанавливать в некоторых конкретных случаях, может ли уравнение иметь целые корни и т.п.

          Рассмотрим примеры исследования квадратного уравнения.

Пример 1. Не решая уравнения, выясним, имеет ли уравнение корни и если имеет, то каковы их знаки:

А);        б) .

Решение: Определим сначала знак дискриминанта . Не выполняя вычислений, можно установить, что , так как  и . Значит, уравнение имеет два различных корня  и . Так как , то  знаки корней различные. Из условия  + = следует, что положительный корень уравнения имеет больший модуль, чем отрицательный.

Б) Определим сначала знак дискриминанта. В этом уравнении , поэтому сразу сказать, будет дискриминант положительным или отрицательным числом, нельзя. Выполним вычисления:

. Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два различных корня  и . Так как ,то знаки корней одинаковые.

 Учитывая, что  + =, можно сделать вывод, что оба корня отрицательные.

Дополнительные задания.

1.     Выясните, имеет ли уравнение корни и сколько:

А)

Б) ;

В) .

2.     Докажите, что график функции  не пересекает ось х:

А);    б) ;   в) .

3.     При каких значениях в уравнение имеет два различных корня:

А); б) ?

 

 

4.     При каких значениях  уравнение имеет единственный корень:

А);  б) ; в) .

5.     Докажите, что при любых а, в и с уравнение  имеет корни. При каком условии уравнение имеет единственный корень?

6.     Найдите все натуральные значения т, при которых уравнение имеет два корня:

А) ;         б);

В) .

 

 

 

Домашняя контрольная работа.

 

1.     Определите, имеет ли уравнение корни и если имеет, то каковы их знаки:

А);

Б) ;

В) .

2.     Выясните,  пересекает ли график функции  ось х  (при положительном ответе укажите, как расположены точки пересечения относительно оси ), если:

А)               б) .

3.      При каких значениях в уравнение имеет два  корня:

А); б) ?

4.     При каком  значении в уравнение  имеет единственный корень?

5.     Существует ли такое значение с, при котором уравнение :

 а)  не имеет корней;

б) имеет один корень;

в) имеет два корня?

               

 

 

 

 

 

 

 

 

Занятие26-28.

Тема: « Задачи на составление квадратных уравнений».

 

Пример 1. Найдите двузначное число, если цифра его десятков на 2 больше цифры единиц, а произведение числа и суммы его цифр равно 900.

Решение: Пусть -двузначное число, где   а, в.

Известно, что цифра десятков на 2 больше цифры единиц, тогда а=в+2- первое уравнение системы.

Т.к. произведение числа и суммы его цифр равно 900, то - второе уравнение системы.

Получим:

Следовательно, =75.

Ответ:75.

 

Пример 2. С аэродрома вылетели одновременно два самолета: один - на запад, а другой – на юг. Через 2 часа расстояние между ними было 2000 км. Найдите скорости самолетов, если скорость одного составляла 75% скорости другого.

Решение: Пусть км/ч скорость первого самолета, тогда скорость второго самолета 0,75 км/ч. Через 2 часа первый самолет пролетит 2 км, а второй -  1,5 км. Известно, что между ними через 2 часа будет 2000 км.

По теореме Пифагора из :

                                  

                                   

Второй корень не подходит по условию задачи, следовательно скорость первого самолета равна 800 км/ч, тогда 0,75*800=600 км/ч- скорость второго самолета.

Ответ: 800 км/ч, 600 км/ч.

 

Пример 3. Катер прошел 18 км по течению реки, а затем 20 км против течения, затратив на весь путь 2 часа. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость катера 20 км/ч.

Решение: Пусть х км/ч скорость течения реки. Составим таблицу по данным задачи:

	км/ч	ч	км
По течению	20+х		18
Против течения	20-х		20
Собственная скорость	20
Скорость течения реки	х

Составим уравнение:

 Корень уравнения х=-5-не является решением по смыслу задачи.

Значит, 4 км/ч - скорость течения реки.

Ответ: 4 км/ч.

 

 

 

 

 

 

 

Пример 4. Первый рабочий изготовил 60 деталей на 3 часа быстрее второго. За сколько часов второй рабочий изготовит 90 деталей, если, работая вместе, они изготовят за один час 30 деталей?

Решение:

Пусть работа по изготовлению 60 деталей составляет 1 , тогда 90 деталей – 1,5, а 30 деталей - 0,5. Составим таблицу по данным задачи:

	Время выполнения всей работы, ч.	Часть работы, выполненная за 1 час	Часть половины работы, выполненной за 1 час.
1 рабочий	х
2 рабочий	х+3
Вся работа	1	1	0,5

 

Составим уравнение:

Корень уравнения х=-2  не подходит по смыслу задачи, значит  3 часа затратит первый рабочий на изготовление 60 деталей, тогда второй рабочий затратит х+3=6 часов. Значит, на изготовление 90 деталей он тратит в 1,5 раза больше, т.е. 6*1,5=9 часов.

Ответ: 9 часов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Домашняя контрольная работа:

 

1.     Одна из цифр двузначного числа на 3 меньше другой, а сумма квадратов этого числа и числа, полученного перестановкой его цифр равна 1877. Найдите это число.

Ответ:14 или 41.

2.     По двум взаимно перпендикулярным шоссе начинают двигаться по направлениям к их пересечению две машины. Первая машина находится от места пересечения на расстоянии 60 км и движется со скоростью 40 км/ч, а вторая – на расстоянии 40 км и движется со скоростью 30 км/ч. Через какое время расстояние между машинами станет минимальным?

(Проехав место пересечения  шоссе, каждая машина движется дальше).

Ответ: через 1,44 часа.

3.     Моторная лодка прошла 60 км против течения реки и 60 км по течению реки, затратив на путь против течения на 50 минут больше, чем на путь по течению. Найдите скорость течения реки, если скорость лодки в стоячей воде 21 км/ч.

Ответ: 3 км/ч.

4.     Две трубы вместе заполняют бассейн за 6 часов. Определите, за сколько часов наполняет бассейн каждая труба в отдельности, если известно, что из первой трубы в час вытекает на 50% больше воды, чем из второй.

Ответ: 10 часов и 15 часов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Занятие 29.

Тема: « Преобразование алгебраических выражений».

 

Пример 1. Упростите выражение:

, .

Решение:

Имеем

Аналогично,

Следовательно, .

Теперь находим

Ответ:

Пример 2. Упростите выражение:

=

Решение:

 Разложим на множители квадратные трехчлены в числителе и знаменателе дроби:

=. Так как  х>1,то в силу соотношения

имеем и . Значит, =, откуда после сокращения получим

=.

 

 

 

 

 

Пример 3.

 Проверить справедливость равенства .

Решение:

 Рассмотрим равенство   .

 Очевидно, что если оно верно, то верно и заданное равенство.

 Пусть . Легко установить, что  и . Если при этом выполняется равенство , то . Находим

;

.

Так как , то, т.е. заданное равенство справедливо.

2 способ.

Этот пример можно решить быстрее, если догадаться, что оба подкоренные выражения в условии являются квадратами положительных чисел, а именно:

 и . Тогда левая часть заданного равенства есть  и 2=2.

Пример 4. Чему равна сумма выражений  и, если известно, что их разность равна 2 (значение переменной  находить не нужно)?

 

Решение:

Согласно условию, -=2. Используя формулу , получим+=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Домашняя контрольная работа:

 

Упростите выражение:

1. .

 

2. .

 

3.Если , то чему равен ?

 

4.Упростите выражение:

 

5.Преобразованием левой части проверить, что:

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Занятие 30-31.

Тема: « Модуль числа».

        Абсолютной величиной (модулем) числа называют расстояние на координатной прямой от начала координат до точки с координатой равной этому числу. Удобно записать определение модуля в таком виде:

 

Чтобы найти длину отрезка координатной прямой, надо из координаты его правого конца вычесть координату левого конца.

     Если А(а) и В(в) – две точки координатной прямой и неизвестно, какая из них находится правее другой, то расстояние между ними равно . Действительно, пусть точка В(в) правее точки А(а). Обозначим расстояние между точками А и В буквой d. Тогда d= в-а =. Если точка А(а) правее точки В(в), то d= а-в =, так как =. Если же точки А(а) и В(в) совпадают, то d= =0.

Итак, расстояние между двумя точками координатной прямой равно модулю разности этих точек.

          Используя понятие расстояния между двумя точками координатной прямой, можно показать, что неравенства  и , где т>0, равносильны.

     Действительно, пусть М- произвольная точка отрезка АВ, имеющего длину 2т с серединой в точке С. Тогда расстояние до точки М от середины отрезка (точки С) не больше, чем т. Используя знак модуля, это можно записать так: С другой стороны, очевидно, что .

         Аналогично можно показать, что неравенство  равносильно совокупности неравенств

 

Рассмотрим примеры решения неравенств вида и  .

Пример 1. Решим неравенство .

Сформулируем эту задачу иначе: на координатной прямой найдем множество точек, расстояние от которых до точки с координатой 3 не более чем 2.

      Отметим на координатной прямой точку с координатой 1 (3-2=1) и, справа от нее,  точку с координатой 5 (3+2=5). Все точки, заключенные между точками с координатами 1 и 5, и только эти точки, удалены от точки с координатой 3 на расстояние не большее чем 2 единицы. Значит, искомое множество координат точек есть числовой промежуток .

Пример 2. Решим неравенство .

Заменим это неравенство равносильным ему неравенством

На координатной прямой отметим точку с координатой –2 и точки с координатами –7 и 3 (-7=-2-5; 3=-2+5). Более чем на 5 единиц удалены от точки с координатой –2 те и только те точки, которые расположены левее точки с координатой –7 или правее точки с координатой 3. Значит, множество решений данного неравенства есть объединение промежутков  и .

     При решении уравнений и неравенств вида , ,  мы использовали понятие «расстояние между двумя точками координатной прямой».

       Рассмотрим приемы решения уравнений с модулем без использования геометрических представлений.

Пример 3. Решим уравнение .

     Так как модуль  х-5 равен 3, то по определению модуля числа значение выражения под знаком модуля равно либо 3, либо –3.

Имеем совокупность двух уравнений:

Решив их, найдем, что

Вообще уравнение:, где - положительное число, равносильно совокупности двух уравнений:

 

Рассмотрим решение уравнения вида

Если - корень этого уравнения,  - верное равенство, при этом

, так как модуль числа всегда неотрицательное число. Отсюда следует, что  или . Верно и обратное: если  и  или, то .

Значит, уравнение  равносильно совокупности двух систем:

 

 

 

Пример 3. Решим уравнение

Это уравнение равносильно совокупности двух систем:

или           

Из корней  и  уравнения  удовлетворяет первой системе лишь . Из корней  и  уравнения  второй системе удовлетворяет лишь , так как

    , а .

Ответ: 3;

 

 

  Рассмотрим решение уравнений вида . Если - корень этого уравнения, то  - верное равенство. Если модули двух чисел равны, то числа либо равны, либо противоположны, т.е. или

. Очевидно, что верно и обратное: если  или, то.

 

 

 

 

  Значит, уравнение  равносильно совокупности двух уравнений:

 

Пример 3. Решим уравнение .

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Решим первое уравнение:

  

Решим второе уравнение:

  

Ответ: 1; 2; 3; 4.

 

Пример 4. Решим уравнение  .

Освободим  левую часть уравнения от знака модуля. С этой целью выделим промежутки, в которых х-1 и х-2 оба отрицательны, имеют разные знаки, оба положительны. Для этого нужно найти значения х, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль, - это числа 1 и 2. Они разбивают множество действительных чисел на три промежутка:

,  и . Имеем:

Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности трех систем:

           

 

Первая и третья системы не имеют решений, а решения второй системы образуют промежуток.

 Значит, уравнение имеет бесконечное множество корней.

Ответ: .

Дополнительные задания:

1.Решите уравнения:

а);   б)   

в) г)

2.Найдите корни уравнения:

 а); б) .

 Сколько корней может иметь уравнение , где - некоторое число?

3.Решите уравнение:

а)

б)

Домашняя контрольная работа.

 

1.Решите уравнение: а)

                                       б)

2.     Решите уравнение: а)

                                         Б)

3.     Найдите точки пересечения графика функции

 с прямой: А) у=0; б) у=1.

4.     Решите уравнение: а);

                                         Б) .

5.     Найдите корни уравнения: а);

                                                         Б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Занятие 32-33.

Тема: « Итоговая контрольная работа».

 

Цель: проверить полученные  в ходе курсов знания.

 

1.     Упростите выражение:

 

2.     Не решая, квадратное уравнение  найдите:

А)   б);   в) .

3.     Решите задачу:

Глиссер, собственная скорость которого равна 20 км/ч, прошел по реке расстояние, равное 60 км, и вернулся обратно. Определите скорость течения реки, если на весь путь глиссер затратил 6,25 часа.

 

4.     Упростите выражение:

.

 

5.     Найдите, при каком значении  дробь  принимает наибольшее значение, и вычислите это значение.

6.     Решите задачу:

Рукопись в 80 страниц отдана двум машинисткам. Если первая машинистка начнет перепечатывать рукопись через 3 часа после второй, то каждая из них перепечатает по половине рукописи. Если же обе машинистки начнут работать одновременно, то через 5ч останутся не перепечатанными 15 страниц. За какое время может перепечатать рукопись каждая машинистка в отдельности?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение.

 

В результате прохождения таких курсов, на мой взгляд, ученики получат необходимые им знания для подготовки к экзамену, в первую очередь, а также сделают для себя нужные выводы о том, стоит ли в дальнейшем заниматься по данному профилю.

 

 

      В ходе занятий контролируются знания учащихся, как учителем, так и самими учениками. Оценки ставятся условно, они  не проставляются в журнал, то есть ученики не боятся получить «2». Вместе с тем они должны быть заинтересованы в получении знаний, так как приходят на такие курсы, прежде всего, ученики настроенные на углубление математики, на получение новых знаний. Кроме того, их должны заинтересовать уроки истории математики, так как на этих уроках они получают  сведения, на которые подчас на обычном уроке просто не хватает времени.

 

      На последнем занятии ученики делятся впечатлениями о курсах, делают предложения о том какую тему надо бы рассмотреть в дальнейшем.

 

В  данные курсы не вошли, например, такие важные темы, как: «Решение неравенств», «Прогрессии», «Тригонометрия», «Функции» и др. Было бы логично проводить курсы по этим темам параллельно с данными курсами или продолжить рассмотрение этих тем в 10-11 классах в ходе подготовки к ЕГЭ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 В  результате углубления  знаний по данной теме курса ученики, с которыми проводился данный спецкурс, легко справились с письменным экзаменом по алгебре и успешно перешли в 10 класс.

  Из них:

 

В профильный класс нашей школы	В профильный класс другой школы	Выбрали другой профиль	Выбрали колледж
80%	4%	4%	2%

 

 

 

 

 

 Программа данных курсов позволяет оценить свои потребности  и возможности и сделать обоснованный выбор профиля обучения  в старшей школе.

    

 

 

 

 

 

 

Литература:

 

1.    Алгебра: Доп. главы к школьному учеб. 8кл.: Учеб. Пособие для учащихся шк. и кл. с углубленным изучением математики

/ Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк; Под ред. Г. В. Дорофеева.-

   4-е изд.- М.: Просвещение, 2001.

 

2.    Алгебра: Доп. главы к школьному учеб. 9кл.: Учеб. Пособие для учащихся шк. и кл. с углубленным изучением математики/ Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк; Под ред. Г. В. Дорофеева.-

   2-е изд.- М.: Просвещение, 2000.

 

3.    Дидактические материалы по алгебре для 8 класса с углубленным изучением математики./Ю. Н. Макарычев,

 Н.Г. Миндюк. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2001.

 

4.    Сборник задач по математике для поступающих в вузы: Учеб. пособие / В.К. Егерев, В.В. Зайцев, Б.А. Кордемский и др.; Под ред М.И. Сканави. – 6-е изд. – М.: Издательский дом « ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2002.

 

5.    Элективные курсы в системе предпрофильной подготовки: Уч.- метод. пособие./ Отв. ред. Т.Б. Качкиной. – Ульяновск: УИПК ПРО, 2004г

 

 

6.    Энциклопедия для детей. Т.11. Математика./ Глав. Ред. М.Д. Аксенова. – М.:Аванта+, 2001 г.