Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект урока
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Конспект урока

библиотека
материалов

Урок 13-14.


Тема: «Функции вида y=hello_html_m557d1d49.gif, их свойства и их графики. Свойства корня n-й степени».

Цели урока:

Образовательная: обеспечить овладение всеми учащимися основными алгоритмическим приемами применения свойств корня n-ой степени, обсудить основные свойства корней и их применение к решению задач.

Развивающая: развивать умение выделять главное, логически излагать мысли, делать выводы, анализировать, высказывать гипотезы, развивать смекалку и сообразительность.

Воспитательная: воспитание дисциплинированности, аккуратности записей в тетради, внимательности, активизировать деятельность учащихся на уроке.

Тип урока: изучение и закрепление материала.

Оборудования: учебник, блокноты.

Ход урока

  1. Организационный момент.

  2. Самостоятельная работа.

  3. Формулирование новой темы, определение основных целей.

  4. Объяснение нового материала.

  5. Закрепление нового материала.

  6. Подведение итогов.

  7. Домашнее задание.

  1. Организационный момент.

Приветствие, проверка отсутствующих в группе. Проверка выполнения домашнего задания. Как справились с домашним заданием? Что вызвало затруднение?

  1. Самостоятельная работа.

Вариант 1.

  1. а) 5hello_html_64fc9cda.gif б) -3hello_html_m60a90add.gif в) -4hello_html_22bcbff8.gif

  2. Решите графически уравнение: hello_html_2fb1acb1.gif

Вариант 2.

  1. а) 5hello_html_5b4c7a7f.gif б) -3hello_html_m64b4a6e8.gif в) -4hello_html_cb7af9a.gif

  2. Решите графически уравнение: hello_html_m6639dd51.gif

  1. Формулирование новой темы, определение основных целей.

Сегодня мы с вами рассмотрим тему: «Функции вида y=hello_html_m557d1d49.gif, их свойства и их графики. Свойства корня n-й степени». Обсудить основные свойства корней и их применение к решению задач, рассмотрим 5 теорем и их применение при решении примеров.

  1. Объяснение нового материала.

Свойства корня n-й степени
Чтобы успешно использовать на практике операцию извлечения
 корня, нужно познакомиться со свойствами этой операции, что мы и сделаем в настоящем параграфе.

Все свойства формулируются и доказываются только для неотрицательных значений переменных, содержащихся под знаками корней.

Теорема

Доказательство. Введем следующие обозначения: Задание  Нам надо доказать, что для неотрицательных чисел х, у, z выполняется равенство х-уz.
Так как
 Задание
Итак,
 Задание Но если степени двух неотрицательных чисел равны и показатели степеней равны, то равны и основания степеней; значит, из равенства xn =(уz)п следует, что х-уz, а это и требовалось доказать.   

Приведем краткую запись доказательства теоремы.

Таблица
Замечания:

1. Теорема 1 остается справедливой и для случая, когда подкоренное выражение представляет собой произведение более чем двух неотрицательных чисел.
2. Теорему 1 можно сформулировать, используя конструкцию "если...то» (как это принято для теорем в математике). Приведем соответствующую формулировку: если а иb — неотрицательные числа, то справедливо равенство Задание Следующую теорему мы именно так и оформим.


Теорема
Краткая (хотя и неточная) формулировка, которую удобнее использовать на практике: корень из
 дробиравен дроби от корней.
Доказательство. Приведем краткую запись доказательства теоремы 2, а вы попробуйте сделать соответствующие комментарии, аналогичные тем, что были приведены при доказательстве теоремы 1.



Таблица


ВЫ, конечно, обратили внимание на то, что доказанные два свойства корней п-й степени представляют собой обобщение известных вам из курса алгебры 8-го класса свойств квадратных корней. И если бы других свойств корней п-й степени не было, то как бы все было просто (и не очень интересно). На самом деле есть еще несколько интересных и важных свойств, которые мы обсудим в этом параграфе. Но сначала рассмотрим несколько примеров на использование теорем 1 и 2.
Пример 1. Вычислить Задание
Решение. Воспользовавшись первым свойством корней (теорема 1), получим:

Задание
Замечание 3. Можно, конечно, этот пример решить по-другому, особенно если у вас под рукой есть микрокалькулятор: перемножить числа 125, 64 и27,а затем извлечь кубический корень из полученного произведения. Но, согласитесь, предложенное решение «интеллигентнее».
Пример 2. Вычислить Задание
Решение. Обратим смешанное число A10614.jpg в неправильную дробь.
Имеем
 Задание Воспользовавшись вторым свойством корней (теорема 2), получим:

Задание
Пример 3. Вычислить: Задание
Решение. Любая формула в алгебре, как вам хорошо известно, используется не только «слева направо», но и «справа налево». Так, первое свойство корней означает, что A10618.jpg можно представить в виде A10619.jpg и, наоборот, A10619.jpg можно заменить выражением A10618.jpg. То же относится и ко второму свойству корней. Учитывая это, выполним вычисления:

Задание
Пример 4. Выполнить действия: Задание
Решение, а) Имеем: Задание
б) Теорема 1 позволяет нам перемножать только корни одинаковой степени, т.е. только корни с одинаковым показателем. Здесь же предлагается умножить корень 2-й степени из числа а на корень 3-й степени из того же числа. Как это делать, мы пока не знаем. Вернемся к этой проблеме позднее.
 
Продолжим изучение свойств радикалов.



Теорема

Иными словами, чтобы возвести корень в натуральную степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение.
Это — следствие теоремы 1. В самом деле, например, для к = 3 получаем:
 Задание Точно так же можно рассуждать в случае любого другого натурального значения показателя к.
Теорема

Иными словами, чтобы извлечь корень из корня, достаточно перемножить показатели корней.
Например,
 Задание
Доказательство. Как и в теореме 2, приведем краткую запись доказательства, а вы попробуйте самостоятельно сделать соответствующие комментарии, аналогичные тем, что были приведены при доказательстве теоремы 1.

Таблица
Замечание 4. Давайте переведем дух. Чему мы научились благодаря доказанным теоремам? Мы узнали, что над корнями можно осуществлять четыре операции: умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня (из корня). А как же обстоит дело со сложением и вычитанием корней? Никак. Об этом мы говорили еще в 8-м классе по поводу операции извлечения квадратного корня.

Например, вместо A10628.jpg нельзя написать A10629.jpg В самом деле, Задание Но ведь очевидно, что A10631.jpg Будьте внимательны!
Самое, пожалуй, интересное свойство корней — это то, о котором пойдет речь в следующей теореме. Учитывая особую значимость этого свойства, мы позволим себе нарушить определенный стиль формулировок и доказательств, выработанный в этом параграфе, с тем чтобы формулировка теоремы 5 была немного «мягче», а ее доказательство — понятнее.

Теорема
Например:

показатели корня  (показатели корня и подкоренного выражения разделили на 4);

показатели корня  (показатели корня и подкоренного выражения разделили на 3);

показатели корня  (показатели корня и подкоренного выражения умножили на 2).
Доказательство. Обозначим левую часть доказываемого равенства буквой показатели корня Тогда по определению корня должно выполняться равенство

Задание
Обозначим правую часть доказываемого тождества буквой у:

Задание
Тогда по определению корня должно выполняться равенство
 Задание

Возведем обе части последнего равенства в одну и ту же степень р; получим:

Задание
Итак (см. равенства (1) и (2)),

Задание
Сопоставляя эти два равенства, приходим к выводу, что х
 = у, а значит, х =у, что и требовалось доказать.   
Доказанная теорема позволит нам решить ту проблему, с которой мы столкнулись выше при решении примера 5, где требовалось выполнить умножение корней с разными показателями:

Задание
Вот как обычно рассуждают в подобных случаях.
1)    По теореме 5 в выражении
 A10643.jpg можно и показатель корня (т.е. число 2) и показатель подкоренного выражения (т.е. число 1) умножить на одно и то же натуральное число. Воспользовавшись этим, умножим оба показателя на 3; получим: Задание
2)    По теореме 5 в выражении
 A10645.jpg можно и показатель корня (т.е. число 3) и показатель подкоренного выражения (т.е. число 1) умножить на одно и то же натуральное число. Воспользовавшись этим, умножим оба показателя на 2; получим: A10646.jpg

3)    Поскольку получили корни одной и той же 6-й степени, то можно их перемножить:

Задание
Замечание 5. Вы не забыли, что все свойства корней, которые мы обсуждали в этом параграфе, рассмотрены нами только для случая, когда переменные принимают лишь неотрицательные значения? Почему пришлось сделать такое ограничение? Потому, что корень п-й степени из отрицательного числа не всегда имеет смысл — он определен только для нечетных значений п. Для таких значений показателя корня рассмотренные свойства корней верны и в случае отрицательных подкоренных выражений.

  1. Закрепление нового материала.

Решаем номера: №1103(а, б), №1104, №1107(а), №1114(а, б), №1121-1126(а, б), устно: №1127-1129, №1131, №1132, №1133(а).

  1. Подведение итогов.

Сегодня мы с вами рассмотрели тему: «Функции вида y=hello_html_m557d1d49.gif, их свойства и их графики. Свойства корня n-й степени». Обсудили основные свойства корней и их применение к решению задач, рассмотрели 5 теорем и их применение при решении примеров.

  1. Домашнее задание.

Решать номера: №1121-1126(в, г), №1132.









Краткое описание документа:

Цели урока: Образовательная: обеспечить овладение всеми учащимися основными алгоритмическим приемами применения свойств корня n-ой степени, обсудить основные свойства корней и их применение к решению задач. Развивающая:  развивать умение выделять главное, логически излагать мысли, делать выводы, анализировать, высказывать гипотезы, развивать смекалку и сообразительность.    Воспитательная: воспитание дисциплинированности, аккуратности записей в тетради, внимательности, активизировать деятельность учащихся на уроке.
Автор
Дата добавления 13.04.2014
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров414
Номер материала 68454041328
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы
Конспект
13.04.2014
Просмотров: 297
Комментариев: 0

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх