10класс.

Тема урока: Методы решения тригонометрических уравнений.

 

 «  Правильному применению методов можно научиться только применяя их на разнообразных примерах.»

                                                                              Г. Цейтен

Цели :

Образовательные- Повторение, обобщение и систематизация материала темы; сформировать умение применять при решении уравнений нужный способ.

Развивающие –способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию; развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

Воспитательные- Содействовать воспитанию интереса к математике, воспитание настойчивости в приобретении знаний и умений, умения принимать самостоятельные решения.

Оборудование: интерактивная доска.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Ход урока: I  Организационный момент. Вступительное слово учителя:

Сегодня ребята мы поговорим с вами о различных методах решения тригонометрических уравнений, научимся проводить анализ заданий и способов их выполнения, будем находить наиболее рациональные способы решения уравнений и попытаемся самостоятельно оценить свои знания. Прежде чем перейти непосредственно к нашей работе, мы сформируем экспертную группу (3 человека), участники которой на каждом этапе нашего урока помогут мне оценить ваши знания, проверят домашние задания и решения примеров классной работы, подведут итоги предстоящей  работы.

II. Устная работа. На интерактивной доске появляется слайд.

 Учитель: «Исправьте ошибки на доске и   подумайте об их причинах».

 

Уравнение	Ответ с ошибкой	Правильный ответ
		Нет корней

III Групповая работа. Игра-Домино. (раздаю карточки)

Начальная карточка.

-1

1

 

5/6	arccos(-/2)	/4	arccos(-/2)	cos0	arccos (1/2)	0	arcsin1
3/4	0		ctg x = -1	sin 0	1	+2n	cosx=1
/6		/2+n	arctg 1		cos x = -1	3/4	cos
/2	arccos(-1)	2n	sinx=1	/2+2n	cosx=0	cos	arcsin0

IV. Тестирование .  (групповая работа)

 

На интерактивной доске появляется слайд со следующим тестом.

Классификация тригонометрических уравнений по методам решения.

 

уравнения	Уравнения	методы	ответ
1	4sin²x - cos 2x = 1	А) Метод замены переменной	Е
2	4 tg x – 12ctg x + 13 = 0	Б) Метод разложения на множители	А
3	3sin²x – 4sinxcosx + cos²x = 0	В)   Метод преобразования разности  в произведение	Г
4	3sin²x – 5sinx – 2 = 0	Г) Метод однородных уравнений	А
5	sin 5x – sin x = 0	Д) Другой способ	В
6	sin x - cos x = 1	Е) Метод понижение степени	Д
7	14cos² x – 2cos 2x = 9sin 2x – 2	Ж) Уравнения ,приводимые к квадратным уравнениям	Г
8			Б
9	3cos2x – sinx – 1 =0		Ж

1группа – описывает алгоритм метода Ж и решает уравнение №9, 2группа –метод Г   и решает уравнение№5, 3группа –метод Б и уравнение№8.

1группа рассказывает о методе решения уравнений ,приводимых к квадратным.

               3cos²x – sinx – 1 =0

    3 (1 – sin²x) – sinx –1 = 0

    3 – 3 sin²x – sinx –1 = 0

    – 3 sin²x – sinx + 2 = 0

     3 sin²x + sinx – 2 = 0

Пусть sinx = y

3y² + y – 2 = 0           D = b² – 4ac = 1 – 4∙3∙(–2) = 25

y_1,2 = (– 1 ± 5)/6 = 2/3; – 1

      sinx = 2/3                                        или                          sinx = – 1

     x = (– 1)ⁿ arcsin(2/3) + πn, n € Z                                       x =  – π/2+ 2πk, k € Z 

Ответ:  x₁= (– 1)ⁿ arcsin(2/3) + πn; x ₂=  – π/2+ 2πk,  n, k € Z

 

 

2группа о решении однородных уравнений. (Решение однородных уравнений (уравнения, в которых у всех слагаемых  сумма показателей одинакова) и приводимых к ним сводится к решению алгебраических относительно tgx путём деления обеих частей уравнения на cosx≠0 и  cos2 x≠0 соответственно.)

 

                                               3tg²x – 4tgx + 1 = 0

Учитель предлагает учащимся по желанию выйти к доске и решить полученное уравнение. Желающие выходят к доске, на местах решают в тетрадях.

Решение: пусть  tgx = y

                             3y² – 4y + 1 = 0

                              D = 16 – 4·3·1 = 4

                               Y_1,2 = (4 ± 2)/6 = 1; 1/3

tgx = 1                                  или                tgx = 1/3              

x = π/4 + πn, n € Z                                      x = arctg(1/3) + πk, k € Z

Ответ: x ₁= π/4 + πn, n € Z  , x₂ = arctg(1/3) + πk, k € Z

3гр.Рассказывает о методе  разложения на множители.( Решение с помощью разложения на множители сводится к решению двух элементарных уравнений.)

 

        Ответ:

 

 

 IV.Гимнастика для глаз.Учитель показывает уравнение из второго столбца,  решениями которых являются выражения из первого столбца. Если учитель показал верный ответ , учащиеся смотрят вверх, если неправильно ,то учащиеся опускают глаза.

На интерактивной доске появляется слайд.

 

.

V .Новая тема:  Решение тригонометрических уравнений. Учитель называет вид уравнения, оставшегося ся на  доске: sin x - cos x = 1. Какими  методами  еще можно решать данное уравнение?

 Предлагает учащимся уравнение, которое можно решить несколькими способами, и вместе разбирает эти способы. Дети, предложившие тот или иной способ, решают задания у доски.

Поиск способов решения. В результате наблюдения и обсуждения могут быть выявлены следующие способы решения.

    1 способ.  ( Сведением к     однородному уравнению, выразив  sin x, cos x и 1 через функции половинного аргумента)

Приведение к однородному уравнению.

              cos x – sin x=1,

               cos²– sin²–2sin  cos=sin²  + cos²  ,

               2sin²+2sin  cos=0.

               sin( sin+ cos)=0.

              1) sin=0,                                    2) sin+ cos=0,

              =πk, k€Z.                                 tg= –1,

               x=2 πk, k€Z.                              = –  +  πn, n€Z,

                                                                     x= – +2 πn, n€Z. 

Ответ:               x₁=2 πk, k€Z.     X₂= – +2 πn, n€Z. 

                        

                2 способ..                                       3    способ.                                                                     

             Разложение                                                       Введение

            на множители                                                   вспомогательного угла

               cos x – sin x=1,                                                 cos x – sin x=1,      

               (cos x – 1) - sin x = 0,                                        (cos x– sin x)=1,

               (1- cos x) + sin x = 0,                                         sin cos x – cos sin x=

               2sin² + 2sin  cos = 0,                             sin( – x)= .

               sin( sin+ cos) = 0.                                   sin(x-)= -.

          1) sin=0,               2) sin+ cos=0,                       х=(-1)^к+1 + + πk, k€Z

          =πk, k€Z.            tg= –1,                                         Ответ:   х=(-1)^к+1 + + πk, k€Z

 

               x=2 πk, k€Z.       = –  +  πn, n€Z,

                                            x= – +2 πn, n€Z. 

Ответ:               x₁=2 πk, k€Z.     X₂= – +2 πn, n€Z. 

 

VI. Домашнее задание: Учащиеся выбирают уровень А или В, и решают уравнения, которые можно решить несколькими способами..

УРОВЕНЬ   А.

            Решите уравнение:

а)         1 + sin x = 0;

б)         3cos x – 2sin2 x = 0.

в)         ;

г)         sin 4x + sin 2x = 0.

УРОВЕНЬ В

            Решите уравнение:

а)         ;

б)         sin 4x – sin 2x = 0.

в)        2sin xcos x = cos 2x – 2sin2 x;

г)         2sin² x – 3sin 2x – 4cos 2x = 4

 д)       sin x + 4 cos x = 1,

 

VII. Итог урока:  Итак, подведем итоги. Сегодня мы повторили способы решения тригонометрических уравнений, вспомнили формулы  , решали  тригонометрические уравнения разными способами и поняли, что при решении разными способами необязательно получаются одинаковые ответы.

Далее учитель отмечает хорошую работу одних учащихся, недостаточную активность других. Выставляются оценки.

В конце урока можно дать ребятам небольшую анкету, которая позволяет осуществить самоанализ, дать качественную и количественную оценку уроку. Некоторые пункты можно варьировать, дополнять, это зависит от того, на какие элементы урока обращается особое внимание. Можно попросить учащихся аргументировать свой ответ.

1.На уроке я работал 2.Своей работой на уроке я 3.Урок для меня показался 4. Материал урока мне был 5.Домашнее задание мне кажется

активно / пассивно доволен / не доволен коротким / длинным понятен / не понятен интересен / скучен легким / трудным

 

Северо-Казахстанская область

Акжарский район

С..Ленинградское

Ул. Сейфуллина №18 кв.2

Охрименко Нина Михайловна

Учитель математики 1 категории Ленинградской средней школы №1

Педстаж - 32 года

87154631168 номер телефона

Ohrimenkov59@mail.ru