Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка «Первообразная и интеграл»



Осталось всего 4 дня приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РТ

ГАОУ ВО «Альметьевский государственный институт муниципальной службы»







Методическая разработка

По дисциплине: «Математика»

Для студентов ССУЗов по разделу

«ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ»





Составила: Хадеева Залфира Махмудовна

преподаватель математики

торгово-экономического факультета

среднего профессионального образования







АЛЬМЕТЬЕВСК 2013

Аннотация

на методическую разработку преподавателя

Хадеевой З.М.


Тема: «Первообразная и интеграл»


Методическая разработка выполнена на 27листах. Включает в себя:

а) введение, где автор ставит цели изучения темы

б) содержание раздела «первообразная и интеграл» в лекционной форме

с соответствующими чертежами и таблицами

в) таблица первообразных и три правила нахождения первообразных

г) Криволинейная трапеция и ее площадь. Формула Ньютона – Лейбница

д) Задачи с решениями на нахождении общего вида первообразной, площади фигур, ограниченных графиками функций, на нахождении закона движения тела.

е) вычисление площадей фигур ограниченных разными графиками функций

(квадратичные, иррациональные, кубическая парабола, тригонометрическая функция), геометрическая интерпретация формулы Ньютона – Лейбница,

Вычисление площади фигур, ограниченных графиками функций, содержащих модуль.

ж) для самостоятельной работы предлагается карточки инструкции, где

поэтапно указывается решения конкретной задачи

з) задачи с решениями на применение интеграла для вычисления объемов тел

и вычисления работы переменной силы.

и) предлагается для самостоятельной работы примеры

к) сведения из истории повышает интерес студентов к изучению математики и углубляют понимание ими изучаемого раздела программы.



Содержание

Введение………………………………………………………...………… 6

Первообразная и интеграл. Основные свойства первообразной ………7

Таблица первообразных. Три правила нахождения первообразных………..9

Криволинейная трапеция и ее площадь. Формула Ньютона – Лейбница..10

Вычисление площадей с помощью интеграла…………………………….11

Задачи с решениями……………………………………………….….. …….14

Вычисление площадей фигур с помощью интеграла……………………....17

Карточки инструкции………………………………………………………....28

Применение интеграла……………………………………………………......31

Примеры для самостоятельных работ……………………………………….33

Исторические сведения…………………………………………………….....35

Литература…………………………………………………………………….37

















Введение

В целях совершенствования преподавания математики целесообразно использовать обучение студентов решению задач, с помощью специально подобранных упражнений, учить их наблюдать, пользоваться аналогией, сравнениями и делать соответствующие выводы.

Преподавание математики не может стоять на должном уровне, а знания обучающихся не будут достаточно полными и прочными, если в работе преподавателя отсутствует система повторительно - обобщающих уроков.

В этой работе рассмотрены темы: 1. Первообразная

2. Интеграл.

По каждой теме приведены теоретические материалы, исторические сведения, набор различных заданий с решениями. Например, задачи на нахождения площади фигур, ограниченными различными тригонометрическими, иррациональными, показательными функциями и вычисления интегралов с параметрами, интегралов содержащие модули. А также приведены задания для самостоятельных работ.


Работа имеет следующие цели:

  • обобщить и систематизировать теоретический материал по указанным темам;

  • отработать навыки вычисления первообразной функций;

  • отработать навыки вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона- Лейбница;

  • овладеть умением применения первообразной функции при вычислении площадей криволинейных трапеций и других плоских фигур;

  • достичь аккуратности при выполнении записей, решений и чертежей.


Данная работа может помочь учащимся овладеть конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практике, развить умственные способности, самостоятельно выполнять различные творческие работы.

Тема: Первообразная и интеграл


Теоретическая часть. Объяснение темы в виде лекции.


1. Под дифференцированием функцииhello_html_m7c9eef15.gifмы понимаем нахождение производной hello_html_m6623fd94.gif.


2. Нахождение функции hello_html_585fb870.gifпо заданной ее производной hello_html_m6623fd94.gif называют операцией интегрирования.hello_html_m1cf81dc0.gif


3. Таким образом, операция интегрирования обратно операции дифференцирования. Следовательно, операция интегрирования состоит в том, что по заданной производной hello_html_m6623fd94.gif находят (восстанавливают ) функцию hello_html_4414851d.gif.


4. Функцию hello_html_m395fb20a.gifназывают первообразной для функции hello_html_4414851d.gif на заданном промежутке , если для всех х из этого промежутка F’(x)=f’(x).


5. Множество всех первообразных для функции f(x) можно представить в виде hello_html_3b6a9a60.gifгде C hello_html_7b08ab47.gif




Основные свойства первообразной функции.


6.Теорема . Если функция F(x) есть первообразная для функции f(x) на промежутке X то при любой постоянной функция F(x)+C также является первообразной для функции f(x) на промежутке X . любую первообразную функции f(х) на промежутке Х можно записать в виде F(x)+C.


7. Геометрически основное свойство первообразных можно интерпретировать так: графики всех первообразных данной функции f (x) получаются с помощью параллельного переноса любого из этих графиков вдоль оси ОУ.

hello_html_7d8bc18d.png



















Таблица первообразных




Функция



Общий вид первообразных

k (постоянная)

kx+c

hello_html_m66626027.gif

hello_html_m5532b528.gif

hello_html_30bdae90.gif

hello_html_486eb6e8.gif

hello_html_5092ab4e.gif

hello_html_5d671c7c.gif

hello_html_77f69b89.gif

hello_html_ma36c890.gif

hello_html_m699eefd0.gif

hello_html_m269579e7.gif

hello_html_m4f39a334.gif

hello_html_m4abf826f.gif

hello_html_m16c6e849.gif

hello_html_m2fb1f964.gif

hello_html_5b7ae39f.gif

hello_html_m3fa30515.gif

hello_html_m7a4779d6.gif

hello_html_337ebfa4.gif



Три правила нахождения первообразных.


Правило1. Если F есть первообразная для f , а G- первообразная для g , то F+G есть первообразная для f+g.


Правило2. Если F есть первообразная для f , а k – постоянная, то функция kF-первообразная для kf.hello_html_m1cf81dc0.gif


Правило3. Если F(x) есть первообразная для f(x) , а k и b -постоянные, причем khello_html_m7bb21952.gif 0, тоhello_html_m121f7412.gif F(kx+b) есть первообразная для f(kx+b) .


Криволинейная трапеция и ее площадь


Определение. Криволинейной трапецией называют фигуру, ограниченную графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке hello_html_m4133af86.gifфункции f, ОХ и прямыми х=а и х =b.

Теорема . Пусть f -непрерывная и неотрицательная на отрезке hello_html_m4133af86.gif функция, а S - площадь соответствующей криволинейной трапеции . Tогда если F есть первообразная для f на интервале , содержащем отрезок ,то S=F(b)-F(a).



Формула Ньютона -Лейбница


1. Интегралом от а до b функции f называют приращение первообразной F этой функции , т.е. F(b)-F(a).

2. Интеграл от а до b функции f обозначается так:hello_html_m2871742b.gif , числа a и b

называют пределами интегрирования , a- нижним, b- верхним пределом. Знакhello_html_m41e51a77.gif называют знаком интеграла, функцию f- подынтегральной функцией, х- переменной интегрирования.

3. hello_html_20321765.gif -это равенство называют формулой Ньютона – Лейбница.

4. Формулу для вычисления площади криволинейной трапеции с помощью интеграла можно записать таким образом:

hello_html_5fe9a0e7.gif Формула верна для любой функции f , непрерывной на отрезке hello_html_m66122705.gif.


Вычисление площадей с помощью интеграла


  1. Пусть функция f непрерывна и неотрицательна на отрезке hello_html_m2720ea0c.gif. Тогда площадь соответствующей криволинейной трапеции находится по формуле

hello_html_eccfa72.gif

hello_html_m1e07bac1.png


2. В том случае, когда непрерывная функция f(x) неположительна на отрезке hello_html_m4133af86.gif, для вычисления площади криволинейной трапеции следует использовать формулу S= hello_html_m57cb8a23.gif

hello_html_10e38604.png

3. Пусть функция f(x ) непрерывна на отрезке hello_html_m4133af86.gifи принимает на этом отрезке как положительные ,так и отрицательные значения. Тогда нужно разбит отрезок hello_html_m4133af86.gifна такие части, в каждой на которых функция не изменяет свой знак, затем вычислить по приведенным выше формулам соответствующие этим частям площади и эти площади сложить.

Например, площадь фигуры, изображенной на рисунке, находится по формуле

hello_html_m565af61a.gif

hello_html_62b39723.png


4. Площадь фигуры, ограниченной графиками двух непрерывных функций hello_html_m168854d8.gif и hello_html_7052aea9.gif и двумя прямыми х=а и х=b, где hello_html_77932788.gif на отрезке hello_html_m4133af86.gif, находится по формуле hello_html_m700eb9e2.gif

hello_html_1cbb8a2f.png





















Практическая часть.

Задачи с решениями


Задача 1.Найти все первообразные функции

а)hello_html_2f2e19a0.gif г)hello_html_4eb669e0.gif

б) hello_html_m48e643b2.gif дhello_html_m22c30403.gif

в)hello_html_m63559d5b.gif е)hello_html_m50d801f2.gif

ж)hello_html_7b50f99d.gif


Пользуясь таблицей первообразных элементарных функций и свойствами первообразных решим :

а) hello_html_286d59e4.gif

б)hello_html_548ab32c.gif

в) hello_html_m50a6745b.gif


г) hello_html_m2e67299e.gif


д) hello_html_m404149e0.gif

е) hello_html_4441107d.gif

ж)hello_html_21bfed6f.gif

hello_html_be53d35.gif


Задача 2. Найти первообразную для функции hello_html_m4a5d1942.gif)=hello_html_1eca5bb0.gif график которой проходит через точку P(9; 1)

Решение: Представим hello_html_1eca5bb0.gif в виде степени с рациональным показателем и воспользуемся формулой для первообразной степенной функции

hello_html_4c4a90ef.gif Так как hello_html_m5a9db8e1.gif то решим уравнение относительно С

hello_html_cbff56c.gif, hello_html_m2d8cf596.gif

Ответ: hello_html_m72fe5780.gif


Задача 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

hello_html_18c0c8e0.gif , hello_html_m64a7d650.gif , hello_html_7e210368.gif

Решение:


hello_html_mf091a3d.png

Вычислим абсциссы точек пересечения графиков этих функции

hello_html_6b13ebd1.gif, hello_html_m669b2432.gif, hello_html_4e265515.gif,hello_html_4fe7aaaf.gif.

hello_html_m38b11c54.gif

hello_html_16b05224.gif , hello_html_m1aa8cc41.gif , hello_html_meb60f3a.gif ,

hello_html_67774abc.gif , hello_html_6eac9ff2.gif

hello_html_7235d0fc.gif..

hello_html_m10c35b24.gif (кв.ед).

Ответ:hello_html_1b8c04bf.gif(кв.ед).

Задача 4.( Физическая задача). Тело движется прямолинейно со скоростью, изменяющейся по закону hello_html_m794d1e13.gif. Найти закон движения тела, если известно, что за первые две секунды оно прошло15м.

Решение. Множество всех первообразных функций hello_html_m40646661.gif , будет

hello_html_6c57a94e.gif , так какhello_html_m3ba78451.gif, Согласно условию hello_html_m54378d5f.gif

4+C=15, откуда С=11. Таким образом , искомый закон движения тела будет hello_html_1a2f6040.gif




















Вычисление площадей фигур с помощью интеграла.


Задача 1.Найти площадь фигуры, ограниченной осью ОХ и параболой hello_html_m5c9e4687.gif

Решение. Находим пределы интегрирования : hello_html_5f0cfc69.gif , hello_html_m51633ea8.gif тогда

hello_html_m66e149b1.gif

hello_html_m4ca46abd.png

hello_html_m655c6d8a.gif (кв.ед)


Задача 2. Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми hello_html_76c5d535.gif hello_html_m4fbe856d.gif осьюhello_html_2beef127.gif и графиком функции hello_html_374d8ea9.gif.

a=1 , b=8 , hello_html_m4a5d1942.gif=hello_html_m139673bc.gif .

Решение: f(x)=hello_html_6f7381e1.gif , a=1 , b=8

hello_html_5c8c9259.png

hello_html_m4fba0e3c.gif


Задача 3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой hello_html_41a711ce.gif и прямой, проходящей через точки (4;0) , (0;4) .

Решение: Запишем уравнение прямой, проходящей через точки (4;0) и (0;4).

Подставив в уравнение прямой hello_html_1e3ec2c7.gifкоординаты заданных точек, получим систему уравнений

hello_html_m4db26b59.gif , найдем hello_html_2303398a.gif

Следовательно, уравнение прямой имеет вид hello_html_5864d3a6.gif .

Абсциссы общих точек прямой и параболы определим :

hello_html_4f0f6bed.gif , hello_html_m528d7c91.gif,

hello_html_4481012d.gif

Искомую площадь вычислим как разность площадей криволинейной трапеции

hello_html_6ce07a6c.gifи треугольника hello_html_1e6c4ee8.gif.

hello_html_6bc33745.png

hello_html_m6bd94c78.gif

hello_html_2264214.gif

Итак, площадь искомой фигуры hello_html_m738ae38e.gif


Задача 4.Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции

hello_html_525934fa.gif и касательными к этому графику, проходящими через начало координат.

Решение. Уравнение касательной к графику hello_html_525934fa.gif проходящей через его точку hello_html_m3894d595.gif Так как hello_html_7cda9348.gifто уравнение касательной имеет вид hello_html_4c8fdac4.gif илиhello_html_m86e2d70.gif

По условию, начало координат принадлежит касательной, поэтому hello_html_m144b4679.gifоткуда hello_html_m3ebd754a.gif.

Значение hello_html_ma4ce105.gif соответствует касательной hello_html_49409ffe.gif точка касания hello_html_m29e544d4.gif . Значение hello_html_c458a5.gif соответствует касательной hello_html_m3f1f038.gif

точка касания hello_html_5b45aa13.gif. Площадь искомой фигуры равна сумме площадей криволинейных треугольников hello_html_m7ef8459e.gif

hello_html_m26ab389e.png

hello_html_6c079df.gif

hello_html_m6b4732c.gif

Искомая площадь равна hello_html_m4999f83c.gif hello_html_m4d48fdd5.gif


Задача5. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

hello_html_3bf0be5f.gif .

Решение: Находим точки пересечения данных линий.

hello_html_m65e2a06.png

1). Уравнение hello_html_1607e617.gifравносильно системе hello_html_230dfb71.gif , hello_html_1ed70972.gif hello_html_m2e8d93d3.gif

2) . hello_html_m2e063564.gif , Корень hello_html_mdba896d.gif находим подбором (или по чертежу).hello_html_m14e8a62c.gif - общая точка графиков функции

hello_html_m7fca7c32.gif и hello_html_m405985ad.gif.

3).Уравнение hello_html_m552fe769.gif имеет единственный корень hello_html_m197a74ff.gif который находим подбором. Других корней быть не может.

Итак , hello_html_m2d2853eb.gif общая точка графиков функций hello_html_21fb8601.gif и

hello_html_473d424f.gif

Искомую площадь найдем как сумму треугольника площадей трех фигур:

hello_html_66effdc5.gif криволинейной трапецииhello_html_17484ad.gif и фигуры hello_html_m3111aac7.gif

hello_html_5b61de26.gif

hello_html_m71c4a94e.gif

Площадь фигуры hello_html_m24410c37.gif равна разности площадей криволинейной трапецииhello_html_73a0c0c2.gif и прямоугольного треугольника hello_html_m30ac6b77.gif

hello_html_15777f69.gif

hello_html_m61a726b0.gif

hello_html_m159cde96.gif

Искомая площадь: hello_html_m5613ee1d.gif


Задача 6. (Тригонометрические функции). Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции

hello_html_138728b.gif , осью hello_html_3ace661a.gif и прямыми hello_html_251c422d.gif

hello_html_63cd6aa9.png

Решение. Данная функция состоит из двух криволинейных трапеций, расположенных в разных полуплоскостях относительно оси hello_html_m5909fae1.gif.

Таким образом hello_html_m9b4304f.gif

hello_html_m4dfee3f8.gif

hello_html_68ac0fe.gif




Задача7. Найти площадь фигуры ,ограниченной линиями

hello_html_118b1caf.gif

Решение. Пределы интегрирования hello_html_m4dd9f2e6.gif; На отрезкеhello_html_m525ecb36.gif; Значения функцииhello_html_m5cf592c2.gif не меньше соответствующих значений функции

hello_html_39574c39.gif

Воспользуемся формулами hello_html_m436f17bc.gif

hello_html_28952062.gif

hello_html_7116958c.png

hello_html_m19f41ca0.gif

hello_html_7cde2df7.gif

Ответ: hello_html_m5ccc9bf.gif



Задача 8. Найти площадь фигуры ограниченной линиями

hello_html_m72c78376.gif, hello_html_m2268da4b.gif.

hello_html_b24dd2b.gif Решение. Используем формулу: hello_html_m6fe9146.gif.

hello_html_174492c8.gif

Пределы интегрирования hello_html_60b8fadf.gif.

hello_html_5124496d.gif

hello_html_69246c44.png

Ответ: hello_html_m6479de8.gif



Задача 9.(Геометрическая интерпретация формулы Ньютона –Лейбница)

В случае, когда для подынтегральной функции не удается найти первообразную. Можно использовать геометрический смысл интеграла и вычислить площадь фигуры, ограниченной функцией hello_html_4ddf0ce2.gifнаhello_html_m1cc01229.gif.

Вычислить интеграл hello_html_184a393e.gif

Решение: hello_html_m5c7bd33.gif

hello_html_m69326910.png

hello_html_2954238.gif

Ответ: hello_html_m1ae50177.gif


Задача 10. Вычислить интеграл: hello_html_m6f5f4cb1.gif

hello_html_m5c28acbb.png

Решение: hello_html_7eceb29b.gif

hello_html_m61505985.gif

Ответ: hello_html_m3e517aca.gif


Задача 11. (С модулю ) Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций hello_html_18c0c8e0.gif и hello_html_m167debda.gif .

Решение. Функцию hello_html_m167debda.gif можно переписать так

hello_html_m730de77c.gif

Построим графики заданных функций на одной координатной плоскости

hello_html_12e67594.png

hello_html_m6b6dab1e.gif

Найдем пределы интегрирования, решим уравнение: hello_html_m20e7903c.gif

Возведем обе части уравнения в квадрат hello_html_3fbfefe1.gif

hello_html_m21d9c1ff.gif , отсюда hello_html_m499e52d6.gif

hello_html_3241a294.gif

hello_html_71c4045a.gif)hello_html_m1cf81dc0.gif

hello_html_m4c10ea6c.gif

hello_html_4f99807d.gif

Ответ: hello_html_47019a72.gif


Задача 12.(с модулю) Вычислить площадь фигуры ограниченной графиками функций hello_html_m7b2306f6.gif

Решение: hello_html_37cd3fc3.gif

hello_html_m6957cfc2.png

Найдем пределы интегрирования:

hello_html_7aa4b415.gif

hello_html_2c2bcf31.gif

На отрезке hello_html_553042ec.gif значения функции hello_html_m1f971bc3.gif не меньше соответствующих значений функции hello_html_77866e29.gif

Воспользуемся формулами hello_html_m3aa9b9e0.gif

hello_html_39f33583.gif

hello_html_m2d2f082b.gif

Ответ:hello_html_33cb6e05.gif


Задача 13.(С параметрами) Найти все числа a (ahello_html_5ebb2253.gif для каждого из которых выполняется неравенствo

hello_html_770998bd.gif

Решение: hello_html_5fd6ac94.gif

Поэтому, hello_html_208382d4.gif , hello_html_m7f50fe2c.gif

hello_html_2177e964.gif hello_html_86c1a1e.gif , hello_html_402387c5.gif

Учитывая hello_html_1917f42e.gif получим, что hello_html_m3aec40e3.gif.

Ответ:hello_html_m4e2466d4.gif

Задача 14. Найти все такие a, что hello_html_m77ad3c4c.gif

Решение: hello_html_49189e44.gif

hello_html_72b7211c.gif


Задача 15 .При каких a интеграл

hello_html_m7ed4a9d0.gif

hello_html_m7bfb6a08.gif

1)Если hello_html_5c59a175.gif

Получимhello_html_3834f057.gif hello_html_m4ec4e9b.gif hello_html_m476201ac.png ahello_html_12003734.gif

hello_html_5e0832d0.gif hello_html_m4ec4e9b.gif hello_html_m1cfca6b7.png hello_html_m4a264c2.gif

2) Если hello_html_m6116800a.gif

Ответ: ahello_html_m10cfbf51.gif.




















Карточки-инструкции.

Карточка 1 ( Нахождение общего вида первообразных).


Задание 1. Найдите общий вид первообразных функции

hello_html_m4142c702.gif

Инструкция по выполнению задания:

1.Выявите структуру правой части формулы, задающей функцию.

2.Примените известные правила нахождения первообразных в зависимости от выявленной структуры, используйте таблицу первообразных.

3. Запишите общий вид первообразных

Вариант объяснения решения:

1.Правая часть формулы, задающей функцию, представляет собой сумму двух функций: hello_html_m6bd167fd.gif и hello_html_m35cb34f.gif.

2. Для поиска первообразной нужно применять правило нахождения первообразной суммы двух функций, первообразную каждой из которых можно найти по известной таблице первообразных. Первообразная первой функции hello_html_m53b64148.gif первообразная второй функцииhello_html_m7093f253.gif

hello_html_410f0e95.gif, а первообразная суммы hello_html_m5d159a20.gif

3. Общий вид первообразных: hello_html_513973a4.gif

Задание 2.(самостоятельная работа).

Найти общий вид первообразных функций:

а) hello_html_m454eac36.gif.

б) hello_html_m1e09f4b0.gif

в) hello_html_m55446628.gif

Карточка 2 (Вычисление площади фигуры, ограниченной заданными функциями).


Задание1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

hello_html_420d9fca.gif

Инструкции по выполнению задания:

Схематично изобразите заданные линии на координатной плоскости.

2. Выделите фигуру, ограниченную этими линиями.

3.Определите, является ли полученная фигура криволинейной трапеции или нет.

4. Если фигура является криволинейной трапецией, то подумайте, сумму или разности площадей каких криволинейных трапеций или других фигур нужно рассмотреть для получения ответа.

Вариант объяснения решения:

На координатной плоскости схематично изобразим указанные линии: hello_html_1f44774e.gif

hello_html_m76f94570.png

Заштрихуем фигуру, ограниченную снизу графиком функции hello_html_m3ae4f363.gif

сверху- прямой hello_html_md83d387.gif

Заштрихованная фигура не является криволинейной трапецией. Но ее площадь легко вычисляется как разности площадей: из площади прямоугольника hello_html_738a4401.gif нужно вычесть площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функцииhello_html_3f7482e.gif.

Для вычисления указанных площадей найдем абсциссы точекhello_html_72b04a25.gif. Решим уравнение

hello_html_m57a8e3b1.gif.

Таким образом, hello_html_a79a9c7.gif(кв.ед),

hello_html_m2918d8b4.gif

=hello_html_6111a9c1.gif

hello_html_219c7136.gif

Задание2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

hello_html_570a9094.gif, hello_html_m321f1ba.gif. (Выполните задание самостоятельно).
















Применение интеграла.

Вычисление объемов тел с помощью интеграла.


Задача1. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

hello_html_2cccb4a6.gif.


Решение: Изобразим тело вращения. Вычислим объем тела вращения с помощью определенного интеграла:

hello_html_9dc883f.gif

hello_html_m420b5a5d.png

Пределы интегрирования hello_html_m65dd0d3e.gif

hello_html_41d80162.gif

hello_html_m5c3ae20.gif


Задача 2. Найти объем тела, полученного от вращения вокруг оси ординат плоской фигуры, ограниченной линиями hello_html_mcccd4bf.gif.


Решение. Искомый объемhello_html_m3c928f8a.gif равен разности двух объемов: hello_html_m79ded34a.gif , полученного от вращения вокруг оси ординат фигуры, ограниченной линиями hello_html_m613f0b51.gif , hello_html_m5d27d223.gif и объема hello_html_m27ef975e.gif , для которого вращаемая фигура ограничена линиями hello_html_4fab2058.gif

hello_html_m78c819a.png

hello_html_m4def6963.gif

hello_html_m45b84329.gif

hello_html_m316daa2e.gif


Задача 3.( Применение интеграла для вычисления работы переменной силы). Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 10см, если сила 50Н растягивает пружину на 5см?

Решение. Согласно закону Гука, упругая сила hello_html_336129b9.gif,действующая на пружину, возрастает пропорционально растяжению hello_html_64e673d7.gif пружины, т. е.

hello_html_m2f501b08.gif Здесь перемещение hello_html_a353074.gif выражено в метрах, а сила hello_html_336129b9.gif в ньютонах.

Для определения коэффициента пропорциональности hello_html_m37a28a72.gif согласно условию задачи полагаем hello_html_m5cd51f0d.gifприhello_html_46bc0eb1.gif=0,05м. Отсюда 50=khello_html_2ca1544b.gif т.е. k=1000 , следовательно, F=1000x. Искомая работа на основании формул:

hello_html_m5d75bfc7.gif равна hello_html_m72f04a85.gif




Примеры для самостоятельных работ.

Вычислите:

1.hello_html_a36e323.gif (отв. 8)

2. hello_html_m128f3ea9.gif ( отв. hello_html_74612060.gif )

3. hello_html_65e7ac2.gif ( отв. hello_html_m24f3dd6.gif)

4. hello_html_m3a7cb4fa.gif ( отв.hello_html_35c0137a.gif)

5. hello_html_m17179482.gif (hello_html_m1ea3f96.gif

6. hello_html_m63af730f.gif (отв.hello_html_m707ec23e.gif

7. hello_html_m11255e43.gif (отв. 0)

8. hello_html_61770ddd.gif (hello_html_m102d95ab.gif

9. hello_html_5c4de051.gif ( отhello_html_me947ae8.gif)

10. hello_html_6d8ca2c3.gif (отв.9hello_html_m65f54e27.gif)


Вычислите площади фигур, ограниченной линиями


  1. hello_html_m6d46cceb.gif

  2. hello_html_1b3d2fb3.gif

  1. hello_html_m3e233909.gif

4. hello_html_432f9d07.gif

5. hello_html_m1e5b5dd1.gif

6. hello_html_27dbd00f.gif

7. hello_html_mf1c7bbd.gif

8. hello_html_m64abaa1d.gif

9. hello_html_32de1082.gif .

















Исторические сведения.


В первой половине XVII в. Операцию интегрирования записывали словами:

«совокупность всех неделимых», а затем – « все линии» (omnes lineae).

Такой способ выражения широко распространился благодаря сочинению Кавальери «Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota». (геометрия, развития некоторым новым способом при помощи неделимых частей непрерывных величин», 1635).

Точно так же писал Лейбниц в своих сохранившихся заметках (1675).

Ради сокращения записи он вместо omn вводит начальную букву слова

Summa, которая по начертанию того времени писалась как наш знак интеграла. Первоначально Лейбниц писалhello_html_28d3c32c.gif но уже через месяц он стал писатьhello_html_6ca2e0a4.gif – это уже не сумма неделимых, а сумма площадей бесконечно малых прямоугольников. В печати современное обозначение появилось в 1686г. В это же время И. Бернулли обозначал операцию интегрированию буквой I по первой букве введенного им названия «интегральное исчисление». В английской литературе знак hello_html_m41e51a77.gifпоявился в 1693г., затем в 1701г. и был принят немедленно.

Слово «интеграл» употребил впервые Я. Бернулли в 1690 г. Возможно, термин образован от латинского integer – «целый». По другому предположению, Я. Бернулли произвел термин от integro –«приводить в

прежнее состояние», «восстанавливать» (действительно, восстанавливается первообразная функция). Как бы то ни было, термин был обсужден И.Бернулли и Лейбницем и «принят» в 1696г. Тогда же И. Бернулли предложил название «интегральное исчисление» (calculus integralis) Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило болеераннее «примитивная функция», которое ввел Лагранж (1797г.) Латинское слово primitives переводится как «начальный»:

hello_html_m137ffb4b.gif- начальная (или первоначальная, или первообразная) для

hello_html_m4a5d1942.gif, которая получается из hello_html_m31feeffa.gif дифференцированием.

В современной литературе множество всех первообразных для функции

hello_html_m4adb8f81.gif, называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную.

hello_html_m751684eb.gif называют определенным интегралом. (обозначение ввел

К. Фурье (1768 – 1830), но пределы интегрирования указывал уже Эйлер).




















Литература


1. А. Н. Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П. Дудницын, Б.М.Ивлев, С. И. Шварцбурд . Алгебра и начала анализа, учебник для 10-11кл.,Москва
«Просвещение» 2001.

2. Л.Д. Лаппо, М.А.Попов . ЕГЭ. Математика. Эффективная методика, издательство «Экзамен» ,Москва, 2009.

3. Л.И.Звавич, В.К.Смирнова, И.И.Иванов. Алгебра ,11 кл. Решение Экзаменационных задач по алгебре. Москва, издательский дом «Дрофа» 1996.

4. Учебно – методическая газета «математика» , 2001-2009 , издательский дом «первое сентября».

5. А.Г.Мордкович, П.В. Семенов. Алгебра и начала анализа, учебник для 11 кл.

Москва , 2007.

6. В.С. Крамор. Задачи с параметрами и методы их решения. Издательство

«Мир и образование» ,2007.

7. Г.И. Глейзер. История математики в школе .Москва «просвещение» ,1982.











41




57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 08.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров875
Номер материала ДВ-133290
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх