Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методические рекомендации для студентов по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы по учебной дисциплине «Математика»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методические рекомендации для студентов по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы по учебной дисциплине «Математика»

библиотека
материалов

hello_html_m769f83a9.gifhello_html_m495c03c8.gifhello_html_56c7a1a6.gifhello_html_41ef0e2d.gifДепартамент образования и науки Кемеровской области

ГБОУ СПО «Новокузнецкий техникум строительных технологий

и сферы обслуживания»




УТВЕРЖДАЮ:

Заместитель директора по УПР

_____________ Ю.В. Сметанникова

«_____» ______________ 2014.






Методические рекомендации

для студентов по выполнению

внеаудиторной самостоятельной работы

по учебной дисциплине «Математика»



для специальностей:

43.02.11 Гостиничный сервис;

21.02.05 Земельно-имущественные отношения;

21.02.06 Информационные системы обеспечения градостроительной деятельности;

11.02.12 Почтовая связь;

11.02.10 Радиосвязь, радиовещание и телевидение;

22.02.06 Сварочное производство;

38.02.02 Страховое дело (по отраслям);

08.02.01 Строительство и эксплуатация зданий и сооружений.











2014г.

Учебно-методические рекомендации предназначены для студентов, изучающих математику за курс средней (полной) общей школы. В рекомендациях представлены задания для самостоятельной внеаудиторной работы, требования к их выполнению, критерии оценки выполненной работы.

Рекомендации подготовлены на основании законодательных и иных нормативно-правовых актов в сфере начального и среднего профессионального образования, а также методических рекомендаций ГБОУ СПО «Новокузнецкий техникум строительных технологий и сферы обслуживания».




Составитель: Н.В. Винтер, преподаватель математики ГБОУ СПО «НТСТ и СО».





Рассмотрены и рекомендованы к использованию в образовательном процессе на заседании методического объединения преподавателей естественно-математических дисциплин.

"__" _______________2014 г., протокол ___.

Председатель МО ____________Е.В. Репникова
























Содержание





Введение


Внеаудиторная самостоятельная работа учащихся планируемая учебная, учебно-исследовательская, научно-исследовательская, проектная работа, выполняемая за рамками расписания учебных занятий по заданию и при методическом руководстве преподавателя, но без его непосредственного участия и является обязательной для каждого студента.

Целью самостоятельной работы студентов является:

  • обеспечение профессиональной подготовки выпускника в соответствии с ФГОС СПО;

  • формирование и развитие общих компетенций, определённых в ФГОС СПО;

  • формирование и развитие профессиональных компетенций, соответствующих основным видам профессиональной деятельности.

Задачами, реализуемые в ходе проведения внеаудиторной самостоятельной работы студентов, в образовательной среде техникума являются:

  • систематизация, закрепление, углубление и расширение полученных теоретических знаний и практических умений студентов;

  • развитие познавательных способностей и активности студентов: творческой инициативы, самостоятельности, ответственности и организованности;

  • формирование самостоятельности мышления: способности к саморазвитию, самосовершенствованию и самореализации;

  • овладение практическими навыками применения информационно-коммуникационных технологий в профессиональной деятельности;

  • развитие исследовательских умений.



Самостоятельная работа над учебным материалом состоит из следующих элементов:

  • Изучение материала по учебнику.

  • Выполнение еженедельных домашних заданий.

  • Выполнение внеаудиторной самостоятельной работы (ВСР).

В сборнике Вам предлагается перечень внеаудиторных самостоятельных работ, которые вы должны выполнить в течение учебного года.

При выполнении (ВСР) студент может обращаться к преподавателю для получения консультации.

Объем времени, отведенный на внеаудиторную самостоятельную работу, составляет 145 часов по специальностям «Гостиничный сервис»; «Земельно-имущественные отношения»; «Информационные системы обеспечения градостроительной деятельности»;

«Почтовая связь»; «Радиосвязь, радиовещание и телевидение»; «Сварочное производство»; «Страховое дело (по отраслям)»; «Строительство и эксплуатация зданий и сооружений».

Контроль результатов самостоятельной работы студентов осуществляется в урочное время и может проходить в письменной, устной или смешанной форме с предоставлением продукта творческой деятельности.







Методические рекомендации к выполнению ВСР

  1. ВСР нужно выполнять в отдельной тетради в клетку, чернилами черного или синего цвета. Необходимо оставлять поля шириной 5 клеточек для замечаний преподавателя.

  2. Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.

  3. Оформление решения задачи следует завершать словом «Ответ».

  4. После получения проверенной преподавателем работы обучающийся должен в этой же тетради исправить все отмеченные ошибки и недочеты. Вносить исправления в сам текст работы после ее проверки запрещается.

  5. Любая самостоятельная работа дается на определенный срок (день, неделя,…). Если работа в срок не выполнена, то она оценивается меньшим количеством баллов.

Критериями оценки результатов самостоятельной работы студента являются:

  • уровень усвоения студентом учебного материала;

  • умение студента использовать теоретические знания при выполнении практических задач;

  • сформированность ключевых (общеучебных) компетенций;

  • обоснованность и четкость изложения материала;

  • уровень оформления работы.


Оценивание индивидуальных образовательных достижений по результатам выполнения ВСР производится в соответствии с универсальной шкалой (таблица).

Процент результативности (правильных ответов)

Качественная оценка индивидуальных образовательных достижений

балл (отметка)

вербальный аналог

90 ÷ 100

5

отлично

80 ÷ 89

4

хорошо

70 ÷ 79

3

удовлетворительно

менее 70

2

неудовлетворительно



Выполнение ВСР способствует формированию общих компетенций:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, исходя из цели и способов ее достижения, определенных руководителем.

ОК 3. Анализировать рабочую ситуацию, осуществлять текущий и итоговый контроль, оценку и коррекцию собственной деятельности, нести ответственность за результаты своей работы.

ОК 4. Осуществлять поиск информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, клиентами.



Виды самостоятельной работы студентов по математике:

  • решение заданий по образцу;

  • опережающие домашние задания;

  • выполнение заданий по алгоритму;

  • типовые расчеты;

  • решение экзаменационных вариантов, в том числе ЕГЭ;

  • составление алгоритмов для типовых заданий;

  • составление и решение самостоятельно составленных заданий;

  • выполнение расчетно-графических работ;

  • составление и заполнение таблиц для систематизации учебного материала;

  • составление теста и эталона к нему;

  • ответы на контрольные вопросы;

  • составление или решение математического кроссворда на математические понятия, определения и т.п.;

  • творческие работы (реферат, доклад, сообщение, эссе);

  • изготовление информационных моделей (изготовление геометрических фигур);

  • разработка проекта, включающего элементы самостоятельного исследования и направленного на поиск новых методов решения поставленных задач (например, «Математика в моей профессии»).



План внеаудиторной самостоятельной работы:

Специальности:

43.02.11 Гостиничный сервис;

21.02.05 Земельно-имущественные отношения;

21.02.06 Информационные системы обеспечения градостроительной деятельности;

11.02.12 Почтовая связь;

11.02.10 Радиосвязь, радиовещание и телевидение;

22.02.06 Сварочное производство;

38.02.02 Страховое дело (по отраслям);

08.02.01 Строительство и эксплуатация зданий и сооружений.


п/п

Наименование глав и тем

Количество часов

Вид работы

1 курс

Раздел 1: Введение. - 2

1

Значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике

2

Написание эссе

Раздел 2: Развитие понятия о числе-4


2

Действительные числа. Комплексные числа

4

Типовые расчёты

Раздел3: Корни, степени, логарифмы - 15

3

Степенная функция

4

Типовые расчёты

4

Решение иррациональных уравнений

4

Решение задач

5

Преобразование выражений, содержащих показательные и логарифмические функции

3

Решение задач

6

Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств

4

Решение задач

Раздел 4: Прямые и плоскости в пространстве - 10


7

Параллельность прямых и плоскостей

2

Типовые расчёты

8

Угол между прямой и плоскостью. Угол между плоскостями

2

Решение задач

9

Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трех перпендикулярах

3

Решение задач

10

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве

3

Составление кроссворда на тему

Раздел 5: Комбинаторика. -2

11

Задачи комбинаторики

2

Решение задач

Раздел 6: Координаты и векторы. - 6



12

Действия над векторами в координатной форме

2

Решение задач

13

Биографии ученых

4

Подготовка сообщений, презентаций

Раздел7: Основы тригонометрии - 14

14

Тригонометрические формулы

4

Решение задач

15

Тригонометрические функции

4

Типовые расчёты

16

Тригонометрические уравнения

6

Решение задач

Раздел 8: Функции, их свойства и графики. - 10

17

Построение графиков функции

5

Решение задач

18

Вычисление пределов

5

Решение задач

Раздел 9: Многогранники и круглые тела.-14

19

Многогранники и их поверхности

8

Решение задач

20

Выполнение моделей многогранников

6

Изготовление информационных моделей


Всего за 1 курс


77


Раздел 10: Повторение пройденного за 1 курс - 0

Раздел 11: Тела и поверхности вращения. - 6

21

Площадь поверхности и объемы фигур вращения

6

Решение задач

Раздел 12: Начала математического анализа. - 14

22

Геометрический смысл производной

3

Решение задач

23

Применение производной к исследованию функции и построению графиков

7

Решение задач

24

Прикладные задачи

4

Написание конспекта

Раздел 13: Интеграл и его применение. - 12

25

Вычисление площадей плоских фигур

12

Решение задач

Раздел 14: Измерения в геометрии. - 8

26

Геометрия Евклида

8

Сообщения, презентации

Раздел 15: Элементы теории вероятности и математической статистики.-6

27

Элементы теории вероятностей и математической статистики

6

Решение задач

Раздел 16: Уравнения и неравенства-12

28

Решение алгебраических уравнений и неравенств с одной переменной

12


Раздел 17: Обобщающее повторение. Подготовка к экзамену. - 10

29

Домашняя контрольная работа

10



Всего за 2 курс



68


Итого часов

145




Раздел 1: Введение


Самостоятельная работа №1 на тему: Значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике

Цель: расширить кругозор учащихся, познакомить с широтой и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;

Задание для учащихся. Написать эссе на заданную тему «Значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике»

Написание эссе- это вид внеаудиторной самостоятельной работы по написанию сочинения небольшого объёма и свободной композиции на частную тему, трактуемую субъективно и обычно не полно. Обучающийся должен раскрыть не только суть проблемы, привести различные точки зрения, но и выразить собственные взгляды на неё. При раскрытии темы, необходимо проявить оригинальность подхода к решению проблемы, реалистичность и значимость предложенных идей, яркость , образность, художественную оригинальность изложения.

Этапы подготовки эссе:

1. Подобрать и изучить источники по теме, содержащуюся в них информацию.

2. Выбрать главное и второстепенное.

3. Составить план эссе.

4. Лаконично, но ёмко раскрыть содержание проблемы и свои подходы к её решению.

5. Оформить эссе и сдать в установленный срок.

Контроль: Эссе может быть представлено на занятии в устной форме, либо сдано преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ.

Интернет - ресурсы

1.Научно-популярный физико-математический журнал "Квант" (статьи по математике): http://kvant.mirror1.mccme.ru/rub/1.htm

2.Открытая математикаhttp://www.mathematics.ru/courses/index.htm

Раздел 2: Развитие понятия о числе


Самостоятельная работа № 2 на тему: Действительные числа . Комплексные числа.

Цель: способствовать развитию навыков самостоятельного применения знаний при алгебраических вычислениях.

Типовые расчёты.

Математика. Задачник: учеб.пособие для образ. уч.начального и сред.проф. образования/М.И. Башмаков.- М.: Академия,2012.


п\п

Название работы

Страница в задачнике

заданий


1


Действия с дробями


6


1.1:А;

Б.

1.2:А,Б

1.3:А,Б

1.5:А

1.9 А



2

Приближенные вычисления, погрешность

10

1.124

1.13

3

Комплексные числа.


12

19

1.17

1.29 А





Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.



Раздел3: Корни, степени, логарифмы

Самостоятельная работа № 3 на тему: Степенная функция

Цель: способствовать развитию навыков самостоятельного применения знаний на применение свойств степени.

Типовые расчёты.

Математика. Задачник: учеб.пособие для образ. уч.начального и сред.проф. образования/М.И. Башмаков.- М. :Академия,2012.

п\п

Название работы

Страница в задачнике

заданий


1


Вычисление значений выражений


24

2.1 А: 1)

2)

3)

Б:1)- 11)


2

Сравнение значений выражений

29

2.6 А: 1)- 8)

3

Степени и корни

40

2.18 А

В

4

Построение графиков

159

165

7.1 А

7.11


Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.



Самостоятельная работа №4 на тему: Решение иррациональных уравнений

Цель: Закрепить навыки решения иррациональных уравнений.

Теоретический материал

Формулы для повторения:

hello_html_m56096214.gif;

hello_html_7b665667.gif;

Решение квадратных уравнений:

hello_html_53daed75.gif

hello_html_m22562b1f.gif,

Если hello_html_2406949b.gif то hello_html_m60c4992b.gif

Если hello_html_m12dc6339.gif то hello_html_m743b7721.gif

Если hello_html_m49b550d3.gif то корней нет


Вариант 1

Решить уравнения

  1. hello_html_m3b45c78e.gif=hello_html_m3b4a34d7.gif ;

  2. hello_html_103de3d8.gif= hello_html_m60264e3d.gif ;

  3. hello_html_m25d5c975.gif= hello_html_m68d46436.gif;

  4. hello_html_m1516417b.gif=4 ;

  5. hello_html_31c22a22.gifhello_html_m5c062083.gifhello_html_229f8e6c.gif= 1;

  6. hello_html_m3e9dc203.gifhello_html_m6fe65818.gif=0;

  7. hello_html_3954b438.gifпринимает значение равное 2?

Вариант 2

Решить уравнения

hello_html_356740dd.gif=hello_html_m3e05116a.gif ;

  1. hello_html_f68f1ff.gif= hello_html_m1101b97f.gif ;

  2. hello_html_m23e97a0f.gif;

  3. hello_html_m75db7600.gif=3 ;

  4. hello_html_m4f2e17f8.gif+2 hello_html_229f8e6c.gif = 5;

  5. hello_html_10471d88.gif- 3 =0 ;

  6. hello_html_59871614.gifпринимает значение равное 3?

Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.


Самостоятельная работа № 5 на тему: Преобразование выражений, содержащих показательные и логарифмические функции.

Цель: применение основного логарифмического тождества и свойств логарифмов при решении упражнений.

Теоретический материал:

Основное логарифмическое тождество: hello_html_m2e71072b.gif

Свойство логарифмов:

  1. hello_html_58820a69.gif

  2. hello_html_m3824f865.gif;

  3. hello_html_2b25e692.gif.

Решить самостоятельно:

Вариант 1

  1. Вычислить:

hello_html_421fd91b.gif

    1. hello_html_ada70d.gif1.6.hello_html_2bf8c9fa.gif.

  1. Выяснить при каких значениях Х имеет смысл выражение:

    1. hello_html_m30cd7605.gif

  2. Вычислить:

    1. hello_html_7bd02fa1.gifhello_html_m60f89daa.gifhello_html_269ec2a0.gif.

  3. Вычислить:

    1. hello_html_7c8dea1f.gif

    2. hello_html_m2ee3d715.gif

    3. hello_html_7eced0bf.gif

    4. hello_html_me62917a.gif

    5. hello_html_64c3da69.gif

    6. hello_html_551cd284.gif

Вариант 2

  1. Вычислить:

hello_html_641a8eb1.gif

hello_html_m349df009.gif1.6. hello_html_112501b4.gif.

  1. Выяснить при каких значениях Х имеет смысл выражение:

    1. hello_html_m5d4e337e.gif

  2. Вычислить:

    1. hello_html_m6d0adc24.gifhello_html_mfea804c.gif3.3.hello_html_1b25bafc.gif

  3. Вычислить:

    1. hello_html_m5d9000ff.gif

    2. hello_html_2925c0b2.gif

    3. hello_html_m7ba772a1.gif

    4. hello_html_m66c96468.gif

    5. hello_html_5b89dc62.gif

    6. hello_html_546ebb89.gif

Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.

Самостоятельная работа №6 на тему: Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств

Цель: Знать методы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств, применять их при решении упражнений.

Теоретический материал

Степени чисел от 0 до 10

n

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

hello_html_6f35c527.gif

1

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

hello_html_2e851ce1.gif

1

3

9

27

81

243

729

2187

6561

19683

59049

hello_html_m20fbb2b5.gif

1

4

16

64

256

1024

4096

16384

65536

262144


hello_html_56cc0f5e.gif

1

5

25

125

625

3125

15625

78125

390625



hello_html_470e26fe.gif

1

6

36

216

1296

7776

46656

279936




hello_html_52553e6d.gif

1

7

49

343

2401

16807

117649





hello_html_m4b698f9a.gif

1

8

64

512

4096

32768






hello_html_72de2b1f.gif

1

9

81

729

6561

59049






hello_html_7e0ca7e5.gif

1

10

100

1000

10000








Решение квадратных уравнений:


hello_html_53daed75.gif

hello_html_m22562b1f.gif,

Если hello_html_2406949b.gif то hello_html_m60c4992b.gif

Если hello_html_m12dc6339.gif то hello_html_m743b7721.gif

Если hello_html_m49b550d3.gif то корней нет




Формулы сокращенного умножения:

hello_html_m3339e16e.gif


hello_html_76f82af8.gif


hello_html_m11a908a9.gif


hello_html_m4e637c8d.gif


hello_html_m27650521.gif


Свойства степеней

Свойства корней n-ой степени

  1. hello_html_m36fc38a9.gif


  1. hello_html_1317ec1e.gif


  1. hello_html_18a6510d.gif


  1. hello_html_3f53bdf1.gif


  1. hello_html_97428be.gif


  1. hello_html_m57daa1f8.gif


  1. hello_html_6b8841fa.gif

  2. hello_html_2025ff41.gif


  1. hello_html_3fa5952f.gif


  1. hello_html_3c42d4c6.gif


  1. hello_html_751cd332.gif



  1. hello_html_66f4dde.gif


  1. hello_html_2b6f9ee5.gif



  1. hello_html_1bbf1a1c.gif


  1. hello_html_6ee7f2b0.gif


  1. hello_html_97428be.gif



Показательное уравнение – это уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени

Решение показательных уравнений. Метод выноса за скобки

Образцы решения

  1. Решить уравнение: hello_html_21bf71b.gif

В левой части выносим за скобки степень с наименьшим показателем, то есть hello_html_32bb068d.gif. В результате получим:


hello_html_m543be667.gif

hello_html_40f584d3.gif


hello_html_700c0f14.gif


hello_html_44c1a9ed.gif

hello_html_m247cf2d1.gif


hello_html_49d35ced.gif


Ответ: х = 2.

Уравнения, сводящиеся к квадратным (метод замены)

Образцы решения

  1. Решить уравнение: hello_html_6b3a74a0.gif.

Решение: Заметив, что hello_html_m83ea1f9.gif

Перепишем заданное уравнение в виде:

hello_html_5716a091.gif

Вводим новую переменную: hello_html_2fb5693b.gif, тогда уравнение примет вид:

hello_html_m67d30e41.gif

Решив квадратное уравнение, получим: hello_html_m1c77e12e.gif4, hello_html_m331d761f.gif6. Но так как hello_html_2fb5693b.gif, то надо решить два уравнения:

hello_html_m5709a2f0.gif

Решим первое уравнение:

hello_html_92f124e.gif

Рассмотрим второе уравнение.

Второе уравнение не имеет решения, так как hello_html_m2456a165.gif для любых значений х.

Ответ: 2.

Образцы решения логарифмических уравнений

  1. Решить уравнение:

hello_html_m71aae1e9.gif

Решение: Используя формулу: hello_html_m44152a87.gif, заменим сумму логарифмов произведением:
hello_html_m7f179881.gif

hello_html_m38dca70e.gif

hello_html_66f7dc5d.gif=0

hello_html_31fa3959.gif

hello_html_m799e5c5b.gif.

Проверка:

hello_html_2de71206.gif

hello_html_m38d9c9af.gif


hello_html_2427b6ad.gif


hello_html_444602b1.gif

hello_html_58fedc21.gif- не существует.

Ответ: хhello_html_7bbd2db.gif

  1. Решить уравнение:

hello_html_5e8a88c2.gif. Используем метод замены.

hello_html_44d6dce6.gif

hello_html_m70c5074d.gif. Подставим в замену.

hello_html_6472d404.gif.

Ответ: hello_html_m4d512518.gif.


Образцы решения показательных неравенств

  1. Решить неравенство hello_html_42e8c638.gif

hello_html_11852162.gifРешение:

Выносим за скобки степень с наименьшим показателем, т.е. hello_html_1bc22293.gif.

Получим: hello_html_103f7ebc.gif

hello_html_m56723fe3.gif

hello_html_m6f6cc9e5.gif

hello_html_78d7052e.gif

Так как основание hello_html_m469b8c58.gif, то неравенство равносильно неравенству того же смысла hello_html_7cfd8a4f.gif

Ответ: hello_html_44b0f4cb.gif.

  1. Решить неравенство hello_html_m1845ec12.gif

Решение.

Заменим : hello_html_2af5e1ee.gif

Получим неравенство: hello_html_6902929a.gif Трехчлен hello_html_m137cf43b.gif разложим на множители: hello_html_m3b3efaed.gif.

hello_html_m3326693a.gif

hello_html_5dd8c3cd.gif

hello_html_m580d85d9.gif.

Ответ: hello_html_m4279503.gif.

Образцы решения логарифмических неравенств.

  1. Решить неравенство:



п/п

Вариант 1

Вариант 2

1

hello_html_m7d76bca6.gif

hello_html_m1c7fa8c9.gif

2

hello_html_m31c61490.gif

hello_html_551c69c3.gif

3

hello_html_43b4eb66.gif

hello_html_m28612424.gif

4

hello_html_1fe1210a.gif

hello_html_m32e7441e.gif

5

hello_html_m34eddf0e.gif

hello_html_6b0462fb.gif

6

hello_html_223dc67.gif

hello_html_4c1bcb85.gif

7

hello_html_m3606b60d.gif

hello_html_43b64e1.gif

Показательные и логарифмические неравенства

1

hello_html_m7721a5e8.gif

hello_html_m3c723863.gif

2

hello_html_m2ba25c95.gif

hello_html_27eee957.gif

3

hello_html_m1845ec12.gif

hello_html_m7c226ed8.gif

4

hello_html_4a74f653.gif

hello_html_7f2dffda.gif

5

hello_html_19193e54.gif

hello_html_6ce11905.gif

6

hello_html_603fbd24.gif


hello_html_66d902fe.gif

Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.

Раздел 4: Прямые и плоскости в пространстве

Самостоятельная работа № 7 на тему: Параллельность прямых и плоскостей.

Цель: способствовать развитию навыков самостоятельного применения знаний при решении задач на применения свойств параллельности прямых и плоскостей.

Типовые расчёты.

Математика. Задачник: учеб.пособие для образ. уч.начального и сред.проф. образования/М.И. Башмаков.- М. :Академия,2012.

п\п

Название работы

Страница в задачнике

заданий


1


Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве


51


А :3.1;

3.2;

3.3;

3.4;

В :3.7.


2


Параллельность прямых и плоскостей


53


А:3.19;

3.20;

3.21;

3.24;

В:3.31.

3

Проектирование

60

А: 3.78;

3.83;

3.84;

В:3.92

4

Матричный тест

66

А: 3.133

5

Самостоятельная работа

69

А:3.138

Б:3.139


Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.



Самостоятельная работа №8 на тему: Угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями

Цель: Уметь находить угол между прямой и плоскостью и угол между плоскостями.

Теоретические сведения

Угол между прямой и плоскостью.

Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и ее ортогональной проекцией на данную плоскость.

Считают также, что прямая, перпендикулярная плоскости, образует с этой плоскостью прямой угол.

hello_html_149913d1.png


Определим понятие угла между плоскостями.

Определение: Угол между параллельными плоскостями считается равным нулю.

Пусть данные плоскости пересекаются. Проведем плоскость, перпендикулярную прямой их пересечения. Она пересекает данные плоскости по двум прямым. Угол между этими прямыми называется углом между данными плоскостями . hello_html_m5c56978.png

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуются четыре угла. В качестве угла между плоскостями мы берем острый угол.

Решить самостоятельно. Ответы обосновать.

Вариант 1

  1. Из вершины A квадрата ABCD перпендикулярно его плоскости проведен отрезок AK, равный 3. Из точки K опущены перпендикуляры на стороны BC и CD. Перпендикуляр из точки K к стороне BC равен 6. Найдите углы, которые образуют эти перпендикуляры с плоскостью квадрата.

  2. В кубе AD1 найдите угол между прямой AA1 и плоскостью AB1C1.

hello_html_10255c4f.png

  1. В кубе AD1 найдите угол между плоскостями ABC и CDD1.



hello_html_2c38b600.png



  1. В кубе AD1 найдите угол между плоскостями ACC1 и BDD1.

hello_html_1ecb3fff.png

  1. В кубе AD1 найдите угол между плоскостями ABC и BC1D.

hello_html_m38519c73.png



  1. В тетраэдре ABCD, ребра которого равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и BCD.

hello_html_me528c65.png

  1. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и BB1C1.

hello_html_776af2a.png

  1. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и A1B1C.

hello_html_3f4aa37.png

  1. В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите двугранный угол, образованный гранями SAB и SBC.

hello_html_2f9b2a3f.png

Вариант 2

  1. Из вершины A квадрата ABCD перпендикулярно его плоскости проведен отрезок AK, равный 6. Из точки K опущены перпендикуляры на стороны BC и CD. Перпендикуляр из точки K к стороне BC равен 18. Найдите углы, которые образуют эти перпендикуляры с плоскостью квадрата.

  2. В кубе AD1 найдите угол между прямой AB1 и плоскостью BCC1.



hello_html_721e3370.png

  1. В кубе AD1 найдите угол между плоскостями ABC и CDA1.

hello_html_4b556160.png



  1. В кубе AD1 найдите угол между плоскостями ABC и BDD1.

hello_html_22005cf7.png









  1. В кубе AD1 найдите угол между плоскостями BC1D и BA1D.

hello_html_752c0d21.png

  1. В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями SBC и ABC.

hello_html_m45d6d01c.png



  1. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ACC1 и BCC1.

hello_html_30b37e50.png

  1. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и ACB1.

hello_html_15744ce.png

  1. В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями SAD и SBC.

hello_html_m15adb8a1.png

Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.


Самостоятельная работа № 9 на тему: Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трех перпендикулярах

Цель: рассмотреть понятие- расстояния от точки до плоскости; изучить теорему о трёх перпендикулярах; рассмотреть типичные ситуации её применения на примерах решения задач.

Теоретический материал

Теорема: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной. hello_html_59fee41e.png

Теорема (обратная): Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.



Определение: Расстоянием от точки до плоскости в пространстве называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную плоскость

hello_html_m22bf83bd.png

Вопросы для закрепления.

  1. Как найти расстояние от точки до плоскости?

  2. Может ли наклонная быть короче перпендикуляра, проведённого из той же точки к той же плоскости?

  3. Если наклонные, проведённые из одной точки к плоскости, равны, то, что можно сказать об их проекциях?

  4. Как формулируется обратное утверждение? Справедливо ли оно?

  5. Сформулируйте теорему о трёх перпендикулярах

  6. Как формулируется теорема, обратная теореме о трёх перпендикулярах?

  7. Если точка равноудалена от всех вершин многоугольника, то во что она проектируется?

  8. Если точка равноудалена от всех сторон многоугольника, то во что она проектируется?

  9. Что называется углом между прямой и плоскостью?


Решить самостоятельно.

Вариант 1


  1. Докажите, что если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной к этой плоскости, то она перпендикулярна и ортогональной проекции этой наклонной.

hello_html_453c6018.png


  1. Из точки к плоскости проведены две наклонные, одна из которых на 6 см длиннее второй. Проекция наклонных равны 17 см и 7 см. Найдите наклонные.


  1. Из вершины равностороннего треугольника АВС восстановлен перпендикуляр АD к плоскости треугольника. Чему равно расстояние от точки D до прямой ВС, если АD=1дм, ВС=8 дм?


  1. Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О. SO – перпендикуляр к плоскости квадрата. SO= 4hello_html_39f1b7ec.gif см.

  1. Докажите равенство углов, образованных прямыми SA, SB, SD с плоскостью квадрата.

  2. Найдите эти углы, если периметр АВСD равен 32 см.


  1. Отрезок SA длиной 15 см – перпендикуляр к плоскости прямоугольника ABCD, в котором АС=10 см, АВ=6 см.

Докажите, что проекции треугольников SBC и SDC имеют равные площади.

Вариант 2

  1. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость, короче всякой наклонной, проведенной из той же точки к той же плоскости.

hello_html_787595b9.png


  1. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 17 см и 15 см. Проекция одной из них на 4 см больше проекции другой. Найдите проекции наклонных.


  1. Из вершины квадрата АВСD восстановлен перпендикуляр АЕ к плоскости квадрата. Чему равно расстояние от точки Е до прямой ВD, если АЕ=2дм, АВ=8 дм?


  1. Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О. SO – перпендикуляр к плоскости квадрата. SO= 4см. Точки K, L, M, N – середины сторон квадрата.

  1. Докажите равенство углов, образованных прямыми SK, SL, SM, SN с плоскостью квадрата.

  2. Найдите эти углы, если площадь АВСD равен 64 см2.


  1. Отрезок SA длиной 6 см – перпендикуляр к плоскости квадрата ABCD, в котором АС=8hello_html_39f1b7ec.gif cм.

Докажите, что проекции треугольников SBC и SDC на плоскости квадрата равны.

Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.


Самостоятельная работа №10 . Составление кроссвордов на тему: Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве

Цель: развитие интереса к предмету, интуиции, логического мышления.

Кроссворд — игра, состоящая в разгадывании слов по определениям.


Правила составления кроссвордов


  1. В общем случае определение должно состоять из одного предложения.

  2. Определения должны быть по во возможности краткими. Следует избегать перечислений, не злоупотреблять причастными и деепричастными оборотами, не перегружать текст прилагательными. Определение кроссворда - своего рода компромисс между краткостью и содержательностью.

  3. Запрещается использование в одной сетке двух и более одинаковых слов, даже с различными определениями.

  4. В вопросах следует избегать энциклопедических определений. В целом работа должна быть авторской, а не перепечаткой статей из словаря.

  5. Нежелательно начинать формулировку вопроса с цифры, глагола, деепричастия.

  6. Запрещается использование однокоренных слов в вопросах и ответах.

  7. В работе должна быть изюминка, то есть нечто, отличающее ее от миллионов других.

  8. Запрещается помещать слова без пересечений (встречается и такое).

  9. Не используются слова, пишущиеся через тире и имеющие уменьшительно-ласкательную окраску.

Образец оформления и составления кроссвордов:



По горизонтали:

C:\Documents and Settings\sp2mtn\Рабочий стол\1300247062_1.jpg

1. Сторона прямоугольного треугольника.

4. Он есть у функции и последовательности.

8. Его штаны равны во все стороны.

10. Полный круг вращения.

13. Французский математик, специалист теории вероятностей.

14. Арифметическое действие.

16. Гектар — ... площади.

17. Часть матрицы.

18. Свойство углов.

19. Полупрямая.

22. Нейтральный элемент относительно умножения.

23. Группа повторяющихся цифр в бесконечной десятичной дроби.

24. Наибольший общий ...

По вертикали:


2. Бублик как математический объект.

3. Положение, нуждающееся в доказательстве.

4. Поверхность, имеющая 2 измерения.

5. Линейное алгебраическое уравнение.

6. Тригонометрическая функция.

7. Один из двух экстремумов.

9. Функция по своей сути.

11. Часть прямой.

12. Линия.

15. Геометрическая фигура, образованная двумя лучами.

17. Полный квадрат первого двузначного числа.

18. Для него необходимы натуральные числа.

20. В теории графов: маршрут, все ребра которого различны.

21. В теории графов: замкнутый маршрут, все ребра которого различны.


Ответы:

По горизонтали:

1-катет;

4-предел;

8-пифагор;

10-оборот;

13-пуассон;

14-умножение;

16-мера;

17-строка;

18-смежность;

19-луч;

22-единица;

23-период;

24-делитель;



По вертикали:

2-тор;

3-теорема;

4-плоскость;

5-лау;

8-синус;

7-максимум;

9-отображение;

11-отрезок;

12-кривая;

15-угол;

17-сто;

18-счёт;

20-цепь;

21-цикл.







Контроль: представить кроссворд в разгаданном виде на учебном занятии


Раздел 5: Комбинаторика

Самостоятельная работа №11 на тему: Задачи комбинаторики

Цель: закрепить навыки решения комбинаторных задач.

Теоретический материал.

hello_html_1fdab01c.gifКомбинаторика (комбинаторный анализ, комбинаторная математика) – раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов некоторого, обычно конечного, множества в соответствии с заданными правилами

Число размещений из п элементов по т определяется по формуле:


Произведение натуральных чисел от единицы до какого-либо данного натурального числа n, то есть 1•2•3•......•n , называется «факториалом» (англ. factorial, от лат. factor – делающий, производящий) и обозначается n! Термин ввёл Л. Арбогаст (1800), обозначение n!К. Крамп (1808).


hello_html_38bf1507.gif1 Например, из 32 букв русского алфавита можно составить

двухбуквенные комбинации, не содержащие повторений букв.


2 Учащиеся второго класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день из 4 различных предметов?

Решение: Речь идёт о размещении из 8 элементов по 4. Имеем:

А48=8!/(8-4)!=8!/4!=8*7*6*5=1680

Ответ: расписание можно составить 1680 способами.

Для нахождения числа перестановок используют формулу Pn = n!


3 Сколькими способами могут быть расставлены 8 участниц забега на восьми беговых дорожках?

Решение: Число способов равно числу перестановок из 8 элементов.

Р8=8!=1*2*3*4*5*6*7*8=40320.

Ответ: существует 40320 способов расстановки участниц забега на 8 беговых дорожках.


hello_html_m347d96f2.gifРазмещениями с повторениями, находится по формуле


4 На пример, из 30 букв русского алфавита (исключая ь и ъ) можно составить 302 = 900 двухбуквенных серий (например, для денежных знаков) и 303 = 27 000 трехбуквенных серий.


Число этих перестановок вычисляется по формуле

Pnn1 , n2 , ... nk = hello_html_427f0ab9.gif, где п — общее количество элементов, входящих в перестановку, a n1, n2,, nk — количество одинаковых элементов в первой, второй, ..., k-й группах.


5 Определим число перестановок с повторениями, которое можно получить из букв, составляющих словоформу математика. Всего в перестановках участвует десять букв, т. е. n = 10; буква м повторяется два раза, поэтому если бы все остальные буквы были различными, то искомое число перестановок, было бы равно P210= 10! / 2!. На самом деле, кроме двух одинаковых м в нашем слове имеются три а и два т. Поэтому общее число перестановок, полученных из букв, входящих в словоформу математика, равно

~



P 102,2,3 = hello_html_m57cfa7a8.gif

Группы комбинаций, различающиеся только элементами, называются сочетаниями из п элементов по т. Их число равно :

hello_html_1bd27c3c.gif



6 имеется пять гвоздик разного цвета. Требуется составить букет изтрёх гвоздик разного цвета.

Решение:С35=5!/3!*(5-3)!=5!/3!*2!=4*5/1*2=20/2=10.

Решите задачи:

  1. Сколькими способами могут восемь человек стать в очередь к театральной кассе?

  2. Сколько слов можно образовать из букв слова фрагмент, если слова должны состоять:

(а) из восьми букв, (б) из семи букв, (в) из трех букв?

  1. Сколькими способами из восьми человек можно избрать комиссию, состоящую из пяти членов?

  2. Сколько четырехбуквенных слов можно образовать из букв слова сапфир?

  3. В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

  4. В магазине продаётся 8 различных наборов марок, спортивной тематики. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

  5. Сколькими способами может разместится семья из трёх человек в четырёхместном купе, если других пассажиров в купе нет?

  6. hello_html_37f53ac7.gif

  7. hello_html_58ebf4e4.gif

  8. hello_html_m1fdc3551.gif


Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.

Раздел 6: Координаты и векторы.

Самостоятельная работа №12 на тему: Действие над векторами в координатной форме

Цель: закрепить знания учащихся по теме в ходе решения задач.

Теоретический материал

Отложим вектор так, чтобы его начало совпало с началом координат. Тогда координаты его конца называются координатами вектора. Обозначим hello_html_m73957855.gif векторы с координатами (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) соответственно. Их длины равны единице, а направления совпадают с направлениями соответствующих осей координат. Будем изображать эти векторы, отложенными от начала координат и называть их координатными векторами.

hello_html_2b130def.png

Теорема. Вектор hello_html_464482e5.gif имеет координаты (x, y, z) тогда и только тогда, когда он представим в виде hello_html_41e5c736.gif/

Вариант 1

п/п

Название операции

Формулы

1


Найти сумму векторов

hello_html_m3cf19513.gif


hello_html_m5db0f831.gif

2


Найти разность векторов

hello_html_m272ab708.gif


hello_html_m7abccefd.gif

3


Найти произведение вектора на число

hello_html_32c6c833.gif, hello_html_4ed10e9.gif hello_html_m237d5265.gif


hello_html_58447413.gif

4


Вычислить координаты середины отрезка

Точка Ahello_html_m1f460210.gif Точка B (-3;4;-1hello_html_m7c48e444.gif Точка С- середина отрезка АВ. С(hello_html_7690ba74.gif;hello_html_133eaa4f.gif;hello_html_265360e3.gif


hello_html_6c17f91f.gif

hello_html_68c3c482.gif

5


Найти координаты вектора

Точка Ahello_html_300f8a42.gif Точка B (-1;4;-7hello_html_m7c48e444.gif.Находим координаты вектора hello_html_3b8cd368.gif. Из координат конца вычислить координаты начала вектора


hello_html_2021d0e7.gif

6


Найти длину вектора

hello_html_3c88bf50.gif


hello_html_4975d207.gif

7

Вычислить скалярное произведение векторов

hello_html_6f8d414d.gif


hello_html_15f7bee7.gif

8


Найти косинус угла между векторами

hello_html_m1513a35f.gif


hello_html_m37ecfe88.gif


9

При каких значениях hello_html_m6fcfd213.gif и hello_html_443248c0.gif векторы коллинеарны?

hello_html_5cf5457f.gif

hello_html_m5187d0d8.gif

10

Проверьте перпендикулярность векторов

hello_html_m110acd98.gif


hello_html_m35e0fc44.gif- условие перпендикулярности векторов



Вариант 2

п/п

Название операции

Формулы

1


Найти сумму векторов

hello_html_m4650400a.gif


hello_html_m5db0f831.gif

2


Найти разность векторов

hello_html_3d717cb0.gif


hello_html_m7abccefd.gif

3

Найти пароизведение на число

hello_html_6c17f784.gif, hello_html_4ed10e9.gif hello_html_m64678b65.gif

hello_html_58447413.gif

4


Вычислить координаты середины отрезка

Точка Ahello_html_m4f27a0b.gif Точка B (2;-3;1hello_html_m7c48e444.gif Точка С- середина отрезка АВ. С(hello_html_7690ba74.gif;hello_html_133eaa4f.gif;hello_html_265360e3.gif


hello_html_6c17f91f.gif

hello_html_68c3c482.gif

5


Найти координаты вектора

Точка Ahello_html_m1d0cbdd6.gif Точка B (1;-4;7hello_html_m7c48e444.gif.

Находим координаты вектора hello_html_3b8cd368.gif. Из координат конца вычислить координаты начала вектора


hello_html_2021d0e7.gif

6

Найти длину вектора

hello_html_m2fc394c0.gif


hello_html_4975d207.gif

7

Вычислить скалярное произведение векторов

hello_html_m2df74dfa.gif


hello_html_15f7bee7.gif

8


Найти косинус угла между векторами

hello_html_5a4ad363.gif


hello_html_m37ecfe88.gif


9

При каких значениях hello_html_m6fcfd213.gif и hello_html_443248c0.gif векторы коллинеарны?

hello_html_m3defa217.gif

hello_html_m5187d0d8.gif

10

Проверьте перпендикулярность векторов

hello_html_e777ad0.gif


hello_html_m35e0fc44.gif- условие перпендикулярности векторов

Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.

Самостоятельная работа № 13 на тему: Жизнь и деятельность математиков-ученых

Цель: расширить кругозор учащихся, познакомить с жизнью и деятельностью математиков – ученых.

Задание для учащихся.

1.Написать сообщение на заданную тему.

Сообщение – это сокращенная запись информации, в которой должны быть отражены основные положения текста, сопровождающиеся аргументами, 1–2 самыми яркими и в то же время краткими примерами.

Сообщение составляется по нескольким источникам, связанным между собой одной темой. Вначале изучается тот источник, в котором данная тема изложена наиболее полно и на современном уровне научных и практических достижений. Записанное сообщение дополняется материалом других источников.

Этапы подготовки сообщения:

1. Прочитайте текст.

2. Составьте его развернутый план.

3. Подумайте, какие части можно сократить так, чтобы содержание было понято правильно и, главное, не исчезло.

4. Объедините близкие по смыслу части.

5. В каждой части выделите главное и второстепенное, которое может быть сокращено при конспектировании.

6. При записи старайтесь сложные предложения заменить простыми.

Тематическое и смысловое единство сообщения выражается в том, что все его компоненты связаны с темой первоисточника.

Сообщение должно содержать информацию на 3-5 мин. и сопровождаться презентацией, схемами, рисунками, таблицами и т.д.

Выполнить самостоятельно:

Написать сообщение на тему: «Математики - известные ученые» (на выбор).


  1. Николай Лобачевский;

  2. Софья Ковалевская;

  3. Николай Боголюбов;

  4. Григорий Перельман;

  5. Пафнутий Чебышев;

  6. Виктор Садовничий;

  7. Леонтий Магницкий;

  8. Владимир Брадис;

  9. Константин Поссе;

  10. Андрей Колмогоров;




Интернет - ресурсы

  1. http://www.lapl.org/newsroom/

  2. http://www.osp.ru

  3. http://kvant.mirror1.mccme.ru

  4. http://ru.Wikipedia.org/wiki

2.Отгадай кроссворд

Угадав все слова и записав их в клеточки по горизонтали, в выделенном вертикальном столбце вы прочтете фамилию известного ученого-математика Древней Греции.

cross5

1.Отрезок прямой, образующий прямой угол с данной прямой и имеющий одним из своих концов их точку пересечения, есть ... к данной прямой. 2. Элемент прямоугольного треугольника. 3. Треугольник есть геометрическая ... . 4. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. 5. Два луча, исходящие из одной точки. 6. Перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость основания. 7. Замкнутая плоская кривая, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от некоторой точки O.



Контроль: работу представить на учебном занятии в установленный срок.


  1. Рене Декарт;

  2. Эварист Галуа;

  3. Карл Вейерштрасс;

  4. Пьер Ферма;

  5. Джон Непер;

  6. Жан Даламбер;

  7. Клаус Мёбиус;

  8. Евклид;

  9. Пифогор;

  10. Го́тфрид Ви́льгельм Ле́йбниц.



Раздел 7: Основы тригонометрии

Самостоятельная работа №14 на тему: Тригонометрические формулы

Цель: способствовать закреплению навыков преобразования тригонометрических выражений.

Основные формулы тригонометрии

hello_html_m972a4d3.gif;

hello_html_504a5578.gif;

hello_html_m41fbfb31.gif;

hello_html_621aac41.gif; hello_html_72258168.gif ; thello_html_m16093b61.gif hello_html_703e5356.gif ; hello_html_m454bd9d8.gif.

Синус и косинус суммы и разности аргументов:

hello_html_3bf0dff3.gif

hello_html_4ad2e2cc.gif

hello_html_m422273ae.gif

hello_html_72c618e1.gif

hello_html_43b1b2a4.gif

Формулы двойного аргумента:

hello_html_43c89e15.gif

hello_html_m4eea5266.gif

hello_html_37afcc04.gif

Формулы понижения степени:

hello_html_m66ec0f09.gif

hello_html_6420526d.gif

Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение:

hello_html_m63458e91.gif

hello_html_1d22e1d4.gif

hello_html_2dce76d3.gif

hello_html_m26ed44c3.gif


Вариант 1


Вариант 2


  1. Вычислить выражение, используя формулы синус и косинус суммы и разности аргументов:

hello_html_468cc062.gif

  1. Вычислить выражение, используя формулы синус и косинус суммы и разности аргументов:

hello_html_70861bbb.gif

  1. Упростить выражение, используя формулы синус и косинус суммы и разности аргументов:

hello_html_550d71f0.gif

hello_html_m5efbb657.gif

hello_html_63a40431.gif

hello_html_m6815cc88.gif

  1. Упростить выражение, используя формулы синус и косинус суммы и разности аргументов:

hello_html_9044461.gif

hello_html_229fb8f8.gif

hello_html_m5fafb0ff.gif

hello_html_54e1e389.gif

  1. Найдите значение выражения, используя формулы синус и косинус суммы и разности аргументов:

hello_html_6b74f3e1.gif

hello_html_m56075e83.gif

hello_html_609e199c.gif

hello_html_m6801a419.gif


hello_html_69c0b9c.gif


  1. Найдите значение выражения, используя формулы синус и косинус суммы и разности аргументов:

hello_html_38cb1a24.gif

hello_html_m56fc6be2.gif

hello_html_40da2c14.gif

hello_html_m31887a74.gif

hello_html_4c6b0588.gif


  1. Докажите тождество используя формулы синус и косинус суммы и разности аргументов:

hello_html_5d42d39c.gif

hello_html_6e8114ad.gif

  1. Докажите тождество используя формулы синус и косинус суммы и разности аргументов:

hello_html_m7a15568a.gif

    1. hello_html_14a8a3df.gif

  1. Упростить выражение, используя формулы двойного аргумента:


hello_html_m4aa71b04.gif


hello_html_5998d07b.gif

hello_html_5e7ef5d2.gif

hello_html_m20704516.gif

5.Упростить выражение, используя формулы двойного аргумента:


hello_html_5c6cc807.gif

hello_html_5196cf53.gif


hello_html_m1bb09987.gif

hello_html_mdcc5e04.gif


6.Известно, что hello_html_1cfc1635.gif,

hello_html_m561caf07.gif

Найдите: hello_html_m7688d36d.gif

6.Известно, что hello_html_m6b22f248.gif,

0hello_html_232c46ee.gif

Найдите: hello_html_m7688d36d.gif


7.Известно, что hello_html_289d5ad9.gif. 0hello_html_232c46ee.gif

Найдите: hello_html_m181891e3.gif, hello_html_7eba60b.gif

7.Известно, что hello_html_4ad2e2fe.gif. 0hello_html_232c46ee.gif

Найдите: hello_html_m181891e3.gif, hello_html_7eba60b.gif

  1. Представить в виде произведения:

hello_html_4474620a.gif

hello_html_m7924d717.gif

hello_html_1a402044.gif

hello_html_m3d102b17.gif

8.Представить в виде произведения:

hello_html_2c7312a5.gif

hello_html_m39eee91c.gif

hello_html_3f07b3d7.gif

hello_html_m63c86ce3.gif

  1. Представить в виде произведения:

hello_html_m7bd41650.gif

    1. hello_html_m483c5b2e.gif


hello_html_4d32be13.gif


9.Представить в виде произведения:

hello_html_m8104851.gif

hello_html_m71c35c53.gif- hello_html_m349f4e00.gif


hello_html_1a1fe274.gif


10.Докажите, что верно равенство используя формулы преобразования сумм тригонометрических функций в произведение:

hello_html_m8db44a3.gif

10.Докажите, что верно равенство используя формулы преобразования сумм тригонометрических функций в произведение:

hello_html_83352b2.gif


Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.


Самостоятельная работа № 15 на тему: Тригонометрические функции

Цель: способствовать развитию навыков самостоятельного применения знаний при выявлении свойств тригонометрической функции.

Типовые расчёты.

Математика. Задачник: учеб.пособие для образ. уч.начального и сред.проф. образования/М.И. Башмаков.- М. :Академия,2012.


п\п

Название работы

Страница в задачнике

заданий


1

Чётность функции


164

7.10

А 8)- 10)

Б 8)

В 8)


2

Свойства функции

176

7.29 А 1)-6)



Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.


Самостоятельная работа №16 на тему: Тригонометрические уравнения

Цель: Знать методы решения тригонометрических уравнений и применять их при решении упражнений.

Теоретический материал

Формулы для повторения

arcsin(hello_html_m5c062083.gif a) = hello_html_m5c062083.gif arcsin a

arccos (hello_html_m5c062083.gifa) = hello_html_m1f81245d.gif

arctg (hello_html_m5c062083.gifa) = hello_html_m5c062083.gif arctg a

arcctg (hello_html_m5c062083.gifa) = hello_html_315f1bec.gif arcctg a


Общие формулы решения тригонометрических уравнений


hello_html_m4bb80cef.gifhello_html_4c7740ea.gif;

hello_html_m36292788.gif


hello_html_m5b7c5bc9.gif

hello_html_406093d6.gif

II tg x = a, a – любое число

T x = arctg x + hello_html_m46c0e3ea.gif


I ctg x = a, a – любое число

х= arcctgx + hello_html_m46c0e3ea.gif



Частные решения тригонометрических уравнений


sin x=0

х=hello_html_m2489f9af.gif

sin x=1

x=hello_html_m2695a85b.gif

sin x=-1 x=hello_html_619c1e9b.gif

cos x=0

x= hello_html_m67066bf.gif

cos x=1

x= hello_html_26b1e013.gif

cos x=-1

x=hello_html_m41836b06.gif


Значение тригонометрических функций


град

00

300

450

600

900

радиан

0

hello_html_1efe9eb4.gif

hello_html_m2bf5a2e4.gif

hello_html_351c7e71.gif

hello_html_50661fa5.gif

sinhello_html_695bfd0f.gif

0

hello_html_6eec8aff.gif

hello_html_73ca8c00.gif

hello_html_1fc87bde.gif

1

coshello_html_695bfd0f.gif

1

hello_html_1fc87bde.gif

hello_html_73ca8c00.gif

hello_html_6eec8aff.gif

0

tghello_html_695bfd0f.gif

0

hello_html_7ab21a0a.gif

1

hello_html_5909bbae.gif

не существ

ctghello_html_695bfd0f.gif

Не существ

hello_html_5909bbae.gif

1

hello_html_7ab21a0a.gif

0


Формулы для повторения:

hello_html_m202bba38.gif, hello_html_m39de0eda.gif.

Если hello_html_mcb63647.gif, то корни квадратного уравнения находим по формуле:

hello_html_43ecf92c.gif

Образцы решения тригонометрических уравнений второго порядка:

Образец№1

Решить уравнение:

hello_html_7a75ce35.gif

Решение. Введем новую переменную: z = sin x. Тогда уравнение примет вид: 2z2 – 5z + 2 =0. Решая квадратное уравнение находим z1 = 2 и z2 =hello_html_6eec8aff.gif.

Значит, либо sin x = 2, либо sin x = hello_html_6eec8aff.gif. Первое уравнение не имеет корней, а из второго находим

hello_html_6023a301.gif

hello_html_m7d0d76b3.gif

Образец №2

Решить уравнение:

hello_html_49b4fede.gif

Решение:

Воспользуемся тем, что hello_html_504a5578.gif

Тогда заданное уравнение можно записать в виде:

hello_html_2a993f3b.gif

После преобразования получим:

hello_html_m2a6f4a9c.gif

Введем новую переменную z = cos x. Тогда данное уравнение примет вид:

2z2z -1 = 0. Решая его, находим z1 = 1, z2 =hello_html_m3d15adeb.gif

Значит, либо cos x = 1, либо cos x = hello_html_m3d15adeb.gif

Решая первое уравнение cos x = 1, как частное, находим его решение

hello_html_66e85ffd.gif.

Решая второе уравнение, находим решение:

xhello_html_5b60b8e9.gifarccos hello_html_m15f696d2.gif

hello_html_m71277542.gif

hello_html_m5157f3c2.gif) + hello_html_26b1e013.gif

hello_html_m2708fd68.gif+ 2hello_html_m46c0e3ea.gif

Образец №3

Решить уравнение:

hello_html_m7f621051.gif

Решение:

С числом 2, содержащимся во правой части, поступим следующим образом. Известно, что hello_html_m972a4d3.gif - это тождество верно для любого значения х.

Тогда hello_html_m3c76d082.gif.

Заменив в первом уравнении 2 на hello_html_768ffad7.gif , получим: hello_html_11852162.gif

hello_html_m1de805ba.gifsinxhello_html_79c0f69b.gifcosx + 5hello_html_m20eba789.gif

hello_html_m1de805ba.gifsinxhello_html_79c0f69b.gifcosx + 5hello_html_7bf3c5f.gif

hello_html_4f3c3d7.gif

Обе части уравнения разделим на cos2 x почленно

hello_html_5df41f5a.gif

Так как hello_html_61f2e405.gif, то полученное уравнение запишем в виде:

tg2x - hello_html_m4177a74e.gif

Введя новую переменную t=tg x, получим квадратное уравнение:

hello_html_m5e635944.gif+3=0, решая уравнение, получим: t =hello_html_5909bbae.gif

Итак, tg x=hello_html_5909bbae.gif

x= arctg hello_html_m11a5d3ff.gif

x= hello_html_1fa74bb8.gif, hello_html_5927d302.gif.

Решить самостоятельно

Вариант 1

1. Решить уравнения:

    1. 2hello_html_m328abec3.gif hello_html_39f1b7ec.gif = 0

    2. tg2x + 1= 0

    3. sinhello_html_260746fd.gif = 1

  1. 2. Определить число корней уравнения

3ctg 2x hello_html_m5c062083.gif hello_html_5909bbae.gif = 0 принадлежащих отрезку hello_html_m2c118851.gif.

Вариант 2

  1. Решить уравнения:

    1. hello_html_5909bbae.giftgx – 1 = 0

    2. 2sin hello_html_m213d3bea.gif = 1

    3. 2cos (2x +hello_html_m2bf5a2e4.gif) = hello_html_4a3e210d.gif

  2. Найдите наименьший положительный корень уравнения

sin hello_html_m5af29203.gif = hello_html_538d53cd.gif.

Решить уравнения:

  1. 3sin2x – 5sinx – 2 = 0

  2. 3cos22x + 10cos2x + 3 = 0

  3. 3cos2x + 10cosx + 3 = 0

  4. 2sin2x + 3cosx = 0

  5. 3tg2x + 2tgx – 1 = 0

  6. hello_html_5ec7255a.gif

  7. hello_html_8e4569c.gif


Решить уравнения:

  1. 6cos2x + cosx – 1 = 0

  2. 2sin22x – 3sin2x + 1 = 0

3. 2sin2x – 3sinx + 1 = 0

  1. 5cos2x + 6sinx – 6 = 0

  2. 2tg2x + 3tgx – 2 = 0

  3. hello_html_m4a6ba32c.gif

  4. hello_html_m250bb1f0.gif


Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.


Раздел 8: Функции, их свойства и графики.


Самостоятельная работа №17 на тему: Построение графиков функции

Цель: способствовать формированию умения по графику функции определить ее свойства, а также строить графики функций.

Вариант 1

  1. По графику функции hello_html_m6ebf54ee.gif, изображенному на рисунке, определите промежуток убывания функции:

  1. hello_html_5ffa7776.gif.

  2. По графику функции hello_html_m6ebf54ee.gif, изображенному на рисунке, определить максимум и минимум функции.

  3. По графику функции hello_html_m6ebf54ee.gif, изображенному на рисунке указать область определения и область значения функции.

  4. По графику функции hello_html_m6ebf54ee.gif, изображенному на рисунке, указать промежутки, где hello_html_m7be96987.gif .

hello_html_m25c4bb0c.gif

  1. Найти область определения функции hello_html_4149b798.gif.

hello_html_mac9489a.gif

  1. Укажите наибольшее значение функции hello_html_92a0f76.gif на отрезке hello_html_m1bf6dfea.gif.

hello_html_6f6b9e05.gif

  1. При каких значениях hello_html_m4f3a936b.gif функция hello_html_m4cc66a5c.gif принимает положительные значения?

hello_html_9f68997.gif

  1. Найдите нули функции hello_html_385edabd.gif.

hello_html_272e013f.gif

  1. Постройте график функции: hello_html_m3e260343.gif

Вариант 2

  1. По графику функции hello_html_m6ebf54ee.gif, изображенному на рисунке, определите промежуток возрастания функции.

hello_html_603cbcfe.gif

  1. По графику функции hello_html_m6ebf54ee.gif, изображенному на рисунке, определить максимум и минимум функции.

  2. По графику функции hello_html_m6ebf54ee.gif, изображенному на рисунке указать область определения и область значения функции.

  3. По графику функции hello_html_m6ebf54ee.gif, изображенному на рисунке, указать промежутки, где hello_html_m7be96987.gif .

hello_html_m25c4bb0c.gif

5. Найти область определения функции hello_html_77168a75.gif.

1. hello_html_m420c317c.gif

6. Укажите наименьшее значение функции hello_html_m38814802.gif на отрезке hello_html_m18fc5dc0.gif.

1. -1; 2. hello_html_m4fa9b5d2.gif

7. При каких значениях hello_html_m4f3a936b.gif функция hello_html_m7c98cbd1.gif принимает отрицательные значения?

1. hello_html_3416f49.gif.

8. Найдите нули функции hello_html_69ce1c87.gif.

hello_html_4926e985.gif

9.Постройте график функции: hello_html_45de714d.gif

Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.


Самостоятельная работа №18 на тему: Вычисление предела функции

Цель: Знать понятие предела функции в точке, уметь вычислять пределы и раскрывать неопределённости вида: hello_html_b02e370.gif.

Теоретический материал

Формулы для повторения

  1. hello_html_m6912620.gif, где С = const

Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при ха.

  1. hello_html_m1dff4bb7.gif

  2. hello_html_601945e6.gif

  3. hello_html_6517d73c.gif

  4. hello_html_49e42300.gifпри hello_html_m1dbb0281.gif

Образец решения:

1. Найти предел:
hello_html_181526c2.gif

2. Найти предел:

hello_html_5e9389ab.gif

Имеем неопределенность hello_html_6e53aa13.gif. Чтобы раскрыть ее, разделим числитель и знаменатель дроби на высшую степень числа х, т.е. на hello_html_1a436c6.gif.

Получим:

hello_html_3fcaac8.gif

Применяя теоремы о вычислении предела, получим:

hello_html_28b5e056.gif


3. Найти предел:

hello_html_mcb3645b.gif

Решение:

Имеем неопределенность hello_html_6cc58827.gif. Чтобы раскрыть ее, разложим на множители числитель и знаменатель.

hello_html_6e4435a4.gif


Примечание:

hello_html_208f25d0.gifhello_html_6c366d66.gif=0;

hello_html_mc5c695a.gifhello_html_m1a5487f.gif

Решить самостоятельно:

Вариант 1

Найти указанные пределы:

hello_html_m13a377fe.gif

hello_html_4b6ae5ce.gif

hello_html_677eac55.gif

hello_html_m41adbf78.gif


hello_html_m61c99288.gif


Вариант 2

Найти указанные пределы:

hello_html_5a6bbdc1.gif

hello_html_m3384d990.gif

hello_html_m4797ff69.gif


hello_html_6e1f33b4.gif

hello_html_m5c21e55d.gif


Вариант 3

Найти указанные пределы:

hello_html_441d27b3.gif

hello_html_m2f51259.gif


hello_html_14edd9c2.gif


hello_html_2cd61231.gif

hello_html_6ba322bd.gif


Вариант 4

Найти указанные пределы:

hello_html_m5373e2a6.gif

hello_html_7dd57bd2.gif


hello_html_84e85fc.gif


hello_html_7f635d76.gif

hello_html_m7c8608fb.gif





Дополнительное задание:

  1. Найти указанные пределы:

hello_html_10e63e.gif


hello_html_m3f599b61.gif


hello_html_m24de4bc4.gif


hello_html_61b2a786.gif

Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.


Раздел 9: Многогранники и круглые тела

Самостоятельная работа № 19 на тему: Многогранники и их поверхности

Цель: Знать формулы вычисления площади боковой и полной поверхности призмы, пирамиды, параллелепипеда и уметь применять их к решению задач.

Теоретический материал

Площадью поверхности многогранника по определению считается сумма площадей, входящих в эту поверхность многоугольников.

Основные формулы

п/п

Наименование многогранника

Изображение

Площадь боковой и полной поверхности

1

Куб

hello_html_m24bed210.png



hello_html_463a6b29.gif

2

Прямоугольный параллелепипед

hello_html_m24bed210.png


hello_html_685bda37.gif

3

Призма

247011621

hello_html_7b3c3ce.gif

hello_html_21ddcc2a.gif



4

Пирамида

hello_html_m3677542.png

hello_html_7e6b477a.gif

hello_html_14631e43.gif




Решить самостоятельно.

Вариант 1

  1. Чему равна площадь поверхности куба с ребром 1?

hello_html_3c319865.png

  1. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5 см, а высота 10 см.

hello_html_m4a853e1d.png

  1. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 см и высота 4 см.

hello_html_7a92c24f.png

  1. Как изменятся площади боковой и полной поверхностей пирамиды, если все её рёбра: а) увеличить в 2 раза; б) уменьшить в 5 раз?

hello_html_3e59252e.png

  1. Чему равна площадь поверхности правильного тетраэдра с ребром 1?

hello_html_766cc21a.png



  1. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см, высота призмы равна 10 см. Найдите площадь поверхности данной призмы.

hello_html_39a5bdb1.png

Вариант 2

  1. Объем куба равен 8 м3. Найдите площадь его поверхности.

hello_html_m16b6b6de.png



  1. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см, высота призмы равна 10 см. Найдите площадь поверхности данной призмы.

hello_html_39a5bdb1.png

  1. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды со стороной основания 6 см и высотой 1 см.

hello_html_mce686a1.png

  1. Как изменится площадь поверхности куба, если каждое его ребро увеличить в: а) 2 раза; б) 3 раза; в) n раз?

hello_html_m74f72a2b.png



  1. Чему равна площадь поверхности октаэдра с ребром 1?

hello_html_m537a08f6.png

  1. Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями 6 см и 8 см и боковым ребром 10 см.

hello_html_2f4d366e.png



Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.



Самостоятельная работа №20 на тему: Выполнение моделей многогранников

Цель: Закрепить понятие правильных многогранников, при изготовлении моделей, используя развертки.

Одним из способов изготовления правильных многогранников является способ с использованием, так называемых, развёрток.

Если модель поверхности многогранника изготовлена из гибкого нерастяжимого материала (бумаги, тонкого картона и т. п.), то эту модель можно разрезать по нескольким рёбрам и развернуть так, что она превратится в модель некоторого многоугольника. Этот многоугольник называют развёрткой поверхности многогранника. Для получения модели многогранника удобно сначала изготовить развёртку его поверхности. При этом необходимыми инструментами являются клей и ножницы. Модели многогранников можно сделать, пользуясь одной разверткой, на которой будут расположены все грани. Однако в этом случае все грани будут одного цвета.



C:\Documents and Settings\sp2mtn\Рабочий стол\4664_004.jpg

Контроль: работу представить на учебном занятии в установленный срок.

Раздел 11: Тела и поверхности вращения.



Самостоятельная работа № 21 на тему: Площади поверхности и объем фигур вращения

Цель: Знать формулы для вычисления площадей поверхности фигур вращения и уметь применять их при решении задач.

Теоретический материал

п/п

Наименование фигуры

Изображение

Формула площадей полной и боковой поверхности

1

Цилиндр

hello_html_136805b3.png

hello_html_m611ad9b2.gif

hello_html_7bcf38e1.gif


hello_html_m6182c4ba.gif


hello_html_7bc3b9d6.gif



2

Конус

hello_html_40f51503.png

hello_html_29c874ca.gif

hello_html_506adce2.gif

hello_html_m6182c4ba.gif

hello_html_m152a4a1c.gif





3

Сфера, шар

hello_html_1d46d5b8.png

hello_html_m71848e1b.gif


hello_html_3ce0fb95.gif




Решить самостоятельно:

Вариант 1

  1. Радиус основания цилиндра равен 2 м, высота - 3 м. Найдите площадь боковой поверхности и объем цилиндра.

hello_html_m160ac423.png



  1. Площадь осевого сечения цилиндра равна 4 м2. Найдите площадь боковой поверхности и объем цилиндра.

hello_html_m255c9f35.png



  1. Два цилиндра образованы вращением одного и того же прямоугольника вокруг его неравных сторон. Равны ли у этих цилиндров площади: а) боковых; б) полных поверхностей?; в)объемы?



  1. Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания.

hello_html_m1873eb31.png



  1. Площадь большого круга шара равна 3 см2. Найдите площадь поверхности и объем шара.

hello_html_605fbd33.png

  1. Площади поверхностей двух шаров относятся как 4 : 9. Найдите отношение их диаметров.

hello_html_2acefbc4.png



  1. Около шара описан цилиндр. Найдите отношение их площадей поверхностей и объемов.

hello_html_ma406db4.png

  1. Прямоугольник вращается вокруг одной из сторон, равной 5см. Площадь боковой поверхности цилиндра, полученного при вращении, равна 100hello_html_6b2fd1c.gif см2. Найдите площадь прямоугольника.



Вариант 2

  1. Осевое сечение цилиндра - квадрат. Площадь основания равна 1. Найдите площадь поверхности и объем цилиндра.

hello_html_m491429ed.png



  1. Радиус основания конуса равен 3 м, высота - 4 м. Найдите площадь поверхности и объем конуса.

hello_html_31895e60.png



  1. Образующая конуса равна 4 дм, а угол при вершине осевого сечения равен 90о. Вычислите площадь боковой поверхности и объем конуса.

hello_html_m6632b56.png

  1. Два конуса образованы вращением одного и того же прямоугольного треугольника вокруг его неравных катетов. Равны ли у этих конусов площади: а) боковых; б) полных поверхностей? в)объемы?

hello_html_m1916436e.png



  1. Как изменится площадь поверхности и объем шара, если увеличить радиус шара в: а) 2 раза; б) 3 раза; в) n раз?

hello_html_m13aacd6e.png

  1. Сечение шара плоскостью, отстоящей от центра шара на расстоянии 8 см, имеет радиус 6 см. Найдите площадь поверхности и объем шара.

hello_html_m6fd6b984.png

  1. Около прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 1 дм, 2 дм и 3 дм, описан шар. Найдите площадь его поверхности.

hello_html_m4d712e3b.png

  1. Прямоугольник, одна из сторон которого равна 5см, вращается вокруг неизвестной стороны. Площадь боковой поверхности цилиндра, полученного при вращении, равна 60hello_html_6b2fd1c.gif см2. Найдите площадь прямоугольника.

Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.



Раздел 12: Начала математического анализа


Самостоятельная работа № 22 на тему: Геометрический смысл производной

Цель: Иметь понятие о геометрическом смысле производной. Уметь находить тангенс угла наклона касательной к оси ох.

Теоретический материалhello_html_173f4844.gif

Решить самостоятельно:

Вариант 1

  1. Найти угол между касательной к графику функции hello_html_m6ebf54ee.gifв точке с абсциссой hello_html_69b83015.gif.

    1. hello_html_684c2600.gif

    2. hello_html_16e44c15.gif

    3. hello_html_21b7a8c4.gif

    4. hello_html_ed4dd17.gif

    5. hello_html_341630ff.gif

  2. Записать уравнение касательной к графику функции hello_html_m6ebf54ee.gifв точке с абсциссой hello_html_mfe6acd3.gif

    1. hello_html_m632c7b23.gif

    2. hello_html_m258c9787.gif.

Вариант 2

  1. Найти угол между касательной к графику функции hello_html_m6ebf54ee.gifв точке с абсциссой hello_html_69b83015.gif.

    1. hello_html_7f9e2fa2.gif

    2. hello_html_3110594f.gif

    3. hello_html_7ac51aef.gif

    4. hello_html_2749fcf1.gif

    5. hello_html_m1e026303.gif



  1. Записать уравнение касательной к графику функции hello_html_m6ebf54ee.gifв точке с абсциссой hello_html_69b83015.gif

    1. hello_html_m18922aa3.gif

    2. hello_html_3db6b890.gif.

Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.

Самостоятельная работа № 23 на тему: Применение производной к исследованию функции

Цель: Знать условия возрастания, убывания функции, точек максимума и минимума функции. Знать схему исследования функции и применять её при построении графика.

Признак возрастания функции: Если hello_html_m7ae582a1.gif в каждой точке некоторого промежутка, то на этом промежутке функция hello_html_mb93dfec.gif возрастает.

Признак убывания функции: Если hello_html_m79ed7405.gif в каждой точке некоторого промежутка, то на этом промежутке функция hello_html_mb93dfec.gifубывает.

Признак максимума функции: Если функция hello_html_m7eced531.gifнепрерывна в точке х0, а hello_html_m7ae582a1.gif на интервале hello_html_m1a4b0098.gif и hello_html_m79ed7405.gif на интервале hello_html_mec95c5d.gif, то x0 является точкой максимума.

Упрощённая формулировка: Если в точке х0 производная меняет знак с плюса на минус, то х0 есть точка максимума.

Признак минимума функции: Если функция hello_html_m7eced531.gif непрерывна в точке х0, а hello_html_m79ed7405.gif на интервале hello_html_m1a4b0098.gif и hello_html_m7ae582a1.gif на интервале hello_html_mec95c5d.gif, то x0 является точкой минимума

Упрощённая формулировка: Если в точке х0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х0 есть точка максимума.

Схема исследования функции.

  • Находим область определения;

  • Вычисляем производную;

  • Находим стационарные точки

  • Определяем промежутки возрастания и убывания;

  • Находим точки максимума и минимума;

  • Вычисляем экстремум функции;

  • Данные заносят в таблицу.

  • На основании такого исследования строится график функции.

Решить самостоятельно:

Вариант 1

  1. Найти стационарные точки и промежутки возрастания и убывания

  1. hello_html_m6050a8d0.gif

  2. hello_html_3935197d.gif

  3. hello_html_409a212a.gif

  4. hello_html_m27145f41.gif

  1. Найти экстремум функции

  1. hello_html_39d7a70a.gif

  2. hello_html_m60882e32.gif

  1. Исследовать функцию и построить график

hello_html_7863a0ce.gif

Вариант 2

  1. Найти стационарные точки и промежутки возрастания и убывания

  1. hello_html_m2cf1051e.gif

  2. hello_html_58749d5d.gif

  3. hello_html_17c30ac4.gif

  4. hello_html_317f5e66.gif

  1. Найти экстремум функции

  1. hello_html_m14a0af2e.gif

  2. hello_html_m3a930cf2.gif

  1. Исследовать функцию и построить график

hello_html_m41060153.gif

Вариант 3

  1. Найти стационарные точки и промежутки возрастания и убывания

  1. hello_html_m158915bf.gif

  2. hello_html_58749d5d.gif

  3. hello_html_880c40d.gif

  4. hello_html_46244a58.gif

  1. Найти экстремум функции

  1. hello_html_39e94d1a.gif

  2. hello_html_m49b1748b.gif

  1. Исследовать функцию и построить график

hello_html_5feef233.gif

Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.


Самостоятельная работа № 24 на тему: Прикладные задачи

Цель: рассмотреть, как используются в приложениях понятие производной.

Написание конспекта - представляет собой вид внеаудиторной работы по созданию образа информации, содержащейся в объекте конспектирования, в более краткой форме. В конспекте должно быть отражены основные принципиальные положения источника. Ценность конспекта значительно повышается, если обучающийся излагает мысли своими словами, в лаконичной форме.

Конспект должен начинаться с указанием реквизитов источника(фамилии автора, полного наименование работы, места и года издания). Особо значимые места, примеры выделяются цветным подчёркиванием, взятием в рамку, пометками на полях, чтобы акцентировать на них внимание и прочнее запоминать.

Работа выполняется письменно, озвучиванию подлежат главные положения и выводы работы в виде краткого устного сообщения в рамках занятия

Критерии оценки:

  • содержательность конспекта (основные типы задач);

  • обработка задач в привычном для учащихся виде;

  • наличие поясняющих чертежей;

  • грамотность изложения;

  • сопровождение выступления презентациями;

  • выполнение задания в срок.

Задание: написать конспект занятия №7 Прикладные задачи из учебника: Математика. Учебник: учеб.пособие для образ. уч.начального и сред.проф. образования/М.И. Башмаков.- М. :Академия,2012. Стр 185-190.

Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.



Раздел 13: Интеграл и его применение

Самостоятельная работа № 25 на тему: Вычисление площадей плоских фигур



Цель: закрепить знания, умения и навыки нахождения площади криволинейной трапеции с помощью интеграла;

Теоретический материал

Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F(x) + C. Записывают: hello_html_m72618dca.gif, где hello_html_6d40a3b3.gif- есть некоторая первообразная функции hello_html_m7eced531.gif на этом промежутке, С – const. При этом знак hello_html_6d4f7258.gifназывается знаком интеграла, hello_html_m7eced531.gif - подынтегральной функцией, hello_html_e8e27d6.gif - подынтегральным выражением, hello_html_m4f3a936b.gif - переменная интегрирования, С- постоянная интегрирования.

Операция нахождения неопределенного интеграла от данной функции называется интегрированием данной функции.

Интегрирование – операция, обратная операции дифференцирования. У всякой непрерывной на данном интервале функции существует неопределенный интеграл.



Таблица неопределенных интегралов


hello_html_32354716.gif

hello_html_1ad02778.gif

hello_html_15dbf26.gif

hello_html_m792f735f.gif

hello_html_m638bed32.gif

hello_html_m76053e02.gif

hello_html_505e71a1.gif

hello_html_m3426554a.gif

hello_html_6907cc46.gif

hello_html_m297b418b.gif

hello_html_m1e6c4dc9.gif

hello_html_2a296d94.gif

hello_html_7608d529.gif

hello_html_44a02033.gif

hello_html_24ff226b.gif


Свойства неопределенного интеграла:

hello_html_m1d877fa9.gif;

hello_html_73e3a517.gif;

hello_html_125fa92b.gif

hello_html_m3a610dfe.gif;


Определение: Фигура, ограниченная снизу отрезком [a, b] оси Ох ,сверху графиком непрерывной функции у= f(x), принимающей положительные значения , а с боков отрезками прямых х = а, х =b называется криволинейной трапецией.


hello_html_m33030dcb.gif.1



Образец решения:

Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями

у = 4 - х² и у=0



Решение:

1. у = 4 - х²- квадратичная функция, график – парабола, ветви направлены вниз, вершина (0;4)
у = 0 - ось абсцисс.

2. Найдём точки пересечения параболы с осью Х: hello_html_m12b9a20e.gif;

hello_html_mb6fb128.gif



3. Найдём площадь криволинейной трапеции по формуле:

hello_html_m640e62f1.gif

hello_html_m6e63832d.gif

Решить самостоятельно:

Вариант 1

  1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

1.1 hello_html_6c34023.gif.

1.2. hello_html_65a1f486.gif.

1.3. hello_html_1138d56e.gif.

1.4. hello_html_6eb9fba8.gif.

1.5. hello_html_m35c29ebb.gif.

Вариант 2

  1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

    1. hello_html_m403be968.gif.

    2. hello_html_m2620bce6.gif

1.3. hello_html_3abd5964.gif.

1.4. hello_html_m53af5dee.gif.

1.5. hello_html_m2cab85bc.gif.

Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.

Раздел 14: Измерения в геометрии


Самостоятельная работа № 26 на тему: Геометрия Евклида

Цель: расширить кругозор учащихся, познакомить с трудами великого математика Евклида.

Задание для учащихся.

Написать сообщение на заданную тему.

Сообщение – это сокращенная запись информации, в которой должны быть отражены основные положения текста, сопровождающиеся аргументами, 1–2 самыми яркими и в то же время краткими примерами.

Сообщение составляется по нескольким источникам, связанным между собой одной темой. Вначале изучается тот источник, в котором данная тема изложена наиболее полно и на современном уровне научных и практических достижений. Записанное сообщение дополняется материалом других источников.

Этапы подготовки сообщения:

1. Прочитайте текст.

2. Составьте его развернутый план.

3. Подумайте, какие части можно сократить так, чтобы содержание было понято правильно и, главное, не исчезло.

4. Объедините близкие по смыслу части.

5. В каждой части выделите главное и второстепенное, которое может быть сокращено при конспектировании.

6. При записи старайтесь сложные предложения заменить простыми.

Тематическое и смысловое единство сообщения выражается в том, что все его компоненты связаны с темой первоисточника.

Сообщение должно содержать информацию на 3-5 мин. и сопровождаться презентацией, схемами, рисунками, таблицами и т.д.

Выполнить самостоятельно:

Написать сообщение на тему: (на выбор).


  1. Геометрия Евклида;

  2. Аксиоматика Евклида;

  3. Современная аксиоматика Евклида;

  4. Неевклидова геометрия;

  5. От геометрии к логике.

Контроль: работу представить на занятии в установленный срок




Раздел 15: Элементы теории вероятностей и математической статистики

Самостоятельная работа № 27 на тему: Элементы теории вероятностей и математической статистики


Цель: закрепить навыки решения задач на вычисление вероятностей.

В теории вероятностей испытанием принято называть эксперимент, который (хотя бы теоретически) может быть произведён в одних и тех же условиях неограниченное число раз.

Результат или исход каждого испытания назовём событием. Каждое событие, которое может произойти, а может и не произойти, называется случайным событием. Мерой возможности появления события A при осуществлении комплекса условий является вероятность P(А) этого события. Если результаты испытания можно представить в виде полной системы n равновозможных и попарно несовместимых событий и если случайное событие появляется только в m случаях, то вероятность события A равна Р(A) = m/n, т. е. отношению количества случаев, благоприятствующих данному событию, к общему числу всех случаев.

Правило сложения вероятностей формулируется следующим образом.


Вероятность объединения двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:


Р(А+В) =Р(А)+ Р(В).


Таблица факториалов

1! =

1


6! =

720

2! =

2


7! =

5 040

3! =

6


8! =

40 320

4! =

24


9! =

362 880

5! =

120


10! =

3 628 800


Примеры решения задач.

1 На полке 6 видеокассет. Найдите вероятность того, что все кассеты окажутся на свеем месте.

Решение : N=6!=720- число всех событий ,

N(А)=1- число благоприятствующих событий.

Р(А)=1/720 =0,0014.

Ответ : 0,0014

2 Слово апельсин написали на полоске картона и разрезали полоску на буквы. Девочка, играя, выложила их в ряд в случайном порядке. Найдите вероятность того, что это слово спаниель

Решение: : N=8!=40320 - число всех событий ,

N(А)=1- число благоприятствующих событий.

Р(А)=1/40320 =0,000025.

Ответ : 0,000025

3. В лотерее 1000 билетов; из них на один билет падает выигрыш 500 руб., на 10 билетов - выигрыши по 100 руб., на 50 билетов - выигрыши по 20 руб., на 100 - билетов - выигрыши по 5 руб., остальные билеты невыигрышные. Некто покупает один билет. Найти вероятность выиграть не менее 20 руб.


Решение. Рассмотрим события:


А - выиграть не менее 20 руб.,


А1 - выиграть 20 руб.,

А2 - выиграть 100 руб.,

А3 - выиграть 500 руб.

Очевидно, А= А1 +А2+А3.

По правилу сложения вероятностей:

Р (А) = Р (А1) + Р (А2) + Р (А3) = 0,050 + 0,010 + 0,001 = 0,061


Решите задачи:

1 Найдите вероятность того , что три последние цифры случайно выбранного телефонного номера- это цифры 2,3.1. в произвольном порядке.

2 Для участие в телевикторине случайным образом выбирают 3 игрока из 8 претендентов. Какова вероятность того, что будут выбраны 1-й, 4-й, и 8-й игрок

3 Производится бомбометание по трём складам боеприпасов, причём сбрасывается одна бомба. Вероятность попадания в первый склад 0,01; во второй 0,008; в третий 0,025. При попадании в один из складов взрываются все три. Найти вероятность того, что склады будут взорваны.

4

hello_html_44b2adef.gif

5

hello_html_m3d333ac0.gif

6

hello_html_m10327601.gif

7

hello_html_34878765.gif

8

hello_html_38a8fa28.gif

9

hello_html_3b025109.gif

Ответы(№2-0,018;№3-0,45;№4-0,545, 0,364, 0,091; №5-0, 559; №6-,417, 0, 152; №7-0,56; №9- 0,72)


Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.


Раздел 16: Уравнения и неравенства.

Самостоятельная работа №28 на тему: Решение алгебраических уравнений и неравенств с одной переменной.

Цель: Знать методы решения линейных, квадратных уравнений и неравенств. Применять их при решении упражнений.

Теоретический материал:

Простейшее линейное уравнение: hello_html_43a43432.gif

hello_html_m780500d9.gif

hello_html_m6f6bb066.gif

hello_html_44b33115.gif

Приведенное квадратное уравнение:hello_html_m2182cf03.gif

Теорема Виета: hello_html_65e364bc.gif hello_html_3ded5c57.gif

Решение квадратных уравнений:

hello_html_53daed75.gif

hello_html_m22562b1f.gif,

Если hello_html_2406949b.gif то hello_html_1f61e93d.gif

Если hello_html_m12dc6339.gif то hello_html_m743b7721.gif

Если hello_html_m49b550d3.gif то корней нет

Алгоритм решения квадратного уравнения


Решить квадратное уравнение

  1. Найдите коэффициенты квадратного уравнения

  2. Запишите формулу для нахождения дискриминанта квадратного уравнения


  1. Найдите дискриминант

  2. Запишите формулу для нахождения корней квадратного уравнения

  3. Найдите корни квадратного уравнения




  1. Запишите ответ

hello_html_m245dcd06.gif

a= , b= , c=

D=



D=

х1,2=


х1=


х2=


Ответ:

Решить самостоятельно уравнения:


п/п

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

1

hello_html_6b6b0eb6.gif

hello_html_m179e8022.gif

hello_html_md926776.gif

2

hello_html_78cbc26d.gif

hello_html_4e198144.gif

hello_html_m7844b493.gif

3

hello_html_39a5b1ad.gif

hello_html_m3c450af4.gif

hello_html_m518c07c1.gif

4

hello_html_m348d7256.gif

hello_html_m7f652c7d.gif

hello_html_m48a8b1dc.gif

5

hello_html_496b971c.gif

hello_html_3b5a6da3.gif

hello_html_2d1a6c00.gif

6

hello_html_381ccb21.gif

hello_html_1e065269.gif

hello_html_m39ce49b0.gif

7

hello_html_341fb557.gif

hello_html_2978f079.gif

hello_html_m217cf04d.gif

8

hello_html_6c3d059e.gif

hello_html_m6347337d.gif

hello_html_5e767c84.gif

9

hello_html_m3017294f.gif

hello_html_m7a02354a.gif

hello_html_m599ebcf3.gif

10

hello_html_5d85460a.gif

hello_html_m5c38c0e4.gif


hello_html_7dd64505.gif


Решение линейных и квадратных неравенств


Теоретический материал


Алгоритм решения квадратного неравенства hello_html_m59cb63d9.gifC:\Documents and Settings\sp2mtn\Рабочий стол\5_16.jpgC:\Documents and Settings\sp2mtn\Рабочий стол\15-06-7.jpg




Решить самостоятельно:

п/п

Вариант 1

Вариант 2

1

hello_html_m3e0f6e5c.gif

hello_html_m32913e29.gif

2

hello_html_7f2b38e5.gif

hello_html_25a76402.gif

3

hello_html_m48b9a113.gif

hello_html_18eb18d6.gif

4

hello_html_m7dfc5683.gif

hello_html_7a88aac0.gif

5

hello_html_49f6377b.gif

hello_html_4c528cf4.gif

6

hello_html_m4c61fc4c.gif

hello_html_be19f9c.gif

7

hello_html_m94a362b.gif

hello_html_m5798771a.gif

8

hello_html_67ce59a5.gif

hello_html_m7407c172.gif


Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.





Раздел 17: Обобщающее повторение. Подготовка к экзамену

Самостоятельная работа №29 на тему: Домашняя контрольная работа

Цель: Контроль знаний учащихся

Выбор варианта (№1,4,7,10,13,16,19,22,25- ПЕРВЫЙ ВАРИАНТ)

(№2,5,8,11,14,17,20,23,26- ВТОРОЙ ВАРИАНТ)

(№3,6,9,12,15,18,21,24,27- ТРЕТИЙ ВАРИАНТ)

Вариант 1

  1. Отрезок hello_html_m771df7b9.gif имеет с плоскостью hello_html_695bfd0f.gif единственную общую точку А. Точка С делит его в отношении 3:1, считая от точки А. Через точки С и В проведены параллельные прямые, пресекающие плоскость hello_html_695bfd0f.gif соответственно в точках С1 и В1. Длина отрезка АС1 равна 16 см. Найдите длину отрезка АВ1.

  2. Ромб со стороной 12 см и острым углом 600 вращается около стороны. Найдите объем тела вращения.

  3. Решить уравнение: hello_html_40934da5.gif

  4. Решить систему уравнений: hello_html_10a34d01.gif

  5. Найдите угловой коэффициент касательной. Проведенной к графику функции

  6. hello_html_m5afdf578.gifв точке с абсциссой hello_html_m13561cb.gif.

  7. Решить уравнение: hello_html_1e1f1f6.gif

  8. Решите уравнение: hello_html_m5f7341e.gif

  9. Найдите все первообразные функции: hello_html_m630c78cd.gif

  10. Радиус основания цилиндра равен 4 см, площадь боковой поверхности вдвое больше площади основания. Найти объем цилиндра.

  11. Найдите область определения: hello_html_68320af3.gif.


Вариант 2

  1. Отрезок hello_html_m771df7b9.gif имеет с плоскостью hello_html_695bfd0f.gif единственную общую точку А. Точка С делит его в отношении 3:2, считая от точки А. Через точки С и В проведены параллельные прямые, пресекающие плоскость hello_html_695bfd0f.gif соответственно в точках С1 и В1. Длина отрезка АС1 равна 15 см. Найдите длину отрезка АВ1.

  2. Ромб со стороной 18 см и острым углом 600 вращается около стороны. Найдите объем тела вращения.

  3. Решить уравнение: hello_html_287a27d5.gif

  4. Решить систему уравнений: hello_html_4afd6b66.gif

  5. Найдите угловой коэффициент касательной. Проведенной к графику функции

  6. hello_html_m4fcb9eab.gifв точке с абсциссой hello_html_1c54b0ee.gif.

  7. Решить уравнение: hello_html_m62a79ae6.gif

  8. Решите уравнение: hello_html_25f2b0a4.gif

  9. Найдите все первообразные функции: hello_html_6240e25d.gif

  10. Радиус основания цилиндра равен 3 см, площадь боковой поверхности втрое больше площади основания. Найти объем цилиндра.

  11. Найдите область определения: hello_html_48447715.gif.


Вариант 3

  1. Отрезок hello_html_m771df7b9.gif имеет с плоскостью hello_html_695bfd0f.gif единственную общую точку А. Точка С делит его в отношении 2:3, считая от точки А. Через точки С и В проведены параллельные прямые, пресекающие плоскость hello_html_695bfd0f.gif соответственно в точках С1 и В1. Длина отрезка АС1 равна 20 см. Найдите длину отрезка АВ1.

  2. Ромб со стороной 24 см и острым углом 600 вращается около стороны. Найдите объем тела вращения.

  3. Решить уравнение: hello_html_35e26f4a.gif

  4. Решить систему уравнений: hello_html_72d87c72.gif

  5. Найдите угловой коэффициент касательной. Проведенной к графику функции

  6. hello_html_m62cae0eb.gifв точке с абсциссой hello_html_1c54b0ee.gif.

  7. Решить уравнение: hello_html_4993a383.gif

  8. Решите уравнение: hello_html_1e7fbc6a.gif

  9. Найдите все первообразные функции: hello_html_2d72573d.gif

  10. Радиус основания цилиндра равен 6 см, площадь боковой поверхности в четыре раза больше площади основания. Найти объем цилиндра.

  11. Найдите область определения: hello_html_3768a8b2.gif.



Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.























Литература:

  1. Алгебра и начала анализа: учеб. Для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / [Ш. А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.].-15-е изд. – М.: Просвещение, 2007.

  2. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) /А.Г. Мордкович. – 10-е изд. Стер. – М.: Мнемозина, 2009.

  3. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2ч. Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / [А.Г. Мордкович и др.]; под ред. А.Г. Мордковича. – 10-е изд. Стер. – М.: Мнемозина, 2009.

  4. Математика. Задачник: учеб.пособие для образ. уч.начального и сред.проф. образования/М.И. Башмаков.- М. :Академия,2012.

  5. Математика. Учебник: учеб.пособие для образ. уч.начального и сред.проф. образования/М.И. Башмаков.- М. :Академия,2012.

  6. Севрюков П.Ф. Тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства; учебное пособие /П.Ф. Севрюков, А.Н. Смоляков. – М.: Илекса; Народное образование; Ставрополь; Сервисмаш, 2008.

  7. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. - М.: Рольф, 1997.

  8. Шабунин М.И. Математика для поступающих в вузы. Уравнения и системы уравнений. - М.: Аквариум, 1997.

  9. Шабунин М.И. Математика для поступающих в вузы. Неравенства и системы неравенств.- М.: Аквариум, 1997.

Интернет - ресурсы

  1. http://catalog.alledu.ru/predmet/math/

  2. Учебно-информационные комплексы по математике для средних школ: http://mschool.kubsu.ru/uik/index.htm

  3. Сайт-справочник правил, формул и теорем по математике:

http://matemathik.narod.ru/

  1. Мир Геометрии: http://geometr.info/

  2. Страна Математика: http://www.bymath.net/

  3. Научно-популярный физико-математический журнал "Квант" (статьи по математике): http://kvant.mirror1.mccme.ru/rub/1.htm

  4. Графики функций" Небольшой сайт в помощь школьнику, изучающему графики функций: определения, примеры, задачник: http://graphfunk.narod.ru/

  5. Виртуальная школа юного математика
    http://math.ournet.md/indexr.html




Краткое описание документа:

Учебно-методические рекомендации предназначены для студентов, изучающих математику за курс средней (полной) общей школы. В рекомендациях представлены задания для самостоятельной внеаудиторной работы, требования к их выполнению, критерии оценки выполненной работы.

Рекомендации подготовлены на основании законодательных и иных нормативно-правовых актов в сфере начального и среднего профессионального образования, а также методических рекомендаций ГБОУ СПО «Новокузнецкий техникум строительных технологий и сферы обслуживания».

Рассмотрены и рекомендованы к использованию в образовательном процессе на заседании методического объединения преподавателей естественно-математических дисциплин.

Автор
Дата добавления 19.05.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров855
Номер материала 288326
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх