Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методические указания для заочников

Методические указания для заочников



Осталось всего 2 дня приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


Областное государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования «Иркутский техникум архитектуры и строительства»











МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

для студентов заочной формы обучения

по дисциплине


Математика


по специальности СПО


150415 Сварочное производство









Иркутск, 2014


Методические указания по дисциплине Математика составлены в соответствии с требованиями ФГОС, учебным планом специальности СПО 150415 Сварочное производство, рабочей учебной программой по дисциплине.



Разработчик(и):

Комбатова И.В., преподаватель ОГБОУ СПО Иркутский техникум архитектуры и строительства


Методические указания одобрены на заседании предметно-цикловой

комиссии __________________________________________________


Протокол №_______ от «_____» _________ 20____г.

Председатель ПЦК ________________________ /_Комбатова И.В. /



Методические указания одобрены Методическим советом техникума

Протокол №_______ от «_____» _________ 20____г.






СОДЕРЖАНИЕ


1.ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 4

2.ПЛАН ДИСЦИПЛИНЫ 6

3.примерное содержание дисциплины 6

4.методические указания по выполнению самостоятельной работы 8

Указания по выполнению самостоятельной работы 8

Требования к оформлению самостоятельной работы 8

5.Решение типового варианта 10

6.Задания для самостоятельного выполнения 25

Вопросы для самоподготовки по темам курса 25

ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 26

7.перечень Рекомендуемых учебных изданий, дополнительной литературы, инернет-ресурсов 48





  1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА


Данные методические указания разработаны для студентов заочного отделения специальности 150415 Сварочное производство

Учебная дисциплина Математика входит в общеобразовательный цикл.

Освоение дисциплины «Математика» основывается на знаниях, полученных студентами при изучении школьных дисциплин «Алгебра и начала анализа» и «Геометрия».

В программу дисциплины включены четыре раздела. Первый раздел дает представление о том, что такое матрица и определители, какие действия можно выполнять с матрицами и какие существуют методы решения систем линейных уравнений. Во втором разделе основными темами являются дифференцирование и интегрирование функций, а также понятие комплексных чисел. Особое внимание уделяется прикладным задачам с использованием элементов дифференциального и интегрального исчисления. Третий раздел посвящен решению задач по теории вероятностей при помощи комбинаторики, а так же основным понятиям математической статистики. Четвертый раздел рассматривает геометрические тела и нахождения значения геометрических величин, используя формулы площади поверхности и объема.

В результате изучения дисциплины студент должен знать:

    • основные математические методы решения прикладных задач;

    • основные понятия и методы математического анализа, линейной алгебры, теории комплексных чисел, теории вероятностей и математической статистики;

    • основы интегрального и дифференциального исчисления;

    • роль и место математики в современном мире при освоении профессиональных дисциплин и в сфере профессиональной деятельности.


В результате изучения дисциплины студент должен уметь:

    • анализировать сложные функции и строить их графики;

    • выполнять действия над комплексными числами;

    • вычислять значения геометрических величин;

    • производить операции над матрицами и определителями;

    • решать задачи на вычисление вероятности с использованием элементов комбинаторики;

    • решать прикладные задачи с использованием элементов дифференциального и интегрального исчисления;

    • решать системы линейных уравнений различными методами.


Данные методические указания содержат перечень тем, изучаемых в курсе «Математика». Также содержатся варианты домашних контрольных работ с пояснениями к их выполнению.



ВИДЫ КОНТРОЛЯ

Текущий контроль – предоставление самостоятельной работы: домашней контрольной работы

Промежуточный – выполнение аудиторных контрольных работ

Итоговый проводится в форме экзамена по всему курсу дисциплины

  1. ПЛАН ДИСЦИПЛИНЫ


п/п

разделов и тем

Наименование разделов,

основные дидактические единицы

Раздел 1.

Основы линейной алгебры

Тема 1.1.

Матрицы. Действия с матрицами. Определители.

Тема 1.2.

Системы линейных уравнений.

Раздел 2.

Основы математического анализа

Тема 2.1.

Комплексные числа

Тема 2.2.

Дифференциальное исчисление функций одной действительной переменной

Тема 2.3.

Интегральное исчисление функций одной действительной переменной

Раздел 3.

Основы теории вероятностей и математической статистики

Тема 3.1.

Элементы комбинаторики. Случайные события. Классическое определение вероятности

Тема 3.2.

Дискретные случайные величины (ДСВ) Характеристики ДСВ и их свойства

Раздел 4.

Геометрия

Тема 4.1.

Многогранники. Вычисление площади поверхности и объема многогранников.

Тема 4.2.

Фигуры вращения. Вычисление площади поверхности и объема фигур вращения.



  1. примерное содержание дисциплины


Раздел 1. Основы линейной алгебры

Действия с матрицами, свойства. Обратная матрица. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы. Миноры матрицы. Ступенчатый вид.

Определители второго и третьего порядков и их свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам какого-либо ряда. Понятие об определителях n-го порядка. Решение систем линейных уравнений с помощью определителей. Формулы Крамера. Метод Гаусса. Матрицы. Действия над матрицами. Обратная матрица. Матричная запись системы линейных уравнений и ее решение с помощью обратной матрицы.


Раздел 2. Основы математического анализа

Определение комплексных чисел, операции над ними, геометрическое изображение комплексного числа, показательная и тригонометрическая запись комплексных чисел, возведение в степень и извлечение корня, формула Муавра и Эйлера.

Производная функции. Производные основных элементарных функций. Дифференцируемость функции. Производная сложной функции. Правила дифференцирования: производная суммы, произведения и частного. Нахождение экстремумов с помощью первой производной. Вторая производная. Точки перегиба. Асимптоты. Полное исследование функции

Интегральное исчисление функций одной действительной переменной

Неопределенный интеграл. Свойства. Основная формула интегрального исчисления. Приложения определенного интеграла в геометрии, практические задачи на интеграл.


Раздел 3. Основы теории вероятностей и математической статистики

Элементы комбинаторики. Сочетания, размещения, перестановки. Определение вероятности, случайные величины, вероятность случайных событий,, простейшие теоремы о вероятностях, простейшие характеристики законов распределения (математическое ожидание, дисперсия среднее квадратическое отклонение) нормальный закон распределения и его параметры.

Математическая статистика. Понятие о выборочном методе, корреляциях и регрессиях, проверка статистических гипотез.


Раздел 4. Геометрия

Вычисление значений геометрических величин. Формулы для вычисления площадей поверхностей и объемов тел вращения и многогранников.

  1. методические указания по выполнению самостоятельной работы


    1. Указания по выполнению самостоятельной работы


Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом, которая состоит из следующих элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, самопроверка, выполнение домашней контрольной работы.

Задания к домашней контрольной работе по дисциплине «Математика» представлены в 17 вариантах. Студент обязан выполнить тот вариант работы, который по номеру совпадает с его порядковым номером в журнале.

Перед выполнением контрольного задания следует изучить разделы курса по изданиям, которые рекомендуются.

Для повышения усвоения качества теоретического материала предлагаются вопросы для самоподготовки.

Вниманию студентов предлагается образец выполнения типового варианта контрольной работы, который содержит решенные задачи, пояснения к решению, а так же основные понятия и формулы, используемые для решения задач.


    1. Требования к оформлению самостоятельной работы


При оформлении контрольной работы студент обязан выполнить следующие требования:

1. Работа должна выполняться в отдельной тетради (в клетку), на внешней обложке которой должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, полный шифр группы. В конце работы следует указать дату сдачи работы и подпись студента.

2. Контрольные задачи следует располагать в порядке номеров, указанных в заданиях. Перед решением каждой задачи надо полностью переписать ее условия.

3. Решение задач следует излагать подробно, делая соответствующие ссылки на вопросы теории с указанием необходимых формул, теорем.

4. Решение задач геометрического содержания должно сопровождаться чертежами, выполненными аккуратно. Объяснения к задачам должны соответствовать обозначениям, приведенным на чертежах.

5.На каждой странице тетради необходимо оставлять поля шириной 3-4см для замечаний преподавателя.

6.Контрольные работы должны выполняться самостоятельно. Не самостоятельно выполненная работа лишает студента возможности проверить степень своей подготовленности по теме. Если преподаватель установит несамостоятельное выполнение работы или решение заданий не своего варианта, то она не будет зачтена.

7.Студент выполняет тот вариант контрольной работы, который совпадает с номером его фамилии в журнале.





  1. Решение типового варианта


Задание № 1. Решить систему линейных уравнений тремя способами (метод Крамера, метод Гаусса и матричный метод)

hello_html_19117bf3.gif

Метод Крамера

Вычисляем определители

hello_html_m382dd085.gif

hello_html_m798afdff.gif

hello_html_m84ce8ec.gif

hello_html_1148525e.gif

Теперь, воспользовавшись формулами Крамера, найдем значения неизвестных:

hello_html_m598e6907.gifhello_html_2a007073.gifhello_html_157b9f2d.gif

Ответ: hello_html_m141751cf.gif

Матричный метод

Выписываем матрицу системы

hello_html_4838d2a6.gif

Находим обратную матрицу, для чего вычисляем алгебраические дополнения


hello_html_34dc70bf.gif

Записываем обратную матрицу

hello_html_m6769d6a3.gif

Для того, чтобы найти неизвестные умножим обратную матрицу на матрицу-столбец свободных членов.

hello_html_m3d338e5e.gif

Ответ: hello_html_m141751cf.gif

Метод Гаусса

Запишем расширенную матрицу системы и начнем ее преобразование.

hello_html_5c87297b.gifУмножим вторую строчку на 2 и сложим с первой строкой. Первая строка остается неизменной, меняется вторая. Затем умножим первую строку на 3, а вторую – на 2. из первой строки вычитаем третью, и результат записываем в третью строку. Получим следующую матрицу.

hello_html_m2da2c47e.gif

Из второй строки вычтем первую и запишем следующую матрицу

hello_html_m7cd435f7.gifУмножим третью строку на 5 и из второй строки вычтем первую.

hello_html_7aafeeff.gifПолучили треугольную матрицу. Возвращаемся к уравнениям, используя данную матрицу.

hello_html_m134d50f3.gif

hello_html_3fdba94c.gif

hello_html_448ac0f4.gif

Ответ: hello_html_m141751cf.gif



Задание №2.

Дано комплексное число Z. Требуется:

  1. Записать число Z в алгебраической и тригонометрической формах

  2. Найти все корни уравнения hello_html_4a6eb272.gif

а) Пусть дано комплексное число hello_html_m2e171b2c.gif

Комплексным называется число вида hello_html_5ff40ec8.gif, где hello_html_m7b7ca765.gif.

Найдем модуль комплексного числа hello_html_m25729098.gif

Представим комплексное число в алгебраической форме hello_html_5ff40ec8.gif. Дл этого раскроем скобки в числителе и избавимся от иррациональности в знаменателе, т.е. умножим на сопряженное число числитель и знаменатель.

hello_html_m621162cd.gifhello_html_17877283.gif

Итак, алгебраическая форма комплексного числа записывается hello_html_69cac3ee.gif.

Для записи тригонометрической формы найдем модуль комплексного числа и значение главного аргумента.

hello_html_m1ea98747.gif

Для нахождение главного аргумента воспользуемся формулой hello_html_m69b058e4.gif. Таким образом hello_html_31dd6aa3.gif. Из чего следует, что hello_html_560810c9.gif.

Используя формулу тригонометрической записи комплексного числа hello_html_3231d2da.gif, запишем число Z в тригонометрической форме: hello_html_2927f49c.gif

b) Решим уравнение hello_html_72ef19b9.gif

hello_html_5391065f.gif

hello_html_m333c2c55.gif

Чтобы найти корни из числа Z, воспользуемся формулой hello_html_47cf0d78.gif

hello_html_3128dd71.gif

hello_html_3cf4643f.gif

hello_html_58d7637c.gif

hello_html_m4bf0703b.gifhello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_m62f1cbc4.gif.


Задание №3.

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию hello_html_15eb792c.gif и, используя результаты исследования, построить ее график.

Исследование функции можно провести по следующей схеме:

Найти область определения функции.

Исследовать на непрерывность, найти точки разрыва графика функции.

Найти уравнения вертикальных, наклонных асимптот, если они существуют.

Найти интервалы монотонности, точки экстремума функции.

Найти интервалы выпуклости, вогнутости графика функции, точки перегиба.

Выяснить четность, нечетность, периодичность функции.

Найти, если несложно, точки пересечения с осями координат, выяснить поведение функции в бесконечно удаленной точке.

Построить график функции, используя результаты исследования.

Дана функция hello_html_4dd1ae44.gif

Данная функция существует всюду, кроме точки х = 0, т.е. на интервалах hello_html_m1e246eb8.gif. Точка Х=0 является точкой разрыва второго рода, так как

hello_html_m5a8607f8.gif

поэтому прямая x = 0 является вертикальной асимптотой.

Наклонная асимптота имеет уравнение hello_html_m675ebc3e.gif, где hello_html_m52d7884.gif

hello_html_598cb429.gif

Уравнение наклонной асимптоты: hello_html_m4e0dfe90.gif. Исследуем функцию на экстремум

Точками экстремума могут быть точки, в которых hello_html_74782215.gif либоhello_html_m126cfb7f.gif.

hello_html_m59897c1b.gif

hello_html_m725c3348.gif

Имеем одну критическую точку х =2, так как х =0 не принадлежит области определения функции.

Для удобства составим таблицу:

х

hello_html_731a7643.gif

0

hello_html_1b950e78.gif

2

hello_html_2543ddb3.gif

hello_html_38a48a62.gif

+

hello_html_m74e6612e.gif

0

+

у

hello_html_m3d6a607f.gif

hello_html_m74e6612e.gif

hello_html_560669e1.gif

3

hello_html_m3d6a607f.gif

hello_html_c29ec5b.gif

Точками перегиба могут быть точки, в которых y′′ = 0 либо y′′ = ∞.

hello_html_m4d2c91ca.gif

hello_html_m6ac6a484.gif

Так как х=0 не принадлежит области определения функции, поэтому точек

перегиба нет




х

hello_html_731a7643.gif

0

hello_html_m17760b2.gif

hello_html_m78a518f2.gif

+

hello_html_m74e6612e.gif

+

у

hello_html_m1892df5d.gif

hello_html_m74e6612e.gif

hello_html_m1892df5d.gif

Кривая всюду вогнута.

Функция называется четной, если она удовлетворяет равенству f (−x) = f (x) , и

нечетной, если f (−x) = − f (x) . Данная функция не является четной, ни

нечетной. График функции пересекает ось ОХ в точке (hello_html_m20dfc01.gif,0).

hello_html_415f99c3.gif

3




х

2





Задание №4.

1) Кусок проволоки длиной 48 м сгибают так, чтобы образовался прямоугольник. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей.

Решение: Обозначим ширину полученного прямоугольника за х, а длину за у. Тогда hello_html_7b71c72c.gif. Площадь прямоугольника равна hello_html_5984a1a9.gif


hello_html_275c7411.gif

у


х



Тогда формула для вычисления площади данного прямоугольника будет иметь вид hello_html_7a81a8b8.gif

По правилу о нахождении наибольших и наименьших значений для функции необходимо найти производную и критические точки данной функции.

hello_html_m7f8d52fb.gif

Ответ: для наибольшей площади прямоугольник должен иметь длины сторон 12 м и 12 м.

2) Число 24 представьте виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма квадратов этих чисел была наименьшей.

Решение: пусть число 24 представимо в виде суммы двух слагаемых hello_html_19ce9753.gif. Тогда можем записать: hello_html_m5f34f0f7.gif. По условию задачи составляем функцию hello_html_mfabd05f.gif, исследуем эту функцию на наибольшее и наименьшее значения. По правилу о нахождении наибольших и наименьших значений для функции необходимо найти производную и критические точки данной функции.

hello_html_m20229ca9.gif

Ответ: чтобы сумма квадратов была наименьшей нужно число 24 представить в виде суммы 12 и 12.


Задание №5. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции hello_html_m46de46ac.gif и прямыми hello_html_m3204c11f.gifи осью Ох.

Вначале построим фигуру, ограниченную данными линиями:




hello_html_124bddb5.jpg

Искомая площадь находится по формуле hello_html_m6559ce26.gif, следовательно hello_html_m5f6271cb.gif

Ответ: Площадь искомой фигуры 2 (ед2).


Задание №6. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной параболами hello_html_2453e5bc.gif.

Находим точки пересечения парабол, для этого решим уравнение:

hello_html_71e30d8c.gif

Подставив найденные х в одно из уравнений находим ординаты точек М1 (-1;2) и М2 (1;2).

hello_html_51be9638.jpg

Объем данного тела получаем как разность объемов hello_html_m5c446e3e.gif

hello_html_m41921941.gif

hello_html_m1ccd83d6.gif

hello_html_70979c56.gif

Ответ: hello_html_7a65d225.gif


Задание №7. Решение задач по теории вероятности с элементами комбинаторики.


7.1. Из колоды в 36 карт вынимаются одна за другой без возвращения 6 карт. Какова вероятность того, что три них будут «черви».

Решение: Событие А – из 6 карт три «черви». Тогда число всевозможных исходов hello_html_607a15cd.gif Число исходов, благоприятствующих событию А, равно hello_html_25c38fa6.gifТаким образом, hello_html_m76645458.gif

Ответ: hello_html_m194b97f5.gif

7.4. В коробке лежат 5 синих, 4 красных, 3 зеленых карандаша. Наудачу вынимают 3 карандаша. Найти вероятность того, что это будут карандаши разного цвета.

Решение: Пусть А – все 3 карандаша будут разного цвета. Тогда число всевозможных исходов hello_html_m75de56b8.gif Число благоприятных исходов hello_html_m25e45cd5.gif Вероятность события А равна hello_html_7b3bb347.gif

Ответ: hello_html_75d09b72.gif



Задание №8.

Вычисление значения геометрических величин

Для вычисления геометрических величин используем формулы:

Площади плоских фигур:

hello_html_2d5a730b.gif

Площадь и объем призмы:

hello_html_438142f5.gif

Площадь и объем пирамиды:

hello_html_m4e38ec7d.gif

Площадь и объем цилиндра:

hello_html_cabe72a.gif

Площадь и объем конуса:

hello_html_64e4d9b9.gif


Задача № 8.1. Найти площадь полной поверхности и объем призмы, в основании которой лежит правильный треугольник со стороной 8 см. и 4 см. Высота призмы 10 см.

Решение: делаем чертеж и записываем дано.


hello_html_14ab2cbf.jpg

Дано: hello_html_m6e299fc0.gif - призма,

hello_html_7ad7e2f5.gif: правильный

АВ = 8 см.

h = 10 см.

Найти: hello_html_3a6ed7d8.gif



Решение: hello_html_mf8725ef.gif

Так как в основании лежит правильный треугольник, то находим площадь треугольника по формуле hello_html_115a0a83.gif, учитывая, что все стороны равны и все углы в треугольнике равны

hello_html_m5163937e.gif

hello_html_5a5c4359.gif

hello_html_m139b57a7.gif hello_html_m23606a7a.gif

hello_html_m480f98ac.gif

Ответ: hello_html_m5f5b205.gif



Задача № 8.2.

Найти объем тела вращения, полученного вращением прямоугольника со сторонами 12 см. и 16 см., вокруг прямой, проходящей через середины его меньшей стороны.

Решение: Так как меньшая сторона 12 см., то прямая проходит через эту сторону. При вращении получим цилиндр. Высота цилиндра 16 см., а радиус 6 см.

Построим чертеж и запишем дано.

hello_html_mbbef58d.jpg

Дано: АВСД – прям-к

ДС = 16 см.

СВ = 12 см.

Найти: hello_html_m481e2388.gif


hello_html_m10751053.gif

При вращении прямоугольника получается цилиндр. Так как вращение происходит относительно прямой, проведенной через середины меньших сторон, то радиус цилиндра будет равен 6 см.

hello_html_20ad9c53.gif

Ответ: hello_html_62cbf910.gif


  1. Задания для самостоятельного выполнения


    1. Вопросы для самоподготовки по темам курса


Раздел 1. Основы линейной алгебры

  1. Матрицы, действия с матрицами

  2. Определители второго и третьего порядков их свойства. Алгебраические дополнения, миноры, обратная матрица.

  3. Понятие системы линейных алгебраических уравнений. Методы решения систем: метод Гаусса, метод Крамера, матричный метод решения систем.

Раздел 2. Основы математического анализа

  1. Определение комплексных чисел, операции над ними, геометрическое изображение комплексного числа.

  2. Показательная и тригонометрическая запись комплексных чисел, возведение в степень и извлечение корня, формула Муавра и Эйлера.

  3. Производная функции. Производные основных элементарных функций, производная сложной функции.

  4. Правила дифференцирования: производная суммы, произведения и частного.

  5. Нахождение экстремумов с помощью первой производной.

  6. Вторая производная. Точки перегиба. Асимптоты.

  7. Полное исследование функции и построение графика функции

  8. Неопределенный и определенный интеграл. Свойства. Основная формула интегрального исчисления.

  9. Приложения определенного интеграла в геометрии, практические задачи на интеграл.

Раздел 3. Теория вероятности и математическая статистика

    1. Комбинаторика.

    2. Вероятность случайных событий, случайные величины, определение вероятности, простейшие теоремы о вероятностях.

    3. простейшие характеристики законов распределения (математическое ожидание, дисперсия среднее квадратическое отклонение)

    4. Нормальный закон распределения и его параметры.

    5. Понятие о выборочном методе, корреляциях и регрессиях, проверка статистических гипотез

Раздел 4. Вычисление значений геометрических величин

    1. Понятие многогранников и тел вращения

    2. Формулы для вычисления площадей поверхностей и объемов тел вращения и многогранников



    1. ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ


Вариант № 1

Задание № 1.

Решить систему линейных уравнений тремя способами (метод Крамера, метод Гаусса и матричный метод)

hello_html_m54901b50.gif

Задание №2.

Дано комплексное число hello_html_m4679f3d.gif. Требуется:

  1. Записать число Z в алгебраической и тригонометрической формах

  2. Найти все корни уравнения hello_html_4a6eb272.gif

Задание №3.

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию hello_html_350df3e5.gif и, используя результаты исследования, построить ее график.


Задание №4.

Площадь прямоугольника 64 см2. Какую длину должны иметь его стороны, чтобы периметр был наименьшим?

Задание №5.

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции hello_html_1d2bd0ab.gif, прямыми hello_html_m562b4e18.gif и осью Ох.

Задание №6.

Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной линиями hello_html_6877774f.gif.

Задание №7.

Из партии, в которой 25 изделий, среди которых 6 бракованных, случайным образом выбрали 3 изделия для проверки качества. Найти вероятность того, что, все изделия годные.

Задание №8.

1) Дана прямая треугольная призма. Стороны основания 14см и 17см, образуют угол в 1200 , высота призмы равна 22см. Найдите объем призмы.

2) Квадрат со стороной 3см вращается вокруг своей диагонали. Найдите площадь поверхности тела вращения.


Вариант № 2

Задание № 1.

Решить систему линейных уравнений тремя способами (метод Крамера, метод Гаусса и матричный метод)

hello_html_75a4cb1d.gif

Задание №2.

Дано комплексное число hello_html_ma2e2f3f.gif. Требуется:

  1. Записать число Z в алгебраической и тригонометрической формах

  2. Найти все корни уравнения hello_html_4a6eb272.gif

Задание №3.

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию hello_html_m471177ab.gif и, используя результаты исследования, построить ее график.

Задание №4.

Периметр прямоугольника равен 36м. При каких размерах прямоугольника его площадь будет наибольшей?

Задание №5.

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций hello_html_m665c89e3.gifhello_html_71aa06dd.gif

Задание №6.

Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной линиями hello_html_m106a6819.gif.

Задание №7.

Из партии, в которой 25 изделий, среди которых 6 бракованных, случайным образом выбрали 3 изделия для проверки качества. Найти вероятность того, что среди выбранных изделий одно бракованное.

Задание №8.

1) АВСДА1В1С1Д1 – прямоугольный параллелепипед, измерения которого равны 8 см, 12 см, 15 см. Найдите объем.

2) Найдите объем тела, полученного при вращении прямоугольника со сторонами 6см и 8см вокруг прямой, проходящей через середину его меньших сторон.





Вариант № 3

Задание № 1.

Решить систему линейных уравнений тремя способами (метод Крамера, метод Гаусса и матричный метод)

hello_html_3d832515.gif

Задание №2.

Дано комплексное число hello_html_587a8ad0.gif. Требуется:

  1. Записать число Z в алгебраической и тригонометрической формах

  2. Найти все корни уравнения hello_html_4a6eb272.gif

Задание №3.

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию hello_html_m389c7941.gif и, используя результаты исследования, построить ее график.

Задание №4.

Периметр прямоугольника равен 96м. При каких размерах прямоугольника его площадь будет наибольшей?

Задание №5.

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций hello_html_m4b82703f.gifhello_html_m54a39a8d.gif

Задание №6.

Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной линиями hello_html_29fbff2a.gif.

Задание №7.

Из партии, в которой 25 изделий, среди которых 6 бракованных, случайным образом выбрали 3 изделия для проверки качества. Найти вероятность того, что все изделия бракованные.

Задание №8.

  1. В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 6 см, высота призмы 5см. Найти площадь полной поверхности призмы.

  2. Радиус основания цилиндра равен 8см, площадь боковой поверхности вдвое меньше площади основания. Найдите площадь поверхности цилиндра.


Вариант № 4

Задание № 1.

Решить систему линейных уравнений тремя способами (метод Крамера, метод Гаусса и матричный метод)

hello_html_5e607f84.gif

Задание №2.

Дано комплексное число hello_html_m30ebbaba.gif. Требуется:

  1. Записать число Z в алгебраической и тригонометрической формах

  2. Найти все корни уравнения hello_html_4a6eb272.gif

Задание №3.

Исследовать методами дифференциального исчисления функциюhello_html_20e53dd8.gif и, используя результаты исследования, построить ее график.

Задание №4.

Периметр прямоугольника равен 42м. При каких размерах прямоугольника его площадь будет наибольшей?

Задание №5.

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций hello_html_608a28bd.gifhello_html_4bcee078.gif

Задание №6.

Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной линиями hello_html_39728091.gif.

Задание №7.

Из колоды в 36 карт вынимаются одна за другой без возвращения 7 карт. Какова вероятность того, что четыре из них будут «черви».

Задание №8.

  1. Найти объем наклонной призмы, у которой основанием является треугольник со сторонами 6 см,8 см, 10 см и высотой 12 см.

  2. Прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 17 см, а один из катетов – 8 см, вращается вокруг этого катета. Найдите площадь поверхности тела вращения.


Вариант № 5

Задание № 1.

Решить систему линейных уравнений тремя способами (метод Крамера, метод Гаусса и матричный метод)

hello_html_3e6e6fc2.gif

Задание №2.

Дано комплексное число hello_html_m3aab7ac1.gif. Требуется:

  1. Записать число Z в алгебраической и тригонометрической формах

  2. Найти все корни уравнения hello_html_4a6eb272.gif

Задание №3.

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию hello_html_m4128ce03.gif и, используя результаты исследования, построить ее график.

Задание №4

Площадь прямоугольника равна 144м2. Какую длину должна иметь его стороны, чтобы периметр был наименьшим?

Задание №5.

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций hello_html_6193fb5c.gifhello_html_bd0bfdc.gif

Задание №6.

Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной линиями hello_html_39728091.gif.

Задание №7.

В коробке лежат 6 синих, 3 красных, 7 зеленых карандаша. Наудачу вынимают 3 карандаша. Найти вероятность того, что это будут карандаши разного цвета.

Задание №8.

  1. Найти объем наклонной призмы, у которой основанием является треугольник со сторонами 5 см,6 см и 9 см, а боковое ребро равное 7 см, составляет с плоскостью основания угол в 600.

  2. Прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 17 см, а один из катетов – 8 см, вращается вокруг второго катета. Найдите площадь поверхности тела вращения.


Вариант № 6

Задание № 1.

Решить систему линейных уравнений тремя способами (метод Крамера, метод Гаусса и матричный метод)

hello_html_ma3c6100.gif

Задание №2.

Дано комплексное число hello_html_5246a5fd.gif. Требуется:

  1. Записать число Z в алгебраической и тригонометрической формах

  2. Найти все корни уравнения hello_html_4a6eb272.gif

Задание №3.

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию hello_html_6b3f8483.gif и, используя результаты исследования, построить ее график.

Задание №4.

Периметр прямоугольника равен 102м. Какую длину должны иметь его стороны, чтобы площадь прямоугольника была наибольшей?

Задание №5.

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций hello_html_m3b973ae2.gifhello_html_m27ed8ebb.gifhello_html_m63b5467a.gifhello_html_33af66fe.gif

Задание №6.

Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох плоской фигуры, ограниченной линиями hello_html_3d89d715.gifhello_html_m793f9ed8.gifhello_html_1efdf7a4.gifhello_html_1650089b.gif.

Задание №7.

В ящике лежат 3 белых и 4 черных одинаковых на ощупь шаров. Наугад вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что оба вынутых шара белого цвета.

Задание №8.

  1. Найти объем куба, если площадь полной поверхности его равна 24см2.

  2. Радиус основания цилиндра равен 4 см, площадь боковой поверхности вдвое больше площади основания. Найдите объем цилиндра.


Вариант № 7

Задание № 1.

Решить систему линейных уравнений тремя способами (метод Крамера, метод Гаусса и матричный метод)

hello_html_m5fb950e0.gif

Задание №2.

Дано комплексное число hello_html_21596024.gif. Требуется:

  1. Записать число Z в алгебраической и тригонометрической формах

  2. Найти все корни уравнения hello_html_4a6eb272.gif

Задание №3.

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию hello_html_32e0c3ba.gif и, используя результаты исследования, построить ее график.

Задание №4.

Найти наибольшее значение площади равнобедренного треугольника с периметром, равным 4м.

Задание №5.

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций hello_html_m5c19b740.gifhello_html_4cc7096f.gif

Задание №6.

Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох плоской фигуры, ограниченной линиями hello_html_61de47ff.gifhello_html_m27ed8ebb.gifhello_html_1faac510.gifhello_html_7c185bb2.gif.

Задание №7.

В ящике лежат 3 белых и 4 черных одинаковых на ощупь шаров. Наугад вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что вынуты шары разного цвета.

Задание №8.

1) В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12 см, а сторона основания 8 см. Найдите объем пирамиды.

2) Найдите объем тела, полученного вращением прямоугольного треугольника с катетом 3 см и прилежащим углом 300 вокруг меньшего катета.


Вариант № 8

Задание № 1.

Решить систему линейных уравнений тремя способами (метод Крамера, метод Гаусса и матричный метод)

hello_html_m3eb64235.gif

Задание №2.

Дано комплексное число hello_html_7f0ce340.gif. Требуется:

  1. Записать число Z в алгебраической и тригонометрической формах

  2. Найти все корни уравнения hello_html_4a6eb272.gif

Задание №3.

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию hello_html_m5589f635.gif и, используя результаты исследования, построить ее график.

Задание №4.

Найти наибольшее значение площади равнобедренного треугольника с периметром, равным 8.

Задание №5.

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций hello_html_210fbfbb.gifhello_html_m5fa5143a.gif

Задание №6.

Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох плоской фигуры, ограниченной линиями hello_html_m12d73e2f.gifhello_html_m27ed8ebb.gifhello_html_1efdf7a4.gifhello_html_1650089b.gif

Задание №7.

Брошены 3 игральные кости. Какова вероятность того, что на каждой кости выпало число 5?

Задание №8.

1) Основанием пирамиды является равносторонний треугольник со стороной 8 см. Высота пирамиды 15 см. Найдите объем пирамиды.

2) Найдите объем тела, полученного вращением прямоугольного треугольника с катетом 6 см и гипотенузой 10 см вокруг большего катета.


Вариант № 9

Задание № 1.

Решить систему линейных уравнений тремя способами (метод Крамера, метод Гаусса и матричный метод)

hello_html_m79d69fd1.gif

Задание №2.

Дано комплексное число hello_html_m5b337917.gif. Требуется:

  1. Записать число Z в алгебраической и тригонометрической формах

  2. Найти все корни уравнения hello_html_4a6eb272.gif

Задание №3.

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию hello_html_350df3e5.gif и, используя результаты исследования, построить ее график.

Задание №4.

Найти наибольшее значение площади равнобедренного треугольника с периметром, равным 2.

Задание №5.

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций hello_html_m1ff0af8.gif, прямой hello_html_m4ffa8ffc.gif и осью Ох.

Задание №6.

Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох плоской фигуры, ограниченной линиями hello_html_m2187ec9b.gifhello_html_m793f9ed8.gifhello_html_1efdf7a4.gifhello_html_1650089b.gif.

Задание №7.

В ящике лежат 3 белых и 4 черных одинаковых на ощупь шаров. Наугад вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что оба вынутых шара черного цвета.


Задание №8.

  1. Дана прямая четырехугольная призма. Сторона основания 14см, высота призмы равна 22 см. Найдите объем призмы.

  2. Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна hello_html_4f745605.gif. Найдите объем цилиндра.


Вариант № 10

Задание № 1.

Решить систему линейных уравнений тремя способами (метод Крамера, метод Гаусса и матричный метод)

hello_html_67c2befb.gif

Задание №2.

Дано комплексное число hello_html_72b84f30.gif. Требуется:

  1. Записать число Z в алгебраической и тригонометрической формах

  2. Найти все корни уравнения hello_html_4a6eb272.gif

Задание №3.

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию hello_html_3974110e.gif и, используя результаты исследования, построить ее график.

Задание №4.

Представьте число 4 в виде двух положительных слагаемых, таких, чтобы сумма их четвертых степеней была наименьшей.

Задание №5.

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции hello_html_72218c0e.gif, прямой hello_html_285ce9b9.gif и осью Ох.

Задание №6.

Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох плоской фигуры, ограниченной линиями hello_html_m2187ec9b.gifhello_html_m793f9ed8.gifhello_html_1efdf7a4.gifhello_html_m5904b298.gif

Задание №7.

Среди 20 деталей, лежащих в ящике, 3 детали бракованные. Наугад вынимают 2 детали. Какова вероятность того, что обе детали оказались бракованными.

Задание №8.

  1. Дана правильная треугольная призма. Сторона основания 17см, высота призмы равна 20см. Найдите объем призмы.

  2. Найдите площадь полной поверхности тела, полученного при вращении прямоугольника со сторонами 12 см и 5 см, вокруг меньшей стороны.


Вариант № 11

Задание № 1. Решить систему линейных уравнений тремя способами (метод Крамера, метод Гаусса и матричный метод)

hello_html_2614a9fb.gif

Задание №2.

Дано комплексное число hello_html_m1cb16997.gif. Требуется:

  1. Записать число Z в алгебраической и тригонометрической формах

  2. Найти все корни уравнения hello_html_4a6eb272.gif



Задание №3.

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию hello_html_m2094d336.gif и, используя результаты исследования, построить ее график.

Задание №4.

Число 52 представить в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

Задание №5.

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций hello_html_5855530d.gifhello_html_m75aec13a.gif

Задание №6.

Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной линиямиhello_html_1deb0bd7.gifhello_html_m23d366a1.gif.

Задание №7.

Среди 20 деталей, лежащих в ящике, 3 детали бракованные. Наугад вынимают 2 детали. Какова вероятность того, что одна деталь бракованная, а другая нет.

Задание №8.

1) Основание пирамиды прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Высота пирамида, равная 12 см, делит гипотенузу этого треугольника пополам. Найдите объем пирамиды.

2) Объем конуса с радиусом основания 6 см равен hello_html_41681d11.gif. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Вариант № 12

Задание № 1.

Решить систему линейных уравнений тремя способами (метод Крамера, метод Гаусса и матричный метод)

hello_html_2f40dd3c.gif


Задание №2.

Дано комплексное число hello_html_74b0af75.gif. Требуется:

  1. Записать число Z в алгебраической и тригонометрической формах

  2. Найти все корни уравнения hello_html_4a6eb272.gif

Задание №3.

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию hello_html_537f3175.gif и, используя результаты исследования, построить ее график.

Задание №4.

Число 76 представить в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение этих чисел было наибольшим.

Задание №5.

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций hello_html_608a28bd.gifhello_html_2e57c3f1.gif

Задание №6.

Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной линиямиhello_html_37c4abbb.gifhello_html_m793f9ed8.gifhello_html_m5904b298.gif

Задание №7.

Среди 20 деталей, лежащих в ящике, 3 детали бракованные. Наугад вынимают 2 детали. Какова вероятность того, что обе детали не бракованные.

Задание №8.

1) В правильной треугольной пирамиде высота равна 15 см, а сторона основания 9 см. Найдите объем пирамиды.

2) Найдите объем тела, полученного вращением прямоугольника со сторонами 13 см и 10 см. вокруг меньшей стороны.


Вариант № 13

Задание № 1.

Решить систему линейных уравнений тремя способами (метод Крамера, метод Гаусса и матричный метод)

hello_html_6f623868.gif

Задание №2.

Дано комплексное число hello_html_62386288.gif. Требуется:

  1. Записать число Z в алгебраической и тригонометрической формах

  2. Найти все корни уравнения hello_html_4a6eb272.gif

Задание №3.

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию hello_html_350df3e5.gif и, используя результаты исследования, построить ее график.

Задание №4.

Разность двух чисел равна 30. Найти эти числа так, чтобы произведение квадрата первого числа на второе было наименьшим.

Задание №5.

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций hello_html_59b7041d.gifhello_html_1f4b97e.gif

Задание №6.

Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной линиями hello_html_37c4abbb.gifhello_html_m793f9ed8.gifhello_html_56e8bf2a.gif.



Задание №7.

Среди 15 лампочек 4 испорчены. Наугад берут две лампочки. Какова вероятность того, что обе выбранные лампочки испорчены.

Задание №8.

  1. Дана правильная треугольная пирамида. Сторона основания 15см, высота призмы равна 21см. Найдите объем пирамиды.

  2. Найдите объем тела, полученного вращением прямоугольного треугольника с катетом 12 см и гипотенузой 20 см вокруг меньшего катета.


Вариант № 14

Задание № 1.

Решить систему линейных уравнений тремя способами (метод Крамера, метод Гаусса и матричный метод)

hello_html_5c29fe62.gif

Задание №2.

Дано комплексное число hello_html_m657429ca.gif. Требуется:

  1. Записать число Z в алгебраической и тригонометрической формах

  2. Найти все корни уравнения hello_html_4a6eb272.gif

Задание №3.

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию hello_html_241c6cb9.gif и, используя результаты исследования, построить ее график.

Задание №4.

Разность двух чисел равна 34. Найти эти числа так, чтобы произведение их было минимальным.



Задание №5.

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций hello_html_m647697e7.gifhello_html_5e06aa0a.gifhello_html_m9f9f698.gifhello_html_5ce18b72.gif

Задание №6.

Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной линиями hello_html_m69133b1.gif, hello_html_m5de2b658.gif.

Задание №7.

Среди 15 лампочек 4 испорчены. Наугад берут две лампочки. Какова вероятность того, что обе выбранные лампочки исправные?

Задание №8.

1) В правильной четырехугольной призме высота равна 2 м, а сторона основания 6 м. Найдите объем призмы.

2) Найдите объем тела, полученного вращением прямоугольного треугольника с катетом 6 см и противолежащим углом 300 вокруг большего катета.


Вариант № 15

Задание № 1.

Решить систему линейных уравнений тремя способами (метод Крамера, метод Гаусса и матричный метод)

hello_html_4fa91a18.gif

Задание №2.

Дано комплексное число hello_html_6a43bdcc.gif. Требуется:

  1. Записать число Z в алгебраической и тригонометрической формах

  2. Найти все корни уравнения hello_html_4a6eb272.gif


Задание №3.

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию hello_html_3d9832b4.gif и, используя результаты исследования, построить ее график.

Задание №4

Разность двух чисел равна 8. Каковы должны быть эти числа, если произведение куба первого числа на второе - наибольшее?

Задание №5.

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций hello_html_76899436.gifhello_html_m11aafc7e.gif

Задание №6.

Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной линиями hello_html_m15271b8d.gifhello_html_m77084a88.gif.

Задание №7.

Среди 15 лампочек 4 испорчены. Наугад берут две лампочки. Какова вероятность того, что одна лампочка исправная, а другая – испорченная?

Задание №8.

  1. Найти объем наклонной призмы, у которой основанием является треугольник со сторонами 4 см, 6 см и 10 см, а боковое ребро равное 9 см, составляет с плоскостью основания угол в 300.

  2. Прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 18 см, а один из катетов – 6 см, вращается вокруг второго катета. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Вариант № 16

Задание № 1.

Решить систему линейных уравнений тремя способами (метод Крамера, метод Гаусса и матричный метод)

hello_html_m1cfdaa6e.gif

Задание №2.

Дано комплексное число hello_html_m503063ec.gif. Требуется:

  1. Записать число Z в алгебраической и тригонометрической формах

  2. Найти все корни уравнения hello_html_4a6eb272.gif

Задание №3.

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию hello_html_7b47c47e.gif и, используя результаты исследования, построить ее график.

Задание №4.

Разность двух чисел равна 16. Найти эти числа так, чтобы произведение их было минимальным.

Задание №5.

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций hello_html_m13d51976.gifhello_html_m5fa5143a.gif



Задание №6.

Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной линиями hello_html_m5c19b740.gifhello_html_2f18642a.gif.

Задание №7.

Брошены 3 игральные кости. Какова вероятность того, что на каждой кости выпало число 3?

Задание №8.

1) Дана прямая треугольная призма. Стороны основания 4см и 11см, образуют угол в 600 , высота призмы равна 12см. Найдите объем призмы.

2) Квадрат со стороной 4 см вращается вокруг своей диагонали. Найдите площадь поверхности тела вращения.


Вариант № 17

Задание № 1.

Решить систему линейных уравнений тремя способами (метод Крамера, метод Гаусса и матричный метод)

hello_html_m753c1b03.gif

Задание №2.

Дано комплексное число hello_html_m50c35584.gif. Требуется:

  1. Записать число Z в алгебраической и тригонометрической формах

  2. Найти все корни уравнения hello_html_4a6eb272.gif

Задание №3.

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию hello_html_3d8cd249.gif и, используя результаты исследования, построить ее график.

Задание №4.

Число 84 представить в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

Задание №5.

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций hello_html_m5bd96839.gifhello_html_m2dee53f3.gif

Задание №6.

Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной линиями hello_html_882d1e5.gifhello_html_m5fa5143a.gif.

Задание №7.

Брошены 3 игральные кости. Какова вероятность того, что на каждой кости выпали одинаковые числа?


Задание №8.

1) Дана треугольная пирамида. Стороны основания 8 см и 7 см, образуют угол в 450 , высота призмы равна 15 см. Найдите объем призмы.

2) Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна hello_html_51b47f34.gif см. Найти площадь полной поверхности цилиндра.










  1. перечень Рекомендуемых учебных изданий, дополнительной литературы, инернет-ресурсов

Основные источники:

  1. Баврин И.И. Высшая математика: Учеб. Для студ. естественнонаучных специальностей педагогических вузов. – М.: Издательский центр «Академия», 2003.-616с.

  2. Высшая математика для студентов экономических, технических, естественнонаучных специальностей вузов: учеб. пособие / И.В. Виленкин, В.М. Гробер. – Ростов н/Д; Феникс, 2005. 414 с.

  3. Математика: учеб. пособие / В.П. Омельченко, Э.В. Курбатова. – изд. 5-е, стер.- Ростов н/Д:Феникс, 2011.380с.- (Среднее профессиональное образование)


Дополнительные источники:


  1. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: Учеб. пособие в 3 частях/ А.П. Рябушко, В.В. Державец, И.Е. Юруть, под общ. ред. А.П. Рябушко - Мн. : Выш. шк. 1991 - 288 с.


Электронные ресурсы:

  1. Интернет-сайт «Справочник по математике».

Форма доступа: www.terver.ru

  1. Интернет-сайт «Справочник формул по алгебре и геометрии»

Форма доступа: www.pm298.ru

  1. Интернет-сайт «Математика on-line. В помощь студенту».

Форма доступа: www.mathem.h1.ru

  1. Интернет-сайт «Вся элементарная математика».

Форма доступа: www.bymath.net






57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 15.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров574
Номер материала ДВ-454223
Получить свидетельство о публикации

Комментарии:

9 месяцев назад

Данные методические указания разработаны для студентов заочной формы обучения по специальности "Сварочное производство", дисциплина Математика ЕН

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх