Научная работа Решение задач на пройенты из второй части ЕГЭ по математике (профиль)

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа №41

Научное общество учащихся

XXIV научно-практическая конференция «Шаг в будущее»

Решение задач на проценты из второй части ЕГЭ

Получение универсальной формулы.

Выполнил:Оганесян Лев,

Ученик 11 «А» класса

Научные руководители:

Данилина М.Ю.,

Ручина Л.Г.

учитель математики

Н.Новгород, 2015

Содержание:

Введение…………………………………………………………………………1

Методы исследований………………………………………………………...2-4

Задача 1…………………………………………………………………………5-6

Получение формы для решения задач на проценты………………………..7

Решение задачи на проценты, где нужно найти размер выплаты, то есть X.

Задача 2………………………………………………………………………....8-9

Задача 3…………………………………………………………………………..10

Задача 4………………………………………………………………………11-12

Решение задачи на проценты, где нужно найти размер кредита,

 то есть S.

Задача 5………………………………………………………………………13-14

Задача 6………………………………………………………………………15-16

Задача 7………………………………………………………………………17-18

Решение задачи на проценты, где нужно найти количество лет ,

 то есть n.

Задача 8………………………………………………………………………19-20

Задача 9………………………………………………………………………21-22

Задача 10……………………………………………………………………..23-24

Решение задачи на проценты, где нужно найти процентную ставку,

 то есть а.

Задача 11…………………………………………………………………………25

Задача 12…………………………………………………………………………26

Задача 13…………………………………………………………………….27-28

Заключение……………………………………………………………………...29

Список литературы…………………………………………………………….30

Введение

В современном мире, где главную роль играет информация, люди стремятся к упрощению жизни, к усовершенствованию старого во всех областях. Математика также не является исключением. Несмотря на то, что в ней было достигнуто огромно число разнообразных целей, совершенно колоссальное количество открытий, она не перестает развиваться.

Открытие для себя решил совершить и я. В этот мне помогло изменение структуры Единого Государственного Экзамена  по математике. Как многим известно, в этом году во второй части появилось новое задание на проценты.  Сама по себе задача несложная, затруднение представляют вычисления, к тому же, за нее можно получить достаточно много баллов. Чаще всего ошибка появляется из-за невнимательного подсчета ответа.  Поэтому в своей работе я захотел найти такой способ решения, который позволил бы получать ответ гораздо быстрее и легче.

Я считаю свою работу актуальной, потому что с этого года для всей части населения, сдающей в одиннадцатом классе экзамен по математике, будет полезно узнать способ решения этой задачи на проценты, который обязательно поможет при сдаче ЕГЭ.

Цель моей работы- найти такой способ решения задачи на проценты из второй части Единого Государственного Экзамена, который позволил бы существенно сэкономить время, затраченное на задание, и  получить абсолютно правильный ответ.

В ходе изучения были поставлены следующие задачи:

1.     Найти такой способ решения задания на проценты.

2.     Доказать его справедливость.

3.     Проверить этот способ при решении заданий на проценты всех четырех типов( поиск размера выплаты, размера кредита, процентной ставки и количества выплат).

4.     Сравнить обычное решение задач с новым способом.

Методы исследований:

1.     Метод построения математической модели.

2.     Метод математической логики и упрощения решений.

3.     Метод решения логических задач.

4.     Метод математической индукции.                                                         (1)

Методы исследований:

1.Метод построения математической модели.

Можно выделить следующие основные этапы построения математической модели:

Определение цели, т. е. чего хотят добиться, решая поставленную задачу.

Определение параметров  модели, т.е. заранее известных фиксированных факторов, на значения которых исследователь не влияет.

Формирование управляющих переменных, изменяя значение которых можно приближаться к поставленной цели. Значения управляющих переменных являются решениями задачи.

Определение области допустимых решений, т.е. тех ограничений, которым должны удовлетворять управляющие переменные.

Выявление неизвестных факторов, т.е. величин, которые могут изменяться случайным или неопределенным образом.

Выражение цели через управляющие переменные, параметры и неизвестные факторы, т.e. формирование целевой функции, называемой также критерием эффективности или критерием оптимальности задачи.

2.Метод математической логики и упрощения решений.                                                                                                                                       

Математическая логика — современная форма логики, опирающаяся на формальные математические методы.

Основные объекты логики — высказывания, то есть предложения, которые могут быть либо истинными, либо ложными. Существуют два подхода установления истинности высказываний: эмпирический (опытный) и логический. При эмпирическом подходе истинность высказываний устанавливается на основе наблюдений, экспериментов, документов и других фактов. При логическом подходе истинность высказываний доказывается на основе истинности других высказываний, то есть чисто формально, на основе рассуждений без обращения к фактам.

3.Метод решения логических задач.

Логические задачи обычно формулируются на естественном языке. Их можно решать тремя методами: 

1. При помощи логического рассуждения,

2. С помощью составления таблиц истинности для высказываний и с помощью сравнения значений этих высказываний с условием

                                                                                                                                     (2)                                                                                                                                                                                                                                                                                                     

3. Через представление задачи на языке математической логики и упрощения полученных выражений.

Полученные логические выражения необходимо упростить и проанализировать. Для этого иногда бывает необходимо построить таблицу истинности для полученного логического выражения.

1. Решение логических задач средствами алгебры логики

Обычно используется следующая схема решения:

1. изучается условие задачи;

2. вводится система обозначений для логических высказываний;

3. конструируется логическая формула, описывающая логические связи между всеми высказываниями условия задачи;

4. определяются значения истинности этой логической формулы;

5. из полученных значений истинности формулы определяются значения истинности введѐнных логических высказываний, на основании которых делается заключение о решении.

4.Метод математической индукции.     

Одним из самых важных методов математических доказательств по праву является метод математической индукции. Подавляющее большинство формул, относящихся ко всем натуральным числам n, могут быть доказаны методом математической индукции (к примеру, формула суммы n первых членов арифметической прогрессии 

, формула бинома Ньютона 

 и т.п.).

Индукцией называют переход от частных утверждений к общим. Напротив, переход от общих утверждений к частным называется дедукцией.

В основе метода математической индукции лежит принцип математической индукции.

Он заключается в следующем: некоторое утверждение справедливо для всякого натурального n, если

1.       оно справедливо для n = 1 и

2.       из справедливости утверждения для какого-либо произвольного натурального n = kследует его справедливость для n = k+1.

То есть, доказательство по методу математической индукции проводится в три этапа:

                                                                                                                                (3)

1.       во-первых, проверятся справедливость утверждения для любого натурального числаn (обычно проверку делают для n = 1);

2.       во-вторых, предполагается справедливость утверждения при любом натуральномn=k;

3.       в-третьих, доказывается справедливость утверждения для числа n=k+1, отталкиваясь от предположения второго пункта.

                                                                                                                                        (4)

1.     На примере обычной задачи на проценты попытаемся найти

закономерности и важные моменты, которые пригодятся для получения более лаконичного и простого способа решения.

Задача 1. 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6902000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита  следующая – 31 декабря каждого следующего  года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга ( то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей  переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X,  чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами ( то есть за четыре года)?

Решение:

Пусть сумма кредита равна S, а годовые составляют a%. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент 

b=1+0,01a.

После первой выплаты сумма долга составит

S₁=Sb-X.

После второй выплаты сумма долга составит

S₂=S₁b-X=(Sb-X)b-X=Sb²-Xb-X=Sb²-(b+1)X, и в свою очередь b+1 можно представить как

  = откуда получаем

S₂= Sb²-X
После третьей выплаты сумма оставшегося долга равна

S₃=S₂b-X=(Sb²-(b+1)X)b-X=Sb³-Xb²-Xb-X=Sb³=Sb³-(b²+b+1)X, и в свою очередь (b²+b+1) можно представить  как

 = откуда получаем

                                                                                                                                (5)

S₃=Sb³- X

 После четвертой выплаты сумма оставшегося долга равна

S₄=S₃b-X= (Sb³-(b²+b+1)X)b-X=Sb⁴-Xb³-Xb²-Xb-X=Sb⁴-(b³+b²+b+1)X, попытаемся представить  b³+b²+b+1 как

b³+b²+b+1===, следовательно

S₄=Sb⁴-X

По условию четырьмя выплатами Алексей должен погасить кредит полностью, поэтому 

Sb⁴-X=0,

Откуда

X=.

При S=6902000 и a=12,5, получаем: b=1,125 и

X==2296350(рублей).

Ответ: 2296350.

(6)                   

2.     Получение формы для решения задач на проценты.

При решение предыдущей задачи мы замечаем, что

S₂= Sb²-X; S₃=Sb³-  X; S₄=Sb⁴- X.

А будет ли формула верна и для 5 или 6 лет выплат?

Что бы это доказать обратимся к Методу математической индукции.

Для этого нам нужно доказать, что S_n= Sbⁿ-X верно при любых n.

1)    n=1

S₁= Sb¹- X

S₁=Sb-X – верно(было получено при решении Задачи 1).

2)  Пусть формула верна при n=k,  S_k=Sb^k-X. Докажем, что она верна при n=k+1, то есть

S_k+1=Sb^k+1-X;

S_k+1=S_kb-X= (Sb^k-X)b-X=Sb^k*b-Xb-X=Sb^k+1-(b+1)X=

Sb^k+1-( + )X= Sb^k+1-( )X= Sb^k+1-= S_k+1.

Следовательно, S_n= Sbⁿ-X верно при любых n. Таким образом, мы получаем уравнение для решения задач на проценты из второй части Единого Государственного Экзамена.

Теперь проверим формула при решение задач. Решим сначала обычным способом, а затем с помощью формулы.

(7)

3.Решение задачи на проценты, где нужно найти размер выплаты, то есть X.

Задача 2.

31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9 282 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Алексей переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Обычный способ:

1)    9282000+0,1*9282000-X= 9282000+928200-X= 10210200-X  - сумма, оставшаяся после первой выплаты.

2)    10210200-X +(10210200-X )*0,1-X=

=10210200-X+1021020-0,1X-X=11231220-2,1X   - сумма, оставшаяся после второй выплаты.

3)    11231220-2,1X+(11231220-2,1)*0,1-X=

=11231220-2,1X+1123122-0,21X-X=12354342-3,31X   -сумма, оставшаяся после третей выплаты.

4)    12354342-3,31X-(12354342-3,31X)*0,1-X=

=12354342-3,31X+1235434,2-0,331X-X=13589776,2-4,641X –сумма после четвертой выплаты равная 0.

13589776,2-4,641X=0

4,641X=13589776,2

X=13589776,2/4,641

X=2928200 рублей.

Ответ: 2928200 рублей.

  С помощью формулы:

S_n= Sbⁿ-X,

И так как Алексей выплатит долг за 4 года, то n=4, тогда S₄=0, b=1,1;

                                                                                                                                (8)                                                                                                                                                               

X=  ;

X=

X=.

X=2928200 рублей.

Ответ: 2928200 рублей.

Результаты обоих решений оказались одинаковыми.

(9)

Задача 3.

31 декабря 2014 года Иван взял в банке 4 230 000 рублей в кредит под 11,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 11,5%), затем Иван переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Иван выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?

Обычное решение:

1.     4230000+4230000*0,115-X=4230000+486450-X=4716450-X   -

Сумма, которая останется после первой выплаты.

2.     4716450-X+(4716450-X )*0,115-X= 4716450-X+542391,75-0,115X-X=

= 5258841,75-2,115X – сумма после второй выплаты равная 0.

5258841,75-2,115X=0

2,115X=5258841,75

X=5258841,75/2,115

X=2486450 рублей.

Ответ: 2486450 рублей.

С помощью формулы:

S_n= Sbⁿ-X;

И так как Иван выплатит долг за 2 года, то n=2, S₂=0, b=1,115.

X= ;

X= ;

X= .

X=2486450 рублей.

Ответ: 2486450 рублей.

Результаты обоих решений оказались одинаковыми.                        

                                                                                                                         (10)

Задача 4.

31 декабря 2014 года Тимофей взял в банке 7 007 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга( то есть увеличивает долг на 20%), затем Тимофей переводит в банк платеж. Весь долг Тимофей выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных  платежа?

Обычный способ:

1)    7007000+0,2*7007000-X= 8408400-X – сумма, оставшаяся после первой выплаты.

2)    8408400-X+(8408400-X)*0,2-X=8408400-X+1681680-0,2X-X=

10090080-2,2X – сумма, оставшаяся после второй выплаты.

3)    Но если погасить кредит за два года, то

10090080-2,2X₁=0

2,2X₁=10090080

X₁=10090080/2,2

X₁=4586400 рублей- размер выплаты кредита, при условии, что он будет погашен за 2 года.

4)    10090080-2,2X+(10090080-2,2X)*0,2-X=

=10090080-2,2X+2018016-0,44X-X=12108096-3,64X – сумма после третей выплаты равной 0.

12108096-3,64X=0

3,64X=12108096

X=12108096/3,64

X=3326400 рублей- размер выплаты кредита, при условии, что он будет погашен за 3 года.

5)    3*X-2*X₁  - сэкономленные деньги, которые мог бы получить Тимофей, если бы смог погасить кредит за 2 года.

3326400*3 -4586400*2= 9979200-9172800=806400 рублей- сэкономленные деньги, которые мог бы получить Тимофей, если бы смог погасить кредит за 2 года.

Ответ: 806400 рублей.

                                                                                                                              (11)

С помощью формулы:

S_n= Sbⁿ-X;

И так как Тимофей выплатит долг за 3 года, то n=3, S₃=0, b=1,2.

X= ;

X= ;

X=  ;

X=3326400 рублей- размер выплаты кредита, при условии, что он будет погашен за 3 года.

Также Тимофей мог погасить кредит за 2 года, тогда n=2, S₂=0,b=1,2.

X₁= ;

X₁= ;

X₁= ;

X₁=4586400 рублей-  размер выплаты кредита, при условии, что он будет погашен за 2 года.

3*X-2*X₁  - сэкономленные деньги, которые мог бы получить Тимофей, если бы смог погасить кредит за 2 года.

3326400*3 -4586400*2= 9979200-9172800=806400 рублей- сэкономленные деньги, которые мог бы получить Тимофей, если бы смог погасить кредит за 2 года.

Ответ: 806400 рублей.

Результаты обоих решений оказались одинаковыми.

   (12)

4.Решение задачи на проценты, где нужно найти размер кредита,

 то есть S.

Задача 5.

31 декабря 2014 года Сергей взял в банке некоторую сумму в кредит под 12% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12%), затем Сергей переводит в банк 3 512 320 рублей. Какую сумму взял Сергей в банке, если он выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)?

Обычный способ:

      1)S+0,12*S-3512320= 1,12*S-3512320  - сумма, оставшаяся от долга после первой выплаты.

2)1,12*S-3512320+(1,12*S-3512320)*0,12-3512320=

=1,12*S-3512320+0,1344*S-421478,4-3512320=

  =1,2544*S-7446118,4 –сумма, оставшаяся от долга после второй выплаты.

3)1,2544*S-7446118,4+(1,2544*S-7446118,4)*0,12-3512320=

=1,2544*S-7446118,4+0,150528*S-893534,208-3512320=

=1,404928*S-11851972,608- сумма равная 0, то есть после третей выплаты.

1,404928*S-11851972,608=0

1,404928*S=11851972,608

S=11851972,608/1,404928

S=8436000 рублей.

Ответ: S=8436000 рублей.

С помощью формулы:

S_n= Sbⁿ-X;

(13)

И так как Сергей выплатит долг за 3 года, то n=3, S₃=0, b=1,12.

S=;

S=*;

S= *=3,3744*2500000=8436000 рублей.

Ответ: S=8436000 рублей.

Результаты обоих решений оказались одинаковыми.

(14)

Задача 6.

31 декабря 2014 года Владимир взял в банке некоторую сумму в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Владимир переводит в банк 3 025 000 рублей. Какую сумму взял Владимир в банке, если он выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?

Обычное решение:

1)S+0,1*S-3025000=1,1*S-3025000 – сумма, которая останется после первой выплаты.

      2) 1,1*S-3025000+(1,1*S-3025000)*0,1-3025000=

=1,1*S-3025000+0,11*S-302500-3025000=1,21*S-6352500 – долг равный 0 после второй выплаты.

1,21*S-6352500=0

      1,21*S=6352500

      S=6352500/1,21

S=5250000 рублей.

Ответ: S=5250000 рублей.

С помощью формулы:

S_n= Sbⁿ-X;

И так как Владимир выплатит долг за 2 года, то n=2, S₂=0, b=1,1.

S=;

S=;

S=;

                                                                                                                              (15)

S=2,1*25000000= 5250000 рублей.

Ответ: S=5250000 рублей.

Результаты обоих решений оказались одинаковыми.

(16)

Задача 7.

31 декабря 2014 года Ярослав взял в банке некоторую сумму в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Ярослав переводит в банк 2 132 325 рублей. Какую сумму взял Ярослав в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Обычный способ:

1)    S+0,125*S-2132325=1,125*S-2132325- размер долга, который остался после первой выплаты.

2)    1,125*S-2132325+(1,125*S-2132325)*0,125-2132325=

=1,125*S-2132325+0,140625*S-266540,625-2132325=

=1,265625*S-4531190,625- размер долга, который остался после второй выплаты.

3)    1,265625*S-4531190,625+(1,265625*S-4531190,625)*0,125-2132325=

=1,265625*S-4531190,625+0,158203125*S-566398,828125-2132325=

=1,423828125*S-7229914,45313– размер долга, который остался после третей выплаты.

4)    1,423828125*S-7229914,45313+(1,423828125*S-7229914,45313)*0,125-

2132325=1,423828125*S-7229914,45313+0,17797851562*S-903739,306641-

2132325=1,60180664062*S-10265978,7598 –размер долга равный 0 после четвертой выплаты.

1,60180664062*S-10265978,7598=0

1,60180664062*S=10265978,7598

S=10265978,7598/1,60180664062

S=6409000 рублей.

Ответ: 6409000 рублей.

                                                                                                                              (17)

С помощью формулы:

S_n= Sbⁿ-X;

И так как Владимир выплатит долг за 4 года, то n=4, S₄=0, b=1,125.

S=;

S=;

S=;

S=4,81445312496*1331200;

S=6409000 рублей.

Ответ: 6409000 рублей

Результаты обоих решений оказались одинаковыми.

                                                                                                                              (18)

5.Решение задачи на проценты, где нужно найти количество лет ,

 то есть n.

Задача 8.

Максим хочет взять в кредит 1,5 млн рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процентов 10%годовых. На какое минимальное количество лет может Максим взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 350 тысяч рублей? 

Обычный способ:

1.     1500000+0,1*1500000-350000=1500000+150000-350000=1300000- величина кредит, которая останется после первого года.

2.     1300000+1300000*0,1-350000=1080000- величина кредит, которая останется после второго года.

3.     1080000+0,1*1080000-350000=838000 - величина кредит, которая останется после третьего года.

4.     838000+0,1*838000-350000=571800- величина кредит, которая останется после четвертого года.

5.     571800+0,1*571800-350000=278980 - величина кредит, которая останется после пятого года.

6.     278980+0,1*278980-350000=306878-350000 – последняя выплата за кредит, 6 год.

Ответ: 6 лет.

С помощью формулы:

S_n= Sbⁿ-X;

И так как Максим  взял в банке 1500000, b=1,1.

Sbⁿ= X.

1500000*1,1ⁿ= *350000.

                                                                                                                              (19)

1,1ⁿ-1=

1,1ⁿ-1=0,43*1,1ⁿ.

1,1ⁿ-0,43*1,1ⁿ=1.

1,1ⁿ*(1-0,43)=1.

1,1ⁿ=1/(1-0,43).

1,1ⁿ=1,75.

n=6.

Ответ: 6 лет.

Результаты обоих решений оказались одинаковыми.

(20)

Задача 9.

Родион хочет взять в кредит 1,2 млн рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процентов 10%годовых. На какое минимальное количество лет может Родион взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 320 тысяч рублей? 

Обычный способ:

1.     1200000+0,1*1200000-320000=1000000- величина кредита, оставшаяся после первого года.

2.     1000000+0,1*1000000-320000=780000- величина кредита, оставшаяся после второго года.

3.     780000+0,1*780000-320000=538000 – величина кредита, оставшаяся после третьего года.

4.     538000+0,1*538000-320000=271800- величина кредита, оставшаяся после четвертого года.

5.     271800+0,1*271800-320000=298980-298980=0  -  последняя выплата за кредит, 5 год.

Ответ: 5 лет.

С помощью формулы:

S_n= Sbⁿ-X;

И так как Родион  взял в банке 1200000, b=1,1.

Sbⁿ= X.

1200000*1,1ⁿ= *320000.

1,1ⁿ= *.

1,1ⁿ=2,7*1,1ⁿ-2,7.

2,7*1,1ⁿ-1,1ⁿ=2,7.

                                                                                                                              (21)

1,1ⁿ*(2,7-1)=2,7.

1,1ⁿ=1,61.

n=5.

Ответ: 5 лет.

Результаты обоих решений оказались одинаковыми.

(22)

Задача 10.

1 января 2015 года Александр Дмитриевич взял в банке 1,1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 2 процента на оставшуюся сумму долга(то есть увеличивает долг на 2%), затем Александр Дмитриевич переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев  Александр Дмитриевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 275 тыс. рублей?

Обычный способ:

1.     1100000+1100000*0,02-275000=847000 – величина кредита, оставшаяся после первого месяца.

2.     847000+847000*0,02-275000=588940 - величина кредита, оставшаяся после второго месяца.

3.     588940+588940*0,02-275000=325718,8- величина кредита, оставшаяся после третьего месяца.

4.     325718,8+325718,8*0,02-275000=57233,176 - величина кредита, оставшаяся после четвертого месяца.

5.57233,176 +57233,176 *0,02-275000=58377,83952-58377,83952=0-  последняя выплата за кредит, 5 год.

Ответ: 5 лет.

С помощью формулы:

S_n= Sbⁿ-X;

И так как Александр Дмитриевич  взял в банке 1100000, b=1,02.

Sbⁿ= X.

1100000*1,02ⁿ=*275000.

1,02ⁿ= *.

(23)

1,02ⁿ=12,5*1,02ⁿ-12,5.

12,5*1,02ⁿ-1,02ⁿ=12,5.

1,02ⁿ*(12,5-1)=12,5.

1,02ⁿ=1,1.

n=5.

Ответ: 5 лет.

Результаты обоих решений оказались одинаковыми.

(24)

6.Решение задачи на проценты, где нужно найти процентную ставку,

 то есть а.

Задача 11.

31 декабря 2014 года Борис взял в банке 1млн рублей в кредит. Схема выплаты кредит следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на определенное количество процентов), затем Борис переводит очередной транш. Борис выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 560 тыс. рублей, во второй – 644,1 тыс. рублей. Под какой процентов банк выдал кредит Борису?

Обычный способ:

1.     1000000+a*1000000-560000= 440000+ a*1000000- размер кредита, оставшаяся после первого года.

2.     440000+ a*1000000+a*(440000+ a*1000000)-644100

=1000000*a²+1440000*a−204100- кредит, погашенный за два транша.

1000000*a²+1440000*a−204100=0

D=1440000²-4*1000000*(-204100)= 1700000²

X₁=(-1440000+1700000)/2*1000000=0,13X₂- не подходит.

Ответ: 13 процентов.

С помощью формулы:

S_n= Sbⁿ-X;

Задачу тяжело решить таким способом.

  (25)

Задача 12.

31 декабря 2014 года Арсений взял в банке 1млн рублей в кредит. Схема выплаты кредит следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на определенное количество процентов), затем Арсений переводит очередной транш. Арсений выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 550 тыс. рублей, во второй – 638,4 тыс. рублей. Под какой процентов банк выдал кредит Арсению?

Обычный способ:

1.1000000+1000000*a-550000=450000+1000000*a - размер кредита, оставшаяся после первого года.

2. 450000+1000000*a+(450000+1000000*a)*a-638400=

=1000000*a²+1450000*a−188400- кредит, погашенный за два транша.

1000000*a²+1450000*a−188400=0

D=1450000²-4*1000000*(−188400)= 1690000².

X₁=(-1450000+1690000)/2*1000000=0,12  X₂- не подходит.

Ответ: 12 процентов.

С помощью формулы:

S_n= Sbⁿ-X;

Задачу тяжело решить таким способом.

  (26)

Задача 13.

31 декабря 2014 года Петр взял в банке некоторые сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на a%), затем Петр переводит очередной транш. Если бы он будет платить каждый год по 2 592 000 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 4 392 000, то за 2 года. Под какой процент Петр взял деньги в банке?

Обычный способ:

Таким способом решить задачу достаточно тяжело.

С помощью формулы:

Петр взял в кредит S рублей, x₁=2592000 при n=4, x₂=4392000 при n=2.

S_n= Sbⁿ- X;

Sb²= X₂,

Sb⁴- X₁=0

 X₂*b²- X₁=0

(b²-1)*x₂*b²-(b⁴-1)*x₁=0 и b≠1.

b²*(b²-1)* x₂-(b²-1)*(b²+1)*x₁=0

(b²-1)( b²* x₂-(b²+1)*x₁)=0

1.     b²-1=0

b≠1 и b=-1 (не подходит по условию задачи).

2.     b²* x₂-(b²+1)*x₁=0

4392000*b²-2592000*b²-2592000=0

(27)

1800000* b²=2592000

b²=2592000/1800000

b=1,2  и b=-1,2 ( не подходит по условию задачи).

b=1,2; тогда a=(b-1)*100=20%.

Ответ: 20 процентов.

                                                                                                                              (28)

Заключение.

Итак, в ходе своей работы я получил универсальную формулу для нахождения данных в задачах на проценты из Единого Государственного Экзамена и доказал ее работоспособность при любых n. Тем самым, я могу считать цели своей работы полностью достигнутой; все задачи, для достижения этой цели были выполнены.

S_n= Sbⁿ-X;

Формулу действительно можно считать универсальной, но, к сожалению, не всегда прибегнуть к ней будет легче, что было показано решение предыдущих задач. Если неизвестными  в задаче являются размер кредита или размер ежегодной выплаты, то новый способ отлично подходит для решения задачи. Он существенно сэкономит время и уменьшит шанс совершения ошибки при вычислении. Если же необходимо найти процентную ставку, то легче решить задачу по шагам, то есть обычным способом.  В задачах, где неизвестной является количество годов, при разных размерах транша также легче обратиться к обычному способу, но если же размер выплаты одинаковый или есть несколько условий сразу, то разумнее обратиться к формуле.

Не стоит забывать, что при решении задачи в ЕГЭ необходимо самостоятельно вывести эту формулу, иначе можно потерять баллы.

В заключении, хотелось бы сказать, что я считаю свою работу актуально, так как она действительно в некоторых случаях позволяет сэкономить время и получить правильныйответ, что очень важно при сдаче Единого Государственного Экзамена.

                                                                                                                              (29)

Список литературы:

1.     Интернет-сайты.

http://videouroki.net/filecom.php?fileid=98661787(Методы решения логических задач)

http://scorcher.ru/adaptologiya/minimization_efforts/minimization_efforts5.php

(Упрощение логических формул)

 

http://revolution.allbest.ru/finance/00310055_0.html(Основы финансовой математики.Основные понятия математических методов исследования экономики и математического программирования экономических процессов)

http://www.kazedu.kz/referat/6072(Математические модели и методы их расчета)

http://www.cleverstudents.ru/articles/induction.html(Метод математической индукции.)

2.Книги.

«Типовые экзаменационные варианты под редакцией И.В. Ященко. 36 вариантов 2015 год.»

«О математической индукции. Наука» Илья Самойлович Соминский, Лидия Ивановна Головина, Исаак Моисеевич Яглом. 1974 год.

Алгебра и математический анализ, 10 класс: учебник для углубленного изучения математики в общеобразовательных учреждениях/Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И.Шварцбурд,-13 издание- М.: Мнемозине, 2006.

   (30)