Практическая работа. Случайная величина. Основы статистики.

ТЕМА: Случайные величины. Основы математической статистики.

ЦЕЛИ: Выявить уровень знаний  и умений по теме: Случайная величина, ее математическое ожидание и дисперсия. Основы математической статистики.

Отработать умения применять полученные знания при решении задач.

Добиться осознанности при выполнение заданий, Развивать трудоспособность, самостоятельность, трудолюбие, внимание, умение анализировать, работать с учебником.

ТИП УРОКА: Формирование умений и навыков.

Ход урока:

·        Организационный момент,

·        Актуализация опорных знаний (тест),

·        Проверка теста,

·        Выполнение 1 части работы, разобрать пример

·        Самостоятельное выполнение Задачи№1

·        Выполнение 2 части, разобрать пример,

·        Самостоятельное выполнение задачи №2

·        Работа с учебником.

·        Запись домашнего задания.

·        Итог урока.

  Содержание урока:

Задача 1.

Дан закон распределения случайной величины

Х	2	5	7	10
р	0,4	0,2	0,1	р

Найдите ее математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратичное отклонение σ(X).

1)                  Сумма вероятностей в законе распределения случайной величины равняется  1.

Тогда Р=1 – 0,1 – 0,2 – 0,4 =0,3 . Закон распределения примет вид:

Х	2	5	7	10
р	0,4	0,2	0,1	0,3

2)                  Найдем математическое ожидание данной величины:

M(X)=p₁x₁+p₂x₂+p₃x₃+…+p_nx_n

М(Х) = 2·0,4 + 5·0,2 + 7·0,1 + 10·0,3 =0,8 + 1 +0,7 +3 = 5,5

3)                  Найдем дисперсию по одной из формул:

D(x) = M((x-M(x))²) или D(x)=M(x²) – M(x)²

По второй формуле, составим закон распределения величины Х²

Х2	22	52	72	102
р	0,4	0,2	0,1	0,3

Получим:

Х2	4	25	49	100
р	0,4	0,2	0,1	0,3

Найдем математическое ожидание величины Х²

М(Х²) = p₁x₁²+p₂x₂²+p₃x₃²+…+p_nx_n²

М(Х²) = 0,4·4 + 0,2·25 + 0,1·49 +0,3·100 =1,6 +5 + 4,9 + 30 = 41,5

 D(x)=M(x²) – M(x)² = 41,5 – 5,5² = 41,5 – 30,25 = 11,25

4)                  Вычислим среднее квадратичное отклонение σ(X) =

σ(X)==3,35.

5)                  Проверим верно ли мы вычислили дисперсию. Вычислим ее по другой формуле. D(x) = M((x-M(x))²)

Найдем закон  распределения величины Х – М(Х)

Х – М(Х)	2 – 5,5	5 – 5,5	7 – 5,5	10 – 5,5
р	0,4	0,2	0,1	0,3

Х – М(Х)	-3,5	- 0,5	1,5	4,5
р	0,4	0,2	0,1	0,3

Найдем закон распределения величины (Х – М(Х))²

(Х – М(Х))2	(-3,5)2	(- 0,5)2	1,52	4,52
р	0,4	0,2	0,1	0,3

(Х – М(Х))2	12,25	0,25	2,25	20,25
р	0,4	0,2	0,1	0,3

Найдем математическое ожидание величины: (Х – М(Х))²

D(x) = M((x-M(x))²) = 12,25·0,4 + 0,25·0,2 + 2,25·0,1 + 20,25·0,3=

= 4,9 + 0,05 + 0,225 + 6,075=11,25.

Вычислив дисперсию по той и другой формуле, получили одинаковые значения

Задача 2.

Для определения норм выработки хронометрировали время ( в секундах) изготовления валов.

100,  115, 100, 100, 100, 115, 135, 140, 125, 115

115,  130, 125, 130, 150, 145, 125, 115,110, 120,

115,  120, 125, 135, 145,  130, 125,115, 100, 105.

Найдите статистическое распределение данной величины, постройте полигон частот, и гистограмму, при m =5.

1.    Составим сначала статистическое распределение:

Х	100	105	110	115	120	125	130	135	140	145	150
N	5	1	1	7	2	5	3	2	1	2	1

Построим полигон частот:

Построим гистограмму: Найдем размах выборки:

R= «наибольшее значение» - «наименьшее значение»,

R=150 – 100 = 50.

Найдем шаг разбиения Δ = . Δ = 50:5 = 10.

Разобьем нашу выборку на промежутки длина каждого из которых будет равняться 10.

промежуток	[100,110]	(110,120]	(120,130]	(130,140]	(140,150]
Число выпвдений	7	9	8	3	3

 

Задачи для самостоятельного решения.

Задание 1.

 Дан закон распределения случайной величины

Х	1	2	4
р	0,4	р	0,1

Найдите ее математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратичное отклонение σ(X).

Задание  2.

Через каждый час измерялось напряжение тока в электросети. При этом  получены следующие значения:

215, 215, 218, 223, 230, 230, 218, 215, 223, 230,

226, 215, 215, 223, 230, 215, 224, 218, 224, 226,

230, 215, 220, 220, 223, 220, 220, 220, 223, 220 

Запишите статистическое распределение, постройте полигон и гистограмму частот при m = 5.

Задание 1.

Дан закон распределения случайной величины

Х	2	4	6
р	0,5	0,2	р

Найдите ее математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратичное отклонение σ(X).

Задание 2.

Проведя сбор информации с потребителей, завод, изготавливающий станки получил следующую информацию. В среднем первый ремонт станка приходится на :

5, 7, 5, 4, 10, 6, 7, 7, 11, 10,

6, 8, 8, 9, 2, 10, 1, 2, 11, 10,

1, 4, 5, 7, 10, 11, 10, 8, 8, 7

год после изготовления. Запишите статистическое распределение, постройте полигон и гистограмму частот при m = 5.

Задание 3.

По учебнику ответьте на следующие вопросы:

1.    Чем математическая статистика отличается от теории вероятностей,

2.    Когда и где приходится применять методы математической статистики (Приведите примеры).

3.    Что такое генеральная совокупность и выборка, в чем их основное отличие.

4.    Назовите основные характеристики числовой выборки.

5.    Проиллюстрируйте пример полигона и гистограммы.

6.    Придумайте задачу, при решении которой можно применить методы математической статистики.

1 вариант.

Х	1	2	4
Р	0,4	р	0,1

Р = 1 – 0,4 – 0,1 = 0,5

х	1	2	4
р	0,4	0,5	0,1

М(Х)= 1*0,4+2*0,5+4*0,1=1,8

Х2	1	4	16
р	0,4	0,5	0,1

M(X) = 1*0,4+4*0,5+16*0,1=4

D(X)=4 – 1,8² = 0,76

2 вариант

Х	2	4	6
р	0,5	0,2	р

Р=1-0,5-0,2=0,3

Х	2	4	6
р	0,5	0,2	0,3

М(Х)=2*0,5+4*0,2+6*0,3=3,6

Х2	4	16	36
р	0,5	0,2	0,3

М(Х²) = 4*0,5+16*0,2+36*0,3=16

D(X) = 16 – 3,6²=3,04

Краткое описание документа:

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРОВЕДЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ. 

Предназначена для проведения практических работ для студентов 2 курса.

ТЕМА: Случайные величины. Основы математической статистики.

ЦЕЛИ: Выявить уровень знаний  и умений по теме: Случайная величина, ее математическое ожидание и дисперсия. Основы математической статистики.

Отработать умения применять полученные знания при решении задач.

Добиться осознанности при выполнение заданий, Развивать трудоспособность, самостоятельность, трудолюбие, внимание, умение анализировать, работать с учебником.