Презентация по геометрии "Векторы в пространстве"

• 1 слайд

  Векторы в пространстве
  10 класс
  

• 2 слайд

  Понятие вектора. Линейные операции над векторами
  В
  А
  Направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В называется вектором АВ
  
  Длина направленного отрезка обозначается │ АВ │
  
  
  Если начало вектора совпадает с его концом, то вектор называется нулевым и изображается точкой. 𝟎
  

• 3 слайд

  Коллинеарные векторы
  а ││ 𝑏
  
  
  
  
  
  
  
  Направленные отрезки, лежащие на параллельных прямых или на одной прямой, называются коллинеарными векторами.
  

• 4 слайд

  Коллинеарные векторы
  Сонаправленные
  векторы
  АВ ⇈ СД
  Противоположно направленные векторы
  АВ⇅ СД
  Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
  

• 5 слайд

  Равные векторы
  Два вектора называются равными, если они сонаправленные и имеют равные длины.
  
  𝒂 = 𝒃
  1) 𝒂 ⇈ 𝒃
  2)│ 𝒂 │=│ 𝒃 │
  𝒂
  𝒃
  

• 6 слайд

  Противоположные векторы
  Два вектора называются противоположными, если они имеют равные длины и противоположные направления.
  - 𝒂
  𝒂
  - 𝒂 + 𝒂 = 𝟎
  

• 7 слайд

  Сложение векторов
  А
  В
  С
  Правило треугольника
  АВ + ВС = АС
  

• 8 слайд

  Сложение векторов
  Правило параллелограмма
  Правило многоугольника
  𝒂
  𝒃
  𝒄
  𝒂
  𝒃
  𝒄
  𝒅
  𝒆
  𝒂 + 𝒃 = 𝒄
  𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝒅 = 𝒆
  

• 9 слайд

  Разность векторов
  𝒂
  𝒃
  𝒂
  - 𝒃
  𝒂 - 𝒃 = 𝒂 +( - 𝒃 )
  O
  A
  B
  𝒂
  𝒃
  𝒂 - 𝒃 = 𝑶𝑨 - 𝑶𝑩 = 𝑩𝑨
  

• 10 слайд

  Правило параллелепипеда
  𝒂
  𝒃
  𝒄
  A
  O
  𝑶𝑨 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄
  

• 11 слайд

  Умножение вектора на число
  Произведением вектора 𝒂 на число k называется вектор 𝒃 , который удовлетворяет условиям:
  Если k > 0, то векторы 𝒂 и 𝒃 сонаправленные;
  Если k˂ 0, то векторы 𝒂 и 𝒃 противоположно направленные;
  2. │ 𝒃 │ = │k││ 𝒂 │
  𝒂
  2 𝒂
  𝒃
  -3 𝒃
  

• 12 слайд

  Свойства произведения векторов
  x(y 𝒂 ) = (xy) 𝒂
  (x + y) 𝒂 = x 𝒂 + y 𝒂
  3. x( 𝒂 + 𝒃 )= x 𝒂 + x 𝒃
  Признак коллинеарности векторов
  Ненулевые векторы 𝒂 и 𝒃 коллинеарны тогда и только тогда, когда найдется такое число x, что выполняется равенство 𝒃 = x 𝒂 . При этом число х единственное.
  Геометрический смысл коллинеарности векторов
  Точка М лежит на прямой АВ ⟺ выполняется условие АМ = х АВ
  

• 13 слайд

  Компланарные векторы
  Определение.
  Ненулевые векторы 𝒂, 𝒃 , 𝒄 называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной и той же плоскости.
  𝒂
  𝒃
  𝒄
  

• 14 слайд

  Разложение вектора на плоскости
  Любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов ( 𝒂; 𝒃 ) называется базисом на плоскости, а векторы – базисными векторами.
  Любой вектор р на плоскости можно разложить по двум неколлинеарным векторам, т.е. по базису ( 𝒂; 𝒃 ) .
  
  Для любого вектора р существует единственная упорядоченная пара чисел (х; у), такая что выполняется равенство р = х 𝒂 + y 𝒃
  𝒂
  𝒃
  𝒑
  x 𝒂
  y 𝒃
  

• 15 слайд

  Признак компланарности трех векторов
  Три вектора 𝒂 , 𝒃 и 𝒄 (где 𝒂 , 𝒃 - неколлинеарные векторы) пространства компланарны, если существуют числа х и у такие, что выполняется равенство 𝒄 = х 𝒂 + y 𝒃
  Числа х и у называются координатами вектора в базисе
  
  Равенство 𝒄 = х 𝒂 + y 𝒃 называется разложением вектора по базису (или базисным векторам) на плоскости.
  
  𝒄
  ( 𝒂 ; 𝒃 )
  

• 16 слайд

  Разложение вектора по трем некомпланарным векторам
  Если дана упорядоченная тройка ( 𝒂 ; 𝒃 ; 𝒄 ) некомпланарных векторов, то для любого вектора 𝒑 пространства существует единственная упорядоченная тройка чисел (x; y; z), удовлетворяющая равенству 𝒑 = x 𝒂 + y 𝒃 + z 𝒄 .
  x 𝒂
  y 𝒃
  z 𝒄
  𝒑
  𝒄
  𝒂
  𝒃
  

• 17 слайд

  Базис векторов в пространстве
  Любой вектор 𝒑 пространства является линейной комбинацией тройки некомпланарных векторов 𝒂, 𝒃 , 𝒄 .
  Базисом векторов в пространстве называется любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов. Векторы, образующие базис, называются базисными векторами.
  Равенство 𝒑 = x 𝒂 + y 𝒃 + z 𝒄 называется разложением вектора 𝒑 по базису ( 𝒂 ; 𝒃 ; 𝒄 )
  Числа x, y, z называются координатами вектора 𝒑 в базисе ( 𝒂 ; 𝒃 ; 𝒄 ).
  

• 18 слайд

  Скалярное произведение векторов
  Угол между векторами
  𝒂
  𝒃
  𝒂
  𝒃
  α
  α
  𝒂
  𝒃
  𝒂
  𝒃
  0°≤ α ≤ 180°
  

• 19 слайд

  Угол между коллинеарными векторами
  α = 0°
  α = 180°
  

• 20 слайд

  Скалярное произведение векторов
  Определение.
  Скалярным произведеним двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
  𝒂 𝒃 = │ 𝒂 │*│ 𝒃 │ 𝐜𝐨𝐬 𝜶
  Если векторы сонаправленные, то скалярное произведение векторов равно произведению длин этих векторов.
  Если векторы противоположно направленные, то скалярное произведение векторов равно минус произведению длин этих векторов.
  𝒂 𝒃 = │ 𝒂 ││ 𝒃 │
  𝒂 𝒃 = -│ 𝒂 ││ 𝒃 │
  

• 21 слайд

  Скалярный квадрат векторов
  𝒂 𝟐 = 𝒂 𝒂 = 𝒂 𝒂 𝐜𝐨𝐬 𝟎 = 𝒂 𝟐
  𝒂 𝟐 = 𝒂 𝟐
  𝒂 = 𝒂 𝟐
  Угол между векторами
  𝐜𝐨𝐬 𝜶 = 𝒂 𝒃 𝒂 𝒃
  

• 22 слайд

  Свойства скалярного произведения векторов
  𝒂 𝟐 ≥ 0
  
  𝒂 𝒃 = 𝒃 𝒂
  
  (k 𝒂 ) 𝒃 = k ( 𝒂 𝒃 )
  
  ( 𝒂 + 𝒃 ) 𝒄 = 𝒂 𝒄 + 𝒃 𝒄
  Признак перпендикулярности двух векторов
  𝒂 Ʇ 𝒃 ⟺ 𝒂 𝒃 = 0