Презентация по вычислительной математике на тему "Решение дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта"

• 1 слайд

  Решение дифференциальных уравнений
  методом Ренге-Кутта
  

• 2 слайд

  Метод Рунге-кутта
  Пусть необходимо найти численное решение уравнения y’=f(x, y), при условии, что y(x0)=y0
  
  Идея метода состоит и в представлении разности
  
  Δy(x)=y(x+h)-y(x)(1.1)
  
  В виде суммы поправок kj с коэффициентами рj
  
  Δy=p1k1+ p2k2+…+ prkr ,
  
  

• 3 слайд

  Метод Рунге-кутта
  где k1=f(x, y),
  
  k2=f(x+α2h, y=β21k1), …,
  
  kr=hf(x+αrh, y=βr1k1+ βr2k2+…+ βrr-1kr-1).
  
  Коэффициенты рj , αj , βji находят сравнением разложений Δy и ki по степеням h.
  
  

• 4 слайд

  Метод Рунге-кутта
  В случае r=4 получают
  
  
  
  (1.2)
  
  
  
  
  
  (1.3)
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 5 слайд

  Метод Рунге-кутта
  
  
  
  При x=x0 с помощью формул (1.1)-(1.3) находим
  
  
  
  (1.4)
  
  
  
  
  
  
  
  

• 6 слайд

  Метод Рунге-кутта
  Где
  
  (1.5)
  
  
  
  
  
  
  (1.6)
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 7 слайд

  Метод Рунге-кутта
  Пример. Методом Ренге-Кутта найти решение задачи Коши для уравнения y`=y-x2, y(1)=0,
  x [1, 2] в первых пяти точках, взяв h=0,1
  
  
  
  Решение. Поскольку в данном примере f(x, y)= y-x2 , и в силу условия x0 =1, y0 =0,
  то f(x0 , y0 )= y0- =0-1=-1.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 8 слайд

  Метод Рунге-кутта
  По формулам (1.6) находим
  
  
  
  
  
  
  
  По формуле (1.5) вычисляем
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 9 слайд

  Метод Рунге-кутта
  Значение y1 вычисляем по формуле y1 = y0+Δy0 (см. формулу (1.4) при i=0).
  
  y1 = 0+(-0,1158)=-0,1158
  
  Таким образом, полученное приближенное значение
  
  y1 =-0,1158 при x1 =1,1
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 10 слайд

  Метод Рунге-кутта
  
  C помощью формул (1.6) при i=1 найдём приближённое значение y2 при x2 =1,1, решив задачу Коши для того же уравнения y`=y-x2 ,
  
  y(1,1)=-0,1158.
  
  Далее находим y3,y4,y5.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 11 слайд

  Метод Рунге-кутта
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  По формуле (1.5) вычисляем
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 12 слайд

  Метод Рунге-кутта
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  По формуле (1.5) вычисляем
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 13 слайд

  Метод Рунге-кутта
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  По формуле (1.5) вычисляем
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 14 слайд

  Метод Рунге-кутта
  Задание: Методом Рунге-Кутта, приняв h=0,1, найти приближённые решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющие условиям:
  
  1.
  
  2.
  
  3.
  
  4.
  
  5.