Инфоурок / Математика / Тесты / Пробный ОГЭ по математике 9 класс 2016 год

Пробный ОГЭ по математике 9 класс 2016 год

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Варианты.docx

библиотека
материалов

Пробный ОГЭ-2015г.

Вариант 1


Часть1


1. Запишите в ответе номера выражений, значения которых положительны.

Номера запишите в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

1) hello_html_6856d108.png

2) hello_html_m7b6c8760.png

3) hello_html_4ec028ca.png

4) hello_html_3faa7446.png

Решение.

Найдём значения выражений:

hello_html_4ec9adeb.png

 

Таким образом, искомое выражение указано под номером 3.

Ответ: 3

2. Известно, что hello_html_m12c3fb99.png. Выберите наибольшее из чисел.

1)hello_html_m4b02bcdd.png 2)hello_html_m7d0bca55.png 3)hello_html_m65440893.png 4) hello_html_4bfc0f25.png

Решение.

Поскольку hello_html_mbd3c561.pngчисло hello_html_m46dfd163.pngотрицательно, hello_html_d8e5069.pngи hello_html_m6629f8eb.png. Число hello_html_m65440893.pngположительно и больше 1. Поэтому оно является наибольшим.

 

Правильный ответ указан под номером 3.

Ответ: 3

3. В какое из следующих выражений можно преобразовать дробь  hello_html_m9c0e982.png ?

1)hello_html_m1b449bba.png 2)hello_html_11b4f52e.png 3)hello_html_m74fb09e3.png 4) hello_html_m6399161a.png

Решение.

Упростим дробь:

hello_html_2f33d92f.png

 

Правильный ответ указан под номером 3.

Ответ: 3

4. Решите ура внение  hello_html_m556e0683.png.

Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение.

По теореме, обратной теореме Виета — сумма корней равна 5, а их произведение равно −14.

Тем самым, это числа −2 и 7.

Ответ: −2; 7.

Ответ: -2; 7

5.Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

hello_html_41143372.png

1) hello_html_661c563e.png 2) hello_html_m600918a6.png 3) hello_html_69dacd1f.png 4) hello_html_55b7dc4a.png

 

Ответ укажите в виде последовательности цифр без пробелов и запятых в указанном порядке.

А

Б

В

 

 

 

 

Решение.

Определим вид графика каждой из функций.

1) hello_html_661c563e.png  hello_html_m2d614e54.pngуравнение параболы, ветви которой направленны вверх.

2) hello_html_m600918a6.png  hello_html_m2d614e54.pngуравнение прямой.

3) hello_html_69dacd1f.png  hello_html_m2d614e54.pngуравнение верхней ветви параболы, направленной вправо.

4) hello_html_55b7dc4a.png  hello_html_m2d614e54.pngуравнение гиперболы.

Тем самым найдено соответствие: A — 1, Б — 4, В — 2.

 

Ответ: 142.

Ответ: 142

6. Дана арифметическая прогрессия 14, 9, 4, ... Какое число стоит в этой последовательности на 81-м месте?

Решение.

Определим разность арифметической прогрессии:

 

hello_html_m33a08f8b.png

 

Член арифметической прогрессии с номером hello_html_3e0d344e.pngможет быть найден по формуле

 

hello_html_m5f3df3d7.png

 

Поэтому hello_html_m201b2c13.png

 

Ответ: 414.

Ответ: 414

7.Найдите значение выражения  hello_html_m34b90a4e.png  при  hello_html_me558823.png.

Решение.

Упростим выражение:

 

hello_html_7d9818b4.png

 

При hello_html_me558823.png, значение полученного выражения равно 16.

 

Ответ: 16.

Ответ: 16

8. Решите систему неравенств hello_html_m364bdd58.png


На каком из рисунков изображено множество её решений?

hello_html_4dfa8705.png

Решение.

Решим систему:

 

hello_html_m20a13648.png

 

Правильный ответ указан под номером 3.

Ответ: 3

9. В выпуклом четырехугольнике ABCD hello_html_753e6ae5.png, hello_html_c50d8f6.png, hello_html_m53bf44d.png, hello_html_m3db3b12c.png. Найдите угол A. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°. Имеем: hello_html_m2486f467.pngТак как hello_html_753e6ae5.png, hello_html_c50d8f6.pngи hello_html_m2cce602b.png — общая треугольника ABD и BDC. Из равенства треугольников следует, что hello_html_59703afc.png. Таким образом, hello_html_1407ad9a.png.

 

Ответ: 95.

Ответ: 95

10. hello_html_m520748bc.pngНайдите  hello_html_4bc82d16.png, если градусные меры дуг  hello_html_m4896f90a.png  и  hello_html_m757220aa.png  равны 112° и 170° соответственно.

Решение.

Так как вписанный угол равен половине дуги на которую он опирается, имеем hello_html_2084ee87.png, а hello_html_m2a6c9414.png. В треугольнике OKM , hello_html_m41c46048.png.

 

Ответ: 39.

Ответ: 39

11. Одна из сторон параллелограмма равна 12, другая равна 5, а один из углов — 60°. Найдите площадь параллелограмма, делённую на hello_html_497eda66.png.

Решение.

Площадь параллелограмма равна произведению сторон на синус угла между ними, имеем:

 

hello_html_m5fcd904b.png

 

Ответ: 30.

 

----------

В открытом банке иррациональный ответ.

Ответ: 30

12 hello_html_m18c8dea1.pngНа квадратной сетке изображён угол  hello_html_m3fc966a3.png. Найдите  hello_html_4420958a.png.

Решение.

hello_html_12cc6763.png

Опустим перпендикуляр BH. Треугольник ABH — прямоугольный. Таким образом,

 

hello_html_38fb9e60.png

Ответ: 3.

Ответ: 3

13. Какие из следующих утверждений верны?

 

1) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на синус угла между ними.

2) Если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то его гипотенуза равна 13.

3) Треугольник ABC, у которого AB = 5, BC = 6, AC = 7, является остроугольным.

4) В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и другого катета

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.




Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на синус угла между ними.» — неверно, квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

2) «Если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то его гипотенуза равна 13.» — верно, по теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

3) «Треугольник ABC, у которого AB = 5, BC = 6, AC = 7, является остроугольным.» — верно, остроугольным называется треугольник у которого все углы меньше 90°.

4) «В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и другого катета.» — верно, по теореме Пифагора.

 

Ответ: 2; 3; 4.

Ответ: 2; 3; 4

14 В таблице даны рекомендуемые суточные нормы потребления (в г/сутки) жиров, белков и углеводов детьми от 1 года до 14 лет и взрослыми.

hello_html_m547aa545.png

Какой вывод о суточном потреблении углеводов мужчиной можно сделать, если по подсчётам диетолога в среднем за сутки он потребляет 488 г углеводов?

1) Потребление в норме.
2) Потребление выше рекомендуемой нормы.
3) Потребление ниже рекомендуемой нормы.
4) В таблице недостаточно данных.

Решение.

Суточная норма потребления углеводов мужчины лежит в пределах 257−586 г. Потребление 488 г жиров в сутки соответствует норме.

 

Правильный ответ указан под номером 1.

Ответ: 1

15. На рисунке изображен график движения автомобиля из пункта  hello_html_m3fc966a3.png  в пункт  hello_html_m7d480e83.png  и автобуса из пункта  hello_html_m7d480e83.png  в пункт  hello_html_m3fc966a3.png. На сколько километров в час скорость автомобиля больше скорости автобуса?hello_html_m1e9ccf22.png

Решение.

Автобус проехал 240 км за 5 часов. Таким образом, его скорость равна 48 км/ч. Автомобиль проехал это же расстояние за 3 часа со скоростью 80 км/ч. Таким образом, скорость автомобиля больше скорости автобуса на 32 км/ч.

Ответ: 32

16. На многопредметной олимпиаде hello_html_m21c9be54.pngвсех участников получили дипломы, hello_html_249c8d66.png остальных участников были награждены похвальными грамотами, а остальные 144 человека получили сертификаты об участии. Сколько человек участвовало в олимпиаде?

Решение.

Все участвовавшие в олимпиаде делятся на три группы: участники, получившие дипломы, участники, получившие сертефикаты, участники, получившие похвальные грамоты. Известно что hello_html_m21c9be54.pngвсех участников получили дипломы, следовательно, оставшаяся часть составила hello_html_m78958a16.pngот общего числа участников. Из участников, получивших дипломы, hello_html_249c8d66.pngучастников были награждены похвальными грамотами, оставшиеся hello_html_37270c1d.pngучастников составили 144 человека. Пусть x — общее число участников, тогда:

 

hello_html_141d364d.png

 

Тем самым, в олимпиаде участвовал 231 учащийся.

 

Ответ: 231.

Ответ: 231

17. Короткое плечо шлагбаума имеет длину 1 м, а длинное плечо – 3 м. На какую высоту (в метрах) опустится конец короткого плеча, когда конец длинного плеча поднимается на 1,8 м?hello_html_5350053c.png

Решение.

Найдём синус угла, на который поднимается длинное плечо:

 

hello_html_d9542c9.png

 

Угол подъема длинного плеча равен углу на который опустится короткое плечо. Пусть x — высота, на которую опустится короткое плечо, имеем:

 

hello_html_bad3406.png

 

Таким образом, короткое плечо опустится на 0,6 м.

 

Ответ: 0,6.

Ответ: 0,6

18 На диаграмме представлено распределение количества пользователей некоторой социальной сети по странам мира. Всего в этой социальной сети 12 млн пользователей.hello_html_m4e4855b3.pngКакое из следующих утверждений неверно?

 

1) Пользователей из России больше, чем пользователей из Белоруссии и Украины вместе.

2) Пользователей из Украины больше, чем пользователей Латвии.

3) Примерно две трети общего числа пользователей — из России.

4) Пользователей из Украины больше 3 миллионов.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение.

Разъясним каждый вариант ответа:

1) Очевидно, что пользователей из России больше, чем пользователей из Украины и Белоруссии вместе.

2) Сектор «Украина» занимает большую площадь диаграммы, чем сектор «Другие страны», а т. к. «Латвия» включена в «Другие страны», имеем: пользователей из Украины больше, чем пользователей из Латвии.

3) Сектор в две трети диаграммы отсекается углом в 2·360°/3 = 240°. Очевидно, что угол, отсекающий сектор «Россия» примерно равен 240°, значит примерно две трети общего числа пользователей — из России.

4) Видно, что пользователей из Украины меньше четверти всех пользователей, значит, меньше 12/4=3 миллионов.

Ответ: 4.

Ответ: 4

19. В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2 спортсмена из Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России.

Решение.

Вероятность благоприятного случая(hello_html_7a77c6d7.png) — отношение количества благоприятных случаев к количеству всех случаев. В данной задаче благоприятным случаем является старт спортсмена не из России под номером 1. Всего благоприятных случаев 2 + 5 = 7, а количество всех случаев 13 + 2 + 5 = 20. Отношение соответственно равно  hello_html_dad0648.png

 

Ответ: 0,35.

Ответ: 0,35

20. Площадь трапеции  hello_html_16fdd4ec.png  можно вычислить по формуле  hello_html_m44a60055.png, где  hello_html_m2cc993f0.png — основания трапеции,  hello_html_2a093b83.png — высота (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите высоту  hello_html_2a093b83.png, если основания трапеции равны  hello_html_m1c4fa3b4.png  и  hello_html_m870b533.png, а её площадь  hello_html_2f46367d.png. Часть 2

Решение.

Выразим высоту трапеции из формулы площади:

 

hello_html_4f47547c.png

 

Подставляя, получаем:

 

hello_html_m702a0f7.png

 

 

Ответ: 4.

 

Приведём другое решение.

Подставим в формулу известные значения величин:

 

hello_html_m2fe64ccb.png

 

Ответ: 4

21. Разложите на множители hello_html_mf14462e.png.

Решение.

Имеем:

hello_html_3746af50.png

 

hello_html_26b69feb.png.

 


Ответ:
hello_html_m52f3b958.png.

22.Два оператора, работая вместе, могут набрать текст газеты объявлений за 8 ч. Если первый оператор будет работать 3 ч, а второй 12 ч, то они выполнят только 75% всей работы. За какое время может набрать весь текст каждый оператор, работая отдельно?

Решение.

Пусть первый оператор может выполнить данную работу за  hello_html_74bdcfd1.png  часов, а второй за  hello_html_2982f396.png  часов. За один час первый оператор выполняет  hello_html_m1e1deca2.png  часть всей работы, а второй  hello_html_m59b005eb.png. Составим систему уравнений:


hello_html_1495b9e.png

 

 

hello_html_7b51371d.png

 


Ответ: первый оператор за 12 ч, второй оператор за 24 ч.

23. Найдите наименьшее значение выражения и значения  hello_html_74bdcfd1.png  и  hello_html_2982f396.png, при которых оно достигается:  hello_html_m6cc2d9ae.png.

Решение.

Сумма  hello_html_m6cc2d9ae.png  принимает наименьшее значение, равное 0, только в том случае, когда оба слагаемых одновременно равны 0. Получаем систему уравнений

hello_html_47ec4295.png

 


Решим её:

hello_html_27035f2a.png

 


Ответ: 0; (2;1).

24. hello_html_13e640d8.pngНайдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О — центр окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 140°.

Решение.

hello_html_m5821be36.pngПроведём радиус OA. Треугольник AOC — прямоугольный, A = 90°. COA = 180° − AOD = 180° − 140° = 40°; ACO = 90° − 40° = 50°.

Ответ: 50.

25. hello_html_33b6e55c.pngВ окружности с центром hello_html_m36fa57aa.pngпроведены две равные хорды hello_html_6dba710b.pngи hello_html_m4617e4fe.png. На эти хорды опущены перпендикуляры hello_html_798a99b8.pngи hello_html_54192b82.png. Докажите, что hello_html_798a99b8.pngи hello_html_54192b82.pngравны.

Решение.

Проведем ОK, ON, ON, OM - радиусы. Треугольники KOL и MON равны по трем сторонам, тогда высоты OH и OS также равны как элементы равных треугольников. Что и требовалось доказать.

26. Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади четырёхугольника KPCM к площади треугольника AM




Вариант 2


Часть1


1. Укажите наименьшее из следующих чисел: 1) hello_html_m610f35cd.png

2) hello_html_m51add564.png

3) hello_html_m3f6ed2fa.png

4) hello_html_m1fb3ab84.png

Решение.

Заметим что hello_html_5d989572.pngПоскольку hello_html_m441466cc.pngчисло hello_html_m36c5a197.pngявляется наименьшим.

 

Таким образом, правильный ответ указан под номером 1.

Ответ: 1

2 На координатной прямой отмечены числа hello_html_m4c4a03f.png, hello_html_685a829e.png, hello_html_ma0eed46.png. hello_html_m24d105b1.pngКакой из следующих утверждений неверно?

1)hello_html_m6866795f.png 2)hello_html_bf0e771.png 3)hello_html_ff7382f.png 4) hello_html_14472b0d.png

Решение.

Заметим, что  hello_html_m12e26e43.png  hello_html_m5ced923a.png hello_html_m6138eaa0.png и hello_html_m43cdc7d8.pngПроверим все варианты ответа:

1) hello_html_5cb2d5a8.png— верно, так как hello_html_mb3706d9.png, а hello_html_m6b3d6c86.png;

2) hello_html_bf0e771.png— верно, так как hello_html_m641eb26d.png, а hello_html_21ef1912.png;

3) hello_html_ff7382f.png— неверно, так как hello_html_7bc8bda9.png;

4) hello_html_54826d72.png— верно, см. случай 1).

 

Правильный ответ указан под номером 3.

Ответ: 3

3. Какое из следующих выражений равно hello_html_1ad469f3.png

1)hello_html_m2c72b58c.png 2)hello_html_m4ba85540.png 3)hello_html_m369103cc.png 4) hello_html_m15fa1d63.png

Решение.

При делении степеней с одинаковыми основаниями их показатели вычитаются. Таким образом, правильный ответ под номером 1.

Ответ: 1

4. Решите уравнение  hello_html_m2922fbcc.png.

Решение.

Последовательно получаем:

 

hello_html_m3cf985ea.png

Ответ: −1,6.

Ответ: -1,6

5.Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

hello_html_m30681c4c.png

 

1) hello_html_220ade24.png 2) hello_html_34d639f6.png

3) hello_html_41e3e555.png 4) hello_html_69dacd1f.png

Ответ укажите в виде последовательности цифр без пробелов и запятых в указанном порядке


 

А

Б

В

 

 

 

 

Решение.

Определим вид графика каждой из функций.

1) hello_html_220ade24.png  hello_html_m2d614e54.pngуравнение гиперболы.

2) hello_html_34d639f6.png  hello_html_m2d614e54.pngуравнение параболы, ветви которой направленны вниз.

3) hello_html_41e3e555.png  hello_html_m2d614e54.pngуравнение прямой.

4) hello_html_69dacd1f.png  hello_html_m2d614e54.pngуравнение верхней ветви параболы, направленной вправо.

 

Тем самым найдено соответствие: A — 3, Б — 1, В — 2.

 

Ответ: 312.

Ответ: 312

6.Дана арифметическая прогрессия (аn): −6, −2, 2, … . Найдите a16.

Решение.

Определим разность арифметической прогрессии:

 

hello_html_168277d6.png

 

Член арифметической прогрессии с номером hello_html_3e0d344e.pngможет быть найден по формуле

 

hello_html_m5f3df3d7.png

 

Необходимо найти hello_html_m7029dde2.png, имеем:

 

hello_html_m145ce162.png

 

 

Ответ: 54.

Ответ: 54

7.Найдите значение выражения


hello_html_m68872e60.pngпри hello_html_36e0860d.png

Решение.

Упростим выражение:

hello_html_1f77a4f7.png  (при hello_html_m43f1cdbf.pngи hello_html_m73dc9a10.png).

 

Найдём значение выражения при hello_html_41ec74d4.png

 

hello_html_62d0791.png

Ответ: 14.

Ответ: 14

8.Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?hello_html_3168d753.png

1)hello_html_m54be331f.png 2)hello_html_57d2401e.png
3)
hello_html_15f1fa3c.png 4) hello_html_m3b29dc09.png

Решение.

Решим каждое из неравенств:

1) hello_html_m54be331f.png— решений нет.

2) hello_html_4a25d0ad.png

3) hello_html_15f1fa3c.png— верно для всех hello_html_a494dda.png

4) hello_html_m354c57f4.png

 

Правильный ответ указан под номером 4.

Ответ: 4

9. hello_html_27482499.pngВ треугольнике ABC угол C прямой, BC=3 , cosB = 0,6. Найдите AB.

Решение.

В прямоугольном треугольнике:

 

hello_html_m4e59943.png

 

Ответ: hello_html_18ddfcdb.png

Ответ: 5

10.hello_html_m72c85a34.pngЦентральный угол AOB опирается на хорду АВ так, что угол ОАВ равен 60° . Найдите длину хорды АВ, если радиус окружности равен 8.

Решение.

В треугольнике hello_html_312e899a.pnghello_html_1b37e2f5.png(hello_html_6c5fe859.png — радиус окружности), следовательно треугольник hello_html_312e899a.png— равнобедеренный, то есть hello_html_2aa74c91.png. Найдём угол hello_html_4eeb40c5.png

 

hello_html_18ec5e8a.png

 

Заметим, что hello_html_2836c8d6.pngследовательно треугольник hello_html_312e899a.png— равносторонний, hello_html_m754a091e.png

 

Ответ: 8.

Ответ: 8

11 Периметр равностороннего треугольника равен 30. Найдите его площадь делённую на hello_html_497eda66.png.

Решение.

Так как в равностороннем треугольнике все стороны равны, то сторона данного треугольника равна 10. Угол равностороннего треугольника равен hello_html_m1e0a0c5c.png. Площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними, имеем:

 

hello_html_m7337f875.png

Ответ: 25.

 

----------

В открытом банке иррациональный ответ.

Ответ: 25

12.hello_html_m6b21f64f.pngНайдите тангенс угла, изображённого на рисунке.

Решение.

hello_html_m1a7c811d.png

Углы hello_html_1a432dab.pngи hello_html_128a9ee2.pngв сумме образуют развёрнутый угол hello_html_6f6573f5.pngЗначит, hello_html_37235662.png

Рассмотрим прямоугольный треугольник, изображённый на рисунке. Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

 

hello_html_m7a2e7173.png

hello_html_776e7518.png

 

Ответ: −3.

Ответ: -3

13. Какие из следующих утверждений верны?

1) Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.

2) Любые два равнобедренных треугольника подобны.

3) Любые два прямоугольных треугольника подобны.

4) Треугольник ABC, у которого AB = 3, BC = 4, AC = 5, является тупоугольным.

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.»— верно, по теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

2) «Любые два равнобедренных треугольника подобны.» — неверно, так как углы, заключенные между пропорциональными сторонами, не равны.

3) «Любые два прямоугольных треугольника подобны.» — неверно, так как нет второго равного угла.

4) «Треугольник ABC, у которого AB = 3, BC = 4, AC = 5, является тупоугольным.» — неверно, треугольник с такими сторонами является прямоугольным.

 

Ответ: 1.

Ответ: 1

14. В таблице представлены налоговые ставки на автомобили в Москве с 1 января 2013 года.

hello_html_mf79d117.png

*л. с. − лошадиная сила

Сколько рублей должен заплатить владелец автомобиля мощностью 185 л. с. в качестве налога за один год?

1)45
2)50
3)8000
4) 9250

Решение.

При мощности автомобиля в 185 л. с. он попадает в диапазон от 176—201 л. с., т. е. налоговая ставка составит 50 руб за л. с. в год.

Значит налог к уплате составит 185 · 50=9250.

 

Правильный ответ указна под номером 4.

Ответ: 4

15.На рисунке изображён график изменения атмосферного давления в городе Энске за три дня. По горизонтали указаны дни недели и время, по вертикали — значения атмосферного давления в миллиметрах ртутного столба. Укажите значение атмосферного давления во вторник в 6 часов утра.hello_html_4b41a600.png

Решение.

Из графика видно, что значение давления во вторник в 6:00 равно 758 мм рт. ст.

Ответ: 758.

Ответ: 758

16.Государству принадлежит 60% акций предприятия, остальные акции принадлежат частным лицам. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 40 млн. р. Какая сумма из этой прибыли должна пойти на выплату частным акционерам?

Решение.

Один процент от 40 млн равен: hello_html_m3eaa4503.pngруб. На выплату частным акционерам пошло: hello_html_17742b28.pngруб.

Ответ: 16000000.

Ответ: 16000000

17.Короткое плечо шлагбаума имеет длину 1 м, а длинное плечо – 3 м. На какую высоту (в метрах) опустится конец короткого плеча, когда конец длинного плеча поднимается на 1,8 м?hello_html_5350053c.png

Решение.

Найдём синус угла, на который поднимается длинное плечо:

 

hello_html_d9542c9.png

 

Угол подъема длинного плеча равен углу на который опустится короткое плечо. Пусть x — высота, на которую опустится короткое плечо, имеем:

 

hello_html_bad3406.png

 

Таким образом, короткое плечо опустится на 0,6 м.

 

Ответ: 0,6.

Ответ: 0,6

18. На диаграмме показано содержание питательных веществ в какао, молочном шоколаде, фасоли и сушёных белых грибах. Определите по диаграмме, в каком продукте содержание белков превышает 30%.

hello_html_m6ea2ec74.png

*К прочему относятся вода, витамины и минеральные вещества.

 

1) какао 2) шоколад 3) фасоль 4) грибы

Решение.

Из диаграмм видно, что содержание белков превышает 30% в грибах. Таким образом, верный ответ указан под номером 4.

Ответ: 4

19.В мешке содержатся жетоны с номерами от 2 до 51 включительно. Какова вероятность, того, что номер извлеченного наугад из мешка жетона является однозначным числом?

Решение.

Всего в мешке 50 жетонов. Среди них 8 с однозначными номерами. Таким образом, вероятность, того, что номер извлеченного наугад из мешка жетона является однозначным числом равна hello_html_e47c796.png

Ответ: 0,16

20 Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия (t °C) в шкалу Фаренгейта (t °F), пользуются формулой F = 1,8C + 32 , где C — градусы Цельсия, F — градусы Фаренгейта. Какая температура по шкале Цельсия соответствует 158° по шкале Фаренгейта? Ответ округлите до десятых.

Часть 2


Решение.

Подставим в формулу значение переменной F:

 

hello_html_66549aa6.png

 

Ответ: 70.

Ответ: 70

21.Найдите значение выражения:   hello_html_m597271b.png  при  hello_html_m2cd135fd.png

Решение.

Имеем:  

hello_html_m37df4697.png

 


При  
hello_html_6668f230.png  получаем:  hello_html_5f2b342.png


Ответ:  
hello_html_5012ac44.png

22.Две трубы наполняют бассейн за 8 часов 45 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 21 час. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?

Решение.

По условию первая труба за одну минуту наполняет hello_html_20349f71.pngчасть бассейна, а две трубы вместе за одну минуту наполняют hello_html_60f704da.pngчасть бассейна. Таким образом, одна вторая труба за минуту наполняет hello_html_65a2ce75.pngчасть бассейна, то есть она наполняет весь бассейн за 15 часов.

 

Ответ: 15.

23.Постройте график функции hello_html_m96974e8.pngи определите, при каких значениях hello_html_ma0eed46.pngпрямая hello_html_7170af7.pngимеет с графиком ровно три общие точки.

Решение.

Раскрывая модуль, получим, что график функции можно представить следующим образом:

 

hello_html_7a1bad10.png

 

Этот график изображён на рисунке:

 

hello_html_45f8569b.png

 

Из графика видно, что прямая hello_html_7170af7.pngимеет с графиком функции ровно три общие точки при hello_html_2023b91a.pngи hello_html_m31ce1646.png

 

Ответ: 0; 4.

24.hello_html_mf5a0d43.pngИз точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 8.

Решение.

Опустим радиусы на каждую касательную. Соединим точки A и O. Получившиеся треугольники - прямоугольные, так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. По гипотенузе и катету эти треугольники равны, таким образом, мы получили, что угол, лежащий напротив катета равен hello_html_m5957d068.pngКатет, лежащий напротив угла в hello_html_m5957d068.pngравен половине гипотенузы, тогда радиус равен 4.

Ответ: 4.

25.hello_html_m14dac8fe.pngВ параллелограмме АВСD проведены перпендикуляры ВЕ и DF к диагонали АС (см. рисунок). Докажите, что ВFDЕ — параллелограмм.

Решение.

hello_html_m410bad2e.pnghello_html_m11327b05.pngпараллелограмм, поэтому стороны hello_html_151e4b13.pngи hello_html_60378068.pngравны. Углы hello_html_482a0d0a.pngи hello_html_388e0bd9.pngравны, как накрест лежащие при параллельных прямых hello_html_151e4b13.pngи hello_html_60378068.pngи секущей hello_html_m34e729b8.pngРассмотрим треугольники hello_html_477d2e81.pngи hello_html_m2cb998d7.pngони прямоугольные, их гипотенузы равны и угол hello_html_482a0d0a.pngравен углу hello_html_m59056b72.pngследовательно эти треугольники равны по гипотенузе и углу, значит, равны отрезки hello_html_m1d08c685.pngи hello_html_m4530f058.pnghello_html_m7c576d32.pngи hello_html_m21968d78.pngследовательно hello_html_m272c163d.png. Противоположные стороны четырёхугольника hello_html_m7e41e3f0.pngравны и параллельны, следовательно этот четырёхугольник — параллелограмм.

26.hello_html_28c05a49.pngНа рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 3 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1 м?



Решение.

Введём обозначения, приведённые на рисунке. Здесь hello_html_m21d54e.png— плечи "журавля" до опускания, hello_html_m2cce602b.png— после, hello_html_m2a5dd0f7.png— высота, на которую поднялся конец короткого плеча, hello_html_m1c255104.png— высота, на которую опустился конец длинного. Рассмотрим треугольники hello_html_312e899a.pngи hello_html_443570f2.pngуглы hello_html_312e899a.pngи hello_html_1f01df72.pngравны, как вертикальные, следовательно равны и углы при основаниях:

 

hello_html_5e19cf48.png

 

Следовательно, треугольники hello_html_312e899a.pngи hello_html_1f01df72.pngподобны по двум углам, то есть hello_html_m15e6fdbe.png

Рассмотри прямые hello_html_151e4b13.pngи hello_html_m6a2bb315.pngих пересекает секущая hello_html_m2cce602b.pngуглы, обозначенные на рисунке 1 и 2 накрест лежащие и равны друг другу, следовательно прямые hello_html_151e4b13.pngи hello_html_60378068.pngпараллельны. Стороны углов 3 и 4 параллельны друг другу, следовательно они равны.

Рассмотрим треугольники hello_html_m370bd9ca.pngи hello_html_m4c0e3a26.pngони прямоугольные, имеют равные углы, следовательно они подобны, значит:

 

hello_html_af4caac.png

 

hello_html_5054232b.png

Ответ: 1,5.

 

 

Примечание

 

Можно привести несколько иное доказательство подобия треугольников hello_html_m370bd9ca.pngи hello_html_6c0132c.png. На приведённой ниже картинке есть два маленьких треугольника обозначенные hello_html_6cfc0a.pngи hello_html_878c4a9.png, они прямоугольные и одна пара углов равна друг другу как накрест лежащие при параллельных прямых, следовательно они подобны.

Затем, можно заметить, что у треугольников hello_html_6cfc0a.pngи hello_html_m370bd9ca.pngсоответственные углы, не важно какие, равны друг другу, потому что их стороны параллельны, следовательно, треугольники подобны. Аналогично с треугольниками hello_html_6c0132c.pngи hello_html_m3d015e10.pngИз трёх пар подобий этих треугольников следует, что треугольники hello_html_m370bd9ca.pngи hello_html_6c0132c.pngподобны.

 

hello_html_m14916837.png



Вариант 3


Часть1


1. Расположите в порядке убывания числа 0,1327; 0,014; 0,13.

 

1) 0,1327; 0,014; 0,13

2) 0,014; 0,13; 0,1327

3) 0,1327; 0,13; 0,014

4) 0,13; 0,014; 0,1327

Решение.

Запишем все числа с четырьмя знаками после запятой и поразрядно сравним цифры в их записи:

 

0,1327,

0,0140,

0,1300.

 

Наибольшим является первое число, наименьшим — второе число.

 

Правильный ответ указан под номером 3.

Ответ: 3

2. На координатной прямой отмечены точки x и y.

hello_html_5b239407.png

Какое из следующих неравенств верно?

1)hello_html_3bd704cf.png 2)hello_html_6ff5f675.png
3)
hello_html_m483bc915.png 4) hello_html_2d8037ea.png

Решение.

Заметим, что 0 < x < 1, 2 < y < 3. Тогда неравенство hello_html_3bd704cf.pngне верно. Для выражения xy верно двойное неравенство −3 < xy < −1. Для выражения 1 − x верно двойное неравенство 0 < 1 − x < 1. Для выражения hello_html_m59b005eb.pngверно двойное неравенство hello_html_m59b4a82a.png

 

Правильный ответ указан под номером 4.

Ответ: 4

3. Укажите наибольшее из чисел:

1)hello_html_m100148ba.png 2)hello_html_m3666425f.png 3)hello_html_4770b545.png 4) hello_html_m5d7189b9.png

Решение.

Определим, между какими натуральными числами лежат числа, приведенные в ответах.

 

1) hello_html_m4696159a.png

2) hello_html_20d94b1c.png

3) hello_html_2586056f.png

 

Таким образом, осталось сравнить второе и четвёртое число. Поскольку hello_html_m52f879f9.pngимеем hello_html_m2498a5d0.png, т.е. четвёртое число больше второго.

 

Правильный ответ указан под номером 4.

Ответ: 4

4. Найдите корни уравнения: hello_html_m28257871.pngте их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение.

По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно −18. Тем самым, это числа −3 и 6.

 

Ответ: −3; 6.

Ответ: -3;6

5. На рисунке изображены графики функций вида hello_html_baecc6a.png. Установите соответствие между знаками коэффициентов hello_html_3e0d344e.pngи hello_html_685a829e.pngи графиками.

 

КОЭФФИЦИЕНТЫ

А) hello_html_mde2e496.png

Б) hello_html_m75c108cf.png

В) hello_html_m2c0d5847.png

 

ГРАФИКИ

 

hello_html_m4e179c0b.png

 

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

А

Б

В

 

 

 

 

Решение.

Если значение функции возрастает с увеличением x, то коэффициент k положителен, если убывает — отрицателен. Значение b соответствует значению функции в точке x = 0, следовательно, если график пересекает ось ординат выше оси абсцисс, то значение b положительно, если ниже оси абсцисс — отрицательно.

 

Таким образом, графикам соответствуют следующие коэффициенты: А — 3, Б — 2, В — 1.

 

Ответ: 321.

Ответ: 321

6. Дана арифметическая прогрессия (аn): −6, −2, 2, … . Найдите a16.

Решение.

Определим разность арифметической прогрессии:

 

hello_html_168277d6.png

 

Член арифметической прогрессии с номером hello_html_3e0d344e.pngможет быть найден по формуле

 

hello_html_m5f3df3d7.png

 

Необходимо найти hello_html_m7029dde2.png, имеем:

 

hello_html_m145ce162.png

 

 

Ответ: 54.

Ответ: 54

7.Найдите значение выражения  hello_html_m34b90a4e.png  при  hello_html_me558823.png.

Решение.

Упростим выражение:

 

hello_html_7d9818b4.png

 

При hello_html_me558823.png, значение полученного выражения равно 16.

 

Ответ: 16.

Ответ: 16

8.Решите неравенство: hello_html_m6cbc1159.png

 

На каком из рисунков изображено множество его решений?

 

hello_html_487ba6b4.png

1)1 2)2 3)3 4) 4

Решение.

Решим неравенство методом интервалов:

hello_html_m19f1711f.png

 

hello_html_6094991b.png

Получаем hello_html_m3626e745.png

 

Правильный ответ указан под номером 3.

Ответ: 2

9. Углы, отмеченные на рисунке одной дугой, равны. Найдите угол  hello_html_1a432dab.png. Ответ дайте в градусах.hello_html_162e229a.png

Решение.

Углы 1 и 2 равны как вертикальные, поэтому hello_html_37e29c32.png

 

Ответ: 40.

Ответ: 40

10. hello_html_m287a7b85.pngЦентральный угол AOB, равный 60°, опирается на хорду АВ длиной 3. Найдите радиус окружности.

Решение.

Рассмотрим треугольник AOB: он равнобедренный, т. к. состоит из двух отрезков, равных радиусу. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Обозначим угол BAO буквой hello_html_74bdcfd1.png, тогда hello_html_5eefd2ca.png, где hello_html_m4314d652.png. Треугольник, у которого все углы равны, — равносторонний треугольник; значит, AO = 3.

Ответ: 3.

Ответ: 3

11. Периметр ромба равен 24, а тангенс одного из углов равен hello_html_497ac5c8.png. Найдите площадь ромба.

Решение.

Периметр ромба равен сумме длин всех его сторон. Так как все стороны равны, сторона ромба равна 6. Площадь ромба равна произведению сторон на синус угла между ними. Найдем синус угла. В прямоугольном треугольнике тангенс определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему. Имеем:

 

hello_html_73b49ea6.png

Таким образом, hello_html_4b82dcfc.png, где x — число.

По теореме Пифагора гипотенуза этого прямоугольного треугольника равна:

 

hello_html_m1a0649a8.png

.

В прямоугольном треугольнике синус определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе. Имеем:

 

hello_html_m1280b97c.png

Таким образом,

 

hello_html_71e4a957.png

 

Ответ: 12.

Ответ: 12

12. hello_html_m5dac0a88.pngНайдите тангенс угла А треугольника ABC, изображённого на рисунке.

Решение.

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

 

hello_html_m747a497c.png

Ответ: 0,4.

Ответ: 0,4

13. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

 

1) Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.

2) Диагонали прямоугольника равны.

3) У любой трапеции боковые стороны равны.

 

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой» — неверно, верным будет утверждение «Каждая из биссектрис равностороннего треугольника является его медианой».

2) «Диагонали прямоугольника равны» — верно, по свойству прямоугольника.

3) «У любой трапеции боковые стороны равны» — неверно, т. к. боковые стороны равны только у равнобедренной трапеции.

 

Ответ: 2.

Ответ: 2

14. Учёный Комаров выезжает из Москвы на конференцию в Санкт-Петербургский университет. Работа конференции начинается в 8:30. В таблице дано расписание ночных поездов Москва — Санкт-Петербург.hello_html_m4b5b82e1.pngПуть от вокзала до университета занимает полтора часа. Укажите номер самого позднего (по времени отправления) из московских поездов, которые подходят учёному Комарову.

1)032AB 2)026A 3)002A 4) 004A

Решение.

Поскольку путь от вокзала до университета занимает полтора часа, поезд должен прибыть на вокзал не позднее 07:00. Этому условию удовлетворяют поезда под номерами: 032АВ и 026А. Из них позже отправляется поезд под номером 026А.

 

Правильный ответ указан под номером 2.

Ответ: 2

15.На рисунке изображён график изменения атмосферного давления в городе Энске за три дня. По горизонтали указаны дни недели, по вертикали — значения атмосферного давления в миллиметрах ртутного столба. Укажите наименьшее значение атмосферного давления в среду.hello_html_a9b6393.png

Решение.

Очевидно, что минимальное значение давления в среду равно 752 мм рт. ст.

 

Ответ: 752.

Ответ: 752

16. Перед представлением в цирк для продажи было заготовлено некоторое количество шариков. Перед началом представления было продано hello_html_62f7ad20.pngвсех воздушных шариков, а в антракте – еще 12 штук. После этого осталась половина всех шариков. Сколько шариков было первоначально?

Решение.

Пусть hello_html_74bdcfd1.png— количество всех шариков, тогда hello_html_43df5013.png— количество проданных шариков. Из условия задачи известно, что продали половину шариков. Имеем уравнение:

 

hello_html_1d0f79b6.png

Ответ: 120.

Ответ: 120

17. Сколько всего осей симметрии имеет фигура, изображённая на рисунке?hello_html_m4540373.png

Решение.

Ось симметрии данной фигуры — биссектрисса, проходящая через вершину звезды. Данная фигура имеет 5 осей симметрии.

 

Ответ: 5.

Ответ: 5

18.На диаграмме представлены семь крупнейших по площади территории (в млн км2) стран мира.hello_html_m11106a63.pngКакое из следующих утверждений неверно?

 

1) Площадь территории Индии составляет hello_html_m2daaf2a9.png

2) Площадь Китая больше площади Австралии.

3) Россия — крупнейшая по площади территории страна мира.

4) площадь Канады больше площади США на hello_html_m43a9c4d8.png

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение.

Утверждения 1−3 верны. Утверждение 4) неверно: площадь Канады больше площади США на 0,5 млн км2, а не на 1,5 млн км2.

 

Ответ: 4.

Ответ: 4

19.Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1 до 25. Какова вероятность того, что наугад взятый учеником билет имеет номер, являющийся двузначным числом?

Решение.

Всего было подготовлено 25 билетов. Среди них 16 двузначных. Таким образом, вероятность взять билет с двухзначным номером равна hello_html_m1b316ff6.png

Ответ: 0,64

20. Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия (t °C) в шкалу Фаренгейта (t °F), пользуются формулой F = 1,8C + 32 , где C — градусы Цельсия, F — градусы Фаренгейта. Какая температура по шкале Цельсия соответствует 6° по шкале Фаренгейта? Ответ округлите до десятых.

Часть 2


Решение.

Подставим в формулу значение переменной hello_html_1be7b9c2.png:

 

hello_html_6da3298d.png

 

Ответ: −14,4.

Ответ: -14,4

21. Упростите выражение:   hello_html_71fd740c.png.

Решение.

Имеем:

hello_html_1476a5c8.png

 


Ответ: 2,4.

22. При смешивании первого раствора соли, концентрация которого 40%, и второго раствора этой же соли, концентрация которого 48%, получился раствор с концентрацией 42%. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?

Решение.

Пусть первый раствор взят в количестве x грамм, тогда он содержит 0,4x грамм соли, а второй раствор взят в количестве y грамм, тогда он содержит 0,48y грамм соли. При смешивании двух этих растворов получится раствор массой x + y грамм, по условию задачи, он содержит 0,42(x + y) соли. Следовательно, можно составить уравнение:

 

hello_html_2e381727.png

 

Выразим x через y:

hello_html_5af94a07.png

 

Следовательно, отношение, в котором были взяты растворы:

 

hello_html_46160754.png

 

Ответ: hello_html_3f61e56e.png

23. При каком значении hello_html_586d890f.pngпрямая hello_html_750f4e45.pngимеет с параболой hello_html_6887d64b.pngровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки. Постройте в одной системе координат данную параболу и прямую при найденном значении hello_html_586d890f.png.

Решение.

График функции изображён на рисунке. hello_html_46083172.png

Запишем условие общей точки: hello_html_116b117e.png

Прямая hello_html_750f4e45.pngбудет иметь с параболой единственную общую точку при условии, что дискриминант полученного квадратного уравнения равен нулю: hello_html_mbdc38d1.png откуда hello_html_m64155a6e.png Подставив значение параметра в уравнение, находим hello_html_m5ee04974.png

 

Ответ: (-2;0).

24. В треугольнике hello_html_m65f4a6e3.pngугол hello_html_102cce21.pngравен 56°, угол hello_html_45d7fb01.pngравен 64°, hello_html_m2f7453ed.png. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Решение.

Угол hello_html_m72b00d28.pngтреугольника hello_html_m65f4a6e3.pngравен hello_html_m3807d051.png = 180° − hello_html_m38657c23.png hello_html_m2f932a90.png = 60°. Радиус описанной окружности равен hello_html_m4c6d1388.png.


Ответ: 3.

25. hello_html_34af3774.pngВ равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник MNK — равносторонний.

Решение.

Так как точки M, N, K - середины сторон и треугольник ABC- равносторонний, то отрезки AM, MB, BN, NC, KC, AK равны. В равностороннем треугольнике все углы равны, таким образом, треугольники AMK, NMB, CNK равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда MN=MK=KN, значит треугольник MNK- равносторонний.

26.Три окружности с центрами O1, O2 и O3 радиусами 1, 2 и 6 соответственно попарно касаются внешним образом. Найдите угол O1O2O3.








Вариант4


Часть1


1. Найдите значение выражения

hello_html_ma8457b.png

 

Решение.

Сократим:

hello_html_c163fe0.png

Ответ: 1,5.

Ответ: 1,5

2. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу hello_html_3df0a77b.png

 

hello_html_m4d97cc13.png

Какая это точка?

1)точкаА 2)точкаВ 3)точкаС 4) точка D

Решение.

Возведём в квадрат числа hello_html_mf871706.png7, 8, 9:

 

hello_html_m316fc6ea.png

 

 

Число 68 лежит между числами 49 и 64 и находится ближе к числу 49, поэтому hello_html_3df0a77b.pngсоответствует точке A.

 

 

Правильный ответ указан под номером 1.

Ответ: 1

3.Какое из чисел больше: hello_html_m4ca7be61.pngили hello_html_2225f643.png?

1)hello_html_m2b29ac83.png 2)hello_html_m593a1030.png3) hello_html_m40bd9fc.png

Решение.

В силу цепочки неравенств

 

hello_html_2ec5618f.png

 

первое число больше второго.

 

Правильный ответ указан под номером 3.

Ответ: 3

4. Найдите наименьшее значение hello_html_74bdcfd1.png, удовлетворяющее системе неравенств

hello_html_46c79efa.png 

Решение.

Решим систему:

hello_html_31ebd120.png

 

Значит, наименьшее значение hello_html_74bdcfd1.pngудовлетворяющее данной системе неравенств −4.

 

Ответ: −4.

Ответ: -4

5. График какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке?

 

hello_html_4dc67a36.png

 

1) hello_html_m481228f5.png

2) hello_html_55b7dc4a.png

3) hello_html_751b634.png

4) hello_html_12df1664.png

 

Решение.

Ветви изображённой на рисунке гиперболы лежат во II и IV четверти, её график растянут вдоль оси ординат в два раза. Этим условиям соответствует вариант 1

 

Графику соответствует вариант под номером 1.

Ответ: 1

6.Арифметическая прогрессия (an) задана условиями: a1 = 3, an + 1 = an + 4. Найдите a10.

Решение.

Определим разность арифметической прогрессии:

 

hello_html_11573482.png

 

Член арифметической прогрессии с номером hello_html_3e0d344e.pngможет быть найден по формуле

 

hello_html_m5f3df3d7.png

 

Необходимо найти hello_html_m2a15a43c.png, имеем:

 

hello_html_m5beb4ec7.png

 

 

Ответ: 39.

Ответ: 39

7. Упростите выражение hello_html_m14169245.png,

найдите его значение при hello_html_m7a7e69cb.png; hello_html_6668f230.png. В ответ запишите полученное число.

Решение.

Упростим выражение:

hello_html_m4be7978e.png  (при hello_html_574b3c39.png и  hello_html_7cd1f2f4.png).

 

Найдём значение выражения при hello_html_m7a7e69cb.png hello_html_6668f230.png:

 

hello_html_5e16a9eb.png

Ответ: 4,6.

Ответ: 4,6

8.Решите неравенство: hello_html_m6cbc1159.png

 

На каком из рисунков изображено множество его решений?

 

hello_html_487ba6b4.png

1)1 2)2 3)3 4) 4


Решение.

Решим неравенство методом интервалов:

hello_html_m19f1711f.png

 

hello_html_6094991b.png

Получаем hello_html_m3626e745.png

 

Правильный ответ указан под номером 3.

Ответ: 2

9. hello_html_7635a8ff.pngБиссектрисы углов B и C треугольника  ABC  пересекаются в точке  K. Найдите  hello_html_3d51ad38.png, если  hello_html_me68d9bc.png, а  hello_html_m6e209c85.png





Решение.

По определению биссектрис hello_html_3be91195.png, а hello_html_f87dda8.png. В треугольнике BKC:

 

hello_html_m68e0cd19.png.

 

 

Ответ: 120.

Ответ: 120

10.

hello_html_m1088b074.pngТочка О — центр окружности, AOB = 70° (см. рисунок). Найдите величину угла ACB (в градусах).


Решение.

Угол AOB- центральный он равен дуге, которую опирается, следовательно, дуга hello_html_m15878cf2.pngУгол ACB - вписанный, равен половине дуги на которую опирается, следовательно, его величина равна hello_html_641fff65.png

Ответ: 35

11 Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 44 и одна сторона на 2 больше другой.

Решение.

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Найдём стороны прямоугольника. Пусть x — меньшая сторона прямоугольника. Тогда периметр прямоугольника равен hello_html_m602abb0a.pngоткуда hello_html_7de03465.pngПоэтому площадь прямоугольника равна hello_html_6f6043.png

 

Ответ: 120.

Ответ: 120

12. Найдите тангенс угла  hello_html_m3fc966a3.png  треугольника  hello_html_m65f4a6e3.png, изображённого на рисунке.hello_html_m3617a5dc.png

Решение.

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему. Треугольник ABC — прямоугольный, поэтому hello_html_m3e692b65.png

 

Ответ: 0,4.

Ответ: 0,4

13.Укажите номера верных утверждений.

 

1) Если угол равен 47°, то смежный с ним равен 153°.

2) Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны.

3) Через любую точку проходит ровно одна прямая.

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Если угол равен 47°, то смежный с ним равен 153°» — неверно, сумма смежных углов равна 180°.

2) «Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны» — верно, по признаку параллельности прямых.

3) «Через любую точку проходит ровно одна прямая» — неверно через ону точку проходит бесконечное множество прямых.

 

Ответ: 2.

Ответ: 2

14.Учёный Комаров выезжает из Москвы на конференцию в Санкт-Петербургский университет. Работа конференции начинается в 8:30. В таблице дано расписание ночных поездов Москва — Санкт-Петербург.hello_html_m4b5b82e1.pngПуть от вокзала до университета занимает полтора часа. Укажите номер самого позднего (по времени отправления) из московских поездов, которые подходят учёному Комарову.

1)032AB 2)026A 3)002A 4) 004A


Решение.

Поскольку путь от вокзала до университета занимает полтора часа, поезд должен прибыть на вокзал не позднее 07:00. Этому условию удовлетворяют поезда под номерами: 032АВ и 026А. Из них позже отправляется поезд под номером 026А.

 

Правильный ответ указан под номером 2.

Ответ: 2

15.

 . hello_html_m19697c62.pngНа рисунке изображен график полета тела, брошенного под углом к горизонту. По вертикальной оси откладывается расстояние от земли (в м), по горизонтальной оси — пройденный путь (в м). По рисунку определите, на какой высоте от земли будет находиться тело в момент времени, когда оно пролетит 20 метров.


Решение.

По графику видно, что когда тело пролетит 20 метров, оно будет находится на высоте 2 м.

 

Ответ: 2.

Ответ: 2

16. Городской бюджет составляет 45 млн. р., а расходы на одну из его статей составили 12,5%. Сколько рублей потрачено на эту статью бюджета?


Решение.

Расходы составили

hello_html_1acd31a1.pngруб.

 

Ответ: 5625000.

Ответ: 5625000

17. Глубина бассейна составляет 2 метра, ширина — 10 метров, а длина — 25 метров. Найдите суммарную площадь боковых стен и дна бассейна (в квадратных метрах).


Решение.

Дно и стены бассейна — прямоугольники, поэтому площадь дна бассейна равна 10 · 25 = 250 м2, а площадь четырех его стен равна 2 · (2 · 10 + 2 · 25) = 140 м2. Тем самым, общая площадь равна 390 м2.

 

Ответ: 390.

Ответ: 390

18. На диаграмме показано количество SMS, присланных слушателями за каждый час четырёхчасового эфира программы по заявкам на радио. Определите, на сколько больше сообщений было прислано за последние два часа программы по сравнению с первыми двумя часами этой программы.

hello_html_m25aa7885.png


Решение.

Последние два часа программы — это 3-й и 4-й часы. За это время было прислано 25 + 40 = 65 сообщений. За первые два часа эфира слушатели прислали 20 + 30 = 50 сообщений. Таким образом, за последние два часа программы было прислано на 65 − 50 = 15 сообщений больше, чем за первые два часа.

 

Ответ: 15.

Ответ: 15

19.В среднем на 147 исправных дрелей приходятся три неисправные. Найдите вероятность того, что выбранная дрель исправна.


Решение.

Количество всех дрелей равно 147 + 3 = 150. Поэтому, вероятность того, что выбранная дрель исправна равна hello_html_m248e9dea.png

Ответ: 0,98

20.Площадь треугольника можно вычислить по формуле  hello_html_m3a720417.png, где  hello_html_685a829e.png  и  hello_html_ma0eed46.png — стороны треугольника, а  hello_html_1a432dab.png — угол между этими сторонами. Пользуясь этой формулой, найдите площадь треугольника, если  hello_html_1a432dab.png = 30°,  hello_html_ma0eed46.png = 5,  hello_html_685a829e.png = 6.


Часть 2


Решение.

Подставим известные значения величин в формулу для нахождения площади:

 

hello_html_56349044.png

 

Ответ: 7,5.

Ответ: 7,5

21. Упростите выражение:   hello_html_m64403a0d.png.


Решение.

Имеем:

hello_html_7b9ee75a.png.

 


Ответ: 4.

22. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 34 км, выехал велосипедист. Одновременно с ним из В в А вышел пешеход. Велосипедист ехал со скоростью, на 8 км/ч большей скорости пешехода, и сделал в пути получасовую остановку. Найдите скорость пешехода, если известно, что они встретились в 24 км от пункта А.

Решение.

Пусть скорость пешехода — x км/ч, тогда скорость велосипедиста равна (x + 8) км/ч. Пешеход прошёл свою часть пути за hello_html_m254ca26d.png, а велосипедист проделал свой путь за hello_html_362f0a7c.png. Эти два времени равны, составим уравнение:

 

hello_html_m5fae8628.png

 

Корень −40 не подходит нам по условию задачи. Скорость пешехода равна 4 км/ч.

 

Ответ: 4 км/ч.

23. Известно, что графики функций hello_html_30eb8084.pngи hello_html_m4f88f94d.pngимеют ровно одну общую точку. Определите координаты этой точки. Постройте графики заданных функций в одной системе координат.


Решение.

Найдём абсциссы точек пересечения:

 

hello_html_m4d4465b7.png

 

Графики функций, будут иметь ровно одну точку пересечения, если это уравнение имеет ровно одно решение. То есть, если дискриминант этого квадратного уравнения будет равен нулю.

 

hello_html_m5ceb5376.png

 

Подставив параметр hello_html_586d890f.pngв уравнение, найдём hello_html_74bdcfd1.pngкоординату точки пересечения этих функций:

 

hello_html_3027a7dd.png

 

Координата hello_html_2982f396.pngнаходится оттуда же путём подстановки координаты hello_html_74bdcfd1.pngв любое из уравнений, например, во второе:

 

hello_html_28f176b3.png

 

Теперь, зная hello_html_m2f1d5230.pngможем построить графики обеих функций (см. рисунок).

 


 

 

Ответ: (2; -3).

24.

hello_html_m6b58ea35.pngСторона ромба равна 38, а острый угол равен 60° . Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?


Решение.

hello_html_m697eaab2.pngВведём обозначения, как показано на рисунке. Треугольник ABH — прямоугольный, в нём угол A равен 60°. Тогда отрезок AH можно найти по формуле:

 

hello_html_m7d9cdf97.png

 

Найдём отрезок HD:

 

hello_html_m655c81ad.png

 

Ответ: 19,19.

25. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника CKD.


Решение.

hello_html_26654309.pngПроведём высоту hello_html_m4617e4fe.pngтак, чтобы она проходила через точку hello_html_m6c3344c7.pngУглы hello_html_m271456d.pngи hello_html_74bf8afc.pngравны друг другу как вертикальные. Вспомним также, что диагонали делятся точкой пересечения пополам, следовательно, hello_html_m6bcfc7a5.pngРассмотрим треугольники hello_html_68da6248.pngи hello_html_m73800ebf.png, они прямоугольные, имеют равные углы и равные гипотенузы, следовательно эти треугольники равны, а значит равны отрезки hello_html_m71cab39c.pngи hello_html_331bd4b.png. Таким образом, hello_html_476d8472.png

Площадь параллелограмм равна hello_html_m238489c2.pngа площадь треугольника hello_html_m3d3b5388.png

 

hello_html_274b4b0.png

 

26. Площадь треугольника ABC равна 80. Биссектриса AD пересекает медиану BK в точке E, при этом BD:CD=1:3. Найдите площадь четырехугольника EDCK.






Вариант5


Часть1


1.Расположите в порядке возрастания числа 0,1439; 1,3; 0,14.

 

1) 0,1439; 0,14; 1,3

2) 1,3; 0,14; 0,1439

3) 0,1439; 1,3; 0,14

4) 0,14; 0,1439; 1,3

Решение.

Запишем все числа с четырьмя знаками после запятой и поразрядно сравним цифры в их записи:

 

0,1439,

1,3000,

0,1400.

 

Наименьшим является последнее число, наибольшим — второе число.

 

Правильный ответ указан под номером 4.

Ответ: 4

2.На координатной прямой отмечены числа hello_html_m4c4a03f.pngи hello_html_ma0eed46.png

hello_html_m1f0b9419.png

Какое из следующих утверждений неверно?

1)hello_html_m3d1425a4.png 2)hello_html_m3d2f4f15.png
3)
hello_html_m6d11d79e.png 4) hello_html_m1d81c6a4.png

Решение.

Заметим, что hello_html_764f3ba6.pngПроверим все варианты ответа:

1) hello_html_m3d1425a4.png   hello_html_m2d614e54.png неверно

2)  hello_html_m3d2f4f15.png  hello_html_m49db324f.png   — верно

3)  hello_html_m6d11d79e.png — верно, т. к. hello_html_4338730b.png

4) hello_html_m1d81c6a4.png   hello_html_m2d614e54.png верно

 

Правильный ответ указан под номером 1.

Ответ: 1

3. Сравните числа hello_html_4c07ed54.pngи 14.

1)hello_html_m2fb338c.png 2)hello_html_m2258e8c2.png
3)
hello_html_m18f2146e.png

Решение.

В силу цепочки неравенств

 

hello_html_379dde93.png

 

первое число меньше второго.

 

Правильный ответ указан под номером 1.

Ответ: 1

4. Решите уравнение hello_html_m26cb7a88.png

Решение.

Последовательно получаем:

 

hello_html_m26530a95.png

Ответ: −4,5.

Ответ: -4,5

5. Установите соответствие между функциями и их графиками

ФУНКЦИИ

А)hello_html_7bb169c7.png Б)hello_html_6887d64b.png

В)hello_html_6d8c9de0.png

ГРАФИКИ

hello_html_722341e.png

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

А

Б

В


 

 

Решение.

Напомним, что если парабола задана уравнением hello_html_18c84a22.png, то: при hello_html_67722675.pngто ветви параболы направлены вверх, а при hello_html_551cc376.png— вниз; абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле hello_html_692ef96.pngпарабола пересекает ось Oy в точке с.

Уравнение hello_html_7bb169c7.pngзадает параболу, ветви которой направлены вверх, абсцисса вершины равна hello_html_m1c03b0da.png, она пересекает ось ординат в точке 0. Ее график изображен на рисунке 4).

Уравнение hello_html_6887d64b.pngзадает параболу, ветви которой направлены вверх, абсцисса вершины равна hello_html_m37d9025c.png, она пересекает ось ординат в точке 0. Ее график изображен на рисунке 4).

Уравнение hello_html_6d8c9de0.pngзадает параболу, ветви которой направлены вниз, абсцисса вершины равна hello_html_m37d9025c.png, она пересекает ось ординат в точке 0. Ее график изображен на рисунке 3).

Тем самым, искомое соответствие: А—4, Б—1, В—3.

 

Ответ: 413.

Ответ: 413

6.Дана геометрическая прогрессия (bn), знаменатель которой равен 2, а hello_html_me3d94e3.png. Найдите сумму первых шести её членов.

Решение.

Сумма n первых членов геометрической прогрессии даётся формулой

 

hello_html_218a87e9.png

 

По условию, hello_html_m11579672.pnghello_html_m3f380db2.pngоткуда получаем

 

hello_html_m698306fc.png

 

Ответ: −47,25.

Ответ: -47,25

7. Упростите выражение

hello_html_38f94ed.png 

Решение.

Упростим выражение:

 

hello_html_m156ef337.png

 

hello_html_mbd8729c.png

 

Ответ: −3.

Ответ: -3

8. Решите неравенство  hello_html_m1996b160.png  и определите, на каком рисунке изображено множество его решений.

1)hello_html_76c8bd1.png
2)
hello_html_m73597b99.png
3)
hello_html_b5e1f9e.png
4)
hello_html_3da1f67.png

Решение.

Решим неравенство:

hello_html_m34b1e555.png

 

Решение неравенства изображено на рис. 3.

 

Правильный ответ указан под номером 3.

Ответ: 3

9.Найдите меньший угол равнобедренной трапеции  ABCD, если диагональ  AC  образует с основанием  BC  и боковой стороной  CD  углы, равные 30° и 105° соответственно.

hello_html_m33fbdf37.png

Решение.

Поскольку угол С равен 135°, а сумма противоположных углов равнобедренной трапеции равна 180°, угол А равен 45°.

 

Ответ: 45.

Ответ: 45

10. hello_html_m1088b074.pngТочка О — центр окружности, AOB = 70° (см. рисунок). Найдите величину угла ACB (в градусах).

Решение.

Угол AOB- центральный он равен дуге, которую опирается, следовательно, дуга hello_html_m15878cf2.pngУгол ACB - вписанный, равен половине дуги на которую опирается, следовательно, его величина равна hello_html_641fff65.png

Ответ: 35

11.В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, а один из острых углов равен hello_html_6bcb6c59.png. Найдите площадь треугольника.

Решение.

Так как один из углов прямоугольного треугольника равен hello_html_6bcb6c59.png, то такой треугольник является равнобедренным. Найдем катет прямоугольного треугольника:

 

hello_html_6408ff9c.png

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Таким образом:

 

hello_html_m57d4c22c.png

Ответ: 25.

Ответ: 25

12.  hello_html_m28b75ac1.pngНайдите тангенс угла, изображённого на рисунке.

Решение.

hello_html_402cd86.png

Углы hello_html_1a432dab.pngи hello_html_128a9ee2.pngв сумме образуют развёрнутый угол hello_html_6f6573f5.pngЗначит, hello_html_37235662.png

Рассмотрим прямоугольный треугольник, изображённый на рисунке. Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

 

hello_html_m3aa3fe7a.png

hello_html_m687aa013.png

 

Ответ: -1,5.

Ответ: -1,5

13. Какие из следующих утверждений верны?

1) Если противоположные углы выпуклого четырехугольника равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

2) Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 200°, то его четвертый угол равен 160°.

3) Сумма двух противоположных углов четырехугольника не превосходит 180°.

4) Если основания трапеции равны 4 и 6, то средняя линия этой трапеции равна 10.

 

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.




Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Если противоположные углы выпуклого четырехугольника равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.» — верно, если в четырехугольнике противоположные углы равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

2) «Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 200°, то его четвертый угол равен 160°.» — верно, Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°.

3) «Сумма двух противоположных углов четырехугольника не превосходит 180°.» — неверно, сумма противоположных углов четырехугольника больше 180°.

4) «Если основания трапеции равны 4 и 6, то средняя линия этой трапеции равна 10.» — неверно, средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

 

Ответ: 1; 2.

Ответ: 1; 2

14. Студент Петров выезжает из Наро-Фоминска в Москву на занятия в университет. Занятия начинаются в 9:00. В таблице приведено расписание утренних электропоездов от станции Нара до Киевского вокзала в Москве.

hello_html_cbc9837.png

Путь от вокзала до университета занимает 40 минут. Укажите время отправления от станции Нара самого позднего из электропоездов, которые подходят студенту.

1)6:35 2)7:05 3)7:28 4) 7:34

Решение.

Поскольку путь от вокзала до университета занимает 40 минут, поезд должен прибыть на вокзал не позднее 08:20. Этому условию удовлетворяют поезда, отправляющиеся от станции Нара в 6:35 и 7:05. Таким образом, время отправления самого позднего из подходящих поездов 7:05.

 

Правильный ответ указан под номером 2.

Ответ: 2

15. hello_html_m12c6b602.pngНа рисунке изображен график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты колебаний. По вертикальной оси откладывается амплитуда (в м), по горизонтальной — частота колебаний (в Гц). По рисунку определите частоту колебаний, если амплитуда была равна 3 м.

Решение.

По графику видно, что в момент, когда амплитуда была равна 3 м, частота была равна 60 Гц.

 

Ответ: 60.

Ответ: 60

16.Какая сумма (в рублях) будет проставлена в кассовом чеке, если стоимость товара 520 р., и покупатель оплачивает его по дисконтной карте с 5%-ной скидкой?

Решение.

Рассчитаем скидку, которую получает покупатель оплачивая товар по дисконтной карте с 5%-ной скидкой: hello_html_4cc5052d.pngруб. Таким образом, итоговая цена со скидкой равна: hello_html_m3af33567.pngруб.

Ответ: 494.

Ответ: 494

17. B 13 . Колесо имеет 5 спиц. Углы между соседними спицами равны. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

Решение.

Колесо представляет собой круг. Количество спиц совпадает с количеством секторов на которые ими оно делится. Так как развёрнутый угол 360°, а всего спиц пять, угол между двумя соседними спицами равен 360° : 5 = 72°.

 

Ответ: 72.

Ответ: 72

18. Завуч школы подвёл итоги контрольной работы по математике в 9-х классах. Результаты представлены на круговой диаграмме. hello_html_5f603905.png

Какие из утверждений относительно результатов контрольной работы верны, если всего в школе 120 девятиклассников?

1)Более половины учащихся получили отметку«3».

2) Около половины учащихся отсутствовали на контрольной работе или получили отметку «2».

3) Отметку «4» или «5» получила примерно шестая часть учащихся.

4) Отметку «3», «4» или «5» получили более 100 учащихся.

Если ответов несколько, запишите их в порядке возрастания через точку с запятой

Решение.

Проверим каждое утверждение:

 

1) Более половины учащихся получили отметку «3» — верно.

2) Около половины учащихся отсутствовали на контрольной работе или получили отметку «2» — неверно.

3) Отметку «4» или «5» получила примерно шестая часть учащихся — верно.

4) Отметку «3», «4» или «5» получили более 100 учащихся — неверно.

Ответ: 1; 3

19. В среднем на 50 карманных фонариков приходится два неисправных. Найдите вероятность купить работающий фонарик.

Решение.

На каждые 50 карманных фонариков приходится 2 неисправных, всего их 48. Вероятность купить исправный фонарик будет равна доле исправных фонариков на каждые 52 фонарика, то есть hello_html_m4181ca2e.png

 

Ответ: 0,96.

Ответ: 0,96

20.В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) рассчитывается по формуле C = 150+11  (t − 5) , где t — длительность поездки, выраженная в минутах (t > 5). Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 14-минутной поездки.







Часть 2


Решение.

Подставим в формулу значение переменной hello_html_5f8efe6d.png:

 

 

hello_html_m485ae909.png

 

Ответ: 249.

Ответ: 249

21. Решите неравенство hello_html_m159e6c25.png

Решение.

Умножим на 15, приведём подобные слагаемые и разложим на множители:

 

hello_html_m5140d8d3.png

 

hello_html_10de3e86.png

Произведение двух сомножителей будет меньше нуля, если сомножители имеют разный знак (см. рисунок). Таким образом, получаем ответ:

 

hello_html_c1889ce.png

 

Ответ: hello_html_m4b8cb037.png

22. Чтобы накачать в бак 117 л воды, требуется на 5 минут больше времени, чем на то, чтобы выкачать из него 96 л воды. За одну минуту можно выкачать на 3 л воды больше, чем накачать. Сколько литров воды накачивается в бак за минуту?


Решение.

Пусть за минуту в бак накачивается hello_html_74bdcfd1.pngлитров воды. Тогда за минуту выкачивается hello_html_3bfad51.pngл воды.
По условию задачи составим уравнение:

hello_html_m6600b27f.png,

 

откуда

hello_html_m8040ec4.png

 

Получаем квадратное уравнение

hello_html_m701ec0aa.png,

 

имеющее корни: hello_html_m28599713.pngи hello_html_3582dd5b.png.
Отбрасывая отрицательный корень, находим, что за минуту в бак накачивается 9 л воды.


Ответ: 9.

23. При каком значении hello_html_586d890f.pngпрямая hello_html_750f4e45.pngимеет с параболой hello_html_6887d64b.pngровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки. Постройте в одной системе координат данную параболу и прямую при найденном значении hello_html_586d890f.png.


Решение.

График функции изображён на рисунке. hello_html_46083172.png

Запишем условие общей точки: hello_html_116b117e.png

Прямая hello_html_750f4e45.pngбудет иметь с параболой единственную общую точку при условии, что дискриминант полученного квадратного уравнения равен нулю: hello_html_mbdc38d1.png откуда hello_html_m64155a6e.png Подставив значение параметра в уравнение, находим hello_html_m5ee04974.png

 

Ответ: (-2;0).

24. Основание равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а её периметр равен 52. Найдите площадь трапеции.

Решение.

hello_html_4a03801a.pngРассмотрим равнобедренную трапецию  hello_html_m11327b05.png  с основаниями  hello_html_m76f4513f.png  и  hello_html_3a6cf404.png, периметр которой равен 52. Имеем

hello_html_5ade7d0a.png.

 

Пусть hello_html_190d1a4.png— высота трапеции. Тогда hello_html_m20d1ebaa.png. Из прямоугольного треугольника hello_html_32f0aeaa.pngнаходим hello_html_m704d767f.png. Значит, площадь трапеции равна hello_html_7a793294.png.



Ответ: 156.

25. hello_html_m71f1dd71.pngВ параллелограмме АВСD проведены перпендикуляры ВЕ и DF к диагонали АС (см. рисунок). Докажите, что ВFDЕ — параллелограмм.


Решение.

hello_html_m6c9fc764.pngПрямоугольные треугольники ABE и CDF равны по гипотенузе и острому углу (AB = CD как противолежащие стороны параллелограмма;  BAE = DCF как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC). Следовательно, BE = DF. Кроме того, BE || DF, т. к. это перпендикуляры к одной прямой. Таким образом, в четырёхугольнике BFDE противолежащие стороны равны и параллельны, поэтому BFDE — параллелограмм.

26. Медиана BM треугольника ABC является диаметром окружности, пересекающей сторону BC в её середине. Длина стороны AC равна 4. Найдите радиус описанной окружности треугольника ABC.






Вариант 6


Часть1


1. Расположите в порядке убывания: hello_html_m37fb0111.png hello_html_m65dace14.png hello_html_63c1345f.png


1) hello_html_m269cd26c.pnghello_html_m65dace14.pnghello_html_m629c027c.png

2) hello_html_m65dace14.pnghello_html_m269cd26c.pnghello_html_m575ce90b.png

3) hello_html_m269cd26c.pnghello_html_m37fb0111.pnghello_html_3c0faedf.png

4) hello_html_m37fb0111.pnghello_html_m65dace14.pnghello_html_m4f501c34.png

Решение.

Запишем заданные числовые выражения в виде десятичных дробей:

 

hello_html_5e2d1236.png

 

Заметим, что hello_html_m583a4e2a.pngПоэтому верный вариант ответа указан по номером 3.

Ответ: 3

2 Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу  hello_html_3c506293.png. Какая это точка?hello_html_m741a2e58.png

1)M 2)N 3)P 4) Q

Решение.

Чтобы ответить на вопрос, возведём в квадрат числа hello_html_m38ae48f4.png5, 6, 7:

 

hello_html_35f8a369.png

 

Число 37 лежит между 36 и 49 и ближе всех находится к числу 36. Значит, hello_html_3c506293.pngсоответствует точке P.

 

Правильный ответ указан под номером 3.

Ответ: 3

3. В какое из следующих выражений можно преобразовать дробь

hello_html_m7a13de68.png 

1)hello_html_5a0e322d.png 2)hello_html_m3361dc1a.png 3)hello_html_3d36e9c5.png 4) hello_html_m68f0b3f1.png

Решение.

Упростим дробь:

hello_html_m4059d2c4.png

 

Правильный ответ указан под номером 1.

Ответ: 1

4.Найдите корни уравнения hello_html_4cc3f4b1.png

Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение.

Вынесем общий множитель за скобки:

 

hello_html_490be6d3.png

 

Ответ: −3; 0.

Ответ: -3;0

5. Укажите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.hello_html_3c1b05b7.png

1) hello_html_m887d7a9.png 2) hello_html_685d7193.png

3) hello_html_2bd7a67e.png 4) hello_html_m5734a9ea.png

Ответ укажите в виде последовательности цифр без пробелов и запятых в указанном порядке

А

Б

В

 

 

 

 

Решение.

Определим вид графика каждой из функций:

 

1) hello_html_m887d7a9.pngпредставляет собой график степенной функции с положительным дробным показателем.

В точке hello_html_4bda6bc1.pngзначение функции равно 0.

 

2) hello_html_685d7193.pngпредставляет собой параболу, ветви которой направлены вверх.

Вершина параболы лежит в точке (-1;2).

 

3) hello_html_1622ee4d.pngпредставляет собой параболу, ветви которой направлены вверх.

Вершина параболы лежит в точке (1;2).

 

4) hello_html_m5734a9ea.pngпредставляет собой прямую, которая пересекает ось абсцисс в точке -1,5 ; ось ординат в точке 3.

 

Таким образом, искомое соответствие:

A-1, Б=2, В=4.

Ответ: 124

6. В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 75, а сумма второго и третьего членов равна 150. Найдите первые три члена этой прогрессии.

В ответе перечислите через точку с запятой первый, второй и третий члены прогрессии.

Решение.

По условию hello_html_2ac0b328.pnghello_html_1fb010db.pngЗапишем эти равенства в виде системы уравнений на первый член и знаменатель прогрессии и решим эту систему:

 

hello_html_4d537da4.png

 

Теперь найдём второй и третий члены прогрессии:

 

hello_html_7f8dddb6.png

 

Ответ: 25; 50; 100.

Ответ: 25;50;100

7.Упростите выражение

hello_html_2d9c4f4.png 

и найдите его значение при hello_html_m69cd0f67.png

В ответе запишите найденное значение.

Решение.

Упростим выражение:

hello_html_m60cb8294.png  (при hello_html_38856d0b.png).

 

Найдём значение выражения при hello_html_6cfa9a7.png:

 

hello_html_64ded845.png

Ответ: 4.

Ответ: 4

8.Решите неравенство  hello_html_63442f0.png  и определите, на каком рисунке изображено множество его решений.

1)hello_html_3b6275ce.png
2)
hello_html_21e3b69a.png
3)
hello_html_3837b913.png
4)
hello_html_m5ba6413e.png

Решение.

Решим неравенство:

hello_html_1293a433.png

 

Решение неравенства изображено на рис. 4.

 

Правильный ответ указан под номером 4.

Ответ: 4

9. hello_html_m35121cf2.pngНайдите угол АВС равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием AD и боковой стороной CD углы, равные 20° и 100° соответственно.

Решение.

Углы hello_html_m2953180f.pngи hello_html_m7fa2d865.pngравны как накрест лежащие, то есть hello_html_1660a0e8.png

В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны:

 

hello_html_mcfaca63.png

 

Ответ: hello_html_m106d6eb1.png

Ответ: 120

10 hello_html_m396650f8.pngЦентральный угол AOB, равный 60° , опирается на хорду АВ длиной 4. Найдите радиус окружности.

Решение.

В треугольнике hello_html_312e899a.pnghello_html_1b37e2f5.png(hello_html_6c5fe859.png — радиус окружности), следовательно треугольник hello_html_312e899a.png— равнобедеренный, то есть hello_html_m721d166b.png

Заметим, что hello_html_2836c8d6.pngследовательно треугольник hello_html_312e899a.png— равносторонний, hello_html_14e84ca0.png

 

Ответ: 4.

Ответ: 4

11.hello_html_m595ddbf7.pngНайдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Решение.

Площадь параллелограммаhello_html_59779f6d.png ищется путём перемножения длины основания и высоты. В данном параллелограмме длинна основания равна 3 + 2 = 5, а длина высоты — 4.

 

 

hello_html_6258e904.png

 

Ответ: 20.

Ответ: 20

12. hello_html_6daf82b0.pngНа рисунке изображен параллелограмм  hello_html_m11327b05.png. Используя рисунок, найдите  hello_html_571247f1.png.

Решение.

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему. Треугольник hello_html_m41cc4d69.png— прямоугольный, поэтому hello_html_5341092b.png

Вычислим по теореме Пифагора длину гипотенузы hello_html_151e4b13.png:

 

hello_html_49284839.png

 

Тогда

hello_html_3d92468.png

Ответ: 0,6.

Ответ: 0,6

13.Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1) Любой параллелограмм можно вписать в окружность.

2) Если две различные прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны.

3) Точка пересечения двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей.

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Любой параллелограмм можно вписать в окружность» — неверно, поскольку в окружность можно вписать только параллелограмм у которого сумма противоположных углов равна 180°.

2) «Если две различные прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны» — верно, верно по признаку параллельности прямых.

3) «Точка пересечения двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей» — неверно, поскольку эта точка удалена от каждой из окружностей на расстояние их радиуса.

 

Ответ: 2.

Ответ: 2

14. В таблице даны рекомендуемые суточные нормы потребления (в г/сутки) жиров, белков и углеводов детьми от 1 года до 14 лет и взрослыми.

hello_html_m547aa545.png

Какой вывод о суточном потреблении жиров женщиной можно сделать, если по подсчётам диетолога в среднем за сутки она потребляет 55 г жиров?

1)Потребление в норме.
2) Потребление выше рекомендуемой нормы.
3) Потребление ниже рекомендуемой нормы.
4) В таблице недостаточно данных.

Решение.

Суточная норма жиров женщины лежит в пределах 60−102 г. Потребление 55 г жиров в сутки ниже нормы.

 

Правильный ответ указан под номером 3.

Ответ: 3

15. На рисунке изображён график изменения атмосферного давления в городе Энске за три дня. По горизонтали указаны дни недели, по вертикали — значения атмосферного давления в миллиметрах ртутного столба. Укажите наименьшее значение атмосферного давления в среду.

 

hello_html_m466916b0.png

Решение.

Из графика видно, что наименьшее значение давления в среду составляет 753 мм.рт.ст.

Ответ: 753

16. Кисть, которая стоила 240 рублей, продаётся с 25%-й скидкой. При покупке двух таких кистей покупатель отдал кассиру 500 рублей. Сколько рублей сдачи он должен получить?

Решение.

Стоимость одной кисти равна 240 − 0,75 · 240 = 180 руб. Стоимость 2 кистей равна 360 руб. Значит, сдача с 500 рублей составит 140 рублей.

 

Ответ: 140.

Ответ: 140

17.Девочка прошла от дома по направлению на запад 500 м. Затем повернула на север и прошла 300 м. После этого она повернула на восток и прошла еще 100 м. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказалась девочка?

hello_html_4d76fe75.png

Решение.

hello_html_4d76fe75.pngДевочка идёт вдоль прямоугольной трапеции, в которой длина боковой стороны, не перпендикулярной основаниям, есть искомое расстояние, которое можно найти по теореме Пифагора:hello_html_m721894be.png

 

Ответ: 500.

Ответ: 500

18. На рисунке изображена зависимость температуры (в градусах Цельсия) от высоты (в метрах) над уровнем моря.

 

hello_html_22e460d6.png

 

Определите по графику, на сколько градусов температура на высоте 200 метров выше, чем на высоте 650 метров.

Решение.

Температура на высоте 200 м составила 11 градусов, на высоте 650 м — 8 градусов. Следовательно, температура на высоте 200 м на 4 градуса выше температуры на высоте 650 м.

 

Ответ: 4.

Ответ: 4

19. В среднем из каждых 80 поступивших в продажу аккумуляторов 76 аккумуляторов заряжены. Найдите вероятность того, что купленный аккумулятор не заряжен

Решение.

Всего было подготовлено 25 билетов. Среди них 16 двузначных. Таким образом, вероятность взять билет с двухзначным номером равна hello_html_m1b316ff6.png

Ответ: 0,64

20. В фирме «Родник» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле hello_html_m793e449.png, где n — число колец, установленных при рытье колодца. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 5 колец.


Часть 2


Решение.

Подставим в формулу значение переменной hello_html_m7478e92d.png:

 

 

hello_html_m72c88fc6.png

Ответ: 26 500.

Ответ: 26500

21. Решите неравенство hello_html_m7226e6c0.png

Решение.

Умножим на 6, приведём подобные слагаемые и разложим на множители:

 

hello_html_m6638f333.png

 

hello_html_m44305042.png

Произведение двух сомножителей будет меньше нуля, если сомножители имеют разный знак (см. рисунок). Таким образом, получаем ответ:

 

hello_html_m2b85bbc6.png

 

Ответ: hello_html_m18d5124.png

22. Туристы проплыли на лодке от лагеря некоторое расстояние вверх по течению реки, затем причалили к берегу и, погуляв 3 часа, вернулись обратно через 6 часов от начала путешествия. На какое расстояние от лагеря они отплыли, если скорость течения реки равна 3 км/ч, а собственная скорость лодки 9 км/ч?

Решение.

Пусть S км — расстояние, на которое от лагеря отплыли туристы. Зная, что скорость течения реки — 3 км/ч, а скорость лодки — 9 км/ч, найдём, что время, за которое они проплыли туда и обратно, составляет hello_html_2e0b0d31.pngУчитывая, что они были на стоянке 3 часа и вернулись через 6 часов после отплытия можно составить уравнение:

 

hello_html_m39fe17a4.png

Отсюда S = 12 км.

 

Ответ: 12 км.

23.Парабола проходит через точки A(0; – 6), B( – 5; – 1), C(1; – 1). Найдите координаты её вершины.

Решение.

Одна из возможных форм записи уравнения параболы в общем виде выглядит так: hello_html_34b47a52.pngКоордината hello_html_74bdcfd1.pngвершины параболы находится по формуле hello_html_2575aa92.pngКоординату hello_html_2982f396.pngвершины параболы найдётся подстановкой hello_html_m6edb013c.pngв уравнение параболы. Таким образом, задача сводится к нахождению коэффициентов hello_html_m11bc10b0.pngи hello_html_m12116f2b.pngПодставив координаты точек, через которые проходит парабола, в уравнение параболы и получим систему из трёх уравнений:

 

hello_html_4001b813.png

 

Найдём координаты вершины:

 

hello_html_m62684b6d.png

hello_html_7ba59809.png

 

Ответ: (−1; −9).

24.Периметр прямоугольника равен 30, а диагональ равна 14. Найдите площадь этого прямоугольника.

Решение.

Пусть одна из сторон прямоугольника равна  hello_html_m4c4a03f.png. Тогда другая сторона равна  hello_html_m76c90463.png, а площадь  hello_html_m16b42a6f.png. По теореме Пифагора:


hello_html_m58bf78b2.png

 

 

hello_html_m66892c53.png

 

 


Значит, искомая площадь равна 14,5.


Ответ: 14,5.

25. C 5 . hello_html_276ae93f.pngВ параллелограмме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причём СF = АM, BE = DK. Докажите, что EFKM — параллелограмм.

Решение.

hello_html_276ae93f.pngПротивоположные стороны параллелограмма равны и по условию hello_html_fefc116.pnghello_html_24366e74.pngследовательно:

 

hello_html_m6afb3d19.png

 

hello_html_241cb436.png

 

В параллелограмме противоположные углы равны: hello_html_59703afc.png, hello_html_m4ae877df.pngРассмотри треугольники hello_html_m712e590e.pngи hello_html_3e71276b.png, в этих треугольниках hello_html_m5e7e491e.png, hello_html_60876622.png, hello_html_m79f9f90b.pngследовательно эти треугольники равны, а значит, hello_html_a3586aa.png. Аналогично равны треугольники hello_html_2b1486e9.pngи hello_html_m2ae26f9d.pngа следовательно равны отрезки hello_html_m1829c7a6.pngи hello_html_62428174.pngПротивоположные стороны четырехугольника hello_html_4beb0a3c.pngравны, следовательно, по признаку параллелограмма, этот четырёхугольник — параллелограмм.

26. C 6 . Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 10. Окружность радиуса 9 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC







Вариант 7


Часть1


1.Найдите значение выражения hello_html_7c917977.png.

Решение.

Вынесем общий множитель за скобки:

 

hello_html_m30204b8.png

Ответ: −3.

Ответ: -3

2. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу hello_html_m5728b558.png. Какая это точка?

hello_html_m6634cf74.png

1)точкаM 2)точкаN
3)точка
P 4) точка Q

Решение.

Возведём в квадрат числа hello_html_3b2fedc1.png6, 7, 8:

 

hello_html_1f5e41e1.png

 

Число 45 лежит между числами 36 и 49 и находится ближе к числу 49, поэтому hello_html_m5728b558.pngсоответствует точке N.

 

Правильный ответ указан под номером 2.

Ответ: 2

3 Какое из чисел больше: hello_html_796337cc.pngилиhello_html_704d5745.png?

1)hello_html_m70c64776.png
2)
hello_html_m2c2eb93c.png
3)
hello_html_m40f61443.png

Решение.

В силу цепочки неравенств

 

hello_html_md7cab6e.png

 

первое число меньше второго.

 

Правильный ответ указан под номером 1.

Ответ: 1

4.Найдите корни уравнения  hello_html_2d829a30.png.

Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение.

Последовательно получаем:

 

hello_html_mac0036f.png

 

Ответ: -0,25; 0,25.

Ответ: -0,25; 0,25

5.На одном из рисунков изображен график функции hello_html_5f0995a0.png. Укажите номер этого рисунка.

 

1)

hello_html_9020097.png

2)

hello_html_7311dafd.png

3)

hello_html_392e51c9.png

4)

hello_html_14249c8d.png

Решение.

График функции hello_html_5f0995a0.pngпроходит через точку (1; 0). Этому условию удовлетворяет только график, изображённый на рисунке 4.

 

Таким образом, верный ответ указан под номером 4.

Ответ: 4

6. Дана арифметическая прогрессия: 33; 25; 17; … Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

1) hello_html_7c055ee1.png

2) hello_html_2fbe8b3d.png

3) hello_html_5f9bf69d.png

4) hello_html_m37d9025c.png

Решение.

Для члена hello_html_5d4c9956.pngимеем: hello_html_25aa3f4b.pngПо формуле нахождения n-го члена арифметической прогрессии имеем:

 

hello_html_m13cc885b.png

 

Первое число, которое удовлетворяет этому условию, число 6. Следовательно, первым отрицательным членом прогрессии является hello_html_m7eac0cfe.png

Таким образом, правельный ответ указан под номером 1.

 

Ответ: 1.

Ответ: 1

7.Найдите значение выражения  hello_html_m16f7f8d2.png  при  hello_html_m33b5ac0.png.

Решение.

Упростим выражение:

 

hello_html_ma76b516.png

 

Найдем значение выражения при hello_html_402ff180.png

 

hello_html_1d36b6d1.png

 

Ответ: 2,5.

Ответ: 2,5

8.На каком рисунке изображено множество решений неравенства  hello_html_2925c9d9.png ?hello_html_4cf65981.png

1)1 2)2 3)3 4) 4

Решение.

Решим данное неравенство:  hello_html_1a2a16f0.png   ответ к этому неравенству: (−∞; -3]U[hello_html_2b3002a3.png; +∞).

 

Неравенству соответствует второй график.

 

Ответ: 2.

Ответ: 2

9.Сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 300°. Найдите четвертый угол. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Так как сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°, четвертый угол равен 360° − 300° = 60°.

 

Ответ: 60.

Ответ: 60

10.Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5. Угол при вершине, противолежащий основанию, равен 120°. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

Решение.

Воспользуемся теоремой косинусов:

 

hello_html_498ad941.png

 

Здесь hello_html_m4c4a03f.pngи hello_html_685a829e.png— боковые стороны равнобедренного треугольника, hello_html_ma0eed46.png— основание.

Диаметр описанной окружности вычислим по формуле:

 

hello_html_71b1acfe.png

 

 

Ответ: 10.

Ответ: 10

11. hello_html_5c6a8a6d.pngНайдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

Решение.

Площадь трапеции вычисляется по формуле hello_html_m3815959c.pngгде hello_html_m4c4a03f.pngи hello_html_685a829e.png— основания, а hello_html_2a093b83.png— высота трапеции.

 

hello_html_4ecbd4fa.png

 

Ответ: 270.

Ответ: 270

12. hello_html_61dfb304.pngНайдите тангенс угла С треугольника ABC , изображённого на рисунке.

Решение.

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

 

hello_html_m761dc64e.png

 

Ответ: 0,75.

Ответ: 0,75

13. Какие из следующих утверждений верны?

1) Около любого правильного многоугольника можно описать не более одной окружности.

2) Центр окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 3, 4, 5, находится на стороне этого треугольника.

3) Центром окружности, описанной около квадрата, является точка пересечения его диагоналей.

4) Около любого ромба можно описать окружность

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Около любого правильного многоугольника можно описать не более одной окружности.»— верно, около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

2) «Центр окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 3, 4, 5, находится на стороне этого треугольника.» — верно, треугольник с такими сторонами является прямоугольным, таким образом, центр окружности лежит на гипотенузе.

3) «Центром окружности, описанной около квадрата, является точка пересечения его диагоналей.» — верно, диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам, таким образом, центром окружности является точка пресечения диагоналей.

4) «Около любого ромба можно описать окружность.» — неверно, окружность можно описать только вокруг выпуклого многоугольника у которого равны все углы и стороны.

 

Ответ: 1; 2; 3.

Ответ: 1; 2; 3

14. На диаграмме представлено распределение количества пользователей некоторой социальной сети по странам мира. Всего в этой социальной сети 9 млн пользователей.

Какое из следующих утверждений неверно?

 

hello_html_57b571d4.png

1) Пользователей из Украины больше, чем пользователей из Беларуси.
2) Пользователей из Украины меньше четверти общего числа пользователей.
3) Пользователей из Беларуси больше, чем пользователей из Эстонии.
4) Пользователей из России больше 8 миллионов.

Решение.

Проверим каждое утверждение:

1) Из диаграммы видно, что число пользователей из Украины больше, чем пользователей из Беларуси. Первое утверждение верно.

2) Из диаграммы видно, что пользователей из Украины меньше четверти общего числа пользователей. Второе утверждение верно.

3) Из диаграммы видно, что пользователей из Беларуси больше, чем пользователей из "других стран", а значит, и больше, чем пользователей из Эстонии. Третье утверждение верно.

4) Из диаграммы видно, что пользователей из России примерно две трети от общего числа пользователей. Всего пользователей 9 млн, значит пользователей из России около 6 млн, что меньше 8 млн. Четвёртое утверждение неверно.

 

Неверным является утверждение под номером 4.

Ответ: 4

15.На графике показано, сколько человек зарегистрировалось с 25 декабря 2012 года по 13 февраля 2013 года в качестве участников конференции. По горизонтали указаны числа месяцев, а по вертикали — количество человек.

 

hello_html_6faf9799.png

 

Во сколько раз возросло количество зарегистрировавшихся с 4 января по 3 февраля?

Решение.

Из графика видно, что число зарегестрировавшихся на4 января состваляло 30 человек, а 3 февраля — 270. Следовательно, число зарегистрировавшихся возросло в 270 : 30 = 9 раз.

 

Ответ: 9.

Ответ: 9

16. На пост председателя школьного совета претендовали два кандидата. В голосовании приняли участие 120 человек. Голоса между кандидатами распределились в отношении 3:5. Сколько голосов получил победитель?

Решение.

Пусть x голосов приходится на одну часть, тогда 5x приходится на второго кандидата, а 3x - на первого. Зная, что в голосовании участвовало 120 человек составим уравнение:

 

hello_html_58c4a38e.png

 

Таким образом, победитель получил:

 

 

hello_html_m59dce553.png

.

Ответ: 75.

Ответ: 75

17. Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 10 мин?

Решение.

Часовыми делениями циферблат разбит на 12 круговых секторов. Угол каждого из них равен 360° : 12 = 30°. Между минутной и часовой стрелкой два часовых деления. Они образуют угол 60°.

 

Ответ: 60.

Ответ: 60

18. Рок-магазин продаёт значки с символикой рок-групп. В продаже имеются значки пяти цветов: чёрные, синие, зелёные, серые и белые. Данные о проданных значках представлены на столбчатой диаграмме.

 hello_html_65953f8d.png

Определите по диаграмме, значков какого цвета было продано меньше всего. Сколько примерно процентов от общего числа значков составляют значки этого цвета?

1) 5 2) 10 3) 15 4) 20

Решение.

Из диаграммы видно, что было продано меньше всего значков зелёного цвета в количестве 150 штук. Определим сколько процентов от общего числа составляют зелёные значки:

 

hello_html_70994499.png

 

Значит зелёных значков примерно 15% от общего числа.

 

Ответ: 3.

Ответ: 3

19. На тарелке лежат пирожки, одинаковые на вид: 4 с мясом, 8 с капустой и 3 с яблоками. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с яблоками

Решение.

Всего было подготовлено 25 билетов. Среди них 16 двузначных. Таким образом, вероятность взять билет с двухзначным номером равна hello_html_m1b316ff6.png

Ответ: 0,64

20. Из закона всемирного тяготения

hello_html_4f299438.png

 

выразите массу hello_html_m2db42fb7.pngи найдите её величину (в килограммах), если hello_html_19f9378a.pnghello_html_4673f5a1.pnghello_html_129541e2.pngи гравитационная постоянная hello_html_39e1992c.png


Часть 2


Решение.

Выразим массу: hello_html_48720cbf.pngПодставим значения переменных:

 

hello_html_60d521e8.png

 

Ответ: 1000.

Ответ: 1000

21. Решите неравенство hello_html_m1221ddbc.png


Решение.

Умножим на 10, приведём подобные слагаемые и разложим на множители:

 

hello_html_37a66191.png

 

hello_html_m3c38e670.png

Произведение двух сомножителей будет меньше нуля, если сомножители имеют разный знак (см. рисунок). Таким образом, получаем ответ:

 

hello_html_77af6e43.png

 

Ответ: hello_html_4768e449.png

22. Железнодорожный состав длиной в 1 км прошёл бы мимо столба за 1 мин., а через туннель (от входа локомотива до выхода последнего вагона) при той же скорости — за 3 мин. Какова длина туннеля (в км)?

Решение.

Поезд проходит через туннель за 3 минуты, при этом за одну минуту поезд проходит мимо выхода из туннеля, следовательно, от входа локомотива в туннель до выхода проходит 2 минуты. Мимо столба поезд длиной 1 км проходит за 1 минуту, поэтому его скорость равна 1 км/мин. Значит, за 2 минуты поезд пройдет 2 км, поэтому длина туннеля равна 2 км.


Ответ: 2.

23.Постройте график функции hello_html_m4245f46d.pngи определите, при каких значениях hello_html_ma0eed46.pngпрямая hello_html_7170af7.pngимеет с графиком ровно три общие точки.


Решение.

Раскрывая модуль, получим, что график функции можно представить следующим образом:

 

hello_html_60b577a5.png

 

Этот график изображён на рисунке:

 

hello_html_mad7523f.png

 

Из графика видно, что прямая hello_html_7170af7.pngимеет с графиком функции ровно три общие точки при hello_html_2023b91a.pngи hello_html_m31ce1646.png

 

Ответ: 0; 4.

24. Диагонали hello_html_m21d54e.pngи hello_html_m2cce602b.pngтрапеции hello_html_m11327b05.pngпересекаются в точке hello_html_m36fa57aa.png. Площади треугольников hello_html_m598de910.pngи hello_html_5a6fdb51.pngравны соответственно hello_html_m1ac0997e.pngи hello_html_31245d90.png. Найдите площадь трапеции.


Решение.

hello_html_m24c82770.pngЗаметим, что площади двух треугольников, общей вершиной которых является точка пересечения диагоналей трапеции, а основаниями — боковые стороны, равны. Это следует, например, из того, что площади треугольников hello_html_218973f.pngи hello_html_388e0bd9.pngравны (поскольку эти треугольники имеют общее основание hello_html_7f7deac7.png, и их высоты, проведенные к этому основанию, равны как высоты трапеции), а hello_html_m25470237.png. По условию, hello_html_m3f5191b2.png, поэтому hello_html_7f7deac7.pngи hello_html_m28da1fe5.pngявляются не боковыми сторонами, а основаниями трапеции. Тогда треугольники hello_html_m598de910.pngи hello_html_5a6fdb51.pngподобны по двум углам, и отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия hello_html_3e0d344e.png. Поэтому hello_html_m4fa60bfc.png. Поскольку треугольники hello_html_4c6d4fd8.pngи hello_html_4eba01b9.pngимеют общую высоту, проведённую из вершины hello_html_102cce21.png, то отношение их площадей равно отношению их оснований, т. е. hello_html_m7f2492b5.png. Значит, hello_html_m324b653c.png. Поэтому и hello_html_m6b7b6e7a.png. Но тогда hello_html_785c0cfb.png.


Ответ:
hello_html_34fd79c6.png.

25.В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника BOC.


Решение.

hello_html_54c27a2f.pngПроведём высоту hello_html_m4617e4fe.pngтак, чтобы она проходила через точку hello_html_m6c3344c7.pngУглы hello_html_m3f51afac.pngи hello_html_52f16f83.pngравны друг другу как вертикальные. Вспомним также, что диагонали делятся точкой пересечения пополам, следовательно, hello_html_m5489be1d.pngРассмотрим треугольники hello_html_m3f51afac.pngи hello_html_52f16f83.png, они прямоугольные, имеют равные углы и равные гипотенузы, следовательно эти треугольники равны, а значит равны отрезки hello_html_66c2b1fa.pngи hello_html_1abefdca.png. Таким образом, hello_html_m64f5b399.png

Площадь параллелограмм равна hello_html_3e3cd8e9.pngа площадь треугольника hello_html_40251a43.png

 

hello_html_5a24b963.png

 

26. Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 10. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.




















Вариант 8


Часть1


1. Найдите значение выражения   hello_html_6ebfc1e0.png.

Решение.

Найдем значение выражения:

hello_html_301c54f.png

 

Ответ: 81.

Ответ: 81

2. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу  hello_html_m36070369.png Какая это точка?

hello_html_m2554f2c3.png

1)A 2)B 3)C 4) D


Решение.

Приведём все дроби к одному знаменателю. Получим:

 

hello_html_4b36a4d5.png

 

Поскольку hello_html_m12b072d2.pngточка С соответствует числу hello_html_m36070369.png

 

Правильный ответ указан под номером 3.

Ответ: 3

3. Расположите в порядке возрастания числа: hello_html_55fc6bae.png; hello_html_3c5b49a5.png ; 6.

 

1)hello_html_7168de13.png 2)hello_html_ea89f2.png
3)
hello_html_5bb1cc31.png 4) hello_html_m49e9d8a8.png

Решение.

Возведём каждое из чисел в квадрат:

hello_html_m6a15d684.png

Сравним квадраты заданных чисел: hello_html_m6d304dd3.png

Следовательно, hello_html_6283af06.png

 

Правильный ответ указан под номером 2.

Ответ: 2

4.Найдите корни уравнения  hello_html_m5a83a4d.png.

Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение.

Последовательно получаем:

 

hello_html_c51c774.png

 

Ответ: −4,5.

Ответ: -4,5

5.Найдите значение hello_html_m4c4a03f.pngпо графику функции hello_html_18c84a22.png, изображенному на рисунке.

 

hello_html_16ca5799.png

 

Решение.

Парабола пересекает ось ординат в точке с ординатой 1, поэтому hello_html_m1eba12a8.pngТем самым, уравнение параболы принимает вид hello_html_587a7e0.pngПарабола проходит через точки (1; 3) и (−2; 3). Отсюда имеем:

 

hello_html_m436c3347.png

 

Ответ: hello_html_36012573.png

Ответ: 1

6. Арифметическая прогрессия hello_html_m31cce8c6.pngзадана формулой n-го члена hello_html_m1184a6ad.pngи известно, что hello_html_m7d24d17a.png. Найдите пятый член этой прогрессии.

Решение.

Найдём разность прогрессии: hello_html_m34720f6c.png

Тогда для пятого члена прогрессии hello_html_7c83bb1e.png

 

Ответ: 11.

Ответ: 11

7. Упростите выражение hello_html_47f19903.pngи найдите его значение при hello_html_1348cf04.png. В ответ запишите полученное число.

Решение.

Упростим выражение:

 

hello_html_m14721590.png

 

Найдем значение выражения при hello_html_7fa5824b.png

 

hello_html_1004dd81.png

 

Ответ: 4.

Ответ: 4

8.Решите неравенство hello_html_m3ed8e3c2.png.

1)hello_html_6d754c44.png 2)hello_html_6dad86ab.png
3)
hello_html_5997b436.png 4) hello_html_m6fa59ebf.png

Решение.

Решим неравенство методом интервалов:

hello_html_m55482612.pngПроизведение равно нулю, если хотя бы один из его сомножителей равен нулю.

hello_html_67ae9d6a.png

Правильный ответ указан под номером 2.

Ответ: 2

9.Разность углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 40°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Пусть меньший угол равен hello_html_m1728f1bf.pngтогда больший угол равен hello_html_70489428.png

Поскольку сумма односторонних углов равна 180°, имеем: hello_html_mfe628ac.png

Таким образом, наименьший угол параллелограмма равен 70°.

 

Ответ: 70.

Ответ: 70

10. hello_html_1353b2eb.pngНайдите  hello_html_4a6d1fe9.png, если градусные меры дуг  hello_html_151e4b13.png  и  hello_html_m28da1fe5.png  равны 152° и 80° соответственно.

Решение.

Так как вписанный угол равен половине дуги на которую он опирается, имеем hello_html_m3e728ed.png, а hello_html_185a65a2.png. В треугольнике ABC , hello_html_m75a3e088.png.

 

Ответ: 64.

Ответ: 64

11. Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна hello_html_m4d732354.png, а угол между ней и одним из оснований равен 135°. Найдите площадь трапеции.

Решение.

Пусть дана трапеция ABCD, где AD = 18, BC = 12, AB = hello_html_m4d732354.png, а hello_html_m21f80fe8.pngОпустим перпендикуляр BH на сторонуAD. Угол ABH равен: hello_html_1a945ace.pngТаким образом треугольник ABH является прямоугольным и равнобедренным. Найдем высоту BK:

 

hello_html_221186fd.png

Площадь трапеции равна полусумме оснований на высоту:

 

hello_html_81b1db9.png

 

Ответ: 60.

Ответ: 60

12. hello_html_m253d5dec.pngНайдите тангенс угла AOB, изображенного на рисунке.

Решение.

Опустим перпендикуляр BH на отрезок OA и рассмотрим прямоугольный треугольник OBH:

 

hello_html_54ac9f31.png

 

Ответ: 2.

Ответ: 2

13.Какие из следующих утверждений верны?

 

1) В треугольнике ABC, для которого hello_html_3f0b4ade.png, hello_html_m53bf44d.png, hello_html_m37d61668.png, сторона BC — наименьшая.

2) В треугольнике ABC, для которого AB = 4, BC = 5, AC = 6, угол B — наибольший.

3) Внешний угол треугольника больше каждого внутреннего угла.

4) Треугольник со сторонами 1, 2, 3 не существует.

 

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «В треугольнике ABC, для которого hello_html_3f0b4ade.png, hello_html_m53bf44d.png, hello_html_m37d61668.png, сторона BC — наименьшая.» — верно, в треугольнике напротив меньшего угла лежит меньшая сторона.

2) « В треугольнике ABC, для которого AB = 4, BC = 5, AC = 6, угол hello_html_m7d480e83.png — наибольший.» — верно, в треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

3) «Внешний угол треугольника больше каждого внутреннего угла.» — неверно, внешний угол треугольника может быть больше внутреннего угла треугольника, например в случае тупоугольного треугольника.

4) «Треугольник со сторонами 1, 2, 3 не существует.» — верно, каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

 

Ответ: 1; 2; 4.

Ответ: 1; 2; 4

14.

hello_html_589515f3.pngУчитель математики подвел итоги контрольной работы по алгебре среди учащихся 9-х классов. Результаты представлены на диаграмме. Сколько примерно учащихся получили отметку «4» и «5», если всего в этих классах учатся 200 учащихся?

1) 120
2) 50
3) 60
4) 140

Решение.

Определим доли учащихся, получивших оценки «4» и «5» по диаграмме. Оценку «5» получила примерно половина учащихся, что составляет 100 человек. Доля получивших «4» составляет примерно половину от оставшихся учащихся то есть 50 человек. Таким образом, оценки «4» и «5» получило около 150 человек. Наиболее близкий вариант ответа — 140 человек.

 

Правильный ответ указан под номером 4.

Ответ: 4

15. Мощность отопителя в автомобиле регулируется дополнительным сопротивлением, которое можно менять, поворачивая рукоятку в салоне машины. При этом меняется сила тока в электрической цепи электродвигателя – чем меньше сопротивление, тем больше сила тока и тем быстрее вращается мотор отопителя. На рисунке показана зависимость силы тока от величины сопротивления. На оси абсцисс откладывается сопротивление (в Омах), на оси ординат — сила тока в Амперах. Ток в цепи электродвигателя уменьшился с 8 до 6 Ампер. На сколько Омов при этом увеличилось сопротивление цепи?

 

 

hello_html_m7ee07fca.png

Решение.

Из графика видно, что при уменьшении тока с 8 до 6 Ампер, сопротивление увеличилось на 0,5Ом.

 

Ответ: 0,5.

Ответ: 0,5

16.Стоимость проезда в пригородном электропоезде составляет 198 рублей. Школьникам предоставляется скидка 50%. Сколько рублей стоит проезд группы из 4 взрослых и 12 школьников?

Решение.

Стоимость поездки составляет: hello_html_m236ff20f.pngруб.

 

Ответ: 1980.

Ответ: 1980

17.На какой угол (в градусах) поворачивается минутная стрелка пока часовая проходит hello_html_m3fc5ae57.png?

Решение.

Минутная стрелка движется в 12 раз быстрее часовой, поэтому она пройдёт 24°.

 

Примечание.

Существенно, что циферблат предполагается 12-часовым.

 

Ответ: 24.

Ответ: 24

18.На диаграмме представлены семь крупнейших по площади территории (в млн км2) стран мира.hello_html_m11106a63.pngКакое из следующих утверждений верно?

 

1) Площадь Австралии больше площади Китая.

2)Площадь России больше площади Бразилии более чем вдвое.

3) Площадь территории Индии составляет 4 млн км2

4) Аргентина входит в семерку крупнейших по площади территории стран мира.

 

В ответе запишите номер выбранного утверждения.

Решение.

Обратим внимание на второй вариант ответа:

Очевидно, что площадь России больше площади Бразилии более чем вдвое.

Ответ: 2.

Ответ: 2

19.В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2 спортсмена из Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из России.

Решение.

-----------------

Дублирует 315161

 

Всего спортсменов 13 + 2 + 5 = 20 человек. Поэтому вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из России равна hello_html_6821d66f.png

 

Ответ: 0,65.

Ответ: 0,65

20.Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия (t °C) в шкалу Фаренгейта (t °F), пользуются формулой F = 1,8C + 32 , где C — градусы Цельсия, F — градусы Фаренгейта. Какая температура по шкале Фаренгейта соответствует 111° по шкале Цельсия?


Часть 2


Решение.

Подставим в формулу значение переменной hello_html_45d7fb01.png:

 

hello_html_43d5b265.png

 

Ответ: 231,8.

Ответ: 231,8

21.Сократите дробь hello_html_6b24a0c5.png, если hello_html_62191c83.png.

Решение.

Имеем:

hello_html_43fb6ec1.png

 

 


Ответ: 1.

22. Найдите целое число, если из двух следующих утверждений верно только одно: 1) hello_html_m1fde83c7.png; 2) hello_html_m638cc8c5.png.

Решение.

Если верно утверждение 1, то верно и утверждение 2, а это противоречит тому, что из этих двух утверждений верно только одно. Следовательно, верно только утверждение 2. Тогда hello_html_138e5ad2.png. Этому неравенству удовлетворяет только одно целое число: hello_html_m236d572c.png.


Ответ: −17.

23.При каких отрицательных значениях hello_html_3e0d344e.pngпрямая hello_html_41fe2107.pngимеет с параболой hello_html_6887d64b.pngровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки и постройте данные графики в одной системе координат.

Решение.

Для того, чтобы прямая и парабола имели одну общую точку необходимо, чтобы дискриминант равнялся нулю. Дискриминант равен: hello_html_m8696875.pngОн обращается в ноль при hello_html_m504c72cf.pngили hello_html_506f1a63.pngПо условию необходимо отрицательное hello_html_3e0d344e.png, таким образом, hello_html_41b5c671.pngПостроим графики функций:

hello_html_m3eeffa8c.png

Найдем точку пересечения параболы с прямой:

 

hello_html_5701535b.pngтаким образом hello_html_m77fcfae9.png

Ответ: При k=-2; Парабола пересекает прямую в точке hello_html_m7c6ff771.png

24.В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания ВС и вдвое больше боковой стороны CD. Угол ADC равен 60°, сторона AB равна 2. Найдите площадь трапеции.

Решение.

hello_html_m5054bd97.pngОпустим перпендикуляры BH и CK на большее основания AD. По условию hello_html_m7a5ba59.pngтогда hello_html_138436af.pngКатет, лежащий напротив в угла в hello_html_m5957d068.pngравен половине гипотенузы, тогда hello_html_m3bb07e53.pngТак как hello_html_m3320ae97.pngпо условию, а HK=x, то hello_html_m9b28b86.pngТреугольники ABH и DCK равны по двум катетам, таким образом, трапеция ABCD- равнобедренная. Таким образом, АВ=2, AD=4, BH=hello_html_m4fbaca24.png. Площадь трапеции равна полусумме оснований на высоту, имеем:

 

hello_html_mb96a97d.png

Ответ: hello_html_698e2a00.png

25 В остроугольном треугольнике ABC точки A, C, центр описанной окружности O и точка пересечения высот H лежат на одной окружности. Докажите, что угол ABC равен 60°

Решение.

hello_html_5152c009.png

В треугольнике ABC имеем hello_html_1f4f4d64.pngа hello_html_m643d75ff.png

Таким образом, hello_html_m546a0b18.pngзначит, hello_html_118132d6.png

26. Так как биссектриса острого угла hello_html_m72b00d28.pngпрямоугольного треугольника hello_html_m65f4a6e3.pngне может быть перпендикулярна hello_html_m28da1fe5.png, то биссектриса угла hello_html_m72b00d28.pngи серединный перпендикуляр к hello_html_m28da1fe5.pngимеют ровно одну общую точку.








Вариант 9


Часть1


1. Укажите выражения, значения которых равны 0,25.

Номера запишите в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

1) hello_html_m1d11ae17.png

2) hello_html_2067f398.png

3) hello_html_m8f91c2.png

4) hello_html_m2d233981.png

Решение.

Вычислим значение каждого выражения:

 

hello_html_65690178.png

hello_html_m7f0e6538.png

hello_html_m4f71f95c.png

hello_html_77b7e2fd.png

 

Ответ 13.

Ответ: 13

2. Известно, что hello_html_m2dd80a91.pngВыберите наименьшее из чисел.

1)hello_html_4bfc0f25.png 2)hello_html_m5b4daf8f.png 3)hello_html_m7cb3ac81.png 4) hello_html_433aae55.png

Решение.

По условию оба числа отрицательны, причём hello_html_m169fd571.png.

Поэтому числа hello_html_m7cb3ac81.pngи hello_html_6acff33.pngположительны, а числа hello_html_m46dfd163.pngи hello_html_m2df8a445.png— отрицательны.

Рассмотрим предложенные варианты ответа и выберем наименьшее число:

1) Заметим, что числа hello_html_6acff33.pngи hello_html_m1337d8b.png, а числа hello_html_m46dfd163.pngи hello_html_m49ddba13.png, так как числа hello_html_m9ca0d5f.pngи hello_html_685a829e.pngпо условию отрицательны.

2) Верно неравенство hello_html_m611d7f0e.png.

3) Так как по условию hello_html_m4cd24f86.pngПоэтому hello_html_m46dfd163.png— наименьшее из заданных чисел.

 

Правильный ответ указан под номером 1.

Ответ: 1

3.Какое из следующих выражений равно hello_html_24d1498e.png?

 

1)hello_html_m2c72b58c.png 2)hello_html_m71a5a0b1.png 3)hello_html_m369103cc.png 4) hello_html_38bd3bee.png

Решение.

При делении степеней с одинаковыми основаниями их показатели вычитаются. Таким образом, правильный ответ под номером 1.

Ответ: 1

4.Найдите корни уравнения  hello_html_c894a6d.png.

Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение.

Разложим на множители левую часть уравнения:

 

hello_html_1b1216bd.png

 

Ответ: −7; 0.

Ответ: -7; 0

5.На рисунке изображён график квадратичной функции y = f(x).

Какие из следующих утверждений о данной функции неверны? Запишите их номера в порядке возрастания.

 

hello_html_m5fcd30a5.png

 

1) Функция возрастает на промежутке (−∞;  −1].

2) Наибольшее значение функции равно 8.

3) f(−4) ≠ f(2).

Решение.

Определим вид графика каждой из функций:

A) hello_html_28b17dbe.pngуравнение параболы, ветви которой направлены вниз.

Б) hello_html_11819255.pngуравнение гиперболы, ветви которой лежат во II и IV четвертях.

В) hello_html_29ab19b5.pngуравнение прямой, которая проходит через точки (0; −1) и (3; 0).

Таким образом, искомое соответствие: A — 1, Б — 4, В — 2.

 

Ответ: 142.

Ответ: 142

6. Арифметическая прогрессия hello_html_m31cce8c6.pngзадана условиями: hello_html_972be7e.png. Найдите hello_html_m286d60da.png

Решение.

Определим разность арифметической прогрессии:

 

hello_html_491e8c7d.png

 

Член арифметической прогрессии с номером hello_html_3e0d344e.pngможет быть найден по формуле

 

hello_html_m5f3df3d7.png

 

Необходимо найти hello_html_m2a15a43c.png, имеем:

 

hello_html_4eda2971.png

 

 

Ответ: 32.

Ответ: 32

7.Упростите выражение  hello_html_m791a6b84.png  и найдите его значение при  hello_html_me558823.png. В ответе запишите найденное значение.

Решение.

Упростим выражение:

 

hello_html_mf98641d.png

 

Найдем его значение при hello_html_me558823.png:

 

hello_html_70545d15.png

 

Ответ: 6.

Ответ: 6

8.Решите неравенство hello_html_m78ca49c9.png.

1)hello_html_60b08a.png 2)hello_html_7239b46c.png
3)
hello_html_meaf0126.png 4) hello_html_m6fa59ebf.png

Решение.

Решим неравенство:

hello_html_m3c8a2fa1.png.

 

Произведение двух сомножителей будет больше нуля, если оба сомножителя имеют одинаковый знак.

hello_html_m38edb14f.png

Правильный ответ указан под номером 1.

Ответ: 1

9. \hello_html_m17088417.pngУглы, отмеченные на рисунке одной дугой, равны. Найдите угол α. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Углы 1 и 2 равны как вертикальные, поэтому hello_html_m45d21348.png

 

Ответ: 40.

Ответ: 40

10. Радиус  hello_html_7eb5e0b7.png  окружности с центром в точке  hello_html_m36fa57aa.png  пересекает хорду  hello_html_m21d54e.png  в точке  hello_html_m237e6c06.png  и перпендикулярен ей. Найдите длину хорды  hello_html_m21d54e.png, если  hello_html_m2cce602b.png = 1 см, а радиус окружности равен 5 см.hello_html_m675c0649.png

Решение.

Найдем отрезок DO: hello_html_m7b08e6b.png. Так как OB перпендикулярен AC, то треугольник AOD — прямоугольный. По теореме Пифагора имеем: hello_html_m22518f72.png. Треугольник AOC — равнобедренный так как AO = OC = r, тогда AD = DC. Таким образом, hello_html_3db3d3b5.png.

 

Ответ: 6.

Ответ: 6

11. Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 6, а тангенс угла между ней и одним из оснований равен hello_html_497ac5c8.png. Найдите площадь трапеции.

Решение.

Пусть дана трапеция ABCD, где AD = 18, BC = 12, AB = 6, а hello_html_2760911c.pngОпустим перпендикуляр BH на сторону AD. Найдем синус угла. В прямоугольном треугольнике тангенс определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему. Имеем:

 

hello_html_3d584063.png

Таким образом, hello_html_4b82dcfc.png, где x — число.

По теореме Пифагора гипотенуза этого прямоугольного треугольника равна:

 

hello_html_m1a0649a8.png

.

В прямоугольном треугольнике синус определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе. Имеем:

 

hello_html_94508d0.png

Найдем высоту BK:

 

hello_html_m3d5c9896.png

Площадь трапеции равна полусумме оснований на высоту:

 

hello_html_746681ad.png

Ответ: 30.

Ответ: 30

12. hello_html_m5073c226.pngНа рисунке изображен ромб hello_html_m11327b05.png. Используя рисунок, найдите hello_html_5a34279d.png.

Решение.

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему. Треугольник OBC — прямоугольный, поэтому hello_html_71ce0719.png.

 

Ответ: 0,75.

Ответ: 0,75

13.Какие из следующих утверждений верны?

1) Окружность имеет бесконечно много центров симметрии.

2) Прямая не имеет осей симметрии.

3) Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии.

4) Квадрат не имеет центра симметрии.

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Окружность имеет бесконечно много центров симметрии.»— неверно, плоская фигура обладает

центральной симметрией, если она симметрична сама себе относительно центра

2) «Прямая не имеет осей симметрии.» — неверно, прямая имеет бесконечное число осей симметрии.

3) «Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии.» — верно, каждая ось симметрии любого правильного многоугольника с нечетным числом сторон проходит через вершину и середину противоположной стороны.

4) «Квадрат не имеет центра симметрии.» — неверно, центр симметрии квадрата является точка пересечения диагоналей.

 

Ответ: 3.

Ответ: 3

14.В таблице представлены цены (в рублях) на некоторые товары в трёх магазинах:

hello_html_5c32d880.png

Лариса Кузьминична хочет купить 0,4 кг орехов, 5 плиток шоколада и 1,5 кг зефира. В каком магазине стоимость такой покупки будет наименьшей, если в «Камее» проходит акция: скидка 20% на орехи и зефир, а в «Машеньке» скидка 10% на все продукты?

1)В«Машеньке»
2)В«Лидии»
3)В«Камее»
4) Во всех магазинах стоимость покупки будет одинаковой

Решение.

Найдем стоимость покупки в каждом магазине и выберем наименьшую.

1) В магазине «Машенька» стоимость покупки без учета скидки будет равна:

 

600 · 0,4 + 5 · 45 + 1,5 · 144 = 681 рубль.

 

С учетом 10% скидки на все товары стоимость будет равна 612 руб. 90 коп.

2) В магазине «Лидия» стоимость покупки будет равна: 585 · 0,4 + 5 · 65 + 1,5 · 116 = 733 рубля.

3) В магазине «Камея» стоимость покупки с учетом 20% скидок на орехи и зефир будет равна:

 

660 · (1−0,2) · 0,4 + 53 · 5 + 225 · (1−0,2) · 1,5 = 746 руб. 20 коп.

 

Таким образом, наименьшая цена с учетом всех имеющихся скидок в магазине «Машенька».

 

Правильный ответ указан под номером 1.

Ответ: 1

15. На рисунке изображен график изменения силы тока при

hello_html_17906c64.png подключении цепи, содержащей реостат, к источнику тока. По вертикальной оси откладывается сила тока hello_html_m716f98d3.png(в A), по горизонтальной — время hello_html_mf2b33a1.png(в сек). По рисунку определите силу тока через 6 секунд с момента подключения данной цепи.Решение.По графику видно, что через 6 секунд сила тока достигла значения в 4 ампера. 

Ответ: 4.

Ответ: 4




Решение.

По графику видно, что 21 ноября курс доллара США к рублю был равен 31,4218.

 

Ответ: 31,4218.

Ответ: 31,4218

16. В начале года число абонентов телефонной компании «Север» составляло 200 тыс. чел., а в конце года их стало 210 тыс. чел. На сколько процентов увеличилось за год число абонентов этой компании?

Решение.

За год добавилось 210 − 200 = 10 тыс. абонентов, что составляет 10 : 200 = 0,05 или 5 %.

Ответ: 5.

Ответ: 5

17. hello_html_m15b25c69.pngВ 60 м одна от другой растут две сосны. Высота одной 31 м, а другой — 6 м. Найдите расстояние (в метрах) между их верхушками.

Решение.

hello_html_m15b25c69.pngДве сосны являются основаниями прямоугольной трапеции. Не перпендикулярная основаниям боковая сторона является расстоянием между верхушками. Найдем это расстояние по теореме Пифагора: hello_html_62cd2489.png

 

Ответ: 65.

Ответ: 65

18. На диаграмме показано количество SMS, присланных слушателями за каждый час четырёхчасового эфира программы по заявкам на радио. Определите, на сколько больше сообщений было прислано за последние два часа программы по сравнению с первыми двумя часами этой программы.

hello_html_m25aa7885.png


Решение.

Из диаграмм видно, что наименьшая доля земель сельскохозяйственного назначения в Дальневосточном ФО. Таким образом, верный ответ указан под номером 4.

Ответ: 4

19. На экзамене 25 билетов, Сергей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.


Решение.

--------------

Дублирует 315140

 

Сергей выучил 25 − 3 = 22 вопроса. Поэтому вероятность того, что ему попадётся выученный билет равна hello_html_44bc3916.png

 

Ответ: 0,88.

Ответ: 0,88

20. Период колебания математического маятника  hello_html_m1d0a2499.png  (в секундах) приближенно можно вычислить по формуле  hello_html_m7c86c232.png, где  hello_html_2a3c476d.png — длина нити (в метрах). Пользуясь данной формулой, найдите длину нити маятника, период колебаний которого составляет 7 с


Часть 2


Решение.

Выразим длину маятника:

hello_html_m25f5ec84.png

Подставляя, получаем:

 

hello_html_2b08ecaa.png

 

Ответ: 12,25.

Ответ: 12,25

21.Упростите выражение   hello_html_52fa3b93.png.


Решение.

Имеем:

hello_html_m49a44690.png.

 


Ответ: 3.

22.Железнодорожный состав длиной в 1 км прошёл бы мимо столба за 1 мин., а через туннель (от входа локомотива до выхода последнего вагона) при той же скорости — за 3 мин. Какова длина туннеля (в км)?


Решение.

Поезд проходит через туннель за 3 минуты, при этом за одну минуту поезд проходит мимо выхода из туннеля, следовательно, от входа локомотива в туннель до выхода проходит 2 минуты. Мимо столба поезд длиной 1 км проходит за 1 минуту, поэтому его скорость равна 1 км/мин. Значит, за 2 минуты поезд пройдет 2 км, поэтому длина туннеля равна 2 км.


Ответ: 2.

23.Постройте график функций hello_html_m498c13e8.pngи определите, при каких значениях hello_html_ma0eed46.pngпрямая hello_html_7170af7.pngимеет с графиком одну общую точку.


Решение.

hello_html_7648443f.pngРазложим числитель на множители:

hello_html_2f4b7590.png.

 

При  hello_html_m140ac294.png исходная функция принимает вид hello_html_7ead6ae1.png, её график — парабола, из которой выколоты точки (−3; 6) и (2; −4).

Прямая hello_html_7170af7.pngимеет с графиком ровно одну общую точку либо тогда, когда проходит через вершину параболы, либо тогда, когда пересекает параболу в двух точках, одна из которых — выколотая.

Вершина параболы имеет координаты (0,5; −6,25).

Поэтому hello_html_ma0eed46.png= −6,25, hello_html_ma0eed46.png= −4 или hello_html_ma0eed46.png= 6.

 

Ответ: −6,25; −4; 6.

24.Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а периметр равен 56.

Найдите площадь трапеции.


Решение.

hello_html_m511136ae.png

Трапеция равнобедренная, значит,

 

hello_html_4ef2db69.pngи hello_html_206f27f9.png

Тогда,

 

hello_html_m7f1c4ed1.png

 

Ответ: hello_html_11cc77f.png

25 В параллелограмме KLMN точка Е — середина стороны LM. Известно, что EK = EN. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.


Решение.

hello_html_3b82d735.pngТреугольники KLE и MEN равны по трём сторонам, значит, углы KLE и NME равны. Так как их сумма равна 180°, то углы равны 90°. Такой параллелограмм — прямоугольник.

26. Диагонали четырёхугольника  hello_html_m11327b05.png, вершины которого расположены на окружности, пересекаются в точке  hello_html_27edd51d.png. Известно, что  hello_html_4a6d1fe9.png = 72°,  hello_html_18448b5c.png = 102°,  hello_html_m372df5f3.png = 110°. Найдите  hello_html_m389f8fc8.png.








Вариант 10


Часть1


1. Найдите значение выражения hello_html_mdf00dd8.png. Ответ округлите до десятых

Решение.

Найдём значения выражений:

hello_html_m7b3bd259.png

 

Таким образом, верные выражения указаны под номерами 1, 3, 4.

 

Ответ: 134.

Ответ: 134|1,3,4

2. О числах hello_html_m4c4a03f.png и hello_html_ma0eed46.png известно, что hello_html_77eec3d1.png. Какое из следующих неравенств неверно?

1)hello_html_m1e114299.png
2)
hello_html_20cafc84.png
3)
hello_html_43f64f36.png
4)
hello_html_m1bfc9623.png

Решение.

Проверим все варианты ответа:

1) hello_html_mfd3138c.png— верно,

2) hello_html_553bc983.png— верно,

3) hello_html_m27826c2f.png— верно,

4) hello_html_705f63c.png— неверно.

 

Неверным является неравенство 4.

Ответ: 4

3. В какое из следующих выражений можно преобразовать дробь  hello_html_m9c0e982.png ?

1)hello_html_m2a600bf2.png 2)hello_html_606d9421.png 3)hello_html_83d6cde.png 4) hello_html_3768f933.png

Решение.

Упростим дробь:

hello_html_2f33d92f.png

 

Правильный ответ указан под номером 3.

Ответ: 3

4. Найдите корни уравнения  hello_html_42737ef0.png.

Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.


Решение.

Последовательно получаем:

 

hello_html_m1449200f.png

Ответ: 0; 4.

Ответ: 0; 4

5.График какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке?

 

hello_html_4dc67a36.png

 

1) hello_html_m481228f5.png

2) hello_html_55b7dc4a.png

3) hello_html_751b634.png

4) hello_html_12df1664.png


Решение.

Ветви изображённой на рисунке гиперболы лежат во II и IV четверти, её график растянут вдоль оси ординат в два раза. Этим условиям соответствует вариант 1

 

Графику соответствует вариант под номером 1.

Ответ: 1

6. Дана геометрическая прогрессия (bn), знаменатель которой равен 2, а hello_html_me3d94e3.png. Найдите сумму первых шести её членов.

Решение.

Сумма n первых членов геометрической прогрессии даётся формулой

 

hello_html_218a87e9.png

 

По условию, hello_html_m11579672.pnghello_html_m3f380db2.pngоткуда получаем

 

hello_html_m698306fc.png

 

Ответ: −47,25.

Ответ: -47,25

7. Упростите выражение  hello_html_3ed83a12.png  и найдите его значение при  hello_html_32ec042e.png.

Решение.

Упростим выражение:

 

hello_html_m3f802a2c.png

 

Найдем значение выражения при hello_html_32ec042e.png:

 

hello_html_1b46a17c.png

 

Ответ: −0,5.

Ответ: -0,5

8.Решите неравенство  hello_html_m7dca4ccc.png.

1)hello_html_m22baa898.png 2)hello_html_393a0b32.png
3)
hello_html_32643440.png 4) hello_html_m4f3e8bfc.png

Решение.

Решим неравенство:

hello_html_m6c2f2400.png

 

Правильный ответ указан под номером 2.

Ответ: 2

9. hello_html_7635a8ff.pngБиссектрисы углов B и C треугольника  ABC  пересекаются в точке  K. Найдите  hello_html_3d51ad38.png, если  hello_html_me68d9bc.png, а  hello_html_m6e209c85.png

Решение.

По определению биссектрис hello_html_3be91195.png, а hello_html_f87dda8.png. В треугольнике BKC:

 

hello_html_m68e0cd19.png.

 

 

Ответ: 120.

Ответ: 120

10.hello_html_m1e0ad5f6.pngВ окружность вписан равносторонний восьмиугольник. Найдите величину угла  hello_html_m65f4a6e3.png.

Решение.

Угол ABC — вписанный и опирается на диаметр AC. Таки образом, hello_html_m6bd967.png

 

Ответ: 90.

Ответ: 90

11.В прямоугольном треугольнике один из катетов равен hello_html_m5ef03f49.png, острый угол, прилежащий к нему, равен 30°, а гипотенуза равна 20. Найдите площадь треугольника делённую на hello_html_497eda66.png.

Решение.

hello_html_mb8b21f6.pngКатет, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы, таким образом, AC = 10. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, имеем:

 

hello_html_702415cf.png

 

Ответ: 50.

 

----------

В открытом банке иррациональный ответ.

Ответ: 50

12. hello_html_m18c8dea1.pngНа квадратной сетке изображён угол  hello_html_m3fc966a3.png. Найдите  hello_html_4420958a.png.

Решение.

hello_html_12cc6763.png

Опустим перпендикуляр BH. Треугольник ABH — прямоугольный. Таким образом,

 

hello_html_38fb9e60.png

Ответ: 3.

Ответ: 3

13.Какие из следующих утверждений верны?

1) Если противоположные углы выпуклого четырехугольника равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

2) Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 200°, то его четвертый угол равен 160°.

3) Сумма двух противоположных углов четырехугольника не превосходит 180°.

4) Если основания трапеции равны 4 и 6, то средняя линия этой трапеции равна 10.

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.



Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Если противоположные углы выпуклого четырехугольника равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.» — верно, если в четырехугольнике противоположные углы равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

2) «Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 200°, то его четвертый угол равен 160°.» — верно, Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°.

3) «Сумма двух противоположных углов четырехугольника не превосходит 180°.» — неверно, сумма противоположных углов четырехугольника больше 180°.

4) «Если основания трапеции равны 4 и 6, то средняя линия этой трапеции равна 10.» — неверно, средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

 

Ответ: 1; 2.

Ответ: 1; 2

14. В таблице приведены нормативы по бегу на лыжах на 1 км для 10 класса.

hello_html_7dce203e.png

Какую отметку получит девочка, пробежавшая на лыжах 1 км за 6 минут 15 секунд?

1)Неудовлетворительно 2)«4»
3)«3» 4) «5»

Решение.

Время пробега дистанции в 1 км (для девочек) можно разделить на следующие категории:

1) 6 минут и менее — получение оценки «5»;

2) от 6 минут до 6 минут 30 секунд — получение оценки «4»;

3) от 6 минут 30 секунд до 7 минут 10 секунд — получение оценки «3»;

4) 7 минут 10 секунд и более — получение оценки «неудовлетворительно».

 

Значение 6 минут 15 секунд относится ко второму и соответствует получению оценки «4».

 

Правильный ответ указан под номером 2.

Ответ: 2

15 На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат — температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, сколько минут двигатель нагревался до температуры 50 °C с момента запуска двигателя.hello_html_a3464a7.png

Решение.

По графику видно, что двигатель нагревался до температуры 50 °C в течение трёх минут.

 

Ответ: 3.

Ответ: 3

16. Клубника стоит 180 рублей за килограмм, а клюква — 250 рублей за килограмм. На сколько процентов клубника дешевле клюквы?

Решение.

Клубника дешевле клюквы на 250 − 180 = 70 рублей. Разделим 70 на 250:

 

hello_html_m710f90f0.png

 

Значит, клубника дешевле клюквы на 28%.

 

Ответ: 28.

Ответ: 28

17. hello_html_76f405b3.pngОт столба высотой 12 м к дому натянут провод, который крепится на высоте 3 м от земли (см. рисунок). Расстояние от дома до столба 12 м. Вычислите длину провода.

Решение.

hello_html_2088571.pngПроведём отрезок, параллельный горизонтальной прямой, как показано на рисунке. Таким образом, задача сводится к нахождению гипотенузы прямоугольного треугольника катеты которого равны 9 см и 12 см. По теореме Пифагора для искомой гипотенузы имеем:

 

hello_html_7780398f.png

 

Ответ: 15.

Ответ: 15

18.156 учащимся восьмых классов некоторой школы была предложена контрольная работа по алгебре из 5 заданий. По результатам составили таблицу, в которой указали число учащихся, выполнивших одно, два три и т.д. заданий:hello_html_m51610924.pngСколько человек получили оценку выше «3», если критерии выставления оценок определялись по таблице?hello_html_31c83309.png

Решение.

По таблице мы видим, что оценку выше «3» получают учащиеся, выполнившие более трех заданий.

Таким образом оценку выше «3» получили 34+46=80 учащихся.

 

Ответ: 80.

Ответ: 80

19.В чемпионате по футболу участвуют 16 команд, которые жеребьевкой распределяются на 4 группы: A, B, C и D. Какова вероятность того, что команда России не попадает в группу A?

Решение.

Каждая команда попадет в группу с вероятностью 0,25. Таким образом, вероятность того, что команда не попадает в группу равна 1-0,25=0,75.

Ответ: 0,75

20. В фирме «Чистая вода» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле  hello_html_7b29c467.png, где  hello_html_m7478e92d.png — число колец, установленных при рытье колодца. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 11 колец.

Часть 2


Решение.

Подставим количество колец в формулу для расчета стоимости. Имеем:

 

hello_html_3a304e0a.png

 

Ответ: 50 500.

Ответ: 50500

21. Сократите дробь  hello_html_m2ae57e20.png .

Решение.

Используем свойства степеней:

 

hello_html_m79c53164.png

 

Ответ: 96.

22. Расстояние между городами А и В равно 490 км. Из города А в город В со скоростью 55 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 90 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города А автомобили встретятся?

Решение.

За первый час пути автомобиль, выехавший из города А, проехал 55 километров и расстояние от него до города В стало равным 435 км. Далее, скорость сближения двух автомобилей равна 145 км/ч, значит, они встретятся через 3 часа после выезда второго автомобиля. Таким образом, первый автомобиль до встречи находился в пути 4 часов, и проехал за это время 220 километров.


Ответ: 220 км.

23.Известно, что парабола проходит через точку  hello_html_m73cd41b0.png  и её вершина находится в начале координат. Найдите уравнение этой параболы и вычислите, в каких точках она пересекает прямую  hello_html_6b7bb987.png.

Решение.

Уравнения параболы, вершина которой находится в начале координат:  hello_html_c52442c.png. Парабола проходит через точку  hello_html_m7d480e83.png, поэтому  hello_html_me912bc.png, откуда  hello_html_4390333e.png. Уравнение параболы:  hello_html_m43289f5b.png. Абсциссы точек пересечения с прямой  hello_html_6b7bb987.png  найдем из уравнения  hello_html_m53df0868.png.


Ответ:  
hello_html_cd2180d.png.

24. Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями 8 и 5, если отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, равны.

Решение.

hello_html_m2900973f.pngПусть hello_html_m11327b05.png— данный четырёхугольник, hello_html_m36fa57aa.png— середина стороны hello_html_m1c6c6082.png— середина стороны hello_html_m551ca931.png— середина стороны hello_html_2571851d.png— середина стороны hello_html_m4b162cdd.png. Проведём диагонали hello_html_m21d54e.pngи hello_html_m2cce602b.pngи отрезки hello_html_31f1fce4.pngи hello_html_7fe0deb4.png, последовательно соединяющие середины сторон четырёхугольника. Тогда, по свойству средней линии треугольника, отрезки hello_html_m2970d0e0.pngи hello_html_7a4b8ed6.pngпараллельны диагонали hello_html_m21d54e.pngи равны её половине, а отрезки hello_html_m31c13bf1.pngи hello_html_7fe0deb4.pngпараллельны диагонали hello_html_m2cce602b.pngи равны её половине. Поэтому hello_html_m55701df2.png— параллелограмм. А так как, по условию задачи, его диагонали hello_html_mf64685.pngи hello_html_me2ac516.pngравны, то hello_html_m55701df2.png— прямоугольник, и угол hello_html_658d30e3.png— прямой. Отсюда следует, что и угол между диагоналями hello_html_m21d54e.pngи hello_html_m2cce602b.pngтоже прямой, и, следовательно, площадь четырёхугольника hello_html_m11327b05.pngбудет равна половине произведения его диагоналей, то есть hello_html_6fa8335c.png


Ответ: 20.

25 Дана равнобедренная трапеция hello_html_m11327b05.png. Точка hello_html_27edd51d.pngлежит на основании hello_html_7f7deac7.pngи равноудалена от концов другого основания. Докажите, что hello_html_27edd51d.png— середина основания hello_html_7f7deac7.png.

Решение.

Треугольник hello_html_14c88684.pngравнобедренный. Поэтому hello_html_m1c761f7f.png.
В равнобедренной трапеции
hello_html_m245ec59f.png.
Отсюда следует, что
hello_html_3e10b6dc.png. Значит, треугольники hello_html_m98dc0d6.pngи hello_html_m73d752a.pngравны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, hello_html_1b4a945d.png.hello_html_650c9ce1.png

26.Площадь треугольника hello_html_m65f4a6e3.pngравна 90. Биссектриса hello_html_7f7deac7.pngпересекает медиану hello_html_1e17d8b2.pngв точке hello_html_4253be82.png, при этом hello_html_m2cce602b.png : hello_html_60378068.png = 2 : 1. Найдите площаль четырёхугольнка hello_html_db9aba.png.


Вариант 11


Часть1


1. Каждому выражению поставьте в соответствие его значение: А. hello_html_48c59ee.png

Б. hello_html_m5de92e79.png

В. hello_html_m12b43d42.png

1) 3,2

2) 1,75

3) 0,45

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

А

Б

В


 

 

Решение.

Найдём значения выражений:

hello_html_m245f5e62.png

Искомое соответствие: 1, 3, 2.

 

Ответ: 132.

Ответ: 132|1,3,2

2. На координатной прямой отмечены числа hello_html_m4c4a03f.pngи hello_html_ma0eed46.png

hello_html_m1f0b9419.png

Какое из следующих утверждений неверно?

1)hello_html_m3d1425a4.png 2)hello_html_m3d2f4f15.png
3)
hello_html_m6d11d79e.png 4) hello_html_m1d81c6a4.png

Решение.

Заметим, что hello_html_764f3ba6.pngПроверим все варианты ответа:

1) hello_html_m3d1425a4.png   hello_html_m2d614e54.png неверно

2)  hello_html_m3d2f4f15.png  hello_html_m49db324f.png   — верно

3)  hello_html_m6d11d79e.png — верно, т. к. hello_html_4338730b.png

4) hello_html_m1d81c6a4.png   hello_html_m2d614e54.png верно

 

Правильный ответ указан под номером 1.

Ответ: 1

3 Найдите значение выражения hello_html_m537e608b.pngпри hello_html_m6752d4f9.png

1)−125 2)125 3)hello_html_m24faa3fa.png 4) hello_html_m2eeb2bf7.png

Решение.

Упростим выражение используя формулы hello_html_med828da.png, hello_html_734f82a1.pngи hello_html_m605006a5.png:

hello_html_1ca1fcc8.png

Подставим значение hello_html_m4c4a03f.png: hello_html_m3170af45.png

Ответ: 2.

Ответ: 2

4. Найдите корни уравнения  hello_html_m7f978cc.png.

Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение.

Разложим на множители левую часть уравнения:

 

 

hello_html_4acd366d.png

 

Ответ: 0; 5.

Ответ: 0; 5

5.Найдите значение hello_html_m4c4a03f.pngпо графику функции hello_html_18c84a22.png, изображенному на рисунке.

 

hello_html_36ba2fbc.png

 

1) hello_html_58a18952.png

2) hello_html_38df0d09.png

3) hello_html_m123dcc24.png

4) hello_html_20ad84a2.png

 

Решение.

Абсцисса вершины параболы равна −1, поэтому hello_html_7281a6ff.pngоткуда hello_html_35d4da4c.pngПарабола пересекает ось ординат в точке с ординатой 3, поэтому hello_html_m2838faa3.pngТем самым, уравнение параболы принимает вид hello_html_7c12a06f.pngПоскольку парабола проходит через точку (−1; 2), имеем:

 

hello_html_m1a0864e2.png

 

Верный ответ указан под номером 2.

 

Ответ: 2.

Ответ: 2

6.Дана арифметическая прогрессия hello_html_m1f8927e1.png  Найдите  hello_html_m7029dde2.png.

Решение.

Определим разность арифметической прогрессии:

 

hello_html_m7a8516b4.png

 

Член арифметической прогрессии с номером hello_html_3e0d344e.pngможет быть найден по формуле

 

hello_html_m5f3df3d7.png

 

Необходимо найти hello_html_m7029dde2.png, имеем:

 

hello_html_2d21a706.png

 

 

Ответ: 23.

Ответ: 23

7.Упростите выражение hello_html_4c1c832d.png, найдите его значение при hello_html_me558823.png. В ответ запишите полученное число.

Решение.

Упростим выражение:

 

hello_html_m2df053c1.png

 

Найдём значение выражения при hello_html_me558823.png:

 

hello_html_m7f19092c.png

Ответ: 8.

Ответ: 8

8.На каком рисунке изображено множество решений неравенства hello_html_md9c9ac4.png

1)hello_html_7e56ede4.png
2)
hello_html_761538d3.png
3)
hello_html_m5c3857f0.png
4)
hello_html_m63e39a09.png

Решение.

Решим неравенство:  hello_html_3c2f5ae3.png Корнями уравнения hello_html_m71d91bb3.pngявляются числа 1 и 3. Поэтому

 

hello_html_2c59be96.png

 

Множество решений неравенства изображено на рис. 1.

 

Правильный ответ указан под номером 1.

Ответ: 1

9.Один угол параллелограмма в два раза больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Пусть x — меньший угол параллелограмма, а 2x — больший угол, x + 2x + x + 2x = 6x — сумма углов параллелограмма, откуда x = 60°.

 

Таким образом меньший угол параллелограмма равен 60°.

 

Ответ: 60.

Ответ: 60

10.hello_html_m220a57f3.pngВ окружности с центром  hello_html_m9f449e4.png  и  hello_html_m2cce602b.png — диаметры. Центральный угол  hello_html_m598de910.png  равен 112°. Найдите вписанный угол  hello_html_33b17553.png. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Так как угол AOD — центральный, то по свойству центрального угла дуга hello_html_64cae79f.png. Дуга hello_html_77d325de.pngтак как AC — диаметр, тогда дуга hello_html_31c62525.png. Угол DOC — центральный, таким образoм, hello_html_46c5f424.pngпо свойству центрального угла. Углы AOB и COD равны как вертикальные. Так как hello_html_m4cda74ed.pngявляется центральным, а hello_html_65ceadd6.png— вписанным и они опираются на одну дугу, то по свойству вписанного угла hello_html_41097a5.png.

 

Ответ: 34.

Ответ: 34

11. В ромбе сторона равна 10, одна из диагоналей — 10, а угол, из которого выходит эта диагональ, равен hello_html_1496fac7.png. Найдите площадь ромба деленную на hello_html_m527fa3e3.png

Решение.

Площадь ромба равна произведению сторон на синус угла между ними, имеем:

 

hello_html_6889de5b.png

Ответ:50.

 

Примечание:

 

Можно найти вторую диагональ по теореме косинусов и вычислить площадь ромба как половина произведения диагоналей.

Ответ: 50

12. hello_html_m1de5acd9.pngНа рисунке изображена трапеция  hello_html_m11327b05.png. Используя рисунок, найдите  hello_html_1c27f0fd.png.

Решение.

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему. Треугольник hello_html_67fb9985.png— прямоугольный, поэтому hello_html_31d4d6b1.png

Вычислим по теореме Пифагора длину гипотенузы hello_html_151e4b13.png:

 

hello_html_m213b3f04.png

 

Тогда

hello_html_1513a2e6.png

Ответ: 0,8.

Ответ: 0,8

13.Какие из следующих утверждений верны? 

1) Если угол равен 45°, то вертикальный с ним угол равен 45°.

2) Любые две прямые имеют ровно одну общую точку.

3) Через любые три точки проходит ровно одна прямая.

4) Если расстояние от точки до прямой меньше 1, то и длина любой наклонной, проведенной из данной точки к прямой, меньше 1.

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.








Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Если угол равен 45°, то вертикальный с ним угол равен 45°» — верно, по теореме о вертикальных углах.

2) «Любые две прямые имеют ровно одну общую точку» — неверно, утверждение справедливо только для пересекающихся прямых.

3) «Через любые три точки проходит ровно одна прямая» — неверно, не всегда через три точки можно провести одну прямую.

4) «Если расстояние от точки до прямой меньше 1, то и длина любой наклонной, проведенной из данной точки к прямой, меньше 1.» — неверно, перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.

 

Ответ: 1.

Ответ: 1

14. hello_html_m3cfb2fb7.pngУчащимся сочинских школ был задан вопрос: «По какому виду спорта вы хотели бы посетить соревнования на Зимней олимпиаде в Сочи?». Их ответы можно увидеть на диаграмме. Сколько примерно учащихся хотели бы посетить соревнования и по хоккею, и по санному спорту, если всего в опросе приняли участие 400 школьников?

1)180 2)240 3)120 4) 200

Решение.

Из диаграммы видно, что доля учащихся, которые хотели бы посетить соревнования по санному спорту, hello_html_413c553b.pngот общего числа учащихся, доля учащихся, которые хотели посетить соревнования по хоккею составляет hello_html_m3b9c08f8.pngот общего числа учащихся. Их общее количество равно hello_html_m3b9c08f8.png · 400 + hello_html_413c553b.png · 400 = 150 человек. Наиболее близкий к этому вариант ответа — 180 человек.

 

Правильный ответ указан под номером 1.

Ответ: 1

15.На рисунке изображён график изменения атмосферного давления в городе Энске за три дня. По горизонтали указаны дни недели, по вертикали — значения атмосферного давления в миллиметрах ртутного столба. Укажите наименьшее значение атмосферного давления во вторник.

hello_html_m2fced90b.png

Решение.

По графику видно, что наименьшее значение атмосферного давления во вторник было равно 751 мм рт. ст.

 

Ответ: 751.

Ответ: 751

16. В понедельник некоторый товар поступил в продажу по цене 1000 р. В соответствии с принятыми в магазине правилами цена товара в течение недели остается неизменной, а в первый день каждой следующей недели снижается на 20% от предыдущей цены. Сколько рублей будет стоить товар на двенадцатый день после поступления в продажу?

Решение.

Как известно, в неделе 7 дней. Значит, 12 день выпадает на вторую неделю, когда цена снижается на 20%, таким образом, товар будет стоить 80%. Имеем:

 

hello_html_m5ff5fe65.png

Ответ: 800.

Ответ: 800

17. hello_html_f95cf82.pngНа карте показан путь Лены от дома до школы. Лена измерила длину каждого участка и подписала его. Используя рисунок, определите, длину пути (в м), если масштаб 1 см: 10000 см.

Решение.

Путь по карте равен 4 + 2 + 4 = 10 см. Так как масштаб равен 1 : 10000, Лена прошла 100 000 см или 1000 м.

 

Ответ: 1000.

Ответ: 1000

18. Рок-магазин продаёт значки с символикой рок-групп. В продаже имеются значки пяти цветов: чёрные, синие, зелёные, серые и белые. Данные о проданных значках представлены на столбчатой диаграмме.

hello_html_65953f8d.png

Определите по диаграмме, значков какого цвета было продано меньше всего. Сколько примерно процентов от общего числа значков составляют значки этого цвета?

1) 5 2) 10 3) 16 4) 20

Решение.

Проверим каждое утверждение:

 

1) Более половины учащихся получили отметку «3» — верно.

2) Около половины учащихся отсутствовали на контрольной работе или получили отметку «2» — неверно.

3) Отметку «4» или «5» получила примерно шестая часть учащихся — верно.

4) Отметку «3», «4» или «5» получили более 100 учащихся — неверно.

Ответ: 1; 3

19. На экзамене 50 билетов, Руслан не выучил 5 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.

Решение.

Количество выученных билетов равно 50-5=45. Поэтому ероятность попадания выученного билета будет равна отношению числа выученных билетов к общему числу экзаменационных билетов, то есть hello_html_m4c5be446.png.

Ответ:0,9.

Ответ: 0,9

20.Площадь параллелограмма  hello_html_16fdd4ec.png  можно вычислить по формуле  hello_html_m551f8b4d.png, где  hello_html_m4c4a03f.png — сторона параллелограмма,  hello_html_2a093b83.png — высота, проведенная к этой стороне (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите высоту  hello_html_2a093b83.png, если площадь параллелограмма равна  hello_html_m3579957.png,а сторона hello_html_m4c4a03f.png равна 3,6 м.

Часть 2

Решение.

Выразим высоту hello_html_2a093b83.pngиз формулы площади параллелограмма:

 

hello_html_m5594032b.png

 

Подставляя, получаем:

 

hello_html_m7b18c0d4.png

 

 

Ответ: 5.

Ответ: 5

21. Сократите дробь  hello_html_m67cc0abb.png .

Решение.

Используем свойства степеней:

 

hello_html_m79c53164.png

 

Ответ: 96.

22. Дима и Саша выполняют одинаковый тест. Дима отвечает за час на 12 вопросов теста, а Саша — на 22. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Дима закончил свой тест позже Саши на 75 минут. Сколько вопросов содержит тест?

Решение.

Пусть x — количество вопросов теста через. Тогда получаем:

 

hello_html_m6b1259c4.png

 

откуда находим x = 33 .

 

Ответ: 33

23.Постройте график функции hello_html_6ed9e0ea.pngи определите, при каких значениях hello_html_3e0d344e.pngпостроенный график не будет иметь общих точек с прямой hello_html_m7c9b9ba4.png.

Решение.

Преобразуем функцию: hello_html_m2d1c69fd.pngпри hello_html_m37c3fa4c.pngи hello_html_m5ada846f.png. График — прямая hello_html_m148a6ae0.pngбез двух точек hello_html_m58a08ebf.pngи hello_html_30dc6211.png. Прямая hello_html_m7c9b9ba4.pngне будет иметь с построенной прямой общих точек, если она будет ей параллельна, т. е. при hello_html_52fbe201.png, и если она будет проходить через выколотые точки. Через первую из этих точек прямая hello_html_m7c9b9ba4.pngпроходит, если hello_html_58577ad8.png, а через вторую — если hello_html_m3aba3387.png.hello_html_3b550dbb.png


Ответ:
hello_html_760af64d.png

24. В треугольнике hello_html_m65f4a6e3.pngугол hello_html_102cce21.pngравен 56°, угол hello_html_45d7fb01.pngравен 64°, hello_html_m2f7453ed.png. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Решение.

Угол hello_html_m72b00d28.pngтреугольника hello_html_m65f4a6e3.pngравен hello_html_m3807d051.png = 180° − hello_html_m38657c23.png hello_html_m2f932a90.png = 60°. Радиус описанной окружности равен hello_html_m4c6d1388.png.


Ответ: 3.

25. hello_html_30a8f5e5.pngНа стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки BD и BE тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.

Решение.

Так как по условию BD=BE, то треугольник BDE является равнобедренным. Пусть угол при основании этого треугольника равен x, тогда hello_html_m26d4da25.pngТреугольники BEC и BDA равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому AB=BC и треугольник ABC - равнобедренный.

26. В треугольнике hello_html_m65f4a6e3.pngбиссектриса угла hello_html_m72b00d28.pngделит высоту, проведённую из вершины hello_html_102cce21.png, в отношении hello_html_m3114ebd1.png, считая от точки hello_html_102cce21.png. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника hello_html_m65f4a6e3.png, если hello_html_18c2e464.png.

Вариант 12


Часть1


1.Укажите наибольшее из следующих чисел: 1) hello_html_m610f35cd.png

2) hello_html_m51add564.png

3) hello_html_m3f6ed2fa.png

4) hello_html_m1fb3ab84.png

Решение.

По правилу сравнения дробей hello_html_m2f5d704e.pngДробь hello_html_m249f7bb.pngПо правилу сравнения дробей hello_html_m3efeaf9d.pngи hello_html_m6ffad0b.png

 

Таким образом, верный ответ указан под номером 2.

Ответ: 2

2.Известно, что hello_html_m12c3fb99.png. Выберите наибольшее из чисел.

1)hello_html_m4b02bcdd.png 2)hello_html_m7d0bca55.png 3)hello_html_m65440893.png 4) hello_html_4bfc0f25.png

Решение.

Поскольку hello_html_mbd3c561.pngчисло hello_html_m46dfd163.pngотрицательно, hello_html_d8e5069.pngи hello_html_m6629f8eb.png. Число hello_html_m65440893.pngположительно и больше 1. Поэтому оно является наибольшим.

 

Правильный ответ указан под номером 3.

Ответ: 3

3. В какое из следующих выражений можно преобразовать дробь  hello_html_m9c0e982.png ?

1)hello_html_m2a600bf2.png 2)hello_html_606d9421.png 3)hello_html_83d6cde.png 4) hello_html_3768f933.png

Решение.

Упростим дробь:

hello_html_2f33d92f.png

 

Правильный ответ указан под номером 3.

Ответ: 3

4. Найдите корни уравнения hello_html_6c6dfa19.png.

Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение.

По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней равна −3, а их произведение равно −18.

Тем самым это числа −6 и 3.

 

Ответ: -6; 3.

Ответ: -6; 3

5.Установите соответствие между функциями и их графиками.hello_html_m6e9d9bfe.png

А) hello_html_28b17dbe.png

Б) hello_html_11819255.png

В) hello_html_29ab19b5.png

 

Ответ укажите в виде последовательности цифр без пробелов и запятых в указанном порядке

 

А

Б

В

 

 

 

 

Решение.

Определим вид графика каждой из функций:

A) hello_html_28b17dbe.pngуравнение параболы, ветви которой направлены вниз.

Б) hello_html_11819255.pngуравнение гиперболы, ветви которой лежат во II и IV четвертях.

В) hello_html_29ab19b5.pngуравнение прямой, которая проходит через точки (0; −1) и (3; 0).

Таким образом, искомое соответствие: A — 1, Б — 4, В — 2.

 

Ответ: 142.

Ответ: 142

6.Какое из указанных чисел не является членом последовательности hello_html_67b980c1.png

 

1) hello_html_8ac7ada.png

2) hello_html_4bda6bc1.png

3) hello_html_m75eeaeaf.png

4) hello_html_7eb749ff.png

Решение.

Рассмотрим несколько первых членов последовательности, начиная с hello_html_m61453a44.png

 

hello_html_m29eeb352.png

hello_html_183dd5bd.png

hello_html_2923b1bc.png

hello_html_2598f80d.png

hello_html_m6ccdc8b6.png

 

 

Тем самым, hello_html_7eb749ff.pngне является членом этой последовательности.

 

Ответ: 4.

Ответ: 4

7.Найдите значение выражения hello_html_338325e9.pngпри hello_html_m11380cc0.png

Решение.

Упростим выражение:

 

hello_html_m51b0faa2.png

 

Подставим в полученное выражение значение hello_html_m26fe6bff.png

 

hello_html_m592f3295.png

 

Ответ: 0,5.

Ответ: 0,5

8. Решите неравенство  hello_html_m263a8c92.png.

1)hello_html_m4f3e8bfc.png 2)hello_html_m22baa898.png
3)
hello_html_384a01cf.png 4) hello_html_393a0b32.png

Решение.

Решим неравенство:

hello_html_bdd2146.png

 

Правильный ответ указан под номером 4.

Ответ: 4

9. hello_html_2cdf6d5c.pngДиагональ  AC  параллелограмма  ABCD  образует с его сторонами углы, равные 30° и 45°. Найдите больший угол параллелограмма.

Решение.

Так как угол А равен 75°, а сумма односторонних углов параллелограмма равна 180°, больший угол параллелограмма равен 105°.

 

Ответ: 105.

Ответ: 105

10. hello_html_69601d4c.pngВеличина центрального угла  hello_html_m598de910.png  равна 110°. Найдите величину вписанного угла  hello_html_33b17553.png. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол AOB смежный с углом AOD, таким образом, hello_html_m210f9799.pngЦентральный угол AOB и вписанный угол ACB опираются на одну дугу. Таким образом, hello_html_m6d2e3b47.png

Ответ: 35

11. hello_html_cb38b2.pngНайдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

Решение.

Площадь трапеции(hello_html_75a9ccb.png) ищется путём перемножения длины высоты и средней линии(среднего арифметического двух оснований). В данной трапеции длина средней линии равна hello_html_m134082d8.png, а длина высоты — 6, таким образом, площадь трапеции равна:

 

 

hello_html_32b26187.png

 

Ответ: 36.

Ответ: 36

12.На клетчатой бумаге с размером клетки 1см x 1см отмечены точки А, В и С. Найдите расстояние от точки А до прямой ВС. Ответ выразите в сантиметрах.

hello_html_m4a48f205.png

Решение.

Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. По рисунку определяем это расстояние, оно равно двум клеткам, или 2 см.

 

Ответ: 2.

Ответ: 2

13.Укажите номера верных утверждений.

1) Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, делит основание на две равные части.

2) В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.

3) Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу.

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, делит основание на две равные части» — верно по свойству равнобедренного треугольника.

2) «В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны» — неверно, это утверждение справедливо исключительно для ромба, а не для прямоугольника.

3) «Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу» — верно, т. к. окружность — множество точек, находящихся на заданном расстоянии от данной точки.

 

Ответ: 1; 3.

Ответ: 1; 3

14 Бабушка, живущая в Краснодаре, отправила 1 сентября четыре посылки своим внукам, живущим в разных городах России. В таблице дано контрольное время в сутках, установленное для пересылки посылок наземным транспортом (без учёта дня приёма) между некоторыми городами России.

hello_html_md6ae1d.png

Какая из данных посылок не была доставлена вовремя?

1) пункт назначения — Белгород, посылка доставлена10сентября
2) пункт назначения — Астрахань, посылка доставлена12сентября
3) пункт назначения — Барнаул, посылка доставлена15сентября
4) пункт назначения — Архангельск, посылка доставлена 11 сентября

Решение.

Определим по таблице контрольное время для пересылки всех четырех посылок и сравним его с временем, которое посылка шла фактически:

1) Из Краснодара в Белгород: контрольное время 9 дней, шла 9 дней — доставлена вовремя;

2) Из Краснодара в Астрахань: контрольное время 9 дней, шла 11 дней — доставлена не вовремя;

3) Из Краснодара в Барнаул: контрольное время 14 дней, шла 14 дней — доставлена вовремя;

4) Из Краснодара в Архангельск: контрольное время 10 дней, шла 10 дней — доставлена вовремя.

 

Правильный ответ указан под номером 2.

Ответ: 2

15.На рисунке изображён график изменения атмосферного давления в городе Энске за три дня. По горизонтали указаны дни недели и время, по вертикали — значения атмосферного давления в миллиметрах ртутного столба. Укажите значение атмосферного давления во вторник в 6 часов утра.hello_html_4b41a600.png

Решение.

Из графика видно, что значение давления во вторник в 6:00 равно 758 мм рт. ст.

Ответ: 758.

Ответ: 758

16.В понедельник некоторый товар поступил в продажу по цене 1000 р. В соответствии с принятыми в магазине правилами цена товара в течение недели остается неизменной, а в первый день каждой следующей недели снижается на 20% от предыдущей цены. Сколько рублей будет стоить товар на двенадцатый день после поступления в продажу?