Рабочая тетрадь по алгебре

АЛГЕБРА

Обучающие и проверочные задания по решению

уравнений, содержащих переменную под знаком модуля

ТЕТРАДЬ

ученика ___ «__» класса

_____________________

_____________________

СОДЕРЖАНИЕ

Модуль числа. Определение, основные свойства …………………………..3

Самостоятельная работа № 1………………………………………………….5

Решение уравнений, содержащих переменную

под знаком модуля……………………………………………………………..6

Самостоятельная работа № 2………………………………….......................11

Итоговый тест………………………………………………………………...12

Ответы………………………………………………………………………....13

Заключение……………………………………………………………………14

Литература…………………………………………………………………….15

Модуль числа

Определение, основные свойства

Определение:   Модулем числа называется само это число, если оно неотрицательное, или это же число с противоположным знаком, если оно отрицательное.

Основные свойства модуля

Примеры:

1.Раскройте модуль

Решение:  так как разность < 0, то по определению модуля, получаем

Ответ:

2. Раскройте модуль

Решение: так как разность , то по определению модуля получаем

Ответ:

3. Упростите выражение: , при 

Решение: учитывая, что , будем иметь:

Раскрывая знак модуля при условии , получаем .

Ответ:

4. Упростите выражение:

Решение: учитывая, что , будем иметь:________________________

Так как разность … 0, то по определению модуля получим:

  . Таким образом,

Ответ:___________________________

5. Найдите значение выражения   

Решение: учитывая, что , будем иметь

Так как разность ….0, ….0, то по определению модуля получим: , . Таким образом, .

Ответ:

Самостоятельная работа № 1

1. Упростите выражение при

2. Упростите выражение 

3.Найдите значение выражения

4.  Найдите значение выражения 

Решение уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля

I тип уравнений            

 Если а < 0 – корней нет.

Если –

Пример:

Решите уравнение

Решение:

, откуда

Ответ:

II тип уравнений            

Пример:

Решите уравнение

Решение:  решение уравнения сводится  решению системы   

   - не удовлетворяет  условию

Ответ: 

III тип уравнений      

Решение уравнений данного типа сводится

к решению совокупности уравнений                                                              

Пример:

Решите  уравнение      

Решение:

         

Ответ:

IV  тип уравнений    

Уравнение данного вида равносильно системе

Пример:

Решите уравнение:  

Решение:

Ответ: 2

V  тип уравнений 

Алгоритм решения:

- найдем нули всех подмодульных выражений;

- отметим их на числовой оси, разбив ее, тем самым, на интервалы;

- на каждом интервале определим знак каждого подмодульного выражени и раскроем модули по определению;

- составим и решим совокупность смешанных систем.

Пример:

Решите уравнение:    

Решение: 1) Найдем нули подмодульных выражений:

                         

2)  На каждом из полученных интервалов определим знак подмодульного выражения:

	х<-1	-1≤х<3	х≥3
х-3	-	-	+
х+1	-	+	+

3) Составим и решим совокупность  систем

Ответ: -1.

VI тип уравнений

1 способ. Уравнение вида      равносильно совокупности систем

                                      

2 способ. Воспользуемся четностью функции . Нули этой функции будут существовать парами противоположных чисел: если х = а – корень, х = -а -тоже корень этого уравнения. Поэтому достаточно решить лишь одну из систем 1 способа и добавить в ответ числа, противоположные найденным корням.

Пример:

Решите уравнение    

Решение: составим и решим совокупность двух систем:

Ответ: -2;2

Пример:

Решите уравнение   

Решение: воспользовавшись четностью функции, будем иметь:

Добавим в ответ число, противоположные найденному корню.

Ответ: -2;2.

Разберем ряд примеров:

Пример 1. Решите уравнение:   

Решение: воспользуемся вторым способом:

Оба найденных значения меньше нуля.

Ответ: корней нет.

      Пример 2. Решите уравнение  

     Решение: уравнение равносильно смешанной системе:        Ответ: -1

Пример 3

Решите уравнение:  

    Решение: уравнение равносильно системе     

Ответ: -3; 1; 3.

Пример 4

Решите уравнение

Решение: уравнение равносильно совокупности 

Ответ:

     Пример 5 

     Найдите сумму корней уравнения

Решение:  уравнение равносильно совокупности двух уравнений

, находим корни   

Таким образом, сумма  

Ответ:  

Пример 6

 Найдите произведение корней уравнения

Решение:   находим корни   Проверяем выполнение условия , находим произведение корней уравнения.

Ответ: ________

Пример 7

Решите уравнение:  

Решение: уравнение равносильно совокупности  

Ответ: 2.

Самостоятельная работа №2

1. Найдите сумму корней уравнения 

2. Найдите  сумму корней уравнения

3. Найдите произведение корней уравнения 

4.  Найдите произведение корней уравнения

5. Решите уравнение

6. Решите уравнение

7. Решите уравнение

8. Решите уравнение

9. Решите уравнение

10. Найдите сумму корней уравнения 

Итоговый тест

Вариант 1	Вариант 2
Решите уравнения
1)	1)
2)	2)
3)	3)
4)	4)
5)	5)
6)	6)
7)	7)
8)	8)
9)	9)

Ответы

Самостоятельная работа № 1

1.  

2. 

3.

4. 13

Самостоятельная работа № 2

1. – 3

2.   4

3.   3

4.   0

5.  -4,2; 2,6

6.  2; 5

7.  1;3

8.  0; 4

9. -2,8; 3,6

10.  8

Итоговый тест

Вариант 1	Вариант 2
4; -2	-1; -7/3
4	4
Корней нет	Корней нет
1	4; 1+√3
1	1-√3; 2
-2; 4	0
1/2; -1/2; 2	5/3; 5; 4
2	5
-2,8	-3

Заключение

 Назначение данной тетради - помочь ученику обобщить  и систематизировать знания, связанные с определением и свойствами модуля, а так же с различными методами решения уравнений с модулем.

   Необходимость рассмотрения данной темы обусловлена тем, что задания с модулем нередко вызывают затруднения у обучающихся. Кроме того, задания подобного типа регулярно встречаются в материалах ЕГЭ как в базовой части, так и в заданиях повышенного и высокого уровня сложности. Вместе с тем, решение уравнений с модулем является эффективным способом повторения и закрепления навыков решения других видов уравнений и способов их решения: линейных, квадратных, дробных рациональных, тригонометрических, показательных, логарифмических. А так же, закрепляется умение решать различные виды неравенств, систем и совокупностей.

   Изложение материала построено по принципу «от простого к сложному». В начале рассматриваются задания на преобразование выражений, содержащих модуль, затем простейшие уравнения с модулем, к каждому типу уравнений предложен алгоритм решения. Учащемуся самому представляется возможность поиска решений алогичной задачи в последующем тексте.

   Для овладения этими способами и приобретения соответствующего навыка предлагается ряд задач для самостоятельного решения, ответы на которые представлены в конце тетради. В завершении дан тест для итогового контроля уровня знаний по теме.

Литература

1.            Звавич Л.И. и др. Алгебра и начала анализа. 3600 задач для школьников и поступающих в вузы. –М.:Дрофа. 1999г. – 382с.

2.            Рязановский А.Р. и др. Математика: Решение задач: Сдаем без проблем. Москва: Эксмо, 2014.-496с.

3.            Шахмейстер А.Х. Уравнения. М.: Издательство МЦНМО: «Виктория плюс», 2011. – 264с.