Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Рабочая тетрадь по математике

Рабочая тетрадь по математике



Осталось всего 4 дня приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


Кировское областное государственное

образовательное бюджетное учреждение

среднего профессионального образования

«Кировский авиационный техникум»















МАТЕМАТИКА


Рабочая тетрадь

для студентов 2 курса очной формы обучения



по специальности

140446 «Электрические машины и аппараты»

среднего профессионального образования



Студент группы ___________


__________________________


__________________________










Киров

2014

Печатается по решению Методического совета

КОГОБУ СПО «Кировский авиационный техникум»

(протокол №___ от _______201_ г.)




Рабочая тетрадь по дисциплине «МАТЕМАТИКА» для студентов 2 курса очной формы обучения составлены в соответствии с рабочей программой дисциплины, одобренной цикловой комиссией естественноматематических дисциплин


Протокол №___ от «____»_________2014г.

Председатель цикловой комиссии

естественноматематических дисциплин _______________ Т.Н.Мелехина





Составитель: Т.А. Боброва - преподаватель Кировского авиационного техникума

Рецензент: Т.Н. Мелехина - преподаватель Кировского авиационного техникума




Редактор: С.И. АраслановаЗав. ИМС Кировского авиационного техникума




Дисциплина «Математика» [Текст]: рабочая тетрадь для студентов очной формы обучения по специальности 140446 - «Электрические машины и аппараты» / Т.А. Боброва; ред. С.И. Арасланова; КОГОБУ СПО «Кировский авиационный техникум». - Киров: КАТ, 2014. - 48 с.

Рабочая тетрадь по дисциплине «Математика» предназначены для работы студентов очной формы обучения на занятии как самостоятельно, так и под руководством преподавателя. Содержит основной теоретический материал и список заданий для решения по всему курсу дисциплины.

Может быть полезна студентам, обучающимся в системе среднего профессионального образования, как для самостоятельного изучения материала, так и для систематизации знаний и умений по курсу.



© КАТ, 2014

Содержание


Пояснительная записка…………………………………………………............

5

Раздел 1. Линейная алгебра.................................................................................

7

Понятие матрицы. Типы матриц. Действия над матрицами: сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на число, транспонирование матриц, умножений матриц, возведение в степень …………………….....................................................................


7

Определитель квадратной матрицы. Определители 2-го, 3-го порядков. Правило Саррюса. Свойства определителей. Обратная матрица. Матричные уравнения.........................................................

10

Основные понятия и определения: общий вид системы линейных уравнений (СЛУ) с 3-я переменными. Совместные определенные, совместные неопределенные и несовместные СЛУ. Решение СЛУ по формулам Крамера, матричным методом, методом Гаусса..............

13

Раздел 2. Математический анализ...................................................................

15

Аргумент и функция. Область определения и область значений функции. Свойства функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики..............................................................................

15

Числовая последовательность и ее предел. Предел функции на бесконечности и в точке. Основные теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы...........................................................

18

Непрерывность функции в точке и на промежутке. Точки разрыва первого и второго рода..............................................................................

22

Раздел 3. Дифференциальное исчисление.........................................................

23

Определение производной. Геометрический смысл производной. Механический смысл производной. Производные основных элементарных функций. Дифференцирование сложных функций.....

23

Исследование функции с помощью производной: интервалы монотонности и экстремумы функции. Асимптоты. Исследование функций и построение их графиков. Наибольшее и наименьшее значение функции......................................................................................

27

Раздел 4. Интегральное исчисление.............................................................

29

Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов. Метод непосредственного интегрирования. Интегрирование методом замены переменной..............................................................................

29

Задача о площади криволинейной трапеции. Понятие определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенного интеграла. Вычисление площади плоских фигур, значений геометрических величин...........

32

Раздел 5. Комплексные числа .........................................................................

35

Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Алгебраическая, тригонометрическая, показательная форма записи комплексных чисел. Действия над комплексными числами........................................................................

35

Раздел 6. Теория вероятностей и математическая статистика................

38

Элементы комбинаторного анализа: размещения, перестановки, сочетания. Формула Ньютона. Случайные события. Вероятность события. Простейшие свойства вероятности......................................

38

Задачи математической статистики. Выборка. Вариационный ряд...

40

Список вопросов для самоконтроля..................................................................

43

Справочные материалы................................................................................

45

Список литературы..............................................................................................

48




1. Пояснительная записка


Рабочая тетрадь полностью включает материал, предусмотренный программой по "Математике" для средних специальных учебных заведений. В нем найдут много полезного для себя студенты 2 курса технических специальностей.

Мысль о том, что по рабочей тетради можно учиться, не вызывает сомнения. Данная тетрадь содержит основной материал всех разделов курса: математические понятия, определения, теоремы, формулы, свойства и т.д. В рабочей тетради весь материал, относящийся к какому-либо понятию, помещен компактно. Это поможет вам быстро получить все необходимые сведения об интересующем вас понятии.

Эта тетрадь поможет систематизировать знания, быстро и полно повторить основные моменты той или иной темы, найти нужные сведения.

Кроме теоретических сведений в рабочей тетради содержится перечень основных задач по темам курса для аудиторной и внеаудиторной работы.


Студент может:

  • дополнять теоретические сведения в рабочую тетрадь;

  • быстро найти нужную информацию о той или иной формуле, теореме, понятии и т.п.;

  • при подготовке к устному ответу или к контрольной работе прочитать и обдумать соответствующий материал по теме;

  • при решении задач использовать соответствующий теоретический материал;

  • при подготовке к устному экзамену теоретический материал рабочей тетради взять за основу при чтении учебников.

Учитель может:

  • при объяснении нового материала использовать "открытые" опорные конспекты, имеющиеся в рабочей тетради;

  • избавить себя от утомительной процедуры «надиктовывания» план-конспектов, формул и т.п.

  • проводить письменный или устный опрос по материалам рабочей тетради;

  • использовать теоретические сведения из рабочей тетради при решении задач, во время проведения самостоятельных работ;

  • проводить по данной тетради комплексное или тематическое повторение;

Автор надеется, что рабочая тетрадь принесет пользу всем, кто будет использовать её при освоении математики!

Раздел 1. Линейная алгебра


hello_html_m49675a6b.gif

Понятие матрицы. Типы матриц. Действия над матрицами: сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на число, транспонирование матриц, умножений матриц, возведение в степень.


Матрицей hello_html_3cabf5a6.gif называется прямоугольная таблица, составленная из hello_html_m7a227d4b.gif элементов hello_html_m1dd07a78.gif некоторого множества. Записывается матрица в виде:

hello_html_m2d2be501.gif.

Элементы матрицы нумеруются двумя индексами. Первый индекс i элемента hello_html_4fcec682.gif обозначает номер строки, а второй j – номер столбца, на пересечении которых находится этот элемент в матрице. Если у матрицы m строк и n столбцов, то, по определению, она имеет размерность hello_html_m7a227d4b.gif.


Матрицы A и B называются равными, если все hello_html_18cb04e7.gif


Типы матриц

Тип матрицы

Пример

1) Если матрица состоит из одной строки, то она называется матрицей-строкой




2) Если матрица состоит из одного столбца, то она называется матрицей-столбцом




3) Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной. Матрица размера hello_html_m69067e20.gif называется квадратной матрицей n-го порядка. Элементы hello_html_m7470eff4.gif образуют главную диагональ матрицы


4) Матрица E с элементами hello_html_4a7559a2.gif называется единичной матрицей n-го порядка


5) Если все элементы матрицы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, то матрица называется диагональной


6) Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой




7) Если amn = anm , то матрица называется симметрической




Действия над матрицами

Действия

Пример

1) Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

cij = aij bij

С = А + В = В + А.

Замечание: Главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера

А = hello_html_45a18ebb.gif; B = hello_html_2ff0202f.gif


А+В=


А–В=


2) Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

hello_html_34b96209.gif

А = hello_html_59ce92f2.gif


2А=

3) Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

hello_html_m2f00374b.gif.

Замечание: Главным свойством этой операции является то, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Замечание: Если надо умножить несколько матриц, то необходимо производить умножение последовательно слева направо.

hello_html_m214b86a6.gif

А=hello_html_m115615a6.gif, В = hello_html_m62ab6fc8.gif


АВ=


А = hello_html_m16ec1ad1.gif и В = hello_html_38eb378f.gif.


АВ =

4) Возведение матрицы А в натуральную степень n определяется как произведение n матриц, каждая из которых равна А.

А = hello_html_m62ab6fc8.gif

hello_html_41642422.gif=


hello_html_m3913e06.gif=


5) Матрицу В называют транспониро-ванной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.

А=hello_html_11e98f1a.gif АТ=hello_html_m19857e2f.gif

другими словами, bji = aij.

hello_html_3f2b84b9.gif



hello_html_m5331cdc9.gif

1.1 Выполните операции с матрицами:

  1. Найдите сумму и разность матриц С и D

hello_html_m743ce940.png

  1. Найдите произведение матрицы А на число 4

hello_html_m208e8146.png

  1. Найти матрицу hello_html_1f115029.png, если

hello_html_fea5d12.png

  1. Найти матрицу hello_html_m4836bfb4.png, если

hello_html_511bbfe7.png

  1. Составьте транспонированную матрицу, полученную из А:

hello_html_m3803e51e.png

  1. Найдите произведение матриц

hello_html_9fc5618.png

  1. Найдите матрицу hello_html_m24cfb560.gif

hello_html_9fc5618.png

8. Найти произведения АВ и ВА (если это возможно).

а) hello_html_m32825b10.gif

б) hello_html_m78567e85.gif, hello_html_242557ea.gif

в) hello_html_433839c0.gif.

9. Решите задачу:

Предприятие производит продукцию трех видов и использует сырье двух типов. Нормы затрат сырья на единицу продукции каждого вида заданы матрицей hello_html_m69d90636.gifСтоимость единицы сырья каждого типа задана матрицей В=(10 15). Каковы общие затраты предприятия на производство 100 единиц продукции первого вида, 200 единиц продукции второго вида и 150 единиц продукции третьего вида?



Оhello_html_63ad78d9.gifпределитель квадратной матрицы. Определители 2-го, 3-го порядков. Правило Саррюса. Свойства определителей. Обратная матрица. Матричные уравнения.


Определителем (детерминантом) квадратной матрицы второго порядка hello_html_7ae86702.gif называется число hello_html_m477b0efa.gif.

Обозначается: hello_html_m77e71dd7.gif.

Правило, по которому вычисляется определитель матрицы второго порядка, схематически можно изобразить следующим образом:

hello_html_m6b24a9b6.gifhello_html_m33705d35.gifhello_html_m5341f819.gifhello_html_56df4093.gifили hello_html_1c6c3e24.gif

Определителем квадратной матрицы третьего порядка hello_html_m2048a863.gif называется число hello_html_6399c814.gif.

Обозначается:

hello_html_m7b3f8787.gif


1 способ вычисления определителя 3-го порядка (метод треугольников):

hello_html_mad02997.gifhello_html_m6cee8393.gifhello_html_2d3dac3f.gif

2 способ вычисления определителя 3-го порядка (метод Саррюса):

+ + + - - -

hello_html_18767150.gifhello_html_m4bef7e63.gif

3 способ вычисления определителя (разложение определителя по элементам строки или столбца):

Минором hello_html_18fb848c.gif элемента hello_html_4fcec682.gif называется определитель (n1)-го порядка hello_html_2eaafbf3.gif, полученный из определителя n-го порядка hello_html_633b1c89.gif вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Алгебраическое дополнение hello_html_m28ae5e2b.gif элемента hello_html_4fcec682.gif определяется равенством hello_html_1bb9183c.gif.

Теорема Лапласа. Если выбрано s строк матрицы с номерами i1, … ,is, то определитель этой матрицы равен сумме произведений всех миноров, расположенных в выбранных строках на их алгебраические дополнения.

hello_html_m3f4ed2ca.gif


Свойства определителей:


















Обратная матрица

Матрица hello_html_mc3f2058.gif называется обратной для квадратной матрицыhello_html_11442466.gif, если hello_html_4dafb3fd.gif.

Алгоритм нахождения обратной матрицы










1.2 Найти определитель

hello_html_m531606ef.gif

1.3 Найти определитель тремя способами

1)hello_html_m2271e602.gif 2)hello_html_m2271e602.gif 3)hello_html_m2271e602.gif

1.4 Вычислите определители второго порядка

а) hello_html_m3711162e.gif б) hello_html_2d35b200.gif в) hello_html_m417a12cb.gif г) hello_html_m55db6df1.gif д) hello_html_m4220b8d1.gif

1.5 Вычислите определители третьего порядка первым способом (а, б), вторым способом (в, г)

а) hello_html_m45d61330.gif б) hello_html_ee87642.gif в) hello_html_m691373d5.gif г) hello_html_m11c4e6f9.gif

1.6 Найти все миноры и алгебраические дополнения матрицы:

hello_html_m6b0f3408.gif

1.7 Вычислите определители третьим способом, используя разложение по строке, либо по столбцу.

а) hello_html_3d9a495d.gif б) hello_html_m501eb6b7.gif в) hello_html_297c72ab.gif

1.8 Найти обратную матрицу для матрицы hello_html_m34aaf65.gif












Основные понятия и определения: общий вид системы линейных уравнений (СЛУ) с 3-я переменными. Совместные определенные, совместные неопределенные и несовместные СЛУ. Решение СЛУ по формулам Крамера, матричным методом, методом Гаусса.

hello_html_1617f9db.gif


Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными x1, x2, x3 имеет вид:

hello_html_413cb655.gif

где hello_html_4fcec682.gif коэффициенты системы; hello_html_m324a1cbd.gif свободные члены.

Система

Условие

совместная



несовместная



определенная



неопределенная



однородная




К элементарным преобразованиям относятся:







Метод Крамера для решения систем линейных уравнений

Система из n уравнений с n неизвестными

hello_html_3f341e0b.gif

в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:

xi = i/, где

= det A, а i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов bi.

i = hello_html_4859d8fd.gif


Матричный метод решения систем линейных уравнений.

Система из n уравнений с n неизвестными

hello_html_3f341e0b.gif

Составим матрицы: A = hello_html_m6645fbff.gif; B = hello_html_m61269b38.gif; X = hello_html_377dbe54.gif.

Систему уравнений можно записать: AX = B.

Сделаем следующее преобразование: A-1AX = A-1B,

hello_html_501d0922.gif

т.к. А-1А = Е, то ЕХ = А-1В Х = А-1В


Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений


Пусть дана система 3-х линейных уравнений с 3-мя неизвестными:

hello_html_7ac9ae91.gif

Прямой ход: Путем последовательного исключения переменных система уравнений сводится к ступенчатому виду, т.е. к системе, в которой каждое последующее уравнение содержит меньшее число переменных, чем предыдущее.

Последовательное исключение переменных можно осуществить с помощью элементарных преобразований:

  1. Умножение обеих частей уравнения на одно и тоже число;

  2. Прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на некоторое число.

Замечание: Перестановка уравнений не изменяет систему, т.е. ее решение остается прежним.


Обратный ход: Из последнего уравнения непосредственно определяется неизвестная х3, затем подставляется во второе уравнение и находится х2, после чего найденные значения подставляются в первое уравнение и находится х1.


1.10 Найти решение системы уравнений методом Крамера, матричным методом, методом Гаусса:

а)hello_html_m42b49ff9.gif б)hello_html_52b6c1b9.gif в)hello_html_6f5426b1.gif

г)hello_html_2ab38e8a.gif д)hello_html_1c4b7b99.gif


Раздел 2. Математический анализ

hello_html_c345fd6.gif

Аргумент и функция. Область определения и область значений функции. Свойства функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики.


Свойства функции

  1. Область определения

  2. Множество значений

  3. Нули функции

  4. Четность, нечетность

  5. Периодичность

  6. Монотонность

  7. Экстремумы

Заполните второй столбик таблицы:

Функция, её график

Свойства функции

Линейная функция hello_html_m5e5c84bf.gif

hello_html_29a551a5.png












Степенная функция hello_html_43abd5d6.gif

hello_html_m17e316f1.pnghello_html_m5c332607.gif






Степенная функция hello_html_m3c88d5e0.gif

hello_html_m5c136c3.pnghello_html_m2a35a0d7.gif


Показательная функция hello_html_383e7ccc.gif

hello_html_m5fd24ecc.jpghello_html_m7c123e06.gif





Логарифмическая функция hello_html_33240e9d.gif

hello_html_604dad53.jpghello_html_689c5a2c.gif




Тригонометрическая функция hello_html_m737903cc.gif

hello_html_6c02b422.png











Тригонометрическая функцияhello_html_m340c6a26.gif

hello_html_55d9c8e7.png










Тригонометрическая функцияhello_html_24081ec2.gif

hello_html_m70210242.png


Тригонометрическая функцияhello_html_7cd7a257.gif

hello_html_3d678c6f.png



Чhello_html_2e9c004f.gifисловая последовательность и ее предел. Предел функции на бесконечности и в точке. Основные теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы.



Числовая последовательность и её предел

Числовая последовательность – _________________________________________________

______________________________________________________________________________


Число a называется пределом последовательности x = {xn}, если для произвольного заранее заданного сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство |xn - a| < ε.


Если число a есть предел последовательности x = {xn}, то говорят, что xn стремитсякa приhello_html_m53fd79f4.gif,ипишут hello_html_m250431f.gif


Предел функции

Число А называется пределом функции f(x) при hello_html_74501ff3.gif, если для любой последовательности аргументов hello_html_m24ca32df.gif, сходящейся к а, соответствующая последовательность значений функции hello_html_1cff9adf.gif сходится к А.

Число А называется пределом функции f(x) при hello_html_74501ff3.gif, если для любого hello_html_me25e267.gif существует такое hello_html_2d1fd6ee.gif, что для всех х, удовлетворяющих условиям hello_html_38508f4b.gif, выполняется неравенство hello_html_4e5ff91b.gif.

Обозначается hello_html_m1bb5eac5.gif


П

Функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)

редел функции в точке

hello_html_7450a76d.gify f(x)


A +

A

A -




0 a - a a + x




Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.


Число А называется пределом функции f(x) при х, если для любого числа >0 существует такое число М>0, что для всех х, х>M выполняется неравенство hello_html_5866dda2.gif

При этом предполагается, что функция f(x) определена в окрестности бесконечности.

Записывают: hello_html_6c038330.gif



Графически можно представить:


hello_html_m3e47cb99.gify y



A A




0 х 0 х


y y



A A




0 х 0 х


Основные теоремы о пределах

Если функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при ха, то

Теорема 1. hello_html_35743771.gif, где С = const.

Теорема 2. hello_html_347d111c.gif

Теорема 3. hello_html_2fd42246.gif

Следствие. hello_html_m28d73682.gif

Теорема 4. hello_html_170e5bb6.gif при hello_html_43059b84.gif

Теорема 5. hello_html_m49d97d17.gif

Теорема 6. hello_html_22d2eb49.gif


Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Функция f(x) называется бесконечно малой при ха, где а может быть числом или одной из величин , + или -, если hello_html_3bab0c24.gif.

Функция называется бесконечно большой при ха, где а – число или одна из величин , + или -, если hello_html_m7e66d6e1.gif, где А – число или одна из величин , + или -.

Обратная бесконечно малой величины является бесконечно большой величиной и наоборот.


Табличные пределы

1. hello_html_m46d3509a.gif

3. hello_html_348023aa.gif

2. hello_html_m355a3ed1.gif

4. hello_html_m356cdf93.gif




Методы вычисления пределов


1) Метод непосредственного вычисления

2) Раскрытие неопределенностей вида hello_html_m1b701c91.gif

Для того чтобы раскрыть неопределенность вида hello_html_m4eb91378.gif при отыскании предела отношения многочленов hello_html_m74f4875b.gif, нужно

  1. определить тип неопределенности,

  2. если неопределенность вида hello_html_m4eb91378.gif, то поделить числитель и знаменатель на двучлен hello_html_m40de9ea5.gif.


Замечание: При отыскании пределов от иррациональных функций с неопределенностями вида hello_html_m4eb91378.gif используется рассмотренный выше прием, но предварительно умножают числитель и знаменатель на выражения, сопряженные числителю и знаменателю

3) Раскрытие неопределенностей вида hello_html_5607dbcd.gif

Если предел отношения двух алгебраических функций при значении hello_html_mceb491f.gif дает неопределенность вида hello_html_3ee0569a.gif, то нужно числитель и знаменатель поделить на старшую степень x встречающуюся в этой функции.


4) Замечательные пределы


Пhello_html_m1eff146a.gifервый замечательный предел hello_html_7853b2ed.gif

Вhello_html_m7127ded3.gifторой замечательный предел: hello_html_2d355b45.gif или hello_html_763e378a.gif


5) Применение эквивалентных бесконечно малых функций

Эквивалентные бесконечно малые функции

При hello_html_71bc996b.gifsin x~ х

tg x ~ х

arcsin x~ х

arctg x ~ х

ln(1+x) ~ х

ex-1~ х

ax-1~ х ln a


    1. Вычислите пределы функций указанным методом:

1) Метод непосредственного вычисления

hello_html_5e6044dc.gif

2) Раскрытие неопределенностей вида hello_html_m1b701c91.gif

а)hello_html_539e1720.gif б) hello_html_m3f9d3282.gif

3) Раскрытие неопределенностей вида hello_html_5607dbcd.gif

hello_html_556c6547.gif


4) Замечательные пределы

а)hello_html_1b02e05e.gif б)hello_html_m501caaa5.gif в)hello_html_ba8b9e8.gif г)hello_html_m3abd7246.gif

д)hello_html_486fade5.gif е)hello_html_m713f79d4.gif ж)hello_html_4ecb66d8.gif.


5) Применение эквивалентных бесконечно малых функций

а)hello_html_m103b74f4.gif б)hello_html_48f3a39b.gif


    1. Вычислите пределы функций:

hello_html_m288e61d6.gif hello_html_m1f092b73.gifhello_html_md6c8136.gif

hello_html_me336b87.gif hello_html_3d27df7e.gifhello_html_bc2c670.gif

hello_html_m496fc4b1.gif з)hello_html_ab9cff8.gifи)hello_html_6792e580.gif

к)hello_html_4ca5aafd.gif л)hello_html_75af3d0f.gif м)hello_html_m4c03e5.gif

н)hello_html_m2e6f59fa.gif о)hello_html_m33bd61e1.gifп)hello_html_m123d847.gif

р)hello_html_m255af731.gif с)hello_html_50d17252.gif т)hello_html_m41cb1faf.gif

у)hello_html_m4b8bc77a.gif ф)hello_html_1b9f73fc.gif





Непрерывность функции в точке и на промежутке. Точки разрыва первого и второго рода.

hello_html_m180a6053.gif

1. Односторонние пределы

Пределом функции слева (справа) называется предел, вычисляемый в предположении, что х стремится к hello_html_m3f1f1427.gif, оставаясь всё время меньше (больше) hello_html_m3f1f1427.gif.

hello_html_4b9da313.gif- предел функции слева hello_html_316702b3.gif- предел функции справа

Пределы слева и справа называются односторонними.

hello_html_3cf2787f.gifhello_html_3cf2787f.gifу у



hello_html_64801581.gifhello_html_64801581.gif

0 х 0 х



2. Непрерывность функции

Функция hello_html_4590072c.gif называется непрерывной в точке hello_html_m50ca26fa.gif, если:




Функция hello_html_4590072c.gif называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.


3. Классификация точек разрыва

Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности (не выполняется хотя бы одно из этих условий непрерывности функции в точке), называется точками разрыва этой функции.

Пусть х0 – точка разрыва функции hello_html_1c141b5b.gif.

Тип точки разрыва

Условие

Рисунок

Точка устранимого разрыва




  • hello_html_263cbc23.gifhello_html_316702b3.gif

  • односторонние пределы -конечные

  • f0) не существует

hello_html_m683a7a1a.gif

Точка разрыва первого рода





  • hello_html_5efbb9ec.gifhello_html_316702b3.gif

  • односторонние пределы -конечные


hello_html_m683a7a1a.gif



Точка разрыва второго рода

  • hello_html_m588b77f.gifили

hello_html_m6238acc7.gifне существует

  • hello_html_m270532f7.gifили

hello_html_316702b3.gifне существует

hello_html_m374977f0.gif


    1. Найдите точки разрыва функции

а) hello_html_m1910c8de.gif

б) hello_html_643f16c7.gif

в) hello_html_33ef4e34.gif

г) hello_html_m5ab41926.gif

д) hello_html_m3dd3d6bd.gif

е) hello_html_m6624c07.gif

ж) hello_html_76a64dc4.gif

з) hello_html_m4fc04fe9.gif









Раздел 3. Дифференциальное исчисление

hello_html_7847ea26.gif

Определение производной. Геометрический смысл производной. Механический смысл производной. Производные основных элементарных функций. Дифференцирование сложных функций.


Определение производной

hello_html_m4d4aceb.gif Пусть функция f(x) определена в окрестности точки x0.

hello_html_1759f81.gif- приращением аргумента


hello_html_1e1ec838.gif- приращением функции

Производной функции f(x) в точке x0 называется

_________________________________________

_________________________________________

_________________________________________

hello_html_1797b8f1.gif

Дифференцирование ___________________________________________________________

Правила дифференцирования

Пусть U,V - дифференцируемые функции независимой переменной х, С-константа; тогда:

1)hello_html_5a0cdece.gif

2)hello_html_68f954a3.gif

3)hello_html_79663cb5.gif

4)hello_html_m2610d8e1.gif

5) Если у = f(U), U = g(x) следовательно, у = f(g(x)) - сложная функция. Производная сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной. hello_html_47a39bd8.gif


Формулы дифференцирования


Производная элементарной функции

Производная сложной функции

1

hello_html_m69dbe3b6.gif


Степенная функция

2

hello_html_6aeee9e6.gif


3

hello_html_124cb80f.gif

hello_html_m6e22df67.gif

4

hello_html_1ff222a9.gif

hello_html_9166269.gif

5

hello_html_m5ac2d0d5.gif

hello_html_3734be77.gif

Показательная функция

6

hello_html_m2d5b8b6c.gif

hello_html_20bf1f91.gif

7

hello_html_449d617c.gif

hello_html_40c415e4.gif

Логарифмическая функция

8

hello_html_6bf024e8.gif

hello_html_549422cc.gif

9

hello_html_m3abb84aa.gif

hello_html_50014403.gif

10

hello_html_287c112f.gif

hello_html_fae33e.gif

Тригонометрическая функция

11

hello_html_1161c816.gif

hello_html_m6a98c743.gif

12

hello_html_19ce6a97.gif

hello_html_66bc60ab.gif

13

hello_html_7661cc1e.gif

hello_html_2fa84a1b.gif

14

hello_html_206cf5d1.gif

hello_html_m33978365.gif

Обратная тригонометрическая функция

15

hello_html_m17f1b257.gif

hello_html_m5cf4393d.gif

16

hello_html_71cc8c3e.gif

hello_html_325c2ba3.gif

17

hello_html_m2168240.gif

hello_html_m5f0ba16e.gif

18

hello_html_m72fd7285.gif

hello_html_m3084cca6.gif


Замечание: __________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Первой дифференцируется та функция, которая вычислялась бы последней – это самое главное!

hello_html_m6f0e4a07.gifГеометрический смысл производной hello_html_m10c177e7.gif

Уравнение касательной к кривой:

hello_html_628d12ec.gif


Уравнение нормали к кривой:

hello_html_m4aa3a2b7.gif.




Физический смысл производной

Производная функции показывает _________________________________ функции.

Физический смысл производной функции s(t), где t - время, а s(t) - закон движения (изменения координат) –______________________________________движения. hello_html_6bb54637.gif

Вторая производная функции –. _____________________ hello_html_380f9451.gif

Производная высших порядков

Производная hello_html_m2340b16.gifот функции hello_html_mf39d0b9.gif называется производной первого порядка, или первой производной. Тогда производная от первой производной, если она существует, называется второй производной или производной второго порядка функции y=f(x) и обозначается hello_html_m5908212d.gif, hello_html_m4ec1d0e4.gif, hello_html_m50b18eb5.gif.

Производной n-го порядка функции y=f(x), если она существует, называется производная от производной (n-1) - порядка;

hello_html_3598c373.gif, hello_html_m72c67984.gif, hello_html_31ad296.gif

Дифференциал функции

hello_html_34262f17.gifили hello_html_5cc12b8.gif

Использование дифференциала для приближенных вычислений

hello_html_1c92f900.gif.


3.1 Найти производную функции:

а) hello_html_2ca7f5a9.gif

б) hello_html_7ec40c6a.gif

в) hello_html_m105319a0.gif

г) hello_html_f6de6af.gif

д)hello_html_m3f481732.gif

е)hello_html_4583151f.gif

ж)hello_html_m6b969516.gif

з)hello_html_m1e7bf6ab.gif

и)hello_html_m299a5343.gif

к)hello_html_fee044b.gif

л) y=hello_html_m26cfc4bc.gif

м)hello_html_77222a97.gif

н)hello_html_67498ae6.gif

о)hello_html_m5b892ca1.gif

п)hello_html_m4322d217.gif

р)hello_html_6600064e.gif

с)hello_html_130b861f.gif

т)hello_html_17c54e98.gif

у)hello_html_m5dc38c73.gif

ф)hello_html_m4f1e6c3e.gif

х)hello_html_m38247700.gif

ц)hello_html_46317f82.gif

ч)hello_html_62694a99.gif

ш)hello_html_39745e73.gif

3.2 Найти дифференциалы функции:

а) f(x) = 2 - 3x + x3

б) f(t) = t2 + cos3t – 5

в) hello_html_m226ddf7e.gif

3.3 Найти n-производную функции:

a) hello_html_28a97b65.gif

hello_html_45cd4ca7.gif



б)hello_html_5de9706a.gif

hello_html_45cd4ca7.gif



в)hello_html_2518bd4d.gif

hello_html_m3d6b0bf5.gif



г)hello_html_m4589d841.gif

hello_html_m3d6b0bf5.gif



д)hello_html_7349f0af.gif

hello_html_m3d6b0bf5.gif




Иhello_html_m33edbf80.gifсследование функции с помощью производной: интервалы монотонности и экстремумы функции. Асимптоты. Исследование функций и построение их графиков. Наибольшее и наименьшее значение функции.


Алгоритм исследования функции:










Заполните первый столбик в таблице:

Этап

Комментарии


Совокупность всех тех значений, которые принимает независимая переменная х функции y=f(x)


1. D(y) симметрична относительно 0

2. f(–x)= f(x) – функция четная (график симметричен относительно оси Оу)

f(–x)= – f(x) – функция нечетная (график симметричен относительно начала координат)


Аhello_html_m683a7a1a.gifhello_html_m683a7a1a.gifсимптота – это прямая, к которой приближаются точки графика функции при бесконечном удалении их от начала координат.

Вертикальная асимптота hello_html_13cf0fed.gif

если:hello_html_7416d3aa.gif или hello_html_m73086742.gif




Горизонтальная асимптота hello_html_551bc155.gif

если:hello_html_m2c2b5f4e.gif или hello_html_m2640b0f3.gif




Наклонная асимптота hello_html_8098714.gif

еhello_html_5b902363.gifhello_html_5b902363.gifhello_html_m683a7a1a.gifсли: hello_html_3cac72be.gif или hello_html_m5b18298b.gif







- с осью ОХ (у = 0)

- с осью ОУ (х = 0)


Найти производную f (х) данной функции f(х).

Найти критические точки (внутренние точки области определения, в которых производная функции f (х) равна нулю или не существует).

Критические точки разбивают область определения функции f(х) на интервалы, в каждом из которых производная f (х) сохраняет свой знак. Эти интервалы будут интервалами монотонности.

Определить знак производной на каждом из интервалов монотонности.

  • Если f (х) 0, то f(х) возрастает на этом промежутке.

  • Если f (х)hello_html_m7ceebba.gif 0, то f(х) убывает на этом промежутке.

Исследовать знак производной f (х) в окрестности точки х0.

Если f (х) меняет знак при переходе через точку х0 с «-» на «+», то в этой точке функция f(х) имеет минимум.

Если f (х) меняет знак при переходе через точку х0 с «+» на «-», то в этой точке функция f(х) имеет максимум.

Если f (х) не меняет знак при переходе через точку х0 , то в этой точке функция f(х) не имеет экстремумов.


  1. Найти вторую производную f (х) данной функции f(х).

  2. Найти критические точки второго рода (внутренние точки области определения, в которых вторая производная функции f (х) равна нулю или не существует).

  3. Критические точки второго рода разбивают область определения функции f(х) на интервалы, в каждом из которых производная f (х) сохраняет свой знак. Эти интервалы будут интервалами выпуклости.

  4. Определить знак второй производной на каждом из интервалов выпуклости.

  • Если f (х)> 0, то график функции f(х) выпуклый вниз.

  • Если f (х)< 0, то график функции f(х) выпуклый вверх.

  • Если f (х) меняет знак при переходе через критическую точку второго рода, то эта точка будет точкой перегиба графика функции.


Совокупность всех тех значений, которые принимает зависимая переменная у

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке

Если функция f(x) дифференцируема на интервале и непрерывна на отрезке [а; b], то для нахождения наибольшего и наименьшего значений этой функции на отрезке [а; b] нужно:






3.4 Исследовать функцию и построить её график:

а) y = 2 - 3x + x3 б)hello_html_m32b17049.gifв)hello_html_700c8b07.gif

г) hello_html_1e1d117.gif д) hello_html_m7caafb93.gif

Раздел 4. Интегральное исчисление

hello_html_1c32d9e.gif

Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов.

Метод непосредственного интегрирования. Интегрирование методом замены переменной.


Первообразная функция

Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство: F(x) = f(x).

Основное свойство первообразной: Функция f(х) имеет бесконечно много первообразных, которые отличаются друг от друга на постоянную.

Неопределенный интеграл

Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением: F(x) + C.

Записывают: hello_html_m6a95312.gif

где – знак интеграла,

f(x) dx – подынтегральное выражение,

F(x) – первообразная функции f(x),

С – константа.

Свойства неопределенного интеграла

1. hello_html_m7d02ce60.gif

2. hello_html_28920050.gif где f(x), g(x) – некоторые функции от х.

3.hello_html_12b409a2.gif


Таблица неопределенных интегралов

  1. hello_html_18168fe8.gif

  2. hello_html_4e33638b.gif

  3. hello_html_m23d20764.gif

  4. hello_html_5b67d622.gif

  5. hello_html_m5a1a7ff4.gif

  6. hello_html_m2ef27141.gif

  7. hello_html_2e0c29e.gif

  8. hello_html_6e7a0007.gif

  9. hello_html_60967d35.gif

  10. hello_html_13cc4c29.gif

  11. hello_html_42bc3b71.gif

  12. hello_html_m562bf68.gif

  13. hello_html_m274b3ec5.gif

  14. hello_html_me2499eb.gif

  15. hello_html_m1c62d011.gif

  16. hello_html_53c134f5.gif

  17. hello_html_m396a9c9f.gif

  18. hello_html_m4ff15218.gif

Методы интегрирования

1) Непосредственное интегрирование







4.1 Найдите неопределенные интегралы методом непосредственного интегрирования:

1.hello_html_3dc9749a.gif

5. hello_html_73b215da.gif

2.hello_html_m12468d49.gif

6.hello_html_m6f0bdfee.gif

3.hello_html_4eaa81db.gif

7.hello_html_mc4cd0e6.gif

4. hello_html_m3546452.gif

8. hello_html_3f6f4ed4.gif


2) Метод введения новой переменной (метод подстановки)





Алгоритм










4.2 Найдите неопределенные интегралы методом подстановки:

1.hello_html_417a528c.gif

6. hello_html_4ba9276d.gif

11. hello_html_mf6ea4cf.gif

2. hello_html_m49012137.gif

7. hello_html_6c6714a8.gif

12. hello_html_3c468e94.gif

3. hello_html_6a1ec8c1.gif

8.hello_html_599fef15.gif

13. hello_html_m6fed292d.gif

4.hello_html_m5326022e.gif

9.hello_html_6ec8f2ea.gif

14. hello_html_m4b6b0aa7.gif

5.hello_html_m4949caf6.gif

10. hello_html_mb2c5816.gif


15. hello_html_43cd9bef.gif





3) Метод интегрирования по частям осуществляется по формуле:

hello_html_m498d84de.gif

где u, v – непрерывно-дифференцируемые функции от х.


Алгоритм

Представляют интеграл через u, dv с помощью таблицы:

Интеграл вида:

hello_html_25b37be6.gif

hello_html_52849ecd.gif

hello_html_m7b8249d8.gif

hello_html_m1204033c.gif


hello_html_m724f11ae.gif

hello_html_m1d003ce7.gif

hello_html_1b2b9316.gif

hello_html_m6d99c7f3.gif

hello_html_ae0b16b.gif

hello_html_5f74a1b2.gif

hello_html_m2d1cfb6b.gif

Замена

hello_html_240155ae.gif


hello_html_5b018ab5.gif

hello_html_70719e19.gif

hello_html_3cb9ae05.gif

hello_html_47378e0c.gif


hello_html_52dbd478.gif

Замечание

Интегрируют по частям столько раз, какова степень многочлена f(x)


Интегрируют по частям два раза

где f(x) – степенная функция


4.3 Найдите неопределенные интегралы методом интегрирования по частям:

1.hello_html_m39d96038.gif

6. hello_html_40dc802b.gif

2. hello_html_m259181a2.gif

7. hello_html_7743a015.gif

3. hello_html_5e73cc59.gif

8. hello_html_284a6dc5.gif

4.hello_html_1c4106ae.gif

9. hello_html_2ad43989.gif

5. hello_html_m173749d8.gif

10. hello_html_42c74ccf.gif







Зhello_html_40b4f169.gifадача о площади криволинейной трапеции. Понятие определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенного интеграла. Вычисление площади плоских фигур, значений геометрических величин



Формула Ньютона – Лейбница: hello_html_m7f481069.gif


Методы вычисления определенных интегралов


1) Метод непосредственного интегрирования

4.4 Найдите определенные интегралы методом непосредственного интегрирования:

1. hello_html_7ab5d9a3.gif

2. hello_html_79d884ca.gif

3. hello_html_8c0d0aa.gif

2) Метод подстановки

Особенностью является только то, что, заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.

4.5 Найдите определенные интегралы методом подстановки:

1. hello_html_m65d8b3d5.gif


2. hello_html_m21d4f2ca.gif

3. hello_html_m159085d0.gif

3) Метод интегрирования по частям

4.6 Найдите определенные интегралы методом интегрирования по частям:

1. hello_html_m6b32c1ca.gif

2. hello_html_m1f9d6030.gif


hello_html_4b7c319b.jpg


Геометрический смысл определенного интеграла

Определенный интеграл численно равен площади S криволинейной трапеции, ограниченной:

  • прямыми x = а, х = b;

  • осью Ох (у = 0);

  • частью графика y = f(x) непрерывной и неотрицательной функции.


Основные случаи расположения плоской фигуры


1

hello_html_6f906967.png


hello_html_13ffdb85.gif

2

hello_html_m4796de6c.png


hello_html_m39dbde7d.gif

3

hello_html_m4185b725.png

hello_html_mc4ea672.gif

4

hello_html_mb11fe15.png

hello_html_m5cf65020.gif

5

hello_html_f3c71c6.png

hello_html_m4e063f0.gif

6

hello_html_471ecc62.png

hello_html_4982ef79.gif

7


hello_html_m3e8d9299.png

hello_html_738b9eb5.gif

8


hello_html_6a68eccb.png

hello_html_1eae0e74.gif

9

hello_html_170c49fe.png

hello_html_69ca95a3.gif

hello_html_67609f7d.gif

Алгоритм решения задач на вычисление площадей плоских фигур











4.7 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

а)hello_html_m285c4aa6.gif

б) y = x, y = x2, x = 2


Объем тел вращения







hello_html_1ba09102.gifhello_html_463ac9ad.png

hello_html_7109cc3a.png




hello_html_39754914.gif



4.8 Найти объем тела, полученного вращением

а) вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой hello_html_612ec690.gif , прямыми х = 1, х = 4 и осью Ох

б) вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной линиями х2 = 4у, у = 4, х = 0.








Раздел 5. Комплексные числа

hello_html_mcd57526.gif

Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Алгебраическая, тригонометрическая, показательная форма записи комплексных чисел.

Действия над комплексными числами



Комплексным числом z называется выражение hello_html_168005e6.gif, где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением: hello_html_62cba146.gif

a - действительная часть числа z (a = Re z),

b - мнимая часть числа z (b = Im z).


Комплексное число

Условие

чисто мнимое


действительное


комплексно – сопряженные


равные


равно нулю



Геометрическая интерпретация

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________


hello_html_9ae6d45.gifу



b A(a, b)

r


0 a x


Форма записи комплексного числа

Вид

Операции

Алгебраическая

hello_html_168005e6.gif, где


a = Re zдействительная часть


b = Im z – мнимая часть

hello_html_m70966fd6.gif

hello_html_71e458d5.gif


Сложение

hello_html_m1c65c288.gif

Вычитание

hello_html_24ff5461.gif

Умножение

hello_html_35b13378.gif

hello_html_m279b8562.gif

Деление

hello_html_61a2232e.gif

hello_html_6d5c1ba2.gif

hello_html_m3df94926.gif

Тригонометрическая

hello_html_m1bcc04bf.gif, где

hello_html_m4f2fb5a0.gifмодуль

hello_html_m67975847.gifаргумент


hello_html_m3bb09059.gif

1) Если hello_html_m1888bc8c.gif (1-ая и 4-ая координатные четверти), то аргумент нужно находить по формуле hello_html_mff94a50.gif .

2) Если hello_html_54a084a7.gif (2-ая координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле hello_html_m5733cc78.gif.

3) Если hello_html_m6e4aa158.gif (3-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле hello_html_3b994e24.gif.

hello_html_m3c5558cb.gif

hello_html_m76c2cc65.gif


Умножение

hello_html_m3db83aec.gif

Деление

hello_html_m71c8337d.gif

Возведение в степень

hello_html_m606b143e.gifформула Муавра

Извлечение корня

hello_html_6cd4845a.gif

корень n–ой степени из комплексного числа имеет n различных значений при hello_html_7eca0156.gif

Показательная

hello_html_m223e5ac0.gif, где

hello_html_m4f2fb5a0.gifмодуль

hello_html_m67975847.gifаргумент


hello_html_m7633c3e.gif

hello_html_m53298f8.gif


Умножение

hello_html_6135149d.gif

Деление

hello_html_60f49e6c.gif

Возведение в степень

hello_html_12733fb0.gif

Извлечение корня

hello_html_50505af6.gif

корень n–ой степени из комплексного числа имеет n различных значений при hello_html_7eca0156.gif

5.1 Построить на комплексной плоскости следующие комплексные числа:

hello_html_m5c918a19.pnghello_html_36fbd77c.pnghello_html_322e0cec.png hello_html_m500c1cca.pnghello_html_m6479e6e1.png

hello_html_m63117e1b.png hello_html_m6d1dc65d.pnghello_html_m4bc081ac.pnghello_html_m412654b0.pnghello_html_3ac87bcb.png

5.2 Выполнить операции над комплексными числами, записанными в алгебраической форме:

а) Сложить два комплексных числа hello_html_mc0641f9.gif

б) Найти разности комплексных чисел hello_html_m6d042e53.gif, если  hello_html_21ba50ff.gif

в) Найти произведение комплексных чисел  hello_html_m5dc6092a.gif

г) Даны комплексные числа hello_html_723fdf3e.gif. Найти частное hello_html_m5bd2bb9c.gif .

5.3 Решить квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом:

hello_html_m65efb7ff.png

5.4 Представить в тригонометрической и показательной форме комплексные числа: hello_html_586e001.gif

5.5 Дано комплексное число hello_html_5ab1839d.gif, найти hello_html_m60bbb2ac.png. Ответ запишите в тригонометрической форме.

5.6 Найти hello_html_m3b7d49d5.gif, если hello_html_m4c1b4dc2.gif . Ответ запишите в тригонометрической форме. Изобразите найденные корни на комплексной плоскости.

5.7 Найти их сумму, разность, произведение и частное чисел:

hello_html_2b6d2e79.pnghello_html_6d71fc9c.png.

5.8 Представить в тригонометрической и показательной форме комплексные числа:  hello_html_5227c3e8.png, hello_html_62aabd93.png

5.9 Представить в алгебраической и показательной форме комплексные числа: hello_html_4d737744.gif, hello_html_7f90658a.gif

5.10 Найти hello_html_68b00e2b.png, если hello_html_m6d24c170.gif, Полученный аргумент (угол) упростить, результат представить в алгебраической форме.

5.12 Для числа hello_html_m2c668539.gif найти:

а) тригонометрическую форму,

б) найти z20,

в) найти hello_html_m3b7d49d5.gif, изобразите найденные корни на комплексной плоскости.







Раздел 6. Теория вероятностей и математическая статистика

hello_html_m453b5185.gif

Элементы комбинаторного анализа: размещения, перестановки, сочетания. Формула Ньютона. Случайные события.

Вероятность события. Простейшие свойства вероятности



Комбинаторика


hello_html_m2e38c9f9.gifhello_html_6345b98c.gifМножество (n)


Пhello_html_m5b9f387a.gifhello_html_6d51518c.gifодмножество (m)

Множество (n)

hello_html_abc50b0.gif

Порядок важен

hello_html_abc50b0.gif

Пhello_html_abc50b0.gifорядок неважен

Пhello_html_abc50b0.gifорядок важен

Размещения

Сочетания

Перестановки

hello_html_34cda12e.gif

hello_html_m74054e3f.gif

hello_html_m69d17572.gif


Теория вероятностей


Классическое определение вероятности события

hello_html_m8fb3e58.gif, где

hello_html_m7b6a49c1.gif- число элементарных исходов;

hello_html_1e4e4187.gif- число исходов благоприятствующих появлению события hello_html_657eb6b3.gif.

Теорема сложения вероятностей двух несовместных событий

hello_html_m7598181c.gif

Сумма вероятностей противоположных событий

hello_html_m7c167d13.gif

Теорема сложения вероятностей двух совместных событий

hello_html_m29121e44.gif

Условная вероятность


hello_html_2995d5c8.gif

Вероятность произведения двух зависимых событий

hello_html_m6be52d6f.gif

Вероятность произведения двух независимых событий

hello_html_4372a778.gif

Формула полной вероятности



hello_html_m665b773a.gif

Формула Байеса

hello_html_m7fb2f8c4.gif,

где к=1,2,…n, Р(А) находится по формуле полной вероятности

Формула Бернулли


hello_html_459ee0a3.gif

6.1 Решите комбинаторные задачи:

1. Сколько различных рейтингов можно составить для 8 человек?

2. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любым из 5 языков на любой другой (русский, английский, французский, немецкий, итальянский)

3. Сколько различных хорд можно провести через 6 точек, лежащих на окружности.


6.2 Решите задачу по классическому определению вероятности:

В ящике находится 10 деталей: 8 стандартных и 2 нестандартных. Наудачу вынимаем три детали. Какова вероятность того, что среди этих трех деталей 2 окажутся бракованными?


6.3 Решить задачи на сумму и произведение вероятностей

1. Из полной колоды карт (52 шт.) одновременно вынимают четыре карты. Найти вероятность того, что среди этих четырех карт будет хотя бы одна бубновая или одна червонная карта.

2. В барабане револьвера находятся 4 патрона из шести в произвольном порядке. Барабан раскручивают, после чего нажимают на спусковой крючок два раза подряд. Найти вероятности хотя бы одного выстрела.

3. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков.

4. Вероятность того, что взятая наугад деталь из некоторой партии деталей, будет бракованной равна 0,2. Найти вероятность того, что из трех взятых деталей 2 окажется не бракованными.

5. Последовательно послано четыре радиосигнала. Вероятности приема каждого из них не зависят от того, приняты ли остальные сигналы, или нет. Вероятности приема сигналов равны соответственно 0,2, 0,3, 0,4, 0,5. Определить вероятность приема трех радиосигналов.

6. Двадцать экзаменационных билетов содержат по два вопроса, которые не повторяются. Экзаменующийся знает ответы только на 35 вопросов. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на два вопроса одного билета или на один вопрос одного билета и на указанный дополнительный вопрос из другого билета.

7. Вероятность поражения мишени при одном выстреле первым стрелком равна 0,8, а вторым стрелком 0,9. Найти вероятность того, что оба стрелка поразят мишень.


6.4 Решить задачу по формуле Бернулли:

По цели производится 5 выстрелов. Вероятность попадания для каждого выстрела равна 0,4. Найти вероятность того, что в цель попали не менее трех раз.

Задачи математической статистики. Выборка. Вариационный ряд

hello_html_7161270e.gif

Случайной величиной _________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ Случайные величины можно разделить на две категории.

ДСВ

НСВ

Дискретной (прерывной) величиной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.


Непрерывной случайной величиной называют случайную величину у которой функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Множество может быть как конечным, так и бесконечным


Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно

Пример: игральные кости. Выпадаемый номер - случайная величина, которая может принимать одно из возможных значений - 1, 2, 3, 4, 5 или 6 с равной вероятностью


Пример: рост студентов - рост студента может принимать любое значение из числового промежутка 1 м до 2,5 м. Число возможных значений - бесконечно.

Законом распределения ДСВ называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически

При табличном задании (ряд распределения ДСВ) - первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая – их вероятности:

x

x1

x2

. . .

хn

р

p1

p2

. . .

pn

Графическое представление этой таблицы называется многоугольником распределения.  По оси абсцисс откладываются возможные значения дискретной случайной величины, а по оси ординат соответствующие вероятности.

hello_html_m11e6561d.png

Функция hello_html_m5853afa2.gif  называется функцией распределения случайной величины Х.

Для дискретной случайной величины

hello_html_m29351a0a.png

где     xi - значения, принимаемые случайной величиной Х;

P(xi) - значения вероятностей при X  = xi;

х - некоторое фиксированное значение Х.

hello_html_1a4c9d69.png

График функции распределения дискретной случайной величины представляет собой разрывную ступенчатую линию, скачки которой происходят в точках, соответствующих значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков F(x) равна 1.


Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (а, b) вычисляется по формуле:

1 способ: hello_html_m6d5b4fff.gif.

2 способ: hello_html_m4fd69053.gif

Плотностью распределения вероятности НСВ Х называют функцию hello_html_4495696d.gif - первую производную от функции распределения hello_html_66f0907f.gif: hello_html_44d5c3dd.gif.

Кривая, изображающая плотность распределения, называется кривой распределения

hello_html_45ec07eb.png


Числовые характеристики ДСВ:

  1. Математическое ожидание:

hello_html_2bd852b.gif

(среднее арифметическое значений случайной величины)

  1. Дисперсия:

hello_html_2b6f39d6.gifили hello_html_mfa89097.gif

(мера разброса случайной величины)

  1. Среднее квадратическое отклонение:

hello_html_24b371f6.gif

(стандартное отклонение случайной величины)


Числовые характеристики НСВ:

  1. Математическим ожиданием:

hello_html_m71caf9aa.gif

2. Дисперсия:

hello_html_7421e37c.gifили hello_html_67d07d34.gif

3. Среднее квадратическое отклонение:

hello_html_m760797ae.gif


6.5 Решите задачи математической статистики:

1. Закон распределения случайной величины имеет вид:

X

0

1

2

p

0,0625

0,375

0,5625

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.


2. Испытывается устройство, состоящее из четырех независимо работающих приборов. Вероятности отказа каждого из приборов равны соответственно р1=0,3; p2=0,4; p3=0,5; p4=0,6. Найти математическое ожидание и дисперсию числа отказавших приборов, построить многоугольник распределения.


3. Задана ДСВ Х

xi

2

5

9

pi

0.3

0.4

0.3

Найти: 1) Функцию распределения F(х) ДСВ и построить ее график.

  1. M(x), D(x),б(x).


4. Определить функцию распределения числа гербов при четырех подбрасываниях монеты.


5. Закон распределения случайной величины имеет вид:

X

0

1

2

p

0,0625

0,375

0,5625

  1. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

  2. Постройте многоугольник распределения.

  3. Составьте функцию распределения.

  4. Постройте график функции распределения.



Список вопросов для самоконтроля


Раздел 1. Линейная алгебра

  1. Сформулируйте понятие матрицы.

  2. Какие бывают типы матриц.

  3. Назовите действия над матрицами.

  4. Что такое определитель квадратной матрицы.

  5. Дайте определения определителей 2-го, 3-го порядков.

  6. Сформулируйте свойства определителей.

  7. Что такое обратная матрица, когда она существует.

  8. Как решаются матричные уравнения.

  9. Назовите общий вид системы линейных уравнений с 3-я переменными.

  10. Сформулируйте суть решения системы линейных уравнений по формулам Крамера.

  11. Сформулируйте суть решения системы линейных уравнений матричным методом.

  12. Сформулируйте суть решения системы линейных уравнений методом Гаусса.

Раздел 2. Математический анализ

  1. Дайте определение следующим понятиям: аргумент и функция, область определения и область значений функции.

  2. Назовите основные свойства функции.

  3. Что такое числовая последовательность и ее предел.

  4. Сформулируйте основные теоремы о пределах.

  5. Назовите первый и второй замечательные пределы.

  6. Дайте определение непрерывности функции в точке и на промежутке.

  7. Дайте классификацию точек разрыва функции.

Раздел 3. Дифференциальное исчисление

  1. Дайте определение производной.

  2. Сформулируйте геометрический и механический смысл производной.

  3. Назовите правила дифференцирования.

  4. Назовите формулы дифференцирования.

  5. Как дифференцируют сложные функции.

  6. Как можно исследовать функцию с помощью производной.

  7. Как найти асимптоты.

  8. Сформулируйте алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции.

Раздел 4. Интегральное исчисление

  1. Что такое первообразная и неопределенный интеграл.

  2. Назовите основные свойства неопределенного интеграла.

  3. Назовите таблица интегралов.

  4. Какие бывают методы интегрирования. В чем их суть?

  5. В чем состоит задача о площади криволинейной трапеции.

  6. Дайте понятие определенного интеграла.

  7. Сформулируйте свойства определенного интеграла.

  8. Назовите формулу Ньютона-Лейбница.

  9. Как вычислить площадь плоских фигур, значений геометрических величин.

Раздел 5. Комплексные числа

  1. Дайте определение комплексного числа.

  2. В чем состоит геометрическая интерпретация комплексных чисел.

  3. Назовите формы записи комплексных чисел. Как выполнять действия над ними.

Раздел 6. Теория вероятностей и математическая статистика

  1. Дайте определения: размещения, перестановки, сочетания.

  2. Что такое случайные события, вероятность события.

  3. Назовите основные формулы теории вероятностей.

  4. Сформулируйте задачи математической статистики.


Справочные материалы


Таблица квадратов двузначных чисел

десятки

единицы

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

100

121

144

169

196

225

256

289

324

361

2

400

441

484

529

576

625

676

729

784

841

3

900

961

1024

1089

1156

1225

1296

1369

1444

1521

4

1600

1681

1764

1849

1936

2025

2116

2209

2304

2401

5

2500

2601

2704

2809

2916

3025

3136

3249

3364

3481

6

3600

3721

3844

3969

4096

4225

4356

4489

4624

4761

7

4900

5041

5184

5329

5476

5625

5776

5929

6084

6241

8

6400

6561

6724

6889

7056

7225

7396

7569

7744

7921

9

8100

8281

8464

8649

8836

9025

9216

9409

9604

9801

Формулы сокращенного умножения

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

a2 – b2 = (a – b)(a + b)

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a – b)3 =a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

a3 + b3 = (a+b)(a2 –ab + b2)

a3 – b3 = (a – b )(a2 + ab + b2)


Квадратное уравнение

ax2 + bx + c = 0, где a, b, chello_html_m289d78ff.gifR, аhello_html_3750bfcb.gif0, х – неизвестное

Дискриминант D = b2 - 4ac

  • Если D<0, то квадратное уравнение действительных корней не имеет.

  • Если D=0, то уравнение имеет два равных корня равные hello_html_m3dac2b79.gif

  • Если D>0, то уравнение имеет два различных корня: x­1­=hello_html_m6611ff1.gif, x2=hello_html_m777d7022.gif


Степень с натуральным показателем

hello_html_61cbc14f.gif, где а – любое действительное число, n >1.

При n =1 считают по определению hello_html_1f527d7f.gif= а.

Для любых а и b и любых натуральных m и n:

1. hello_html_cad1917.gif

  1. hello_html_7392dfa3.gif

  2. hello_html_59ece8ac.gif, если hello_html_m6c9402f.gif, n>m

  3. hello_html_2387cc0a.gif

  4. hello_html_m3475398d.gif, если hello_html_m3b553b25.gif

  5. hello_html_4885f436.gif

  6. hello_html_m531985b1.gif

  7. hello_html_240c3705.gif

  8. если hello_html_502882ae.gif

  9. если hello_html_m20cac80c.gif, то hello_html_3438dbdc.gif

  10. еhello_html_m7169dc6.gifсли hello_html_m4f5b3c24.gif, тоhello_html_m5585a0f0.gif

если hello_html_22e0644b.gif, то hello_html_debd594.gif


Степень с нулевым показателем

hello_html_mfef16.gif, 00 – не имеет смысла


Степень с отрицательным целым показателем

hello_html_m2eb20855.gif, hello_html_m6fae5dbb.gif- не имеет смысла


Степень с рациональным показателем

hello_html_m4c490d7a.gif, где m – целое, n – натуральное


Арифметический корень n-степени

Для любых а>0 и b>0 и любых натуральных m и n:

  1. hello_html_macf6081.gif

  2. hello_html_m361bf11d.gif

  3. hello_html_247db5da.gif, если hello_html_m3b553b25.gif

  4. hello_html_m4491c36f.gif

  5. hello_html_7f8fe757.gif

hello_html_m7169dc6.gif|a|, если n2 – чётное натуральное число

  1. hello_html_m6302e849.gifn=

а, если n3 – нечётное натуральное число


Логарифм числа

Логарифмом числа с по основанию а (при а>0, hello_html_m6c9402f.gif) называется показатель степени в, в которую надо возвести основание а, чтобы получить число с.

Т.е. если hello_html_m3457afa.gif, то можно записать hello_html_m543f6340.gif

Основное логарифмическое тождество hello_html_m19474e82.gif

Основные свойства логарифмов (hello_html_m79691a34.gif)

  1. Отрицательные числа и нуль не имеют логарифма

  2. hello_html_32f87776.gif

  3. hello_html_m79bf3607.gif

  4. hello_html_4704aa54.gif

  5. hello_html_25ff4c4b.gif

  6. hello_html_m377ef6c9.gif

  7. hello_html_2fd3d4af.gif

  8. hello_html_m16ca6e64.gif

Формула перехода от логарифмов по одному основанию к логарифмам по другому основанию:

hello_html_99ecd33.gif


Тригонометрия

О

y

hello_html_m21754e6a.gifпределение тригонометрических функций действительного числа

hello_html_m7d654d63.gifhello_html_44a30e1e.gif

Sin x

hello_html_m79e1ac6a.gifОрдината точки hello_html_m7d654d63.gif, полученной при вращении точки А на hello_html_284e617c.gif радиан вокруг начала координат называется синусом числа hello_html_284e617c.gif.

Абсцисса точки hello_html_m7d654d63.gif, полученной при вращении точки А на hello_html_284e617c.gif радиан вокруг начала координат называется косинусом числа hello_html_284e617c.gif.

Тангенсом числа hello_html_284e617c.gifназывается отношение синуса этого числа к его косинусу. hello_html_12c46c08.gif

Котангенсом числа hello_html_284e617c.gifназывается отношение косинуса этого числа к его синусу. hello_html_5936721.gif

Значение тригонометрических функций в основных углах

hello_html_4d48eff7.gif

00

300

450

600

900

1800

2700

3600

hello_html_25697b34.gif

0

hello_html_73bcebfc.gif

hello_html_m147ec911.gif

hello_html_m55a89793.gif

hello_html_2c38cbcf.gif

hello_html_m74733c04.gif

hello_html_m527f33da.gif

hello_html_m34f4ad96.gif

Sin hello_html_284e617c.gif

0

hello_html_m3d4efe4.gif

hello_html_18bb84e9.gif

hello_html_m9b24522.gif

1

0

1

0

Cos hello_html_284e617c.gif

1

hello_html_m9b24522.gif

hello_html_18bb84e9.gif

hello_html_m3d4efe4.gif

0

1

0

1

Tg hello_html_284e617c.gif

0

hello_html_m60f7e3e3.gif

1

hello_html_m980c3de.gif

0

0

Chello_html_7da735f2.giftg hello_html_284e617c.gif

hello_html_m980c3de.gif

1

hello_html_m60f7e3e3.gif

0

0


Т

у

hello_html_m980c3de.gif

hello_html_m34809f5a.gifригонометрический круг

Ось котангенсов

hello_html_336d5977.gif

hello_html_9603800.gif


1

-1

-hello_html_m980c3de.gif

hello_html_m980c3de.gif


hello_html_58c80266.gif

hello_html_m3685a886.gif

hello_html_m311ab2d6.gif

hello_html_336d5977.gif


hello_html_m240329e3.gif





Ось косинусов

х

hello_html_m240329e3.gif

hello_html_33bd56f3.gif

hello_html_m69b34e7e.gif

hello_html_58c80266.gif

hello_html_m311ab2d6.gif

hello_html_3f353f89.gif

-1


0

1


hello_html_33bd56f3.gif



hello_html_3f353f89.gif

hello_html_9603800.gif


hello_html_38183dde.gif


-1




Ось тангенсов

-hello_html_m980c3de.gif

Ось синусов


Список литературы


  1. Лисичкин В.Т., Соловейчик И. Л. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие. 3-е изд., стер. – СПб.: – Издательство «Лань», 2011 – 464 с.

  2. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для студентов образовательных учреждений среднего профессионального образования. 3-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2010 – 304 с.hello_html_m5c918a19.png




57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Краткое описание документа:

Рабочая тетрадь по дисциплине «Математика» предназначены для работы студентов очной формы обучения на занятии как самостоятельно, так и под руководством преподавателя. Содержит основной теоретический материал и список заданий для решения по всему курсу дисциплины. Может быть полезна студентам, обучающимся в системе среднего профессионального образования, как для самостоятельного изучения материала, так и для систематизации знаний и умений по курсу.

Автор
Дата добавления 18.05.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров654
Номер материала 286701
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх