Решение задач по теме "Медиана прямоугольного треугольника"

• 1 слайд

  Медиана прямоугольного треугольника.
  Теорема: Медиана прямоугольного треугольника проведенная из прямого угла, равна половине гипотенузы
  
  Дано: АВС – прямоугольный треугольник, O – середина АВ,
  СО - медиана,
  CO = ½AB = R
  Теорема (обратная): если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
  СО – медиана, СО = ½ АВ => АВС – прямоугольный.
  

• 2 слайд

  Задача №2
  Через основания биссектрис АD равнобедренного треугольника АВС с вершиной В проведен перпендикуляр к этой биссектрисе, пересекающей прямую АС в точке Е. Найдите отрезок АЕ, если известно, что СD = 4.
  Дано: АВС – равнобедренный треугольник.
  М – середина АЕ, СD = 4,
  DM = медиана,
  Найти: АЕ
  
  Решение:
  1)DM – медиана прямоугольного треугольника АDE, проведенная из вершины прямого угла, => АМ = DM = МЕ,
  2) угол ВАС = угол ВСА = α. По теореме о внешнем угле
  => треугольник DCM – равнобедренный. Следовательно, АЕ = 2DM = 2DC = 8
  Ответ : 8.
  

• 3 слайд

  Задача №1.2
  Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна m и делит прямой угол в отношении 1:2. Найдите стороны треугольника.
  Дано: АВС – прямоугольный треугольник, угол C – прямой,
  CО = m
  Найти: АВ, ВС, СВ
  Решение:
  1)
  2)CО – медиана, по теореме
  AB=2m
  3) По свойству прямоугольного треугольника:
  из АВС : АС = m
  4) По теореме Пифагора:
  Ответ: 2m, m,
  

• 4 слайд

  Задача №1.3
  Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разбивает его на два треугольника с периметрами 8 и 9. Найдите стороны треугольника.
  Дано АВС – прямоугольный треугольник,
  СО – медиана, РАСО = 8; РСОВ = 9.
  Найти: АВ, АС, СВ.
  Решение:
  1) Обозначим через x – СО; тогда по теореме СО = АО = ОВ = x
  y – AC; CB – z.
  2) РАСО = АС + АО + СО; РСОВ = CB + OB + CO;
  AC + AO + CO = 8 AC + 2x = 8 AC = 8 – 2x AC > CB
  CB + OB + CO = 9; CB + 2x = 9; CB = 9 – 2x; CB = 1 + AC;
  3)
  => x=2,5
  Ответ: 3, 4, 5.
  

• 5 слайд

  №1.4.
  В треугольнике ABC к стороне AC проведены высота BK и медиана MB, причем AM=BM. Найдите косинус угла KBM, если AB=1, BC=2.
  В
  2
  А
  М
  К
  К
  С
  1
  Дано:
  ABC; BK – высота, MB – медиана, AM=BM; AB=1, BC=2.
  Найти: cosKBM.
  Решение:
  1) По условию AM=BA
  MAB=
  MBA;
  ABM – равнобедренный.
  2) AM=MC=BM
  BAC – прямоугольный.
  3) BM=
  4) Из
  
  5) Из
  Ответ: