Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / СБОРНИК МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

СБОРНИК МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»

библиотека
материалов


hello_html_53c3a21d.png


Выксунский филиал

Федерального Государственного автономного образовательного учреждения

высшего профессионального образования

«национальный исследовательский технологический университет

«МИСиС»

Положение о

Педагогическом Совете СПО






СБОРНИК МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ

ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА

ПО ВЫПОЛНЕНИЮ

ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

ДИСЦИПЛИНА «МАТЕМАТИКА» ( 2 Курс)

профильный цикл


технический профиль


специальности:

150412 Обработка металлов давлением

151031 Монтаж и техническая эксплуатация промышленного оборудования (по отраслям)

140448 Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования (по отраслям)

140102 Теплоснабжение и теплотехническое оборудование



ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ




Выкса, 2013 г.

ОДОБРЕНО

УТВЕРЖДЕНО.

На заседании методического совета

Протокол №______

от «____»______________ 2013г.

Начальник по УМР________________


«____»____________ 2013 г.

на заседании ЦК ЕН

Протокол №______

от «____»______________2013 г.

Председатель ЦК

_____________ Осипова В.М.

«_____»_____________ 2013г.



Методические указания для выполнения практических работ являются частью основной профессиональной образовательной программы ВФ НИТУ МИСиС СПО «Выксунский металлургический техникум» по всем специальностям СПО 1 в соответствии с требованиями ФГОС СПО третьего поколения.

Методические указания по выполнению практических работ адресованы студентам очной и очно-заочной форм обучения.

Методические указания включают в себя учебную цель, перечень образовательных результатов, заявленных во ФГОС СПО третьего поколения, задачи, обеспеченность занятия, краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме, вопросы для закрепления теоретического материала, задания для практической работы студентов и инструкцию по ее выполнению.



Организация - разработчик: Выксунский филиал Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС»


Разработчики: Осипова В.М. преподаватель ВФ НИТУ «МИСиС» СПО


Рецензент:Никольский Е.В.- кандидат пед наук, преподаватель ВФ НИТУ «МИСиС»
















Пояснительная записка

Практические занятия служат связующим звеном между теорией и практикой. Они необходимы для закрепления теоретических знаний, полученных на уроках теоретического обучения, а так же для получения практических знаний. Практические задания выполняются студентом самостоятельно, с применением знаний и умений, полученных на уроках, а так же с использованием необходимых пояснений, полученных от преподавателя при выполнении практического задания. К практическому занятию от студента требуется предварительная подготовка, которую он должен провести перед занятием. Список литературы и вопросы, необходимые при подготовке, студент получает перед занятием из методических рекомендаций к практическому занятию.

Практические задания разработаны в соответствии с учебной программой. В зависимости от содержания они могут выполняться студентами индивидуально или фронтально.

Зачет по каждой практической работе студент получает после её выполнения и предоставления в печатном или электронном виде, оформления отчета в котором указывает полученные знания и умения в ходе выполнения практической работы, а также ответов на вопросы преподавателя, если таковые возникнут при проверке выполненного задания.



Содержание

Практическая работа №1 Функции одной переменной и их свойства…5

Практическая работа №2 Предел последовательности и предел функции. Замечательные пределы………………………………………………………...11

Практическая работа №3 Непрерывность функции, точки разрыва…..16

Практическая работа №4 Производная и ее геометрический смысл. Правило Лопиталя……………………………………………………………...18

Практическая работа №5 Интеграл. Методы интегрирования. Определенный интеграл………………………………………………………...28

Практическая работа №6 Применение определенного интеграла для вычисления площадей, длин и объемов фигур………………………………..38

Практическая работа №7 Матрицы и действия с ними. Определитель матрицы…………………………………………………………………………..46

Практическая работа №8 Системы линейных алгебраических уравнений и методы их решения……………………………………………………………52

Практическая работа №9 Комплексные числа и действия с ними……..60

Рекомендуемая литература………………………………………………….79

ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ


п.п.

Темы практических работ


Кол-во часов

1

Функции одной переменной и их свойства.

2

2

Предел последовательности и предел функции. Замечательные пределы

2

3

Непрерывность функции, точки разрыва

2

4

Производная и ее геометрический смысл. Правило Лопиталя

2

5

Интеграл. Методы интегрирования. Определенный интеграл…

2

6

Применение определенного интеграла для вычисления площадей, длин и объемов фигур

4

7

Матрицы и действия с ними. Определитель матрицы.Вычисление определенного интеграла .Нахождение площади плоской фигуры.

2

8

Системы линейных алгебраических уравнений и методы их решения

4

9

Комплексные числа и действия с ними..

2


ИТОГО

22














КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ


Практические работы оцениваются по пятибалльной системе.


Оценка

Критерии оценки (содержательная характеристика)

«2»

Работа выполнена полностью. Студент не владеет теоретическим материалом, допуская ошибки по сущности рассматриваемых (обсуждаемых) вопросов, испытывает затруднения в формулировке собственных обоснованных и аргументированных суждений, допускает ошибки при ответе на дополнительные вопросы.

«3»

Работа выполнена полностью. Студент владеет теоретическим материалом на минимально допустимом уровне, отсутствуют ошибки при описании теории, испытывает затруднения в формулировке собственных обоснованных и аргументированных суждений, допуская незначительные ошибки на дополнительные вопросы.

«4»

Работа выполнена полностью. Студент владеет теоретическим материалом, отсутствуют ошибки при описании теории, формулирует собственные, самостоятельные, обоснованные, аргументированные суждения, допуская незначительные ошибки на дополнительные вопросы.

«5»

Работа выполнена полностью. Студент владеет теоретическим материалом, отсутствуют ошибки при описании теории, формулирует собственные, самостоятельные, обоснованные, аргументированные суждения, представляет полные и развернутые ответы на дополнительные вопросы.









МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ

Практическая работа №1

Тема: Функции одной переменной и их свойства.

Цель: сформировать умение использовать свойства функции для ее исследования, решать задачи и упражнения по данной теме.


Теоретические сведения к практической работе

Если каждому элементу х из множества Х по некоторому правилу f поставлен в соответствие элемент у множестваY, то говорят, что на множестве Х определена функция со значениями в множестве Y, и записывают y=f(х).

Множество Х называется областью определения функции D(f), а множество Y – областью значений функции E(f).

Пример 1. Найти область определения функции

hello_html_m2e68d9ee.gif

Основные свойства функции:

  1. Четность и нечетность. Функция y=f(x) называется четной, если для любых значений х из области определения f(-x)=f(x), и называется нечетной, если f(-x)=-f(x). В противном случае функция y=f(x) называется функцией общего вида.

Пример 2. Установить четность или нечетность функции.

hello_html_m2ac71795.gif

  1. Монотонность. Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке Х из области определения, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.

  2. Ограниченность. Функция y=f(x) называется ограниченной на некотором промежутке Х из области определения, если существует число М>0, такое, что hello_html_m41bf78b5.gif для любого hello_html_2e08a9a3.gif.

  3. Периодичность. Функция y=f(x) называется периодической с периодом Т>0, если для любых значений х из области определения f(x+T)=f(x-T)=f(x).



Если каждому значению цены p за единицу товара поставлено в соответствие число q – количество товара, которое потребители готовы купить по данной цене за определенный промежуток времени, то говорят, что задана функция спроса, и пишут q=f(p).

Эта функция определена для тех значений hello_html_m18d151ae.gif, для которых hello_html_54316767.gif и множество ее значений hello_html_2eb870c3.gif.

График функции спроса называют кривой спроса.

Пример 3. Функция спроса на некоторый товар имеет вид hello_html_m69319b58.gif, где q – количество товара (тыс. шт.); p – цена единицы товара (руб.). Требуется найти:

  • Область определения и множество значений этой функции

  • Функцию цены в виде hello_html_158aa7dd.gif

  • Объем спроса при ценах на товар: hello_html_3b9df56c.gif

  • Цену за единицу товара, если hello_html_3e8a92bf.gif,

  • Выручку продавцов в каждом из этих случаев.

Решение: 1) Получим систему неравенств:

hello_html_3e611ca0.gif

Выразим значение p через q:

hello_html_56156f91.gif

Из закона спроса следует, что с увеличением цены р от нуля до 3500 руб. спрос должен падать. В нашем случае функция q убывает в промежутке hello_html_2d080253.gif, следовательно, множество значений функции hello_html_2d40fcb7.gif.

  1. Функция цены имеет вид hello_html_m101918e4.gif

  2. hello_html_m5758956e.gif

  3. hello_html_3b55c91b.gif

  4. Выручка от продажи составляет hello_html_3d4d7868.gif, следовательно,

hello_html_m24b281c3.gif



Если каждому значению цены p за единицу товара поставлено в соответствие число q – количество товара, которое производители готовы продать по данной цене за определенный промежуток времени, то говорят, что задана функция предложения, и пишут q=φ(p).

Эта функция определена для тех значений hello_html_m18d151ae.gif, для которых hello_html_m641b8976.gif и множество ее значений hello_html_2eb870c3.gif.

Пример 4. Функция предложения некоторого товара на рынке имеет вид hello_html_8e39250.gif, где q – количество предлагаемого товара (тыс. шт.); p – цена единицы товара (руб.). Требуется найти:

  • Область определения и множество значений функции q

  • Объем предложения при ценах за единицу товара: hello_html_m2074fc57.gif

  • Зависимость цены за единицу товара от объема спроса, т.е. функцию hello_html_5e077465.gif

Решение: 1) Найдем область определения:

hello_html_173ee270.gif

Множество значений функции q при hello_html_3d311315.gif будет hello_html_m667ee33d.gif.

  1. При hello_html_789af1f3.gif

  2. Найдем функцию hello_html_5e077465.gif

hello_html_4cb7089f.gif



Содержание практической работы:

Задание 1. Найти область определения функции

hello_html_3acc32de.gif

Задание 2. Установить четность или нечетность функции.

hello_html_m1bbad08.gif

Задание 3. а) Функция спроса на некоторый товар имеет вид hello_html_m4c5325f2.gif, где q – количество товара (тыс. шт.); p – цена единицы товара (руб.). Требуется найти:

  • Область определения и множество значений этой функции

  • Функцию цены в виде hello_html_158aa7dd.gif

  • Объем спроса при ценах на товар: hello_html_m6ef695cd.gif

  • Цену за единицу товара, если hello_html_11159f4a.gif,

  • Выручку продавцов в каждом из этих случаев.



б) Функция спроса на некоторый товар имеет вид hello_html_708f07d1.gif, где q – количество товара (тыс. шт.); p – цена единицы товара (руб.). Требуется найти:

  • Область определения и множество значений этой функции

  • Функцию цены в виде hello_html_158aa7dd.gif

  • Объем спроса при ценах на товар: hello_html_4edf5e87.gif

  • Цену за единицу товара, если hello_html_m350a4169.gif,

  • Выручку продавцов в каждом из этих случаев.



Задание 4. а) Функция предложения некоторого товара на рынке имеет вид hello_html_m7f60e47c.gif, где q – количество предлагаемого товара (тыс. шт.); p – цена единицы товара (руб.). Требуется найти:

  • Область определения и множество значений функции q

  • Объем предложения при ценах за единицу товара: hello_html_2b366878.gif

  • Зависимость цены за единицу товара от объема спроса, т.е. функцию hello_html_5e077465.gif

б) Функция предложения некоторого товара на рынке имеет вид hello_html_m570b5ee6.gif, где q – количество предлагаемого товара (тыс. шт.); p – цена единицы товара (руб.). Требуется найти:

  • Область определения и множество значений функции q

  • Объем предложения при ценах за единицу товара: hello_html_m450cd694.gif

  • Зависимость цены за единицу товара от объема спроса, т.е. функцию hello_html_5e077465.gif











Практическая работа №2

Тема: Предел последовательности и предел функции. Замечательные пределы.

Цель: сформировать умение находить пределы последовательностей и пределы функций, использовать замечательные пределы для нахождения пределов.

Теоретические сведения к практической работе

Пусть существует последовательность действительных чисел hello_html_m36047dfd.gif.

Число а называется пределом последовательности

hello_html_m4106264e.gif

Пример 1. Вычислить предел hello_html_72fddbc3.gif

Решение hello_html_6255dfa3.gif

Пример 2. Вычислить предел hello_html_13abb0cc.gif

Решение hello_html_m1303745a.gif

Пример 3. Вычислить предел hello_html_56a18c1b.gif

Решение hello_html_m6543bd7c.gif

Пример 4. Вычислить предел hello_html_m747f8c9e.gif

Решение hello_html_m33a15c51.gif

Число А называют пределом функции f(x) при hello_html_m4ed4841d.gif (и пишут hello_html_m3490a9ea.gif), если для любого hello_html_m60cc1791.gif найдется число hello_html_m42e97cf6.gif зависящее от , такое, что для всех hello_html_3acda6be.gif, удовлетворяющих условию hello_html_m108b15d7.gif, выполняется неравенство hello_html_2d1e3683.gif

Теоремы о пределах:

1. hello_html_42468a19.gif (c=const).

2. Если hello_html_m42ae3a8c.gif то:

hello_html_2c5912cd.gif

hello_html_m542ce3a7.gif

hello_html_m453f7170.gif

Первый замечательный предел: hello_html_4e8aea5e.gif

Второй замечательный предел (число е = 2,718…):

hello_html_38ac63ef.gif или hello_html_7638116c.gif

Замечательные пределы:

hello_html_m11e35650.gif hello_html_m660c561d.gif

hello_html_m36d09970.gif hello_html_m647f485b.gif

hello_html_m3fb0b540.gif

Пример 5. Вычислить предел hello_html_247b9c6e.gif

Решение hello_html_35743dd5.gif

Пример 6. Вычислить предел hello_html_19749a79.gif

Решение hello_html_5b9fedec.gif

Пример 7. Вычислить предел hello_html_7430b247.gif

Решение hello_html_743fb029.gif

Пример 8. Вычислить предел hello_html_m16e29244.gif

Решение

hello_html_256a2c41.gif



Чтобы найти предел элементарной функции hello_html_6c0b95c0.gif нужно предельное значение аргумента подставить в функцию и посчитать. При этом, если х=х0 принадлежит области определения функции, то значение предела будет найдено, оно равно значению функции в точке х=х0. При вычислении пределов полезно использовать следующие соотношения. Если hello_html_md05b07b.gif то, учитывая свойства б.б. и б.м. функций, получим:

hello_html_m46f18c9e.gifеслиhello_html_3c584a39.gifесли a>1.

Случаи, в которых подстановка предельного значения аргумента
в функцию не дает значения предела, называют неопределенностями;
к ним относятся неопределенности видов:

hello_html_47060498.gif

Пример 9. Вычислить предел hello_html_31fe70dc.gif

Решение hello_html_ma767a61.gif

Пример 10. Вычислить предел hello_html_m6ee80201.gif

Решение hello_html_3bf4a37e.gif

Пример 11. Вычислить предел hello_html_3a31dc06.gif

Решение hello_html_3ac4f841.gif

Содержание практической работы

Задание 1. Вычислить пределы последовательностей:

hello_html_m261eb7bc.gif

Задание 2. Вычислить пределы функций:

hello_html_m77c1f12b.gif

Задание 3. Вычислить пределы функций, используя замечательные пределы:

hello_html_261e8b63.gif


Практическая работа №3

Тема: Непрерывность функции, точки разрыва.

Цель: сформировать умение исследовать функцию на непрерывность и наличие точек разрыва, определять род точек разрыва.

Теоретические сведения к практической работе

Функция hello_html_m7d78e68.gif называется непрерывной
в точке
х0, если она: 1) определена в точке х0; 2) имеет конечный предел при hello_html_m4ed4841d.gif; 3) этот предел равен значению функции в этой точке hello_html_m1479f34d.gif

Функция называется непрерывной, если:

  1. hello_html_31d254a.gif

  2. hello_html_7a27a2fa.gif

  3. hello_html_4918a279.gif

Функция называется непрерывной на некотором промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Пример 1: Доказать, что функцияhello_html_2f8c6b9d.gif непрерывна на (-∞;+∞)

Решение: hello_html_71b95f4.gif

Точка х0 называется точкой разрыва функции, если в этой точке не выполнено хотя бы одно из условий 1—3 непрерывности функции. Все элементарные функции непрерывны во всех точках, где они определены.

Классификация точек разрыва:

  1. х0 – точка устранимого разрыва, если а) hello_html_m450d0a16.gif

б) в точке х0 функция не определена

  1. х0 – точка разрыва I рода, если hello_html_31642227.gif

hello_html_m73a45b8f.gif - скачок функции

  1. х0 – точка разрыва II рода, если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует

Пример 2:

Найти точки разрыва функции и установить их тип

hello_html_6ad6661d.gif


Содержание практической работы

Задание 1. Доказать, что функция является непрерывной

hello_html_m5e6a6ee.gif

Задание 2. Найти точки разрыва и установить их тип

hello_html_727fb987.gif


Практическая работа №4

Тема: Производная и ее геометрический смысл. Правило Лопиталя.

Цель: сформировать умение находить производные функций, заданных в явном, логарифмическом и параметрическом виде, находить производные сложных функций, знать геометрический смысл производной, применять правило Лопиталя для нахождения пределов.

Теоретические сведения к практической работе

Производной функции hello_html_m7d78e68.gif называется конечный предел отношения приращения функции hello_html_373e59b6.gif к приращению независимой переменной hello_html_127495db.gif при стремлении последнего к нулю:

hello_html_687d2e8.gif (1)

Обозначения производной в точке х0:

hello_html_me27d1ef.gif и другие.

Если функция в точке х0 (или на промежутке Х) имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке (или на промежутке Х).

Процесс отыскания производной называется дифференцированием.

Гhello_html_5a557e43.gifеометрический смысл производной.
Если кривая задана уравнением hello_html_m7d78e68.gif,
то
hello_html_m746f0174.gif— угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке (hello_html_m6e60c00e.gif).

Уравнение касательной к кривой hello_html_m7d78e68.gif
в точке
х0 (прямая М0Т) имеет вид:

hello_html_2259526a.gif (2)

а уравнение нормали (М0N):

hello_html_m588e616f.gif (3)

Правила дифференцирования

пп

U = u(x), V=V(x) —
дифференцируемые функции

пп

U = u(x), V=V(x) —
дифференцируемые функции

I

hello_html_m76639a2b.gif

VI

Производная сложной функции hello_html_3313a0db.gif

II

hello_html_m6f556353.gif

VII

Функция задана параметричес-кими уравнениями hello_html_35f1ffb0.gif

III

hello_html_877c8a0.gif

IV

hello_html_m2fb9e1f2.gif

VIII

Если hello_html_m7d78e68.gif и hello_html_76d3bcba.gif
взаимно обратные функции,
то
hello_html_744e822b.gif

V

hello_html_23a46413.gif



Формулы дифференцирования основных элементарных функций

пп

с=const, х — независимая переменная,
u = u(x) — диф­ференцируемая функция

1

С= 0

9

hello_html_m4d667f41.gif

2

x= 1

10

hello_html_m76cb592f.gif

3

hello_html_27190283.gif

11

hello_html_m56e9ea8c.gif

4

hello_html_m262837fc.gif

12

hello_html_m65059aad.gif

5

hello_html_m60964f4a.gif

13

hello_html_m332ed949.gif

6

hello_html_m7adcb778.gif

14

hello_html_18e4e96a.gif

7

hello_html_m5a49ba8e.gif

15

hello_html_m4e939771.gif

8

hello_html_5bb807a5.gif



Производной n-го порядка называется производная от производной (n–1)-го порядка. Производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данной функции.

Производная второго порядка hello_html_m6e78f2e1.gif или hello_html_m73f66af1.gif

Производная третьего порядка hello_html_47fa2c29.gif или hello_html_66fc4086.gif и т. д.

Пример 1. Найти производные функций:

а) hello_html_m379a2088.gif б) hello_html_m3ef67cea.gif в) hello_html_m22383789.gif г) hello_html_2978e5c9.gif

Решение.

а) Используя правила I, III и формулу (3), получим:

hello_html_363b8722.gif

б) Используя правила дифференцирования произведения функций II, разности I, формулы (5), (7), (8) и учитывая, что независимая переменная есть t, т. е. t=1, получим:

hello_html_m3743a4b1.gif

в) Сложная степенная функция, независимая переменная есть v,
т. е.
v=1; используя формулу (3), получим:

hello_html_m18ce6118.gif

г) Используя правила дифференцирования частного IV, суммы I, III
и формулы (3), (14), учитывая, что
t=1, получим:

hello_html_m4f80cfd7.gif

Пример 2. Составить уравнение касательной и нормали к кривой hello_html_m33ee0e62.gifв точке с абсциссой х0=2.

Используем уравнения касательной (2) и нормали (3):

1) hello_html_7873ab2d.gif

2) hello_html_7a3b1766.gif

hello_html_m4c2e9a73.gif

Подставим hello_html_37397e93.gif в уравнения и получим: hello_html_2b5bb311.gif

или hello_html_m3f350a21.gif — уравнение касательной.

hello_html_7ecf94b0.gif или hello_html_4da4e31.gif— уравнение нормали.

Пример 3. Найти производную hello_html_m56146459.gif, если функция задана парамет-рически: hello_html_m9239b47.gif

Используем правило VII hello_html_742aed5b.gif

hello_html_m1464fdfd.gif

hello_html_6c1a551b.gif

Пример 4. Найти дифференциалы функций:

а) hello_html_m27b8d8f2.gif б) hello_html_m10d2b600.gif в) hello_html_337c56cd.gif

Для дифференциала функции hello_html_m247e24c5.gif справедлива формула hello_html_4a5fa200.gif т. е. дифференциал функции равен произведению производной от функции на дифференциал независимой переменной.

Решение.

а) hello_html_m41aa2fa0.gif

б) hello_html_m1c0e7d05.gif

в) hello_html_476d0c4b.gif

Пример 5. Найти производную второго порядка функции hello_html_4e88591c.gif

Решение. hello_html_332a690b.gif поэтому найдём производную первого порядка,
а затем второго.



hello_html_mf738f52.gif

hello_html_5e3f394c.gif

Пример 6. Найти производную функции hello_html_m412b3406.gif логарифмическим дифференцированием

hello_html_m484c58d9.gif

Правило Лопиталя. Предел отношения двух б.м. hello_html_5dc38a77.gif или б.б. hello_html_3e54a984.gif функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует:

hello_html_m66c7b285.gif (5)

Чтобы использовать правило Лопиталя для раскрытия неопределённостей других типов, выражение под знаком предела следует преобразовать элементарными способами так, чтобы получить неопределенность hello_html_5dc38a77.gif или hello_html_3e54a984.gif и затем использовать формулу (5).

Пример 7. Найти пределы, используя правило Лопиталя или элементарные способы раскрытия неопределённостей:

а) hello_html_540db909.gif б) hello_html_m3442f7ce.gif

Решение.

а) Подставляя в функцию вместо х предельное значение hello_html_54ea984e.gif, определим предел числителя и знаменателя.

hello_html_4ed143d4.gif т. к. hello_html_m29ece770.gif

Аналогично: hello_html_517bf355.gif

Имеем неопределенность вида hello_html_3e54a984.gif. Используем правило Лопиталя:

hello_html_m3a17ca16.gif

б) hello_html_1b1b584e.gif

hello_html_m709eef97.gif


Содержание практической работы

Задание 1. Найти производные 1-го порядка данных функций

1) hello_html_1df3be47.gifhello_html_m4f69abe2.gif hello_html_m1d099346.gifhello_html_m129c28d9.gif

2) hello_html_m22002232.gifhello_html_m7c45e013.gifhello_html_354a1cfe.gifhello_html_4e3d689e.gif3) hello_html_26d0763d.gif hello_html_m4a98e42f.gifhello_html_m663ff39d.gifhello_html_m635cdaf5.gif

4) hello_html_m64a81e48.gifhello_html_617b504c.gifhello_html_666fd8c0.gifhello_html_5d56bde1.gif

5) hello_html_m78b6a415.gifhello_html_7da3b97.gifhello_html_m8beb79f.gifhello_html_1439fc88.gif

6) hello_html_3ae0357b.gif hello_html_658ad128.gifhello_html_m7f1d8e85.gifhello_html_m518ab065.gif


Задание 2. Составить уравнение касательной и нормали к кривой y=f(x) в точке с абсциссой х0.

1) hello_html_2e17457a.gif

2) hello_html_4c79be94.gif

3) hello_html_m625d0e9.gif

4) hello_html_m7406648e.gif

5) hello_html_c3295f3.gif

6) hello_html_55e5e700.gif

Задание 3. Найти производную hello_html_m56146459.gif функции y=у(x), заданной параметрически: hello_html_4d0991d0.gif

1) hello_html_m243f7d6f.gif

2) hello_html_m170883a4.gif

3) hello_html_m1b7dc973.gif

4) hello_html_m690dbb02.gif

5) hello_html_m6747bd98.gif

6)hello_html_4c4d5af6.gif

Задание 4. Найти дифференциалы функций:

1) hello_html_m7d70bd40.gif

2) hello_html_m1cad7e71.gif

3) hello_html_7d1693fd.gif

4) hello_html_1668c223.gif

5) hello_html_3535fce7.gif

6) hello_html_m73c8a922.gif

Задание 5. Найти производную второго порядка функции y=f(x).

1) hello_html_34085a96.gif

2) hello_html_25b8e56b.gif

3) hello_html_1571b011.gif

4) hello_html_m8fa7a8b.gif

5) hello_html_6fd4ddeb.gif

6) hello_html_m3c39cab0.gif

Задание 6. Найти производную функции логарифмическим дифференцированием

1) hello_html_m2bec0552.gif

2) hello_html_143484b8.gif

3) hello_html_m41abd5b4.gif

4) hello_html_m5d0f467d.gif

5) hello_html_50cfcf1b.gif

6) hello_html_m2b9cc04c.gif

Задание 7. Найти пределы, используя правило Лопиталя.

1) hello_html_m50de886e.gif

2) hello_html_m6a433aef.gif

3) hello_html_m251b0327.gif

4) hello_html_m684fce4f.gif

5) hello_html_1d23c4f5.gif

6) hello_html_2d5ccc07.gif




Практическая работа №5

Тема: Интеграл. Методы интегрирования. Определенный интеграл.

Цель: сформировать умение вычислять неопределенные и определенные интегралы, используя различные методы интегрирования.

Теоретические сведения к практической работе

Функция hello_html_m3e6eee5f.gif, определенная на интервале hello_html_76776a9b.gif, называется первообразной для функции hello_html_647b4410.gif, определенной на том же интервале hello_html_76776a9b.gif, если hello_html_37beaa2a.gif

Если hello_html_m3e6eee5f.gif — первообразная для функции hello_html_647b4410.gif, то любая другая первообразная hello_html_7616e9d1.gifдля функции hello_html_647b4410.gif отличается от hello_html_m3e6eee5f.gif на некоторое постоянное слагаемое, т. е. hello_html_6be43656.gif где hello_html_m2c4f3490.gif.

Неопределенным интегралом от функции hello_html_647b4410.gif называется совокупность всех первообразных для этой функции. Обозначается неопределенный интеграл: hello_html_6be72ce9.gif где hello_html_m313c9e4.gif

Операция нахождений первообразной для данной функции называется интегрированием. Интегрирование является обратной операцией к дифференцированию:

hello_html_76a1558e.gif

Для проверки правильности выполненного интегрирования необходимо продифференцировать результат интегрирования и сравнить полученную функцию с подынтегральной.

Свойства неопределенного интеграла:

1. hello_html_1ed4c94c.gif

2. hello_html_4a923e9b.gif

3. hello_html_5dba6531.gif

4. hello_html_4ac82e18.gif

Таблица основных интегралов

1. hello_html_m5cd35ead.gif 2. hello_html_m7fa24a20.gif

3. hello_html_m127c121d.gif hello_html_1f527698.gif

4. hello_html_6ec92690.gif 5. hello_html_m58273d79.gif

6. hello_html_m18363f0d.gif 7.hello_html_27f6ee1e.gif

8. hello_html_379fe7bc.gif 9. hello_html_m3893d43b.gif

10. hello_html_1c36e10d.gif 11. hello_html_4ba25c69.gif

12. hello_html_67734a4b.gif 13. hello_html_2f5538d1.gif

14. hello_html_74c0b2d8.gif 15. hello_html_41e84963.gif

16. hello_html_m6fb080e9.gif 17. hello_html_m468b1b4b.gif

18. hello_html_5c02db83.gif

Каждая из приведенных в таблице формул справедлива на промежутке, не содержащем точек разрыва подынтегральной функции. Вычисление интегралов с использованием таблицы и основных свойств называют непосредственным интегрированием.

Пример 1. Пользуясь таблицей основных интегралов и свойствами неопределенного интеграла, найти интегралы (результат интегрирования проверить дифференцированием):

hello_html_67ec6cd.gif hello_html_m39cd4fc0.gif

Решение.

hello_html_6c6b27c4.gif Проверка:

hello_html_1a86498f.gif

hello_html_m11f123c8.gif

Проверка:

hello_html_7fdb2e18.gif

hello_html_67c40379.gif

Метод замены переменной

Теорема 1. Пусть hello_html_m75d650.gifмонотонная, непрерывно дифференцируемая функция, тогда

hello_html_m223b0a52.gif (1)

При этом, если hello_html_m54b2ea03.gif то hello_html_2ee65746.gif где hello_html_m5882a25b.gif— функция, обратная hello_html_3865583f.gif.

Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Алгоритм замены переменной:

1) Связать старую переменную интегрирования hello_html_m2a2503ee.gif с новой переменной hello_html_47324d2d.gif с помощью замены hello_html_m75d650.gif.

2) Найти связь между дифференциалами hello_html_m16606b6f.gif.

3) Перейти под знаком интеграла к новой переменной.

4) Проинтегрировать и в полученной первообразной вернуться к старой переменной, подставив hello_html_m72803a5.gif

Пример 2. Проинтегрировать подходящей заменой переменной.

hello_html_64a5ab18.gif hello_html_m2017ade5.gif hello_html_m119ab1fc.gif

Решение:

hello_html_559610ec.gif

hello_html_m67c46e90.gif

hello_html_5d1567d7.gif

Интегрирование по частям.
Некоторые виды интегралов, вычисляемых по частям

Если производные функций hello_html_33d0a743.gif и hello_html_368113ae.gif непрерывны, то справедлива формула:

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m7aae8d7a.gif (3)

называемая формулой интегрирования по частям.

В качестве hello_html_m5942e86c.gif обычно выбирают функцию, которая упрощается при дифференцировании.

Некоторые стандартные случаи функций, интегрируемых по частям, указаны в таблице 1. Там же дается способ выбора множителей hello_html_m55784d8c.gif и hello_html_m665ab8e2.gif.

Таблица 1

Вид интеграла

hello_html_m4e59fbb0.gif

hello_html_77bdaeb8.gif

hello_html_6a69ec82.gif

hello_html_m429d1c49.gif

hello_html_m6a2a1f67.gif



Вид интеграла

hello_html_m4e59fbb0.gif

hello_html_77bdaeb8.gif

hello_html_m5ee249b9.gif

hello_html_531ba892.gif

hello_html_m52dc2b76.gif

hello_html_m599d5a9d.gif

hello_html_m215d6180.gif

hello_html_m53a5835d.gif

hello_html_meddad03.gif

hello_html_m36db6e62.gif

hello_html_42b4bb15.gif

hello_html_5ce6afbd.gif

hello_html_m5924cbb1.gif

hello_html_691b1137.gif

hello_html_4f3feed0.gifмногочлен от hello_html_m2a2503ee.gif степени hello_html_2b037ce3.gif, т. е. hello_html_m93f567a.gif, где hello_html_m15d05cd3.gif.

Пример 3. Проинтегрировать по частям.

hello_html_mc3631f1.gifhello_html_13968fba.gif

Решение.

hello_html_7442aa6d.gifhello_html_m6cd999bc.gif




Определенный интеграл, его вычисление и свойства

Определенный интеграл от функцииhello_html_647b4410.gif, непрерывной на отрезке hello_html_2128638c.gif, вычисляется по формуле:

hello_html_m7c5d7096.gif (5)

где hello_html_m3e6eee5f.gif— первообразная для функции hello_html_647b4410.gif, т. е. hello_html_37beaa2a.gif

Формула (5) называется формулой Ньютона — Лейбница.

Свойства определенного интеграла:

hello_html_m3ad49de2.gif hello_html_67b1e8c6.gif


hello_html_m13eb88b4.gif

hello_html_m2ecf6ecd.gif

hello_html_359d24c8.gif

6) Если hello_html_36faefa0.gif для всех hello_html_7bb3260b.gif, то hello_html_m6d173ab1.gif

7) Если hello_html_2f1737ea.gif для всех hello_html_7bb3260b.gif, то hello_html_m69148922.gif

При вычислении определенного интеграла для нахождения первообразной используют те же методы, что и для нахождения неопределенного интеграла, т. е. замену переменной, интегрирование по частям и т. д. Однако есть ряд особенностей. При замене переменной по формуле (1) необходимо в соответствии с заменой менять пределы интегрирования:

hello_html_6d526023.gif (6)

где hello_html_m4a7416af.gif — обратная к hello_html_m23a54fe2.gif функция.

Формула интегрирования по частям (3) приобретает вид:

hello_html_m456491e3.gif (7)

Пример 4. Вычислить определенный интеграл hello_html_m47475723.gif

Решение.

hello_html_25cb276c.gif

Содержание практической работы

Задание 1. Вычислить интегралы.

1) hello_html_5ca4a999.gif hello_html_m7843d4a8.gif

2) hello_html_1c9e7465.gif hello_html_5e05b652.gif

3) hello_html_e081115.gif hello_html_64b36b15.gif

4) hello_html_m54915d62.gif hello_html_ma2aef6a.gif

5) hello_html_4ad526a5.gif hello_html_m185d550d.gif

6) hello_html_m4711d5c1.gif hello_html_540fbbd4.gif

Задание 2. Проинтегрировать подходящей заменой переменного.

1) hello_html_9aac96c.gif hello_html_5157d4c4.gif hello_html_m14753010.gif

2) hello_html_63f4667b.gif hello_html_m22d0698.gif hello_html_51c13d59.gif

3) hello_html_659e9365.gif hello_html_2f220ef2.gif hello_html_m42893db4.gif

4) hello_html_m7680dbe2.gif hello_html_m19d5e31c.gif hello_html_71b021f2.gif

5) hello_html_m4e20c751.gif hello_html_m6fc806c2.gif hello_html_m46143ff7.gif

6) hello_html_4a7f08f5.gif hello_html_2863d0a0.gif hello_html_2daf4623.gif

Задание 3. Проинтегрировать по частям.

1) hello_html_m6e38f0e8.gif hello_html_7bd2aa7b.gif

2) hello_html_m395f3478.gif hello_html_md6ea3a9.gif

3) hello_html_22f61eb3.gif hello_html_52ca8164.gif

4) hello_html_m51d6fa17.gif hello_html_67f510ca.gif

5) hello_html_m13752b37.gif hello_html_718df0cf.gif

6) hello_html_26a8f6ac.gif hello_html_m35740728.gif

Задание 4. Вычислить определенный интеграл.

1) hello_html_33db4041.gif

2) hello_html_m3c002eac.gif

3) hello_html_m47475723.gif

4) hello_html_363dd84d.gif

5) hello_html_m497c0f86.gif

6) hello_html_6bee9231.gif




Практическая работа №6

Тема: Применение определенного интеграла для вычисления площадей, длин и объемов фигур.

Цель: сформировать умение применять определенный интеграл для вычисления площадей, длин и объемов фигур.

Теоретические сведения к практической работе

Площади плоских фигур

1. Вычисление площадей плоских фигур в декартовой системе координат

Если плоская фигура (рис. 1) ограничена линиями hello_html_m7dcffc8b.gif hello_html_m52bc6eb9.gif, где hello_html_362b89a9.gif для всех hello_html_7bb3260b.gif, и прямыми hello_html_m457c76db.gif, hello_html_m60658c79.gif, то ее площадь вычисляется по формуле:

hello_html_m56dd886d.gif (8)

hello_html_223a88.png

hello_html_m3255e2ec.png

Рис. 1

Рис. 2


Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

hello_html_15b3a167.gif

Решение. Построим схематический рисунок (рис. 2). Для построения параболы возьмем несколько точек:

x

0

1

1

2

2

3

3

4

4

y

2

1

1

2

2

7

7

14

14

Для построения прямой достаточно двух точек, например hello_html_m70713287.gif и hello_html_360f936a.gif.

Найдем координаты точек hello_html_m24e0d2d6.gif и hello_html_m7bf55c18.gif пересечения параболы hello_html_m6fc8c649.gif и прямой hello_html_383291dd.gif.

Для этого решим систему уравнений

hello_html_1a0eeb0b.gif

Тогда hello_html_m57446c94.gif Итак, hello_html_368008a8.gif

Площадь полученной фигуры найдем по формуле (8), в которой

hello_html_m596c510b.gif поскольку hello_html_362b89a9.gif для всех hello_html_ma02ab6.gif. Получим:

hello_html_22233045.gif

2. Вычисление площадей фигур, ограниченных линиями, заданными параметрически

Если функции hello_html_m64eaed3f.gif и hello_html_69ef947f.gif имеют непрерывные производные первого порядка для всех hello_html_m3b2ee3b6.gif, то площадь плоской фигуры, ограниченной линией hello_html_7564adc8.gif прямыми x = a, x = b, где a = x(t0),

b = x(t1), и осью OX, вычисляется по формуле:

hello_html_11524ced.gif (9)

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными параметрически:

hello_html_25ff9f4c.gif

Решение. Для построения фигуры составим таблицу значений координат (x, y) точек кривой, соответствующих различным значениям параметра hello_html_m43a6b8e5.gif

t

0

hello_html_19a75d7b.gif

hello_html_m3dde8726.gif

hello_html_m4e3c876e.gif

hello_html_m36eb6d25.gif

x

2

0

2

0

2

y

0

3

0

3

0





hello_html_16fb83e8.png

Рис. 3

Нанесем точки (x, y) на координатную плоскость XOY и соединим плавной линией. Когда параметр hello_html_m16a52344.gifизменяется от hello_html_m346994b1.gif до hello_html_m36eb6d25.gif, соответствующая точка hello_html_5da34178.gif описывает эллипс (известно, что hello_html_42614d3b.gif — параметрические формулы, задающие эллипс с полуосями a и b). Учитывая симметрию фигуры относительно координатных осей OX и OY, найдем её площадь S, умножив на 4 площадь криволинейной трапеции AOB. Согласно формуле (9) получим:

hello_html_4ba8d85a.gif

Длина дуги плоской кривой

1. Вычисление дуги плоской кривой в декартовых координатах

hello_html_3dc20608.png

Рис. 4

Если кривая задана уравнением hello_html_2e3c53e6.gif, функция hello_html_647b4410.gif имеет непрерывную первую производную при всех hello_html_7bb3260b.gif, то длина дуги hello_html_m53b809f8.gif (рис. 4) этой кривой, заключенной между точками hello_html_5a55d15a.gif и hello_html_1bcd035.gif, вычисляется по формуле:

hello_html_45e449c7.gif (10)



2. Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрически

Если кривая задана параметрически hello_html_m68716ff3.gif, и функции hello_html_m832fb52.gif имеют непрерывные производные 1-го порядка при всех hello_html_m7eb82f97.gif, то длина дуги hello_html_m53b809f8.gif, соответствующей изменению параметра от hello_html_484112b.gif до hello_html_m23687fdf.gif, вычисляется по формуле:

hello_html_11161c02.gif (11)

Пример. Найти длину дуги кривой

а)hello_html_m74ba4d09.gif б) hello_html_m6faf93c.gif

Решение.

а) Так как кривая задана в декартовой системе координат уравнением hello_html_2e3c53e6.gif, то для вычисления длины дуги воспользуемся формулой (10). Найдем hello_html_4ac4751f.gif: hello_html_b5e06b0.gif и подставим в (10):

hello_html_m34659d00.gif

б) hello_html_m6faf93c.gif

Кривая задана параметрически, поэтому воспользуемся формулой (11). Найдем hello_html_2f7c0748.gif:

hello_html_2c3f49dd.gifи подставим в (11):

hello_html_e2982ca.gif

Вычисление объемов тел вращения

Если тело образовано вращением вокруг оси OX криволинейной трапеции, ограниченной кривой hello_html_2e3c53e6.gif, осью OX и прямыми hello_html_m457c76db.gif, hello_html_m60658c79.gif (рис. 5), то его объем вычисляется по формуле:

hello_html_m374fe312.gif (12)

hello_html_6c2e83a0.png

hello_html_m602627a1.png

Рис. 5

Рис. 6

Пример. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями: hello_html_m55be856c.gif

Решение. Построим криволинейную трапецию, вращением которой получается тело вращения (рис. 6).

Чтобы получить объем тела вращения из объема hello_html_m7991f79b.gif тела, полученного вращением фигуры ОАВС, вычтем объем hello_html_m68ddfcb5.gif тела, полученного вращением фигуры ОАВ. Тогда искомый объем hello_html_m2ca1515b.gif. По формуле (12) найдем hello_html_m7991f79b.gif и hello_html_m68ddfcb5.gif: hello_html_11ed6129.gif (ед. объема);

hello_html_738726c1.gif (ед. объема);

hello_html_5ad51cac.gif(ед. объема).

Содержание практической работы

Задание 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

1) hello_html_203f4cde.gif

2) hello_html_m77c719fb.gif

3) hello_html_5cf87f45.gif

4) hello_html_m2ec0a99f.gif

5) hello_html_7074d47.gif

6) hello_html_m7241dc6.gif

Задание 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными параметрически.

1) hello_html_m5d6c54a4.gif

2) hello_html_63cf1687.gif

3) hello_html_m625700b5.gif

4) hello_html_410993fb.gif

5) hello_html_m7af6b1f9.gif

6) hello_html_m7a370a65.gif

Задание 3. Найти длину дуги кривой.

1) hello_html_m6aaa8e22.gif

2) hello_html_m35d3af27.gif

3) hello_html_40e1f936.gif

4) hello_html_5caf6c58.gif

5) hello_html_m2fa6174b.gif

6) hello_html_m7a415b64.gif

Задание 4. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями.

1) hello_html_m52c03712.gif

2) hello_html_4db5d8ba.gif

3) hello_html_60381db2.gif

4) hello_html_190990ef.gif

5) hello_html_30b9360e.gif

6) hello_html_m2991ee45.gif





Практическая работа №7

Тема: Матрицы и действия с ними. Определитель матрицы.

Цель: сформировать умение выполнять арифметические действия с матрицами, находить определители матриц.

Теоретические сведения к практической работе

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов, которую записывают в следующем виде:

hello_html_7911ad43.gif.

Для обозначения матрицы используют прописные латинские буквы, для обозначения элементов матрицы – строчные латинские буквы с указанием номера строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Запись « матрица B имеет размер mxn» означает, что речь идет о матрице, состоящей из m строк и n столбцов. Например, матрица hello_html_703b82c.gif имеет размер 2x3. Далее, bij - обозначение элемента, стоящего на пересечении i-й строки и j-го столбца данной матрицы (в примере b23=5).

При ссылке на i строку матрицы A используют обозначение Ai, при ссылке на jстолбец – обозначение Aj.

Матрица, у которой число строк совпадает с числом столбцов, называется квадратной. Элементы a11 , a22 ,…, ann квадратной матрицы A (размера nxn) образуют главную диагональ. Квадратная матрица, у которой отличные от нуля элементы могут стоять только на главной диагонали, называется диагональной. Диагональная матрица, у которой все элементы (главной диагонали!) равны 1, называется единичной. Наконец, квадратная матрица, у которой ниже (выше) главной диагонали находятся только нули, называется верхней (нижней) треугольной матрицей. Например, среди квадратных матриц размера 3x3

hello_html_753cf094.gif, hello_html_48341165.gif, hello_html_m47c981c0.gif, hello_html_68b03a1f.gif

матрица A является верхней треугольной, B – диагональной, C – нижней треугольной, E – единичной.

Матрицы A, B называются равными (A=B), если они имеют одинаковый размер, и их элементы, стоящие на одинаковых позициях, совпадают.

Арифметические действия с матрицами.

Чтобы умножить матрицу A на отличное от нуля вещественное число k, необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число:

hello_html_ffc5d12.gif.

Чтобы найти сумму матриц A, B одной размерности, необходимо сложить элементы с одинаковыми индексами (стоящие на одинаковых местах):

hello_html_1ba6237b.gif.

Пример 1. Найти 2A-B, если hello_html_4997a846.gif, hello_html_7fd30ced.gif.

Решение. Сначала умножаем матрицу A на число «2», затем матрицу B на число «-1», и, наконец, находим сумму полученных матриц:

hello_html_6cc39e7d.gif

Имеем: hello_html_2dbd5aca.gif

hello_html_7327396a.gif

Произведение AB можно определить только для матриц A размера mxn и B размера nxp, при этом AB=C, матрица C имеет размер mxp, и ее элемент cij находится как скалярное произведение iстроки матрицы A на j столбец матрицы B: hello_html_m30d5586c.gif (i=1,2,…,m; j=1,2,…,p). Фактически необходимо каждую строку матрицы A (стоящей слева) умножить скалярно на каждый столбец матрицы B (стоящей справа).

Пример 2. Найти произведение матриц hello_html_112c57ae.gif и hello_html_m41d998e5.gif.

Решение. Размер матрицы A 3x2, матрицы В 2х2. Поэтому произведение АВ найти можно, произведение ВА – нет. Действуя по сформулированному выше правилу, получаем:

hello_html_1a68d904.gif

Матрицей, транспонированной к матрице A размера mxn, называется матрица AT размера nxm, строки которой являются столбцами исходной матрицы.

Например, если hello_html_4dd6e00.gif, то hello_html_m3f13ee1c.gif.

Пример 3. Найти hello_html_d85594b.gif.

Решение. Воспользовавшись вычислениями, проведенными при решении примера, а также правилами умножения матрицы на число и сложения матриц, получим:

hello_html_7f59f9bf.gif.

Матрицы A, B называются эквивалентными, если одна получена из другой путем элементарных преобразований.

Рангом матрицы A в дальнейшем будем считать число строк эквивалентной ей ступенчатой матрицы, используя обозначение r(A). Так, в рассмотренном выше примере 3.4 r(A)=3, r(B)=2. Можно доказать, что ранг матрицы A (размера mxn) не может быть больше hello_html_7f28ecb5.gif (например, для матрицы А размера 2x3 hello_html_m45bc3030.gif). Кроме того, ранг матрицы не зависит ни от выбора ведущих элементов, ни от проводимых преобразований. Это свойство можно использовать при проверке. Так, в примере 3.4 после перестановки первой и второй строки в матрице B можно в качестве ведущего сначала рассмотреть элемент b12, а затем вычеркнуть третью строку, пропорциональную второй (hello_html_m1b70f66b.gif):

hello_html_73982e9e.gif

Вычисление определителей. Определитель матрицы A размера 2x2 (определитель 2-го порядка) – это число, которое можно найти по правилу:

hello_html_612d191e.gif

(произведение элементов, стоящих на главной диагонали матрицы, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали).

Определитель матрицы A размера 3x3 (определитель 3-го порядка) – число, вычисляемое по правилу «раскрытие определителя по первой строке»:

hello_html_m701be038.gif

Пример 4. Найти: hello_html_m48fb9880.gif

Решение. При нахождении определителя воспользуемся сначала формулой hello_html_m701be038.gif, а затем (для вычисления определителей 2-го порядка) формулой hello_html_612d191e.gif.

Содержание практической работы

Задание 1. Выполнить арифметические действия с матрицами:

1) hello_html_749e45e2.gif; 2) hello_html_m66b05943.gif;

3) hello_html_mfceb430.gif; 4) hello_html_7c5516be.gif;

5) hello_html_4163654a.gif ;

6)hello_html_2b8d1e02.gif;

7) hello_html_m6692874e.gif

Задание 2. Доказать равенство (AB)C=A(BC) для матриц:

1) hello_html_68c118cc.gif, hello_html_728e461d.gif, hello_html_m1fd3a025.gif;

2) hello_html_57f9d6ae.gif, hello_html_m1c429d1e.gif, hello_html_71842c67.gif;

3) hello_html_57f9d6ae.gif, hello_html_m3f8bd3ef.gif, hello_html_7d80b5dc.gif;

Задание 3. Найти: 1) hello_html_2154b595.gif; 2) hello_html_m427ce9c7.gif; 3) hello_html_1698aafb.gif.

Задание 4. Вычислить определители:

1) hello_html_m479b95dc.gif;

2) hello_html_m74ab4502.gif;

3) hello_html_m2d39a160.gif

4) hello_html_m407c6aa.gif;

5) hello_html_445ade6b.gif;

6) hello_html_5a0ec37c.gif

7) hello_html_m78871e61.gif;



Практическая работа №8

Тема: Системы линейных алгебраических уравнений и методы их решения.

Цель: сформировать умение исследовать и использовать различные методы для решения систем линейных алгебраических уравнений

Теоретические сведения к практической работе

Рассмотрим системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) произвольной размерности, состоящие из m уравнений с n неизвестными:

hello_html_m28ea5e83.gif. (*)

Матрица hello_html_7911ad43.gif, составленная из коэффициентов системы (*), называется матрицей системы (ее размер – mxn), а вектор hello_html_2be39bfb.gif (m-мерный)- столбцом (вектором) свободных членов. Матрицу вида hello_html_5555683f.gif называют расширенной матрицей системы (*). Любой набор значений неизвестных hello_html_m5c39e83c.gif, образующих n-мерный вектор hello_html_m6d9a5e47.gif, является решением системы (*), если эти числа удовлетворяют всем уравнениям системы (т.е. превращают их в тождества). Очевидно, что hello_html_406afd26.gif при каждом i=1,2,…,m (iуравнение представляет собой скалярное произведение i строки матрицы системы на вектор X), и (*) можно переписать в виде

hello_html_411576b5.gif. (**)

Запись (**) называется "матричной (векторной) формой записи" системы (*).

Пример 1. Выписать матрицу коэффициентов и столбец свободных членов для СЛАУ hello_html_8ce96fd.gif.

Решение. Очевидно, что hello_html_2f7e945a.gif; hello_html_3e012ae8.gif.

Пример 2. Записать СЛАУ, если hello_html_6b049337.gif, hello_html_m4c3bc326.gif.

Решение. Введем в рассмотрение вектор X и с каждым столбцом мысленно сопоставим неизвестное: с первым столбцом - hello_html_5f0bf08f.gif, со вторым - hello_html_2461ab02.gif, с третьим - hello_html_m44689fba.gif, с четвертым - hello_html_m2d4ae3e8.gif. Окончательно нужная система линейных алгебраических уравнений имеет вид

hello_html_12e6dd36.gif.

Классификация систем линейных алгебраических уравнений. Определения и основные теоремы. Если СЛАУ (*) имеет хотя бы одно решение, она называется совместной (соответственно, система несовместная, если она вообще не имеет решений). Совместная система (*) называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если имеет более одного решения (в последнем случае у нее бесконечно много решений).

Матрицу системы (*) будем называть приведенной (а саму систему канонической), если в каждой i строке (i=1,2,…,m) есть элемент hello_html_m42bafff7.gif, а все остальные элементы j-го cтолбца равны нулю. Такие элементы (и соответствующие им неизвестные) будем называть ведущими, а оставшиеся неизвестные назовем свободными.

Теорема 1 (Кронекера-Капелли). СЛАУ (*) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы совпадает с рангом ее расширенной матрицы, т.е выполняется равенство hello_html_649f51c7.gif.

Для совместной системы число hello_html_17c2a321.gif назовем рангом системы.

Теорема 2 (о количестве решений). Пусть СЛАУ (*) совместна. Если ее ранг равен числу неизвестных (hello_html_m3cf58a14.gif), то система является определенной; если ранг системы меньше числа неизвестных (hello_html_78177fd5.gif), то исходная система – неопределенная.

Неопределенная система, как было отмечено, имеет бесконечное множество решений. Совокупность всех решений называется общим решением системы.

Алгоритм метода Гаусса. Цель рассуждений – путем элементарных преобразований свести исходную систему к равносильной, решение которой можно выписать непосредственно. Основными шагами метода Гаусса являются следующие.

I. Прямой ход. Выписать расширенную матрицу системы, путем элементарных преобразований свести ее к эквивалентной ступенчатой и определить ранги матрицы и расширенной матрицы системы. Если они различны, то исходная система несовместна, т.е. не имеет решений. Если hello_html_649f51c7.gif, то переходим к следующему этапу.

II. Сравнить ранг системы и число неизвестных, сделать вывод о количестве решений, учитывая теорему 2.

III. Обратный ход. Ступенчатую матрицу преобразовать к эквивалентной ей приведенной. Определить, какие неизвестные являются ведущими, какие – свободными.

IV. Выписать по полученной матрице систему, записать ответ (выразив, в случае неопределенной системы, ведущие элементы через свободные для построения общего решения).

Пример 3. Решить СЛАУ hello_html_7e645fb9.gif.

Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы:

hello_html_m52a957b1.gif

Последняя матрица – ступенчатая. Ведущими неизвестными для нее являются hello_html_2461ab02.gif в первой строке, hello_html_m44689fba.gif во второй и hello_html_5f0bf08f.gif в третьей. Очевидно, что система совместна и ее ранг равен 3: hello_html_m17189e51.gif. Поскольку число неизвестных также равно 3, исходная система является определенной.

Переходим к проведению преобразований по обратному методу Гаусса (теперь необходимо получать нули НАД ведущими элементами).

hello_html_m156368d3.gif

Теперь составляем по последней матрице систему hello_html_m665f900a.gif и выписываем значения неизвестных в порядке их номеров: X=(3;1;1)T. Это и есть ответ.

Пример 4. Для СЛАУhello_html_m696a78fe.gif найти общее и два частных решения.

Решение. Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатой.

hello_html_m78d729a.gif

Очевидно, что hello_html_m17189e51.gif, число неизвестных n=4 и в соответствии с теоремой 6.2 исходная система является неопределенной. Ведущие неизвестные: hello_html_m44689fba.gif в первой строке, hello_html_5f0bf08f.gif во второй, hello_html_m2d4ae3e8.gif в третьей. Свободное неизвестное - hello_html_2461ab02.gif. Обратным ходом преобразуем матрицу к приведенному виду:

hello_html_53bc973c.gif

Выписываем полученную систему и ведущие неизвестные выражаем через свободные: hello_html_2a5b2219.gif. Общее решение записываем в порядке нумерации неизвестных: hello_html_6dbc9635.gif, hello_html_2461ab02.gif - любое вещественное число.

Частное решение можно получить, если придать свободному неизвестному hello_html_2461ab02.gif конкретное числовое значение. Например, при hello_html_m514faaea.gif hello_html_m7e020ec5.gif, а при hello_html_4204a783.gif hello_html_mc5b078.gif.

Теорема Крамера. Рассмотрим «квадратную» систему линейных уравнений (число неизвестных совпадает с числом уравнений) вида

hello_html_5acc9a85.gif. (*)

Теорема 3 (теорема Крамера). Если определитель матрицы системы (*) отличен от нуля (hello_html_m240eaf2f.gif), то данная система имеет единственное решение, причем значения неизвестных находятся по формулам

hello_html_m461fe416.gif, i=1,2,…,n

где hello_html_m5ea9166c.gif- определитель матрицы, полученной из исходной матрицы системы путем замены i-го столбца на столбец свободных членов.

Пример 5. Решить систему hello_html_7e645fb9.gif методом Крамера.

Решение. Выписываем A - матрицу системы и B - столбец свободных членов: hello_html_m6044939.gif, hello_html_71e20c16.gif. Далее вычисляем определители:

hello_html_m5f62496e.gif;

hello_html_697ed166.gif;

hello_html_m47900f99.gif;

hello_html_m2f39cc64.gif.

По теореме Крамера hello_html_m389c82db.gif; hello_html_3b0776ba.gif; hello_html_m87bf788.gif. Для проверки результата подставим полученные значения неизвестных в каждое уравнение системы: hello_html_m1e2e8785.gif, hello_html_m2c0a4dc1.gif, hello_html_m4af83e03.gif. Все уравнения обратились в тождества, значит, решение найдено верно.

Содержание практической работы

Задание 1. По расширенной матрице выписать СЛАУ.

1) hello_html_7948dcd6.gif

2) hello_html_75e95395.gif

3)hello_html_m75bff80d.gif

4) hello_html_56136d0a.gif

Задание 2. Решить системы уравнений методом Крамера и методом Гаусса.

1) hello_html_mcaab924.gif

2) hello_html_48abc181.gif

3) hello_html_m71d135e1.gif

4) hello_html_786d9202.gif



Задание 3. Решить СЛАУ (в случае неопределенной системы выписывать общее и два любых частных решения).

1) hello_html_m39bbebd8.gif

2) hello_html_m31d0addc.gif

3) hello_html_m2a674951.gif

4) hello_html_m61467d86.gif





Практическая работа №9

Тема: Комплексные числа и действия с ними.

Цель: сформировать умение выполнять арифметические действия с комплексными числами.

Теоретические сведения к практической работе

Комплексное число – это выражение вида

hello_html_3416526f.gif, (1.1)

где x, y – вещественные числа, а hello_html_m56464bee.gifмнимая единица. Первое из вещественных чисел, x, называется вещественной (действительной) частью комплексного числа (используется обозначение hello_html_m3263a081.gif); второе, y, - мнимой частью (hello_html_m23aedffa.gif). Выражение (1.1) называют алгебраической формой записи комплексного числа.

Числом, сопряженным к hello_html_3416526f.gif, называют число вида hello_html_87e34d.gif. Используя формулу разности квадратов, получаем, что hello_html_m3f1cb87a.gif. Можно доказать, что корнями квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом являются два сопряженных комплексных числа.

Пример 1. Решить уравнение hello_html_d8b3b23.gif.

Решение. Дискриминант данного уравнения: hello_html_49d5eb31.gif меньше нуля, но теперь мы можем воспользоваться мнимой единицей:

hello_html_3b8a8cb4.gif, т.е. hello_html_m5cecdfe9.gif; hello_html_5894a971.gif.

Справедливы следующие правила арифметических действий над комплексными числами hello_html_65697fe1.gif и hello_html_m6d811fb.gif:

1) hello_html_m5b58cfde.gif (осуществляется сложение или вычитание алгебраических двучленов и приведение подобных);

2) hello_html_5973ec1.gif (осуществляется перемножение алгебраических двучленов и приведение подобных с учетом того, что hello_html_m4ac42a2c.gif);

3) hello_html_6b2815e9.gif (эта операция возможна только в случае, когда hello_html_m7da5a5c0.gif).

Пример 2. Вычислитьhello_html_m425f34ab.gif и указать вещественную и мнимую части полученного комплексного числа.

Решение. Действуя в соответствии с правилами получаем:

hello_html_m4de5879.gif;

поэтому hello_html_2773b70c.gif, hello_html_78f598d9.gif.

Тригонометрическая форма комплексного числа. Каждому комплексному числу вида (1.1) можно поставить в соответствие точку M(x;y) на декартовой плоскости (при этом на оси OX располагаются вещественные числа hello_html_m2f5392e0.gif, а на оси OY – чисто мнимые числа hello_html_50286ae0.gif).

Модулем комплексного числа назовем длину отрезка hello_html_m7c94b85b.gif (или расстояние от начала координат до точки M), т.е. hello_html_e5b957b.gif. Аргументом комплексного числа (hello_html_78e3f187.gif) назовем угол, который вектор hello_html_m1fff0a40.gif образует с положительным направлением оси OX. Главное значение аргумента, которое, как правило, используется при осуществлении действий с комплексными числами, удовлетворяет условию hello_html_m5e16a4e8.gif. При этом выражение вида

hello_html_m39777c5f.gif (1.2)

называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Преобразуем (1.1)

hello_html_m335b67e5.gif

и, сравнивая с (1.2), получаем, что аргумент z можно найти, решив систему

hello_html_m1ced2d27.gif или hello_html_m69763054.gif (1.3.)

Пример 3. Записать комплексное число в тригонометрической форме hello_html_23371a4f.gif, указать модуль и аргумент комплексного числа.

Решение. По определению hello_html_m6e371988.gif. Для определения аргумента воспользуемся формулой: hello_html_4d666d27.gif. Получаем, что hello_html_m4f5312db.gif. Тригонометрическая форма заданного комплексного числа имеет вид: hello_html_m17df2e66.gif.

Возведение в степень и извлечение корней. Если комплексное число задано тригонометрической формой hello_html_m39777c5f.gif, то справедлива формула Муавра

hello_html_m4bcb2f2b.gif. (1.4)

Для извлечения корня n-й степени (n – целое число, большее 1) из комплексного числа, заданного в тригонометрической форме, применяется формула, дающая n значений этого корня:

hello_html_5525c856.gif, k=0,1,…,n-1. (1.5)

Пример 4. Вычислить: a) hello_html_m443f9621.gif; b) hello_html_93aa669.gif.

Решение. В задании a), чтобы воспользоваться формулой Муавра, необходимо представить комплексное число в тригонометрической форме. Имеем: hello_html_eb30159.gif; hello_html_1a9f5dba.gif и hello_html_m1bc8b2ac.gif, т.е. hello_html_m624e8cf3.gif (так как соответствующая точка лежит во второй четверти). Следовательно, hello_html_m44ccc3b4.gif и hello_html_1d883177.gif (в силу (1.4)). Учитывая что hello_html_m4ae11fbd.gif и используя свойства тригонометрических функций, получаем:

hello_html_1d2e7256.gif.

В задании b) тригонометрическая форма заданного числа имеет вид hello_html_5840e259.gif (|z|=1), поэтому в силу (1.5)

hello_html_m77b2bd5.gif, k=0,1,2.

Выписываем три искомых корня:

hello_html_m72108e10.gif;

hello_html_m4bc7382b.gif;

hello_html_m13859daa.gif.

Содержание практической работы

Задание 1. Вычислить, выписать вещественную и мнимую части полученных комплексных чисел.

1) hello_html_m6c4973ac.gif 2) hello_html_3b0b443.gif 3) hello_html_2d00c89e.gif

4) hello_html_m6b517a1d.gif 5) hello_html_7c6ce36.gif 6) hello_html_185a0e6a.gif

7) hello_html_59fe8aa9.gif

Задание 2. Запишите предложенные комплексные числа в тригонометрической форме: 1) hello_html_42de22fd.gif; 2) hello_html_m142b56a.gif; 3) hello_html_m303e4d18.gif; 4) hello_html_60ff080d.gif 5) hello_html_m11531810.gif 6) hello_html_m7c5088de.gif 7) hello_html_m225cfdc1.gif.

Задание 3. Найти все корни уравнений:

1) hello_html_mdc11f1f.gif; 2) hello_html_m347f903e.gif; 4) hello_html_m175733af.gif; 5) hello_html_6b0adfdc.gif; 6) hello_html_m72e48c1d.gif 7) hello_html_456b8ad.gif


Практическая работа №11

Тема: Множества и операции над ними.

Цель: сформировать умение выполнять операции с множествами

Теоретические сведения к практической работе

Множество – одно из основным понятий математики.

Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.

Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множество строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки.

Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают x Х ( — принадлежит).

Если множество А является частью множества В, то записывают А В ( — содержится).

Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства.

Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.

Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А B = {1,2,3,4,5,6}

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.

Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В.

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}

Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) (ВА).

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} {5,6} = {1,2,5,6}

Свойства:

Свойства перестановочности:

A B = B A

A ∩ B = B ∩ A

Сочетательное свойство:

(A B) C = A (B C)

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Круги Эйлера (Эйлера-Вена) — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.

Пример: Среди школьников шестого класса проводилось анкетирование по любимым мультфильмам. Самыми популярными оказались три мультфильма: «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны», «Волк и теленок». Всего в классе 38 человек. «Белоснежку и семь гномов» выбрали 21 ученик, среди которых трое назвали еще «Волк и теленок», шестеро – «Губка Боб Квадратные Штаны», а один написал все три мультфильма. Мультфильм «Волк и теленок» назвали 13 ребят, среди которых пятеро выбрали сразу два мультфильма. Сколько человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны»?

Решение: В этой задаче 3 множества, из условий задачи видно, что все они пересекаются между собой. Получаем такой чертеж:

hello_html_m6eee8efe.png

Учитывая условие, что среди ребят, которые назвали мультфильм «Волк и теленок» пятеро выбрали сразу два мультфильма, получаем:

hello_html_m484f127a.png

21 – 3 – 6 – 1 = 11 – ребят выбрали только «Белоснежку и семь гномов».

13 – 3 – 1 – 2 = 7 – ребят смотрят только «Волк и теленок».

Получаем:

hello_html_785abd9.png

38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – человек смотрят только «Губка Боб Квадратные Штаны».

Делаем вывод, что «Губка Боб Квадратные Штаны» выбрали 8 + 2 + 1 + 6 = 17 человек.

Ответ. 17 человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны».


Содержание практической работы

Задание 1. 1) Найти множества А∩В, АUВ, А/В, В/А, если:

а) А={е, о, р, х} В={х, у}

б) А={х: -3<х<4} В={х: 0≤х≤6}

в) А={2n+1}, B={n+1} nєN

2) Найти множества А∩В, АUВ, А/В, В/А, если:

а) А={12, 13, 14, 15} В={12, 14, 16}

б) А={х: 0<х<2} В={х: 1≤х≤4}

в) А={3-(n+1)}, B={n+5} nєN

Задание 2. 1) На 1 курсе учатся 200 студентов, 106 из них знают английский язык, 60 – немецкий, 92 – французский. 24 студента знают английский и немецкий языки, 36 – английский и французский, 30 – немецкий и французский, 14 – все три языка. Остальные знают только один испанский язык. Сколько студентов знают:

а) только один язык?

б) испанский язык?

в) только немецкий язык?

г) знают английский и немецкий, но не знают французский?

2) На 1 курсе учатся 200 студентов, 106 из них знают английский язык, 60 – немецкий, 92 – французский. 24 студента знают английский и немецкий языки, 36 – английский и французский, 30 – немецкий и французский, 14 – все три языка. Остальные знают только один испанский язык. Сколько студентов знают:

а) ровно два языка?

б) только французский язык?

в) знают немецкий и французский, но не знают английский?

г) не знают испанский язык?







Рекомендуемая литература

Основные источники

  1. Григорьев С.Г., Иволгина С.В. Математика. – М.: Образовательно-издательский центр «Академия», 2011

  2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. – М: Издательский центр «Академия», 2011

  3. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: Высшая школа, 2009

  4. Дадаян А.А. Математика: учеб.- М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2005

Дополнительные источники

  1. Высшая математика для экономистов. Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2007

  2. Математика и информатика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / Виноградов Ю.Н., Гомола А.И., Потапов В.И., Соколова Е.В./ - М.: Издательский центр «Академия», 2009

  3. Математика для профессий и специальностей социально-экономического профиля: учебник для образовательных учреждений нач. и сред. образования / В.А. Гусев, С.Г. Григорьев, С.В. Иволгина. – М.: Издательский центр «Академия», 2011

  4. Спирина М.С. дискретная математика: учеб. – М.: Издательский центр «Академия», 2006

  5. Омельченко В.П. Математика. – Ростов-на-Дону.: Феникс, 2006




Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 10.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров275
Номер материала ДВ-515788
Получить свидетельство о публикации

Комментарии:

1 месяц назад
Отсутствует 10 практическая работа.
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх