СБОРНИК МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»

Выксунский филиал

Федерального Государственного автономного образовательного учреждения

высшего профессионального образования

«национальный исследовательский технологический университет

«МИСиС»

Положение о

Педагогическом Совете СПО

СБОРНИК МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ

ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА

ПО ВЫПОЛНЕНИЮ

ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

ДИСЦИПЛИНА «МАТЕМАТИКА» ( 2 Курс)

профильный цикл

технический профиль

специальности:

150412 Обработка металлов давлением

151031 Монтаж и техническая эксплуатация промышленного оборудования (по отраслям)

140448 Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования (по отраслям)

140102 Теплоснабжение и теплотехническое оборудование

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ

Выкса, 2013 г.

ОДОБРЕНО

УТВЕРЖДЕНО.

На заседании методического совета

Протокол №______

от «____»______________ 2013г.

Начальник по УМР________________

«____»____________ 2013 г.

на заседании ЦК ЕН

Протокол №______

от «____»______________2013 г.

Председатель ЦК

_____________ Осипова В.М.

«_____»_____________ 2013г.

Методические указания для выполнения практических работ являются частью основной профессиональной образовательной программы ВФ НИТУ МИСиС СПО «Выксунский металлургический техникум» по всем специальностям СПО 1 в соответствии с требованиями ФГОС СПО третьего поколения.

Методические указания по выполнению практических работ адресованы студентам очной и очно-заочной форм обучения.

Методические указания включают в себя учебную цель, перечень образовательных результатов, заявленных во ФГОС СПО третьего поколения, задачи, обеспеченность занятия, краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме, вопросы для закрепления теоретического материала, задания для практической работы студентов и инструкцию по ее выполнению.

Организация - разработчик: Выксунский филиал Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС»

Разработчики: Осипова В.М. преподаватель ВФ НИТУ «МИСиС» СПО

Рецензент:Никольский Е.В.- кандидат пед наук, преподаватель ВФ НИТУ «МИСиС»

Пояснительная записка

Практические занятия служат связующим звеном между теорией и практикой. Они необходимы для закрепления теоретических знаний, полученных на уроках теоретического обучения, а так же для получения практических знаний. Практические задания выполняются студентом самостоятельно, с применением знаний и умений, полученных на уроках, а так же с использованием необходимых пояснений, полученных от преподавателя при выполнении практического задания. К практическому занятию от студента требуется предварительная подготовка, которую он должен провести перед занятием. Список литературы и вопросы, необходимые при подготовке, студент получает перед занятием из методических рекомендаций к практическому занятию.

Практические задания разработаны в соответствии с учебной программой. В зависимости от содержания они могут выполняться студентами индивидуально или фронтально.

Зачет по каждой практической работе студент получает после её выполнения и предоставления в печатном или электронном виде, оформления отчета в котором указывает полученные знания и умения в ходе выполнения практической работы, а также ответов на вопросы преподавателя, если таковые возникнут при проверке выполненного задания.

Содержание

Практическая работа №1 Функции одной переменной и их свойства…5

Практическая работа №2 Предел последовательности и предел функции. Замечательные пределы………………………………………………………...11

Практическая работа №3 Непрерывность функции, точки разрыва…..16

Практическая работа №4 Производная и ее геометрический смысл. Правило Лопиталя……………………………………………………………...18

Практическая работа №5 Интеграл. Методы интегрирования. Определенный интеграл………………………………………………………...28

Практическая работа №6 Применение определенного интеграла для вычисления площадей, длин и объемов фигур………………………………..38

Практическая работа №7 Матрицы и действия с ними. Определитель матрицы…………………………………………………………………………..46

Практическая работа №8 Системы линейных алгебраических уравнений и методы их решения……………………………………………………………52

Практическая работа №9 Комплексные числа и действия с ними……..60

Рекомендуемая литература………………………………………………….79

ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

№

п.п.

Темы практических работ

Кол-во часов

1

Функции одной переменной и их свойства.

2

2

Предел последовательности и предел функции. Замечательные пределы

2

3

Непрерывность функции, точки разрыва

2

4

Производная и ее геометрический смысл. Правило Лопиталя

2

5

Интеграл. Методы интегрирования. Определенный интеграл…

2

6

Применение определенного интеграла для вычисления площадей, длин и объемов фигур

4

7

Матрицы и действия с ними. Определитель матрицы.Вычисление определенного интеграла .Нахождение площади плоской фигуры.

2

8

Системы линейных алгебраических уравнений и методы их решения

4

9

Комплексные числа и действия с ними..

2

ИТОГО

22

КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ

Практические работы оцениваются по пятибалльной системе.

Оценка

Критерии оценки (содержательная характеристика)

«2»

Работа выполнена полностью. Студент не владеет теоретическим материалом, допуская ошибки по сущности рассматриваемых (обсуждаемых) вопросов, испытывает затруднения в формулировке собственных обоснованных и аргументированных суждений, допускает ошибки при ответе на дополнительные вопросы.

«3»

Работа выполнена полностью. Студент владеет теоретическим материалом на минимально допустимом уровне, отсутствуют ошибки при описании теории, испытывает затруднения в формулировке собственных обоснованных и аргументированных суждений, допуская незначительные ошибки на дополнительные вопросы.

«4»

Работа выполнена полностью. Студент владеет теоретическим материалом, отсутствуют ошибки при описании теории, формулирует собственные, самостоятельные, обоснованные, аргументированные суждения, допуская незначительные ошибки на дополнительные вопросы.

«5»

Работа выполнена полностью. Студент владеет теоретическим материалом, отсутствуют ошибки при описании теории, формулирует собственные, самостоятельные, обоснованные, аргументированные суждения, представляет полные и развернутые ответы на дополнительные вопросы.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ

Практическая работа №1

Тема: Функции одной переменной и их свойства.

Цель: сформировать умение использовать свойства функции для ее исследования, решать задачи и упражнения по данной теме.

Теоретические сведения к практической работе

Если каждому элементу х из множества Х по некоторому правилу f поставлен в соответствие элемент у множестваY, то говорят, что на множестве Х определена функция со значениями в множестве Y, и записывают y=f(х).

Множество Х называется областью определения функции D(f), а множество Y – областью значений функции E(f).

Пример 1. Найти область определения функции

Основные свойства функции:

1. Четность и нечетность. Функция y=f(x) называется четной, если для любых значений х из области определения f(-x)=f(x), и называется нечетной, если f(-x)=-f(x). В противном случае функция y=f(x) называется функцией общего вида.

Пример 2. Установить четность или нечетность функции.

2. Монотонность. Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке Х из области определения, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.

3. Ограниченность. Функция y=f(x) называется ограниченной на некотором промежутке Х из области определения, если существует число М>0, такое, что для любого .

4. Периодичность. Функция y=f(x) называется периодической с периодом Т>0, если для любых значений х из области определения f(x+T)=f(x-T)=f(x).

Если каждому значению цены p за единицу товара поставлено в соответствие число q – количество товара, которое потребители готовы купить по данной цене за определенный промежуток времени, то говорят, что задана функция спроса, и пишут q=f(p).

Эта функция определена для тех значений , для которых и множество ее значений .

График функции спроса называют кривой спроса.

Пример 3. Функция спроса на некоторый товар имеет вид , где q – количество товара (тыс. шт.); p – цена единицы товара (руб.). Требуется найти:

• Область определения и множество значений этой функции

• Функцию цены в виде

• Объем спроса при ценах на товар:

• Цену за единицу товара, если ,

• Выручку продавцов в каждом из этих случаев.

Решение: 1) Получим систему неравенств:

Выразим значение p через q:

Из закона спроса следует, что с увеличением цены р от нуля до 3500 руб. спрос должен падать. В нашем случае функция q убывает в промежутке , следовательно, множество значений функции .

1. Функция цены имеет вид

2. 

3. 

4. Выручка от продажи составляет , следовательно,

Если каждому значению цены p за единицу товара поставлено в соответствие число q – количество товара, которое производители готовы продать по данной цене за определенный промежуток времени, то говорят, что задана функция предложения, и пишут q=φ(p).

Эта функция определена для тех значений , для которых и множество ее значений .

Пример 4. Функция предложения некоторого товара на рынке имеет вид , где q – количество предлагаемого товара (тыс. шт.); p – цена единицы товара (руб.). Требуется найти:

• Область определения и множество значений функции q

• Объем предложения при ценах за единицу товара:

• Зависимость цены за единицу товара от объема спроса, т.е. функцию

_{Решение: 1) Найдем область определения:}

Множество значений функции q при будет .

1. При

2. _{Найдем функцию}

Содержание практической работы:

Задание 1. Найти область определения функции

Задание 2. Установить четность или нечетность функции.

Задание 3. а) Функция спроса на некоторый товар имеет вид , где q – количество товара (тыс. шт.); p – цена единицы товара (руб.). Требуется найти:

• Область определения и множество значений этой функции

• Функцию цены в виде

• Объем спроса при ценах на товар:

• Цену за единицу товара, если ,

• Выручку продавцов в каждом из этих случаев.

б) Функция спроса на некоторый товар имеет вид , где q – количество товара (тыс. шт.); p – цена единицы товара (руб.). Требуется найти:

• Область определения и множество значений этой функции

• Функцию цены в виде

• Объем спроса при ценах на товар:

• Цену за единицу товара, если ,

• Выручку продавцов в каждом из этих случаев.

Задание 4. а) Функция предложения некоторого товара на рынке имеет вид , где q – количество предлагаемого товара (тыс. шт.); p – цена единицы товара (руб.). Требуется найти:

• Область определения и множество значений функции q

• Объем предложения при ценах за единицу товара:

• Зависимость цены за единицу товара от объема спроса, т.е. функцию

б) Функция предложения некоторого товара на рынке имеет вид , где q – количество предлагаемого товара (тыс. шт.); p – цена единицы товара (руб.). Требуется найти:

• Область определения и множество значений функции q

• Объем предложения при ценах за единицу товара:

• Зависимость цены за единицу товара от объема спроса, т.е. функцию

Практическая работа №2

Тема: Предел последовательности и предел функции. Замечательные пределы.

Цель: сформировать умение находить пределы последовательностей и пределы функций, использовать замечательные пределы для нахождения пределов.

Теоретические сведения к практической работе

Пусть существует последовательность действительных чисел .

Число а называется пределом последовательности

_{Пример 1. Вычислить предел}

Решение

_{Пример 2. Вычислить предел}

_{Решение}

_{Пример 3. Вычислить предел}

_{Решение}

_{Пример 4. Вычислить предел}

_{Решение}

Число А называют пределом функции f(x) при (и пишут ), если для любого найдется число зависящее от , такое, что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

Теоремы о пределах:

1. (c=const).

2. Если то:

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел (число е = 2,718…):

или

Замечательные пределы:

_{Пример 5. Вычислить предел}

_{Решение}

_{Пример 6. Вычислить предел}

_{Решение}

_{Пример 7. Вычислить предел}

_{Решение}

Пример 8. Вычислить предел

_{Решение}

Чтобы найти предел элементарной функции нужно предельное значение аргумента подставить в функцию и посчитать. При этом, если х=х₀ принадлежит области определения функции, то значение предела будет найдено, оно равно значению функции в точке х=х₀. При вычислении пределов полезно использовать следующие соотношения. Если то, учитывая свойства б.б. и б.м. функций, получим:

еслиесли a>1.

Случаи, в которых подстановка предельного значения аргумента
в функцию не дает значения предела, называют неопределенностями;
к ним относятся неопределенности видов:

Пример 9. _{Вычислить предел}

Решение

Пример 10. _{Вычислить предел}

_{Решение}

_{Пример 11. Вычислить предел}

Решение

Содержание практической работы

_{Задание 1. Вычислить пределы последовательностей:}

_{Задание 2. Вычислить пределы функций:}

_{Задание 3. Вычислить пределы функций, используя замечательные пределы:}

Практическая работа №3

Тема: Непрерывность функции, точки разрыва.

Цель: сформировать умение исследовать функцию на непрерывность и наличие точек разрыва, определять род точек разрыва.

Теоретические сведения к практической работе

Функция называется непрерывной
в точке х₀, если она: 1) определена в точке х₀; 2) имеет конечный предел при ; 3) этот предел равен значению функции в этой точке

_{Функция называется непрерывной, если:}

1. 

2. 

3. 

Функция называется непрерывной на некотором промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Пример 1: Доказать, что функция непрерывна на (-∞;+∞)

Решение:

Точка х₀ называется точкой разрыва функции, если в этой точке не выполнено хотя бы одно из условий 1—3 непрерывности функции. Все элементарные функции непрерывны во всех точках, где они определены.

Классификация точек разрыва:

1. х₀ – точка устранимого разрыва, если а)

б) в точке х₀ функция не определена

2. х₀ – точка разрыва I рода, если

- скачок функции

3. х₀ – точка разрыва II рода, если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует

Пример 2:

Найти точки разрыва функции и установить их тип

Содержание практической работы

Задание 1. Доказать, что функция является непрерывной

Задание 2. Найти точки разрыва и установить их тип

Практическая работа №4

Тема: Производная и ее геометрический смысл. Правило Лопиталя.

Цель: сформировать умение находить производные функций, заданных в явном, логарифмическом и параметрическом виде, находить производные сложных функций, знать геометрический смысл производной, применять правило Лопиталя для нахождения пределов.

Теоретические сведения к практической работе

Производной функции называется конечный предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю:

(1)

Обозначения производной в точке х₀:

и другие.

Если функция в точке х₀ (или на промежутке Х) имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке (или на промежутке Х).

Процесс отыскания производной называется дифференцированием.

Геометрический смысл производной.

Если кривая задана уравнением ,
то — угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке ().

Уравнение касательной к кривой
в точке х₀ (прямая М₀Т) имеет вид:

(2)

а уравнение нормали (М₀N):

(3)

Правила дифференцирования

№ пп

U = u(x), V=V(x) —
дифференцируемые функции

№ пп

U = u(x), V=V(x) —
дифференцируемые функции

I

VI

Производная сложной функции

II

VII

Функция задана параметричес-кими уравнениями

III

IV

VIII

Если и —
взаимно обратные функции,
то

V

Формулы дифференцирования основных элементарных функций

№ пп

с=const, х — независимая переменная,
u = u(x) — диф­ференцируемая функция

1

С’= 0

9

2

x’= 1

10

3

11

4

12

5

13

6

14

7

15

8

Производной n-го порядка называется производная от производной (n–1)-го порядка. Производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данной функции.

Производная второго порядка или

Производная третьего порядка или и т. д.

Пример 1. Найти производные функций:

а) б) в) г)

Решение.

а) Используя правила I, III и формулу (3), получим:

б) Используя правила дифференцирования произведения функций II, разности I, формулы (5), (7), (8) и учитывая, что независимая переменная есть t, т. е. t=1, получим:

в) Сложная степенная функция, независимая переменная есть v,
т. е. v=1; используя формулу (3), получим:

г) Используя правила дифференцирования частного IV, суммы I, III
и формулы (3), (14), учитывая, что t=1, получим:

Пример 2. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой х₀=2.

Используем уравнения касательной (2) и нормали (3):

1)

2)

Подставим в уравнения и получим:

или — уравнение касательной.

или — уравнение нормали.

Пример 3. Найти производную , если функция задана парамет-рически:

Используем правило VII

Пример 4. Найти дифференциалы функций:

а) б) в)

Для дифференциала функции справедлива формула т. е. дифференциал функции равен произведению производной от функции на дифференциал независимой переменной.

Решение.

а)

б)

в)

Пример 5. Найти производную второго порядка функции

Решение. поэтому найдём производную первого порядка,
а затем второго.

Пример 6. Найти производную функции логарифмическим дифференцированием

Правило Лопиталя. Предел отношения двух б.м. или б.б. функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует:

(5)

Чтобы использовать правило Лопиталя для раскрытия неопределённостей других типов, выражение под знаком предела следует преобразовать элементарными способами так, чтобы получить неопределенность или и затем использовать формулу (5).

Пример 7. Найти пределы, используя правило Лопиталя или элементарные способы раскрытия неопределённостей:

а) б)

Решение.

а) Подставляя в функцию вместо х предельное значение , определим предел числителя и знаменателя.

т. к.

Аналогично:

Имеем неопределенность вида . Используем правило Лопиталя:

б)

Содержание практической работы

Задание 1. Найти производные 1-го порядка данных функций

1)

2) 3)

4)

5)

6)

Задание 2. Составить уравнение касательной и нормали к кривой y=f(x) в точке с абсциссой х₀.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Задание 3. Найти производную функции y=у(x), заданной параметрически:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Задание 4. Найти дифференциалы функций:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Задание 5. Найти производную второго порядка функции y=f(x).

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Задание 6. Найти производную функции логарифмическим дифференцированием

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Задание 7. Найти пределы, используя правило Лопиталя.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Практическая работа №5

Тема: Интеграл. Методы интегрирования. Определенный интеграл.

Цель: сформировать умение вычислять неопределенные и определенные интегралы, используя различные методы интегрирования.

Теоретические сведения к практической работе

Функция , определенная на интервале , называется первообразной для функции , определенной на том же интервале , если

Если — первообразная для функции , то любая другая первообразная для функции отличается от на некоторое постоянное слагаемое, т. е. где .

Неопределенным интегралом от функции называется совокупность всех первообразных для этой функции. Обозначается неопределенный интеграл: где

Операция нахождений первообразной для данной функции называется интегрированием. Интегрирование является обратной операцией к дифференцированию:

Для проверки правильности выполненного интегрирования необходимо продифференцировать результат интегрирования и сравнить полученную функцию с подынтегральной.

Свойства неопределенного интеграла:

1.

2.

3.

4.

Таблица основных интегралов

1. 2.

3.

4. 5.

6. 7.

8. 9.

10. 11.

12. 13.

14. 15.

16. 17.

18.

Каждая из приведенных в таблице формул справедлива на промежутке, не содержащем точек разрыва подынтегральной функции. Вычисление интегралов с использованием таблицы и основных свойств называют непосредственным интегрированием.

Пример 1. Пользуясь таблицей основных интегралов и свойствами неопределенного интеграла, найти интегралы (результат интегрирования проверить дифференцированием):

Решение.

Проверка:

Проверка:

Метод замены переменной

Теорема 1. Пусть монотонная, непрерывно дифференцируемая функция, тогда

(1)

При этом, если то где — функция, обратная .

Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Алгоритм замены переменной:

1) Связать старую переменную интегрирования с новой переменной с помощью замены .

2) Найти связь между дифференциалами .

3) Перейти под знаком интеграла к новой переменной.

4) Проинтегрировать и в полученной первообразной вернуться к старой переменной, подставив

Пример 2. Проинтегрировать подходящей заменой переменной.

Решение:

Интегрирование по частям.
Некоторые виды интегралов, вычисляемых по частям

Если производные функций и непрерывны, то справедлива формула:

(3)

называемая формулой интегрирования по частям.

В качестве обычно выбирают функцию, которая упрощается при дифференцировании.

Некоторые стандартные случаи функций, интегрируемых по частям, указаны в таблице 1. Там же дается способ выбора множителей и .

Таблица 1

Вид интеграла

Вид интеграла

— многочлен от степени , т. е. , где .

Пример 3. Проинтегрировать по частям.

Решение.

Определенный интеграл, его вычисление и свойства

Определенный интеграл от функции, непрерывной на отрезке , вычисляется по формуле:

(5)

где — первообразная для функции , т. е.

Формула (5) называется формулой Ньютона — Лейбница.

Свойства определенного интеграла:

6) Если для всех , то

7) Если для всех , то

При вычислении определенного интеграла для нахождения первообразной используют те же методы, что и для нахождения неопределенного интеграла, т. е. замену переменной, интегрирование по частям и т. д. Однако есть ряд особенностей. При замене переменной по формуле (1) необходимо в соответствии с заменой менять пределы интегрирования:

(6)

где — обратная к функция.

Формула интегрирования по частям (3) приобретает вид:

(7)

Пример 4. Вычислить определенный интеграл

Решение.

Содержание практической работы

Задание 1. Вычислить интегралы.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Задание 2. Проинтегрировать подходящей заменой переменного.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Задание 3. Проинтегрировать по частям.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Задание 4. Вычислить определенный интеграл.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Практическая работа №6

Тема: Применение определенного интеграла для вычисления площадей, длин и объемов фигур.

Цель: сформировать умение применять определенный интеграл для вычисления площадей, длин и объемов фигур.

Теоретические сведения к практической работе

Площади плоских фигур

1. Вычисление площадей плоских фигур в декартовой системе координат

Если плоская фигура (рис. 1) ограничена линиями , где для всех , и прямыми , , то ее площадь вычисляется по формуле:

(8)

Рис. 1

Рис. 2

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение. Построим схематический рисунок (рис. 2). Для построения параболы возьмем несколько точек:

x

0

1

–1

2

–2

3

–3

4

–4

y

–2

–1

–1

2

2

7

7

14

14

Для построения прямой достаточно двух точек, например и .

Найдем координаты точек и пересечения параболы и прямой .

Для этого решим систему уравнений

Тогда Итак,

Площадь полученной фигуры найдем по формуле (8), в которой

поскольку для всех . Получим:

2. Вычисление площадей фигур, ограниченных линиями, заданными параметрически

Если функции и имеют непрерывные производные первого порядка для всех , то площадь плоской фигуры, ограниченной линией прямыми x = a, x = b, где a = x(t₀),

b = x(t₁), и осью OX, вычисляется по формуле:

(9)

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными параметрически:

Решение. Для построения фигуры составим таблицу значений координат (x, y) точек кривой, соответствующих различным значениям параметра

t

0

x

2

0

–2

0

2

y

0

3

0

–3

0

Рис. 3

Нанесем точки (x, y) на координатную плоскость XOY и соединим плавной линией. Когда параметр изменяется от до , соответствующая точка описывает эллипс (известно, что — параметрические формулы, задающие эллипс с полуосями a и b). Учитывая симметрию фигуры относительно координатных осей OX и OY, найдем её площадь S, умножив на 4 площадь криволинейной трапеции AOB. Согласно формуле (9) получим:

Длина дуги плоской кривой

1. Вычисление дуги плоской кривой в декартовых координатах

Рис. 4

Если кривая задана уравнением , функция имеет непрерывную первую производную при всех , то длина дуги (рис. 4) этой кривой, заключенной между точками и , вычисляется по формуле:

(10)

2. Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрически

Если кривая задана параметрически , и функции имеют непрерывные производные 1-го порядка при всех , то длина дуги , соответствующей изменению параметра от до , вычисляется по формуле:

(11)

Пример. Найти длину дуги кривой

а) б)

Решение.

а) Так как кривая задана в декартовой системе координат уравнением , то для вычисления длины дуги воспользуемся формулой (10). Найдем : и подставим в (10):

б)

Кривая задана параметрически, поэтому воспользуемся формулой (11). Найдем :

и подставим в (11):

Вычисление объемов тел вращения

Если тело образовано вращением вокруг оси OX криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью OX и прямыми , (рис. 5), то его объем вычисляется по формуле:

(12)

Рис. 5

Рис. 6

Пример. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями:

Решение. Построим криволинейную трапецию, вращением которой получается тело вращения (рис. 6).

Чтобы получить объем тела вращения из объема тела, полученного вращением фигуры ОАВС, вычтем объем тела, полученного вращением фигуры ОАВ. Тогда искомый объем . По формуле (12) найдем и : (ед. объема);

(ед. объема);

(ед. объема).

Содержание практической работы

Задание 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Задание 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными параметрически.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Задание 3. Найти длину дуги кривой.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Задание 4. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Практическая работа №7

Тема: Матрицы и действия с ними. Определитель матрицы.

Цель: сформировать умение выполнять арифметические действия с матрицами, находить определители матриц.

Теоретические сведения к практической работе

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов, которую записывают в следующем виде:

.

Для обозначения матрицы используют прописные латинские буквы, для обозначения элементов матрицы – строчные латинские буквы с указанием номера строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Запись « матрица B имеет размер mxn» означает, что речь идет о матрице, состоящей из m строк и n столбцов. Например, матрица имеет размер 2x3. Далее, b_ij - обозначение элемента, стоящего на пересечении i-й строки и j-го столбца данной матрицы (в примере b₂₃=5).

При ссылке на i-ю строку матрицы A используют обозначение A_i, при ссылке на j-й столбец – обозначение A^j.

Матрица, у которой число строк совпадает с числом столбцов, называется квадратной. Элементы a₁₁ , a₂₂ ,…, a_nn квадратной матрицы A (размера nxn) образуют главную диагональ. Квадратная матрица, у которой отличные от нуля элементы могут стоять только на главной диагонали, называется диагональной. Диагональная матрица, у которой все элементы (главной диагонали!) равны 1, называется единичной. Наконец, квадратная матрица, у которой ниже (выше) главной диагонали находятся только нули, называется верхней (нижней) треугольной матрицей. Например, среди квадратных матриц размера 3x3

, , ,

матрица A является верхней треугольной, B – диагональной, C – нижней треугольной, E – единичной.

Матрицы A, B называются равными (A=B), если они имеют одинаковый размер, и их элементы, стоящие на одинаковых позициях, совпадают.

Арифметические действия с матрицами.

Чтобы умножить матрицу A на отличное от нуля вещественное число k, необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число:

.

Чтобы найти сумму матриц A, B одной размерности, необходимо сложить элементы с одинаковыми индексами (стоящие на одинаковых местах):

.

Пример 1. Найти 2A-B, если , .

Решение. Сначала умножаем матрицу A на число «2», затем матрицу B на число «-1», и, наконец, находим сумму полученных матриц:

Имеем:

Произведение AB можно определить только для матриц A размера mxn и B размера nxp, при этом AB=C, матрица C имеет размер mxp, и ее элемент c_ij находится как скалярное произведение i-й строки матрицы A на j-й столбец матрицы B: (i=1,2,…,m; j=1,2,…,p). Фактически необходимо каждую строку матрицы A (стоящей слева) умножить скалярно на каждый столбец матрицы B (стоящей справа).

Пример 2. Найти произведение матриц и .

Решение. Размер матрицы A 3x2, матрицы В 2х2. Поэтому произведение АВ найти можно, произведение ВА – нет. Действуя по сформулированному выше правилу, получаем:

Матрицей, транспонированной к матрице A размера mxn, называется матрица A^T размера nxm, строки которой являются столбцами исходной матрицы.

Например, если , то .

Пример 3. Найти .

Решение. Воспользовавшись вычислениями, проведенными при решении примера, а также правилами умножения матрицы на число и сложения матриц, получим:

.

Матрицы A, B называются эквивалентными, если одна получена из другой путем элементарных преобразований.

Рангом матрицы A в дальнейшем будем считать число строк эквивалентной ей ступенчатой матрицы, используя обозначение r(A). Так, в рассмотренном выше примере 3.4 r(A)=3, r(B)=2. Можно доказать, что ранг матрицы A (размера mxn) не может быть больше (например, для матрицы А размера 2x3 ). Кроме того, ранг матрицы не зависит ни от выбора ведущих элементов, ни от проводимых преобразований. Это свойство можно использовать при проверке. Так, в примере 3.4 после перестановки первой и второй строки в матрице B можно в качестве ведущего сначала рассмотреть элемент b₁₂, а затем вычеркнуть третью строку, пропорциональную второй ():

Вычисление определителей. Определитель матрицы A размера 2x2 (определитель 2-го порядка) – это число, которое можно найти по правилу:

(произведение элементов, стоящих на главной диагонали матрицы, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали).

Определитель матрицы A размера 3x3 (определитель 3-го порядка) – число, вычисляемое по правилу «раскрытие определителя по первой строке»:

Пример 4. Найти:

Решение. При нахождении определителя воспользуемся сначала формулой , а затем (для вычисления определителей 2-го порядка) формулой .

Содержание практической работы

Задание 1. Выполнить арифметические действия с матрицами:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ;

6);

7)

Задание 2. Доказать равенство (AB)C=A(BC) для матриц:

1) , , ;

2) , , ;

3) , , ;

Задание 3. Найти: 1) ; 2) ; 3) .

Задание 4. Вычислить определители:

1) ;

2) ;

3)

4) ;

5) ;

6)

7) ;

Практическая работа №8

Тема: Системы линейных алгебраических уравнений и методы их решения.

Цель: сформировать умение исследовать и использовать различные методы для решения систем линейных алгебраических уравнений

Теоретические сведения к практической работе

Рассмотрим системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) произвольной размерности, состоящие из m уравнений с n неизвестными:

. (*)

Матрица , составленная из коэффициентов системы (*), называется матрицей системы (ее размер – mxn), а вектор (m-мерный)- столбцом (вектором) свободных членов. Матрицу вида называют расширенной матрицей системы (*). Любой набор значений неизвестных , образующих n-мерный вектор , является решением системы (*), если эти числа удовлетворяют всем уравнениям системы (т.е. превращают их в тождества). Очевидно, что при каждом i=1,2,…,m (i-е уравнение представляет собой скалярное произведение i-й строки матрицы системы на вектор X), и (*) можно переписать в виде

. (**)

Запись (**) называется "матричной (векторной) формой записи" системы (*).

Пример 1. Выписать матрицу коэффициентов и столбец свободных членов для СЛАУ .

Решение. Очевидно, что ; .

Пример 2. Записать СЛАУ, если , .

Решение. Введем в рассмотрение вектор X и с каждым столбцом мысленно сопоставим неизвестное: с первым столбцом - , со вторым - , с третьим - , с четвертым - . Окончательно нужная система линейных алгебраических уравнений имеет вид

.

Классификация систем линейных алгебраических уравнений. Определения и основные теоремы. Если СЛАУ (*) имеет хотя бы одно решение, она называется совместной (соответственно, система несовместная, если она вообще не имеет решений). Совместная система (*) называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если имеет более одного решения (в последнем случае у нее бесконечно много решений).

Матрицу системы (*) будем называть приведенной (а саму систему канонической), если в каждой i-й строке (i=1,2,…,m) есть элемент , а все остальные элементы j-го cтолбца равны нулю. Такие элементы (и соответствующие им неизвестные) будем называть ведущими, а оставшиеся неизвестные назовем свободными.

Теорема 1 (Кронекера-Капелли). СЛАУ (*) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы совпадает с рангом ее расширенной матрицы, т.е выполняется равенство .

Для совместной системы число назовем рангом системы.

Теорема 2 (о количестве решений). Пусть СЛАУ (*) совместна. Если ее ранг равен числу неизвестных (), то система является определенной; если ранг системы меньше числа неизвестных (), то исходная система – неопределенная.

Неопределенная система, как было отмечено, имеет бесконечное множество решений. Совокупность всех решений называется общим решением системы.

Алгоритм метода Гаусса. Цель рассуждений – путем элементарных преобразований свести исходную систему к равносильной, решение которой можно выписать непосредственно. Основными шагами метода Гаусса являются следующие.

I. Прямой ход. Выписать расширенную матрицу системы, путем элементарных преобразований свести ее к эквивалентной ступенчатой и определить ранги матрицы и расширенной матрицы системы. Если они различны, то исходная система несовместна, т.е. не имеет решений. Если , то переходим к следующему этапу.

II. Сравнить ранг системы и число неизвестных, сделать вывод о количестве решений, учитывая теорему 2.

III. Обратный ход. Ступенчатую матрицу преобразовать к эквивалентной ей приведенной. Определить, какие неизвестные являются ведущими, какие – свободными.

IV. Выписать по полученной матрице систему, записать ответ (выразив, в случае неопределенной системы, ведущие элементы через свободные для построения общего решения).

Пример 3. Решить СЛАУ .

Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы:

Последняя матрица – ступенчатая. Ведущими неизвестными для нее являются в первой строке, во второй и в третьей. Очевидно, что система совместна и ее ранг равен 3: . Поскольку число неизвестных также равно 3, исходная система является определенной.

Переходим к проведению преобразований по обратному методу Гаусса (теперь необходимо получать нули НАД ведущими элементами).

Теперь составляем по последней матрице систему и выписываем значения неизвестных в порядке их номеров: X=(3;1;1)^T. Это и есть ответ.

Пример 4. Для СЛАУ найти общее и два частных решения.

Решение. Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатой.

Очевидно, что , число неизвестных n=4 и в соответствии с теоремой 6.2 исходная система является неопределенной. Ведущие неизвестные: в первой строке, во второй, в третьей. Свободное неизвестное - . Обратным ходом преобразуем матрицу к приведенному виду:

Выписываем полученную систему и ведущие неизвестные выражаем через свободные: . Общее решение записываем в порядке нумерации неизвестных: , - любое вещественное число.

Частное решение можно получить, если придать свободному неизвестному конкретное числовое значение. Например, при , а при .

Теорема Крамера. Рассмотрим «квадратную» систему линейных уравнений (число неизвестных совпадает с числом уравнений) вида

. (*)

Теорема 3 (теорема Крамера). Если определитель матрицы системы (*) отличен от нуля (), то данная система имеет единственное решение, причем значения неизвестных находятся по формулам

, i=1,2,…,n

где - определитель матрицы, полученной из исходной матрицы системы путем замены i-го столбца на столбец свободных членов.

Пример 5. Решить систему методом Крамера.

Решение. Выписываем A - матрицу системы и B - столбец свободных членов: , . Далее вычисляем определители:

;

;

;

.

По теореме Крамера ; ; . Для проверки результата подставим полученные значения неизвестных в каждое уравнение системы: , , . Все уравнения обратились в тождества, значит, решение найдено верно.

Содержание практической работы

Задание 1. По расширенной матрице выписать СЛАУ.

1)

2)

3)

4)

Задание 2. Решить системы уравнений методом Крамера и методом Гаусса.

1)

2)

3)

4)

Задание 3. Решить СЛАУ (в случае неопределенной системы выписывать общее и два любых частных решения).

1)

2)

3)

4)

Практическая работа №9

Тема: Комплексные числа и действия с ними.

Цель: сформировать умение выполнять арифметические действия с комплексными числами.

Теоретические сведения к практической работе

Комплексное число – это выражение вида

, (1.1)

где x, y – вещественные числа, а – мнимая единица. Первое из вещественных чисел, x, называется вещественной (действительной) частью комплексного числа (используется обозначение ); второе, y, - мнимой частью (). Выражение (1.1) называют алгебраической формой записи комплексного числа.

Числом, сопряженным к , называют число вида . Используя формулу разности квадратов, получаем, что . Можно доказать, что корнями квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом являются два сопряженных комплексных числа.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Дискриминант данного уравнения: меньше нуля, но теперь мы можем воспользоваться мнимой единицей:

, т.е. ; .

Справедливы следующие правила арифметических действий над комплексными числами и :

1) (осуществляется сложение или вычитание алгебраических двучленов и приведение подобных);

2) (осуществляется перемножение алгебраических двучленов и приведение подобных с учетом того, что );

3) (эта операция возможна только в случае, когда ).

Пример 2. Вычислить и указать вещественную и мнимую части полученного комплексного числа.

Решение. Действуя в соответствии с правилами получаем:

;

поэтому , .

Тригонометрическая форма комплексного числа. Каждому комплексному числу вида (1.1) можно поставить в соответствие точку M(x;y) на декартовой плоскости (при этом на оси OX располагаются вещественные числа , а на оси OY – чисто мнимые числа ).

Модулем комплексного числа назовем длину отрезка (или расстояние от начала координат до точки M), т.е. . Аргументом комплексного числа () назовем угол, который вектор образует с положительным направлением оси OX. Главное значение аргумента, которое, как правило, используется при осуществлении действий с комплексными числами, удовлетворяет условию . При этом выражение вида

(1.2)

называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Преобразуем (1.1)

и, сравнивая с (1.2), получаем, что аргумент z можно найти, решив систему

или (1.3.)

Пример 3. Записать комплексное число в тригонометрической форме _{, указать модуль и аргумент комплексного числа.}

Решение. По определению . Для определения аргумента воспользуемся формулой: . Получаем, что . Тригонометрическая форма заданного комплексного числа имеет вид: .

Возведение в степень и извлечение корней. Если комплексное число задано тригонометрической формой , то справедлива формула Муавра

. (1.4)

Для извлечения корня n-й степени (n – целое число, большее 1) из комплексного числа, заданного в тригонометрической форме, применяется формула, дающая n значений этого корня:

, k=0,1,…,n-1. (1.5)

Пример 4. Вычислить: a) ; b) .

Решение. В задании a), чтобы воспользоваться формулой Муавра, необходимо представить комплексное число в тригонометрической форме. Имеем: ; и , т.е. (так как соответствующая точка лежит во второй четверти). Следовательно, и (в силу (1.4)). Учитывая что и используя свойства тригонометрических функций, получаем:

.

В задании b) тригонометрическая форма заданного числа имеет вид (|z|=1), поэтому в силу (1.5)

, k=0,1,2.

Выписываем три искомых корня:

;

;

.

Содержание практической работы

Задание 1. Вычислить, выписать вещественную и мнимую части полученных комплексных чисел.

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7)

Задание 2. Запишите предложенные комплексные числа в тригонометрической форме: 1) ; 2) ; 3) ; 4) _{5) 6) 7)} .

Задание 3. Найти все корни уравнений:

1) ; 2) ; 4) ; 5) ; 6) 7)

Практическая работа №11

Тема: Множества и операции над ними.

Цель: сформировать умение выполнять операции с множествами

Теоретические сведения к практической работе

Множество – одно из основным понятий математики.

Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.

Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множество строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки.

Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают x ∈ Х (∈ — принадлежит).

Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В (⊂ — содержится).

Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства.

Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.

Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.

Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В.

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}

Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}

Свойства:

Свойства перестановочности:

A ∪ B = B ∪ A

A ∩ B = B ∩ A

Сочетательное свойство:

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Круги Эйлера (Эйлера-Вена) — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.

Пример: Среди школьников шестого класса проводилось анкетирование по любимым мультфильмам. Самыми популярными оказались три мультфильма: «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны», «Волк и теленок». Всего в классе 38 человек. «Белоснежку и семь гномов» выбрали 21 ученик, среди которых трое назвали еще «Волк и теленок», шестеро – «Губка Боб Квадратные Штаны», а один написал все три мультфильма. Мультфильм «Волк и теленок» назвали 13 ребят, среди которых пятеро выбрали сразу два мультфильма. Сколько человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны»?

Решение: В этой задаче 3 множества, из условий задачи видно, что все они пересекаются между собой. Получаем такой чертеж:

Учитывая условие, что среди ребят, которые назвали мультфильм «Волк и теленок» пятеро выбрали сразу два мультфильма, получаем:

21 – 3 – 6 – 1 = 11 – ребят выбрали только «Белоснежку и семь гномов».

13 – 3 – 1 – 2 = 7 – ребят смотрят только «Волк и теленок».

Получаем:

38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – человек смотрят только «Губка Боб Квадратные Штаны».

Делаем вывод, что «Губка Боб Квадратные Штаны» выбрали 8 + 2 + 1 + 6 = 17 человек.

Ответ. 17 человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны».

Содержание практической работы

Задание 1. 1) Найти множества А∩В, АUВ, А/В, В/А, если:

а) А={е, о, р, х} В={х, у}

б) А={х: -3<х<4} В={х: 0≤х≤6}

в) А={2ⁿ+1}, B={n+1} nєN

2) Найти множества А∩В, АUВ, А/В, В/А, если:

а) А={12, 13, 14, 15} В={12, 14, 16}

б) А={х: 0<х<2} В={х: 1≤х≤4}

в) А={3-(n+1)}, B={n+5} nєN

Задание 2. 1) На 1 курсе учатся 200 студентов, 106 из них знают английский язык, 60 – немецкий, 92 – французский. 24 студента знают английский и немецкий языки, 36 – английский и французский, 30 – немецкий и французский, 14 – все три языка. Остальные знают только один испанский язык. Сколько студентов знают:

а) только один язык?

б) испанский язык?

в) только немецкий язык?

г) знают английский и немецкий, но не знают французский?

2) На 1 курсе учатся 200 студентов, 106 из них знают английский язык, 60 – немецкий, 92 – французский. 24 студента знают английский и немецкий языки, 36 – английский и французский, 30 – немецкий и французский, 14 – все три языка. Остальные знают только один испанский язык. Сколько студентов знают:

а) ровно два языка?

б) только французский язык?

в) знают немецкий и французский, но не знают английский?

г) не знают испанский язык?

Рекомендуемая литература

Основные источники

1. Григорьев С.Г., Иволгина С.В. Математика. – М.: Образовательно-издательский центр «Академия», 2011

2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. – М: Издательский центр «Академия», 2011

3. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: Высшая школа, 2009

4. Дадаян А.А. Математика: учеб.- М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2005

Дополнительные источники

1. Высшая математика для экономистов. Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2007

2. Математика и информатика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / Виноградов Ю.Н., Гомола А.И., Потапов В.И., Соколова Е.В./ - М.: Издательский центр «Академия», 2009

3. Математика для профессий и специальностей социально-экономического профиля: учебник для образовательных учреждений нач. и сред. образования / В.А. Гусев, С.Г. Григорьев, С.В. Иволгина. – М.: Издательский центр «Академия», 2011

4. Спирина М.С. дискретная математика: учеб. – М.: Издательский центр «Академия», 2006

5. Омельченко В.П. Математика. – Ростов-на-Дону.: Феникс, 2006