Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса Знаки тригонометрических функции знаки тангенса               знаки синуса                   знаки косинуса                       и котангенса 2. Четность тригонометрических функции ; ; ; . Периодичность синуса и косинуса , , , . «Образование — клад, труд — ключ к нему»    П. Буаст

Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса Знаки тригонометрических функции знаки тангенса               знаки синуса                   знаки косинуса                       и котангенса 2. Четность тригонометрических функции ; ; ; . Периодичность синуса и косинуса , , , . «Образование — клад, труд — ключ к нему»    П. Буаст

 Глава 1. Тригонометрические функции

Тема 1. Тригонометрические формулы

Тема 2. Тригонометрические функции и их графики.

Тема 3. Решение тригонометрических уравнений.

Содержание обучения

Синус, косинус, тангенс и котангенс числового аргумента. Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента. Формулы приведения.

Тригонометрические функции: синус, косинус, тангенс и котангенс; область определения  и множество значений тригонометрических функций. Их свойства: возрастание и убывание, экстремумы, сохранение знака, периодичность, ограниченность. Графики синуса, косинуса. Простейшие тригонометрические уравнения.

Основная цель – ввести понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса числового аргумента; сформировать умения находить значения тригонометрических выражений на основе определений, с помощью калькулятора или таблиц, и выполнять несложные преобразования тригонометрических выражений; сформировать умения студентов строить графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса, связывать свойства синуса и косинуса с их графиками; познакомить студентов со способами решения тригонометрических уравнений, формировать умение решать простейшие тригонометрические уравнения.

Тема 1. Тригонометрические формулы.

Цель: Ввести понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла, понятие радианной меры угла; познакомить со свойствами перечисленных тригонометрических функций, с основными формулами тригонометрии.

Оборудование: модель единичной окружности, справочная литература.

План

1.1.          Тригонометрия и геометрия.

1.2.          Радианная мера угла.

1.3.          Синус, косинус, тангенс и котангенс числового аргумента.

1.4.          Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

1.5.          Формулы приведения.

1.6.          Основные тригонометрические формулы.

1.1.          Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

При нахождении значений чисел , ,  и  любого угла иногда удобно использовать следующие свойства:

1.     Знаки чисел , ,  и .

Пусть при повороте на угол  точка  переходит в точку .

а) .  в I и II четвертях,  в III и IV четвертях. Значит

, если точка  окажется в I или II четвертях

, если точка  окажется в III или IV четвертях (рис. 5а)

б) .  в I и IV четвертях,  во II и III четвертях. Значит

, если точка  окажется в I или IV четвертях

, если точка  окажется во II или III четвертях (рис. 5б)

в) , .  и  имеют одинаковые знаки в I и III четвертях и разные во II и IV четвертях. Значит

 и , если точка  расположена в I или III четвертях

 и , если точка  расположена во II или IV четвертях (рис. 5б)

Рис. 5а знаки синуса

Рис. 5б знаки косинуса

Рис. 5в знаки тангенса и котангенса

Пример.

Определите знаки синуса, косинуса, тангенса углов:

а)  ; б) ; в)

Решение:

а) Углу  соответствует точка единичной окружности, расположенная во II четверти. Поэтому , , .

б) Так как , то повороту точки  на угол  соответствует точка, расположенная в I четверти, Поэтому , , .

в) Так как , то при повороте точки  на угол  получается точка III четверти. Поэтому , , .

Задание 1. Выполните самостоятельно!

          Определите знак выражения:

а) ;

б) ;

в) .

Решение:

а) Повороту точки  на угол  соответствует точка единичной окружности, расположенная в III четверти, поэтому .

б) Повороту точки  на угол  соответствует точка единичной окружности, расположенная в IV четверти, поэтому .

в) Повороту точки  на угол  соответствует точка единичной окружности, расположенная в I четверти, поэтому .

Ответ: ; ; .

2.     Синус, косинус, тангенс и котангенс углов  и .

Пусть точки  и  единичной окружности получены поворотом точки  на углы  и  (рис.6).

Рис. 6

- равнобедренный () луч  - биссектриса , тогда отрезок  - медиана и высота . Тогда точки  и  симметричны относительно оси абсцисс. Если координаты точки , тогда координаты точки , отсюда

Значит ; ; ; .

Полученные формулы позволяют сводить вычисления значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса отрицательных углов к вычислению их значений для положительных углов. Например,

Задание 2. Решить самостоятельно:

Вычислите .

Решение:

Ответ: .

3.     Периодичность синуса и косинуса.

Если угол поворота  равен , то при повороте на каждый из углов , , , , ,  и т.д. точка придет из  в . Абсцисса и ордината точки  - это косинус и синус не только числа (угла) , но и чисел (углов) , , , , ,  и т.д.

Значит, для любого числа  выполняются равенства

, ,

, .

Понятно, что аналогичные преобразования верны для  и .

Из сказанного можно сделать вывод: при изменении угла на целое число оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса не изменяются.

Пример.

Вычислить:

1)            2)

Решение:

1)

2)

Задание 3. Вычислить самостоятельно

Вычислить:

а) ;

б) ;

в) .

Решение:

а) .

б)

.

в) с.

Домашнее задание:

Упражнение 5.

Определите знак чисел:

1) ;	3) ;	5) ;	7) ;
2) ;	4) ;	6) ;	8) .

 Упражнение 6

Найдите значение выражения:

1) ;	3) ;
2) ;	4) .

Упражнение 7

Вычислите:

1) ;	4) ;	7) ;
2) ;	5) ;	8) ;
3) ;	6) ;	9) .

• 1 слайд

  План
  Знаки тригонометрических функции
  Четность тригонометрических функций
  Периодичность синуса и косинуса
  Решение упражнений (Практикум)
  
  Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса
  

• 2 слайд

  Знаки тригонометрических функции
  

• 3 слайд

  Знаки тригонометрических функции
  

• 4 слайд

  Знаки тригонометрических функции
  
  Каким четвертям
  принадлежат данные знаки?
  

• 5 слайд

  Знаки тригонометрических функции
  

• 6 слайд

  Знаки тригонометрических функции
  
  

• 7 слайд

  Решить самостоятельно
  

• 8 слайд

  Четность тригонометрических функции
  
  
  Вывод: - функция четная
  

• 9 слайд

  Четность тригонометрических функции
  
  
  

• 10 слайд

  Четность тригонометрических функции
  Решить самостоятельно
  
  
  

• 11 слайд

  Правило:
  при изменении угла на целое число оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса не изменяются.
  
  Периодичность синуса и косинуса
  ,
  .
  

• 12 слайд

  Периодичность синуса и косинуса
  

• 13 слайд

  Вычислить самостоятельно
  

• 14 слайд

  Домашнее задание (до 09.03.16)