Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Выбранный для просмотра документ Св-ва синуса, косинуса, тангенса и котангенса!.doc

библиотека
материалов

Глава 1. Тригонометрические функции


Тема 1. Тригонометрические формулы

Тема 2. Тригонометрические функции и их графики.

Тема 3. Решение тригонометрических уравнений.


Содержание обучения

Синус, косинус, тангенс и котангенс числового аргумента. Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента. Формулы приведения.

Тригонометрические функции: синус, косинус, тангенс и котангенс; область определения и множество значений тригонометрических функций. Их свойства: возрастание и убывание, экстремумы, сохранение знака, периодичность, ограниченность. Графики синуса, косинуса. Простейшие тригонометрические уравнения.


Основная цель – ввести понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса числового аргумента; сформировать умения находить значения тригонометрических выражений на основе определений, с помощью калькулятора или таблиц, и выполнять несложные преобразования тригонометрических выражений; сформировать умения студентов строить графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса, связывать свойства синуса и косинуса с их графиками; познакомить студентов со способами решения тригонометрических уравнений, формировать умение решать простейшие тригонометрические уравнения.


Тема 1. Тригонометрические формулы.


Цель: Ввести понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла, понятие радианной меры угла; познакомить со свойствами перечисленных тригонометрических функций, с основными формулами тригонометрии.

Оборудование: модель единичной окружности, справочная литература.


План


  1. Тригонометрия и геометрия.

  2. Радианная мера угла.

  3. Синус, косинус, тангенс и котангенс числового аргумента.

  4. Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

  5. Формулы приведения.

  6. Основные тригонометрические формулы.




    1. Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса.


При нахождении значений чисел hello_html_423407b3.gif, hello_html_m62078009.gif, hello_html_m2545a67f.gif и hello_html_a1fe68f.gif любого угла иногда удобно использовать следующие свойства:

  1. Знаки чисел hello_html_423407b3.gif, hello_html_m62078009.gif, hello_html_m2545a67f.gif и hello_html_a1fe68f.gif.

Пусть при повороте на угол hello_html_7a00ba7d.gif точка hello_html_m7903b143.gif переходит в точку hello_html_2f4bb642.gif.

а) hello_html_m2d7bdcbd.gif. hello_html_m7032bc97.gif в I и II четвертях, hello_html_m72dcc730.gif в III и IV четвертях. Значит

hello_html_m3bd623d8.gif, если точка hello_html_703246fa.gif окажется в I или II четвертях

hello_html_4ba4d31a.gif, если точка hello_html_703246fa.gif окажется в III или IV четвертях (рис. 5а)

б) hello_html_m7e93fadc.gif. hello_html_mf4b601c.gif в I и IV четвертях, hello_html_70368b77.gif во II и III четвертях. Значит

hello_html_115dde26.gif, если точка hello_html_703246fa.gif окажется в I или IV четвертях

hello_html_866c5f9.gif, если точка hello_html_703246fa.gif окажется во II или III четвертях (рис. 5б)

в) hello_html_c6019cc.gif, hello_html_m6142eecf.gif. hello_html_46dff828.gif и hello_html_2633e72.gif имеют одинаковые знаки в I и III четвертях и разные во II и IV четвертях. Значит

hello_html_m23cfb96e.gifи hello_html_m5b9cd90d.gif, если точка hello_html_703246fa.gif расположена в I или III четвертях

hello_html_229fc90e.gifи hello_html_m8dc0a9b.gif, если точка hello_html_703246fa.gif расположена во II или IV четвертях (рис. 5б)

Рис. 5а

знаки синуса

hello_html_m1752c64b.png

Рис. 5б

знаки косинуса

hello_html_4423d8d9.png

Рис. 5в

знаки тангенса и котангенса


Пример.

Определите знаки синуса, косинуса, тангенса углов:

а) hello_html_20804aef.gif; б) hello_html_mf39cca8.gif; в) hello_html_m7a6dfd2a.gif

Решение:

а) Углу hello_html_20804aef.gif соответствует точка единичной окружности, расположенная во II четверти. Поэтому hello_html_ma8164a4.gif, hello_html_2f023c89.gif, hello_html_m3a9b6971.gif.

б) Так как hello_html_m4b5b4bbe.gif, то повороту точки hello_html_m5aa2b59f.gif на угол hello_html_mf39cca8.gif соответствует точка, расположенная в I четверти, Поэтому hello_html_464d2e71.gif, hello_html_m1710ea71.gif, hello_html_affa403.gif.

в) Так как hello_html_6785ae81.gif, то при повороте точки hello_html_m5aa2b59f.gif на угол hello_html_m2cb4b15f.gif получается точка III четверти. Поэтому hello_html_64637847.gif, hello_html_7de55cb0.gif, hello_html_m5cb4ba0f.gif.

Задание 1. Выполните самостоятельно!

Определите знак выражения:

Решение:

а) Повороту точки hello_html_8206724.gif на угол hello_html_m1381a6f6.gif соответствует точка единичной окружности, расположенная в III четверти, поэтому hello_html_185952f4.gif.

б) Повороту точки hello_html_8206724.gif на угол hello_html_m2bc44ad.gif соответствует точка единичной окружности, расположенная в IV четверти, поэтому hello_html_7c10bc4f.gif.

в) Повороту точки hello_html_8206724.gif на угол hello_html_140ab2a9.gif соответствует точка единичной окружности, расположенная в I четверти, поэтому hello_html_19bb8c75.gif.

Ответ: hello_html_185952f4.gif; hello_html_7c10bc4f.gif; hello_html_19bb8c75.gif.



  1. Синус, косинус, тангенс и котангенс углов hello_html_7a00ba7d.gif и hello_html_m3da442d.gif.

Пусть точки hello_html_703246fa.gif и hello_html_3837f2ef.gif единичной окружности получены поворотом точки hello_html_m7903b143.gif на углы hello_html_7a00ba7d.gifи hello_html_m3da442d.gif (рис.6).

Рис. 6

hello_html_69351913.gif- равнобедренный (hello_html_53eb745f.gif)

луч hello_html_6755a0c6.gif - биссектриса hello_html_43a81593.gif, тогда отрезок hello_html_mabf316c.gif - медиана и высота hello_html_69351913.gif. Тогда точки hello_html_703246fa.gif и hello_html_3837f2ef.gif симметричны относительно оси абсцисс. Если координаты точки hello_html_2f4bb642.gif, тогда координаты точки hello_html_m50859a2.gif, отсюда

hello_html_m261132b1.gif

hello_html_m2a9ce1d3.gif

hello_html_mc9a7888.gif

hello_html_m260d0ccc.gif


Полученные формулы позволяют сводить вычисления значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса отрицательных углов к вычислению их значений для положительных углов. Например,

hello_html_484a4dc2.gif

hello_html_m7a032497.gif

hello_html_m19c0e74c.gif

hello_html_m7cf6ec6e.gif

Задание 2. Решить самостоятельно:


Вычислите hello_html_6e890726.gif.

Решение:

hello_html_m69fba644.gif


Ответ: hello_html_m56cbbb0f.gif.


  1. Периодичность синуса и косинуса.

Если угол поворота hello_html_5862f8c8.gif равен hello_html_7a00ba7d.gif, то при повороте на каждый из углов hello_html_m645d4329.gif, hello_html_m14d4497.gif, hello_html_23e8205e.gif, hello_html_615ac964.gif, hello_html_44aceda.gif, hello_html_1663a8b.gif и т.д. точка придет из hello_html_m64e7e9e4.gif в hello_html_703246fa.gif. Абсцисса и ордината точки hello_html_703246fa.gif - это косинус и синус не только числа (угла) hello_html_7a00ba7d.gif, но и чисел (углов) hello_html_m645d4329.gif, hello_html_m14d4497.gif, hello_html_23e8205e.gif, hello_html_615ac964.gif, hello_html_44aceda.gif, hello_html_1663a8b.gif и т.д.

Значит, для любого числа hello_html_7a00ba7d.gif выполняются равенства

hello_html_m278ef047.gif, hello_html_5e13ac93.gif,

hello_html_m66325572.gif, hello_html_5e13ac93.gif.

Понятно, что аналогичные преобразования верны для hello_html_m2545a67f.gif и hello_html_a1fe68f.gif.

Из сказанного можно сделать вывод: при изменении угла на целое число оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса не изменяются.


Пример.

Вычислить:

1) hello_html_148e71c3.gif 2) hello_html_m1bf6eaf0.gif

Решение:

1) hello_html_m21271727.gif

2) hello_html_m6cd8f4ee.gif



Задание 3. Вычислить самостоятельно

Вычислить:

Решение:

а) hello_html_139500bb.gif.

б) hello_html_m75a8af0f.gif

hello_html_779345e.gifhello_html_m21e5e7e6.gif.

в) сhello_html_mb56251.gif.


Домашнее задание:


Упражнение 5.

Определите знак чисел:

Упражнение 6

Найдите значение выражения:

Упражнение 7

Вычислите:

Выбранный для просмотра документ Свойства синуса, косинуса, тангенса.pptx

библиотека
материалов
План Знаки тригонометрических функции Четность тригонометрических функций Пер...
Знаки тригонометрических функции
Знаки тригонометрических функции
Знаки тригонометрических функции Каким четвертям принадлежат данные знаки?
Знаки тригонометрических функции Рис. 5а знаки синуса Рис. 5б знаки косинуса...
Знаки тригонометрических функции
Решить самостоятельно Решить самостоятельно, с последующей проверкой у доски
Четность тригонометрических функции Вывод: - функция четная
 Четность тригонометрических функции
Четность тригонометрических функции Решить самостоятельно Решить самостоятель...
Правило: при изменении угла на целое число оборотов значения синуса, косинуса...
Периодичность синуса и косинуса
Вычислить самостоятельно
Домашнее задание (до 09.03.16)
14 1

"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 План Знаки тригонометрических функции Четность тригонометрических функций Пер
Описание слайда:

План Знаки тригонометрических функции Четность тригонометрических функций Периодичность синуса и косинуса Решение упражнений (Практикум) Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса

№ слайда 2 Знаки тригонометрических функции
Описание слайда:

Знаки тригонометрических функции

№ слайда 3 Знаки тригонометрических функции
Описание слайда:

Знаки тригонометрических функции

№ слайда 4 Знаки тригонометрических функции Каким четвертям принадлежат данные знаки?
Описание слайда:

Знаки тригонометрических функции Каким четвертям принадлежат данные знаки?

№ слайда 5 Знаки тригонометрических функции Рис. 5а знаки синуса Рис. 5б знаки косинуса
Описание слайда:

Знаки тригонометрических функции Рис. 5а знаки синуса Рис. 5б знаки косинуса Рис. 5в знаки тангенса и котангенса

№ слайда 6 Знаки тригонометрических функции
Описание слайда:

Знаки тригонометрических функции

№ слайда 7 Решить самостоятельно Решить самостоятельно, с последующей проверкой у доски
Описание слайда:

Решить самостоятельно Решить самостоятельно, с последующей проверкой у доски

№ слайда 8 Четность тригонометрических функции Вывод: - функция четная
Описание слайда:

Четность тригонометрических функции Вывод: - функция четная

№ слайда 9  Четность тригонометрических функции
Описание слайда:

Четность тригонометрических функции

№ слайда 10 Четность тригонометрических функции Решить самостоятельно Решить самостоятель
Описание слайда:

Четность тригонометрических функции Решить самостоятельно Решить самостоятельно, с последующей проверкой у доски

№ слайда 11 Правило: при изменении угла на целое число оборотов значения синуса, косинуса
Описание слайда:

Правило: при изменении угла на целое число оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса не изменяются. Периодичность синуса и косинуса , .

№ слайда 12 Периодичность синуса и косинуса
Описание слайда:

Периодичность синуса и косинуса

№ слайда 13 Вычислить самостоятельно
Описание слайда:

Вычислить самостоятельно

№ слайда 14 Домашнее задание (до 09.03.16)
Описание слайда:

Домашнее задание (до 09.03.16)

Выбранный для просмотра документ Свойства синуса.doc

библиотека
материалов

Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса












hello_html_m670940a0.gif


  1. Знаки тригонометрических функции

hello_html_4423d8d9.png

hello_html_m158910f7.png






знаки тангенса

знаки синуса hello_html_m1752c64b.png знаки косинуса и котангенса


2. Четность тригонометрических функции


  1. Периодичность синуса и косинуса

hello_html_m278ef047.gif, hello_html_5e13ac93.gif,

hello_html_m66325572.gif, hello_html_5e13ac93.gif.


«Образование — клад, труд — ключ к нему» П. Буаст





Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса












hello_html_m670940a0.gif


  1. Знаки тригонометрических функции

hello_html_4423d8d9.png

hello_html_m158910f7.png






знаки тангенса

знаки синуса hello_html_m1752c64b.png знаки косинуса и котангенса


2. Четность тригонометрических функции


  1. Периодичность синуса и косинуса

hello_html_m278ef047.gif, hello_html_5e13ac93.gif,

hello_html_m66325572.gif, hello_html_5e13ac93.gif.


«Образование — клад, труд — ключ к нему» П. Буаст


Автор
Дата добавления 17.08.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров229
Номер материала ДБ-158261
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх