Министерство образования и науки Республики Татарстан

ГАОУ ДПО «Институт развития образования Республики Татарстан»

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Маметьевская основная общеобразовательная школа»

Альметьевского муниципального района Республики Татарстан

Урок алгебры в 8 – классе

на тему:

“Решение квадратных уравнений с помощью формул”

Гилязова Миляуша Ахатовна

учитель математики

высшей квалификационной категории

Альметьевск -2013

Тема: Решение квадратных уравнений по формуле.

Цель урока: закрепить знания учащихся, полученные при изучении темы, уметь применять формулы для нахождения дискриминанта и корней уравнения; воспитать у учащихся интереса к учебе с помощью народной педагогики.

Оборудование: учебник «Алгебра» 8кл, Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, плакаты с пословицами, карточки для тестирования и для групповой работы, диск “Алгебра, 7-11 кл. Образовательная коллекция”, слайды.

Ход урока.

I. Актуализация.

Свой урок я хочу начать четверостишьем С.Маршака:

Пусть каждый день и каждый час

Вам новое добудет.

Пусть добрым будет ум у вас,

И сердце добрым будет.

Желаю вам доброго ума и большого внимания!

Для сегодняшнего урока я выбрала такой эпиграф:

“Торопись, ведь дни проходят –

Ты у времени в гостях”. (Слайд 1).

Сегодня очень трудно жить человеку без знаний, так как мы с вами живем в эпоху новой технической и информационной революции. Наше время – период невиданного расцвета математики. Как сказал английский философ Роджер Бэкон:“Тот, кто не знает математики, не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества”. И я хочу пожелать вам, дорогие ребята, чтобы вы научились не только извлекать пользу из занятий математикой, но и восхищаться ее красотой.

Сегодняшний урок мы проведем в форме устного журнала. Мы проверим, как вы усвоили тему: ”Решение квадратных уранений по формуле”.

1. Устная работа.

Первая страница журнала:

“Повторение – мать учения”. (Слайд 2).

• Какое уравнение называется квадратным уравнением?

( ах² + вх + с =0, а = 0, х –переменная, а,в,с – некоторые числа)

(Слайд 3).

• Какое уравнение называется приведенным квадратным уравнением?

( а = 1)

- Какое уравнение называется неполным квадратным уравнением?

(если один из коэффициентов в и с или оба равны нулю)

-От чего зависит число корней?

(От знака дискриминанта:

при Д > 0, 2 корня;

при Д = 0, 1 корень;

при Д < 0, нет корней). (Слайд 4).

-По какой формуле вычисляется дискриминант?

( Д = в² - 4ас)

-По какой формуле вычисляются корни квадратного уравнения?

( х_{1; 2} = -в ± Д). (Слайд 5).

2.Два ученика работают у доски: 1 ученик вычисляет корни с помощью Д, а другой - Д₁: х² - 4х - 5 = 0. (Слайд 6).

II. Изучение нового материала.

1. Вторая страница журнала:

“Кто не знает свою историю, не узнает и будущее». (Слайд 7).

Впервые квадратные уравнения сумели решить математики Древнего Египта. В одном из математических папирусов содержится задача: “Найти стороны поля, имеющего форму прямоугольника, если его площадь 12, а ¾ длины равно ширине”. Огромный шаг вперед по сравнению с математиками Египта сделали ученые Междуречья. Они нашли правило для решения приведенного квадратного уравнения

х² + рх +q = 0,

где р и q – любые действительные числа.

В одной из вавилонских задач также требовалось определить длину прямоугольного поля и его ширину: “Сложив длину и две ширины прямоугольного поля, получишь 14, а площадь поля 24. Найди его стороны”. (Слайд 8).

Древние математики Греции решали квадратные уравнения в основном геометрическим путем. Древнегреческий математик Диофант Александрийский (‌‌‌‌‌‌ІІІ век) решал квадратные уравнения без геометрии. В сохранившихся 6 книгах Диофанта “Арифметика” содержится 189 задач с решениями. Он также показал пути решения уравнений вида ах²= в и ах = в. (Слайд 9).

Знаменитый индийский математик Брахмагупта в VІІ веке вывел правило решения уравнений типа ах² + вх =с (а >0). (Слайд 10).Нельзя не отметить другого индийского математика Бхаскару (1114 – 1185), который занимался вопросами алгебры, тригонометрии, геометрии и комбинаторики. В его трудах можно найти одно из старейших наглядных доказательств теоремы Пифагора, число π, практические приемы вычисления площадей, непрерывные дроби и многое другое. Мы позже с вами решим его знаменитую задачу о стае обезьян. (Слайды 11,12).

Аль – Хорезми (783 – 830) – выдающийся средневековый ученый, внесший большой вклад в развитие математики, астрономии, математической географии. Полное его имя – Абу Абдаллах Мухаммед ибн Муса аль – Хорезми. Из 9 его сочинений “Китаб аль– джебр валь – мукабала” только 7 сохранились до наших времен. Само слово “аль – джебр”, входившее в название книги, постепенно стало названием науки – алгебра. Он показал способы решения уравнений вида ах² + вх =с , ах² + с = вх, ах² = вх, ах² =с, ах =с и находил только положительные корни. (Слайд 13).

В 1544 году Михаил Штифель первым в Европе сформулировал правило решения квадратных уравнений. Он первым из математиков рассматривал отрицательные числа как числа, меньшие нуля, и одним из первых ввел знак корня с целым показателем, круглые скобки и символы для многих неизвестных. (Слайд 14).

Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, была сформулирована выдающимся французским математиком Франсуа Виетом (1540 – 1603) – “отцом алгебры” в 1591 году. Главным трудом его жизни было сочинение “Введение в искусство анализа”. Труды Виета привели к тому, что алгебра сформировалась как наука о решении уравнений. (Слайд 15).

Бельгийский математик Жирар Альберт (1595 – 1632) как многие математики того времени, занимался основной теоремой алгебры о корнях уравнения. Основным его сочинением была книга “Новое открытие в алгебре”. Он впервые высказал основную теорему алгебры о наличии корня у алгебраического уравнения с одним неизвестным. После его трудов и трудов французского математика Рене Декарта (1596-1650) и английского математика Исаака Ньютона (1643 – 1727) решение квадратных уравнений приобрело нынешний вид. (Слайды 16,17).

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот задача Бхаскары:

Обезьянок резвых стая,

Всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая

На полянке забавлялась.

А двенадцать по лианам

Стали прыгать, повисая,

Сколько ж было обезьянок,

Ты скажи мне, в этой стае?

( х/8) ² + 12 = х; х=16, х=48)

2. Третья страница журнала:

“Век живи – век учись!” (Слайд 18).

1. Если а + в + с = 0, то уравнение ах² + вх + с = 0 имеет 2 корня: 1 и с/а.

Пример: 2002х²– 2001х – 1 = 0 (Слайд 19).

( 1 и -1/2002)

2. Если а + с = в, то уравнение ах² + вх + с = 0 имеет 2 корня:

-1 и –с/а.

Пример: 43х² – 873х – 916 = 0 (Слайд 20).

(-1 и 916/43)

3. Четвертая страница журнала

“В здоровом теле – здоровый дух!” (Слайд 21).

Упражнения для глаз под медленную мелодию.

III.Закрепление материала.

1. Пятая страница журнала:

“Кто больше знает, тому и книги в руки”. (Слайд 22).

По учебнику № 547. (2 ученика работают у доски)

2 ученика решают квадратные уравнения на компьютере.

Диск “Алгебра, 7-11 кл. Образовательная коллекция”

2. Шестая страница журнала:

Название этой страницы найдем сами .

Каждому ученику дается карточка с квадратным уравнением в форме теста. Находим правильные ответы уравнений и из соответствующих букв составляем название данной страницы.

“Наука – верней золотой поруки”. (Слайд 23).

1. Х² + 5Х + 6 = 0

к) 6; -5 м) 3; -2

л) 5; 6 н) -2;-3

2. 2Х² – 3Х +2 = 0

а) нет решений в) -4; 3

б) 1; 2 г) 3; -2

3. 7Х² + 8Х + 1 = 0

т) 1/7; 1 ф) 8; -0,1

у) -1/7; -1 х) -7; -1/8

4. 5У² – 4У -1 = 0

и) ½; -2 л) -1/5; 2

к) 1; -0,2 м) 0,5; 4

5. 3У – 40 + У² = 0

а) 5; -8 в) 10; 30

б) -20; 3 г) -8; -5

6. Х² -12Х – 45 = 0

б) 3; 4 г) 15; 3

в) 15; -3 д) 16; -4

7. Х² – 16Х + 28 = 0

е) 14; 2 з) 7; 4

ж) -16; 4 и) 10; 6

8. У² + 17У + 60 = 0

о) 20; 4 р) -5; -12

п) 12; -5 с) 15; 2

9. У² + 8У + 15 = 0

л) 12; 3 н) -3;-5

м) -7; 8 о) 8; 5

10. Х² + 17Х - 38 = 0

е) 2; 19 з) 18; 2

ж) 15; 2 и) -17; 1

11. 7Х² -11Х – 6 = 0

ж) 2/7; 1/5 и) 5; 6

з) -5; -6 й) 2; -3/7

12. Х² – 3Х – 10 = 0

ж) 6; 3 и) 5; 7

з) 5; -2 й)-3; 7

13. 10Х² + 5Х – 0,6 = 0

н) 0,1; -5 п)10; -5

о) 0,1; -0,6 р) 0,6; 10

14. 9Х² = 1+ 8Х

з) -8; 1 к) 4/9; -1

и) 8; -1 л) 1; -1/9

15. 7Х² = 1 – 6Х

м) 13; 6 о) 1/7; -1

н) -13; -6 п) -1; -1/7

16. 35 + 12У + У² = 0

с) 7; 5 у) 14; -2

т) -5; -7 ф) -12; 4

17. Х² - 21Х = -54

л) 17; 4 н) -13; -8

м) 24; -3 о) 18; 3

18. 10Х² – 3Х – 0,4 = 0

и) -0,4; 0,1 к) 4; -0,1

й) 0,4; -0,1 л) -4; 10

19. 7У² + 5У = 2

п) -1; 2/7 с) 2/5; -7

р) 7; -2 т) 1/7; -5

20. Х² – 6Х + 5 = 0

л) -5; -1 н) 6; -1

м) 1; 7 о) 5; 1

21. Х² = 14Х – 33

н) 14; 16 п) -11; -3

о) 31; -2 р) 11; 3

22. 4Х² – 37Х + 9 = 0

у) ¼; 9 х) 35; 2

ф) 0,25; -9 ц) 36; -4

23. 5Х² + 8Х – 4 = 0

и) 0,8; -4 л) 0,5; 8

к) 0,4; -2 м) 0,4; -8

24. 3Х² – 4Х + 2 = 0

е) 7; 3 з) 6; -4

ж) -4; 5 и) нет решений

3.Седьмая страница журнала:

“Одна голова – хорошо, а две - лучше”. (Слайд 24).

Групповая работа: класс разбит на 5 групп. Каждая группа решает свои уравнения по карточкам. После того, как все уравнения будут решены, в соответствии с полученными результатами каждая группа наносит на координатной плоскости точки и последовательно соединив их, получает рисунок: кувшин, вазу, корабль, звезду и т.д.

1 группа

1) х² – 11х + 18 =0 (х₁ , х₂);

2) х² - 4х + 4 = 0 (х₁ , х₂);

3) 2х² - 10х = 0 (х₂ , х₁)

4) х² + 5х – 14 = 0 (х₂ , х₁) х_{2 >} х₁

5) х² + 9х + 14 = 0 (х₂ , х₁)

6) 3х² + 15х = 0 (х₁ , х₂);

7) 3х² - 12 = 0 (х₁ , х₂);

8) 2х² - 14х – 36 = 0 (х₁ , х₂);

2 группа

1) х² – 16х = 0 (х₂ , х₁);

2) х² - 14х – 15 = 0 (х₁ , х₂);

3) х² + х = 0 (х₁ , х₂);

4) х² + 3х = 0 (х₁ , х₂);

5) х² + 7х – 98 = 0 (х₁ , х₂); х_{2 >} х₁

6) х² + 14х = 0 (х₁ , х₂);

7) х² + 15х = 0 (х₁ , х₂);

8) х² + 15х + 56 = 0 (х₁ , х₂);

9) х² - х – 56 = 0 (х₂ , х₁)

10) – 5х² + 80х = 0 (х₂ , х₁)

3 группа

1) х² - 4х – 21 = 0 (х₁ , х₂);

2) х² - 10х + 21 = 0 (х₁ , х₂);

3) х² - 7х + 12 = 0 (х₁ , х₂);

4) х² - 6х = 0 (х₂ , х₁);

5) х² + 4х – 32 = 0 (х₂ , х₁);

6) х² + 6х – 55 = 0 (х₂ , х₁); х_{2 >} х₁

7) х² + 16х + 55 = 0 (х₂ , х₁);

8) х² + 12х + 32 = 0 (х₂ , х₁);

9) х² + 6х = 0 (х₁ , х₂);

10) х² - х – 12 = 0 (х₁ , х₂);

4 группа

1) х² +15х + 44 = 0 (х₂ , х₁);

2) х² + 9х + 8 = 0 (х₂ , х₁);

3) х² + х = 0 (х₁ , х₂);

4) х² + 6х = 0 (х₁ , х₂);

5) х² - 4х – 21 = 0 (х₁ , х₂);

6) х² - 10х + 21 = 0 (х₁ , х₂); х_{2 >} х₁

7) х ² - 6х = 0 (х₂ , х₁);

8) х² - х = 0 (х₂ , х₁);

9) х² + 7х - 8 = 0 (х₂ , х₁);

10) х² + 7х – 44 = 0 (х₂ , х₁);

5 группа

1) х² - 4х = 0 (х₂ , х₁);

2) х² - 13х + 30 = 0 (х₂ , х₁);

3) х² - 5х + 6 = 0 (х₁ , х₂);

4) х² - 8х = 0 (х₁ , х₂);

5) х² - х – 6 = 0 (х₁ , х₂);

6) х² + 7х - 30 = 0 (х₁ , х₂); х_{2 >} х₁

7) х² + 4х = 0 (х₁ , х₂);

8) х² + 13х + 42 = 0 (х₂ , х₁);

9) х² + 3х = 0 (х₂ , х₁);

10) х² + х – 42 = 0 (х₂ , х₁);

4.Восьмая страница журнала:

“В знании – сила!” (Слайд 25).

Нас учили, нас учили

Арифметике простой.

Научили, научили

Как пример решать любой.

И задачки мы решали,

Что трудней бывало нет,

И учитель помогал нам

Верный вывести ответ.

Очень трудная наука

Математика для нас.

Но учиться в наше время

Нужно каждому из нас.

Эту песню неспроста

Спели мы, друзья, для вас,

С математикой особо

Дружит наш восьмой класс!

(Исполняется на мелодию “Там, где речка – речка Бирюса...”)

IV.Итог урока.

V.Домашнее задание:№547, 550.