Урок на тему "Исследование функции с помощью производной"

Тема занятия: Исследование функции с помощью производной.

Преподаватель: Борисова Елена Владимировна

Тип занятия: Лекция

Цели (образовательные): Изучить применение производной для исследования функции.

Цели (развивающие): Способность анализировать..

Ход занятия:

1.       Повторение: свойства функции. (в форме диалога со студентами)

2.       Возрастание и убывание. Примеры.

3.       Точки экстремума.

4.       Решение примеров.

5.       Проверка решенных примеров. (у доски по 1 человеку с ряда)

6.       Подведение итогов. (построение схемы исследования)

7.       Домашнее задание.

 

Теорема 1. Если на некотором промежутке производная функции больше нуля, то функция возрастает на этом промежутке. Если на некотором промежутке производная функции меньше нуля, то функция убывает на этом промежутке.

 

                                                                                                                                         тупой угол => tgα <0

                     острый угол => tg α>0                                                                                        

№1. Найти промежутки возрастания и убывания функции.

1)      y=x²-8x+13

2)      y=x³-6x²+4

3)      y=

4)      y=ln x

Определение 1. Если f(x₀)>f(x) Ɐx из некоторого интервала из Х, то x₀ называется точка локального максимума. Если f(x₀)<f(x) Ɐx из некоторого интервала из Х, то x₀ называется точка локального минимума.

Определение 2. Если f(x₀)>f(x) Ɐx ϵХ, то x₀ называется точка глобального максимума. Если f(x₀)<f(x) Ɐx ϵХ, то x₀ называется точка глобального минимума.

Определение 3. Точки максимума и минимума называют точками экстремума функции, а значения функции в этих точках называют экстремумом функции.

Определение 4.  Точки, в которых производная функции равна нулю, называют стационарными точками.

Теорема 2. В точках экстремума производная функции равна нулю.

                                                                                                                                                            max

                      угол между касательной и осью Ох равен нулю => tg α=0

Теорема 3. Если при переходе через стационарную точку производная меняет знак, то эта точка является точкой экстремума.

Замечание 1. Не все стационарные точки являются точками экстремума.

Пример 1. y=x³  

y’=3x²                                                                                                            точек экстремума нет                   

 y’=0

3x² =0

x=0 – стационарная точка

Определение 5. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками.

Замечание 2. Точки, в которых производная не существует, могут быть точками экстремума.

Пример 2.

X=IR, но производная в точке 0 не существует.

При переходе через ноль производная меняет знак => ноль – точка экстремума.

№2. Найти экстремумы функций.

1)      y=x²-4x

2)      y=-x²+5x-6

3)      y=x³-3x²

Определение 6. Функция называется выпуклой вниз, если ее надграфик является выпуклым множеством. Функция называется выпуклой вверх, если ее подграфик является выпуклым множеством.

Определение 7. Множество называется выпуклым, если любые две его точки можно соединить отрезком, целиком лежащим в этом множестве.

Теорема 4. Если вторая производная функции больше нуля, то кривая выпукла вниз. Если вторая производная функции меньше нуля, то кривая выпукла вверх.

Определение 8. Точки, в которых вторая производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками.

Определение 9. Критические точки, которые разделяют промежутки выпуклости противоположных направлений, называются точками перегиба функции.

Домашнее задание. Определить интервалы возрастания и убывания функции. Найти экстремумы. Определить промежутки выпуклости противоположных направлений.

1)      y=x³-6x²+9x-3

2)      y=5x-x²+2