Урок по геометрии для 8, 9 классов
«Решение задач методами геометрических преобразований
(движений)».
Предмет: геометрия
Класс: 8-9
Автор
урока: Коренькова Ирина
Геннадьевна,
учитель
математики ВКК
Методическая
информация
Тип урока
|
обобщающий
|
Цели и задачи урока
|
закрепить отработанные умения распознавать
некоторые методы геометрических преобразований и их компоненты при решении различных
геометрических задач;
развивающие – развивать и
совершенствовать умения применять имеющиеся у учащихся знания в измененной
ситуации; развивать логическое мышление, умение делать выводы и обобщения;
воспитательные – воспитывать у
учащихся аккуратность, культуру поведения, самостоятельность.
|
Знания, умения,
навыки и качества, которые актуализируют/приобретут/закрепят/др. ученики в
ходе урока
|
Учащиеся должны
знать:
·
Знать суть и компоненты
каждого метода;
уметь:
·
строить образы фигур при
указанном преобразовании
·
строить, либо «видеть»
соответственные при данном преобразовании точки на соответственных при этом
же преобразовании фигурах
·
строить соответственные
при этом же преобразовании точки на заданных произвольных фигурах
·
распознавать методы
геометрических преобразований (движений) и объяснить выбор конкретного
метода;
·
решать задачи, применяя
определенный метод решения.
·
Владеть аппаратом решения геометрических задач
методом геометрических преобразований.
|
Необходимое оборудование и материалы
Чашечные весы,
лист-помощник, компьютер, рабочая тетрадь
|
Содержание урока.
Подготовительный этап
Разделим учащихся на две группы по четыре
человека в каждой. Всем раздаются карточки следующего содержания:
Рис.4
При симметрии данного треугольника
относительно прямой, содержащей его гипотенузу, получится квадрат.
Мотивационный
этап Приложение 1
Задача столяра: “Столяру принесли 2 овальные одинаковые доски с
продолговатым отверстием в центре и заказали из них одну круглую сплошную
крышку для стола”. Как распилил столяр принесенные доски?
Доски оказались из дерева редкой дорогой породы, и мастеру
хотелось употребить их в дело полностью, без каких бы то ни было образков.
Чтобы не делать лишних, необдуманных разрезов, столяр сначала,
вырезал из плотной бумаги выкройку доски, присмотрелся к форме, кое-что
проверил циркулем. Оказалось, что намерение мастера вполне осуществимо, и
притом с небольшим количеством разрезов каждой доски.
Решение:
Чтобы не делать лишних, необдуманных
разрезов, столяр сначала, вырезал из плотной бумаги выкройку доски,
присмотрелся к форме, кое-что проверил циркулем. Оказалось, что намерение
мастера вполне осуществимо, и притом с небольшим количеством разрезов каждой
доски.
Сначала столяр заметил, что выкройка
доски представляет собой симметричную фигуру с двумя осями симметрии.
Затем он обнаружил, что если
половину продольной оси отверстия ОА отложить на поперечной оси ОО1=ОА
и ОО2=ОА и соединить прямыми точки О1 и А1, а
также О2 и А, то каждая из фигур ВО1В1 и СО2С1
будет в точности составлять четверть круга с радиусом О1В, а каждая
из фигур АВС и А1В1С1 – четверть круга с
радиусом А1В1, который равен половине радиуса О1В1.
Столяр распилил каждую доску по
прямым ВА, СА, А1В1 и С1А1 и из полученных
8 частей склеил аккуратную круглую крышку для стола, как показано на рисунке 1.
Линии разреза на рисунке обозначены красным
цветом.
В С
Рис.1
Закрепление знаний и умений обучающихся
(Коллективно)
Задача. Дана прямая и
две точки А и В по одну сторону от нее. Найти на точку
М, такую, что сумма АМ+МВ принимает наименьшее значение.
Межпредметная связь. Данная геометрическая задача позволяет
объяснить такие физические явления, как отражение света, отскок мяча и т.п.
Пусть световой луч АС отражается от прямой в
луч СВ. (рис.9)
В физике рассматривают углы, которые отрезки
АС и ВС образуют с перпендикуляром к прямой . По закону отражения света угол падения
равен углу отражения. А это значит, что свет распространяется из точки А в В
так, что путь АС+СВ, а значит и время его прохождения будет наименьшим. Это
так называемый принцип Ферма. Из него вытекают все законы отражения и
преломления света.
|
А
В
С
Рис.9 В´
Решите самостоятельно задачу: на одном берегу
небольшого водоема стоит столб с фонарем на верху, на другом находится человек.
Как найти построением точку, в которой отражается от поверхности воды луч
фонаря, попадающий в глаз человека? Рисунок и решение в приложении 1.
Самостоятельная
работа
Затем учащиеся получают индивидуальные задания,
в которых требуется по формулировке задачи определить метод ее решения.
Признаки выбора метода на листах-помощниках.
Например, следующие задачи:
1. Даны прямая и две точки Р и Q по
одну сторону от . Найдите на прямой такую точку R, чтобы
периметр треугольника PQR был наименьшим. (Требование содержит вопрос о
нахождении суммы отрезков, являющихся сторонами треугольника, а так как
необходимо указать треугольник наименьшего периметра, то значит требуется
установить кратчайшее расстояние между данными точками, отсюда вывод, возможно
применение осевой симметрии);
2. Азимут направления корабля, плывущего со скоростью 18 узлов в час,
равен 145°. В 7ч 30 мин корабль находился от маяка точно
на востоке, через 20 мин азимут направления на маяк стал равным 20°. На каком расстоянии от маяка находился корабль в 7ч
30 мин? (Здесь требуется указать расстояние на котором находился корабль от
маяка, зная его скорость и время движения можно найти пройденный им путь. Если
бы мы смогли приблизить полученный отрезок пути к точке маяка, т.е. применить
параллельный перенос, то получим ответ на вопрос задачи)
3. На сторонах АС и ВС треугольника АВС вне его построены равносторонние
треугольники АСВ1 и ВСА1. Докажите, что отрезки АА1
и ВВ1 равны. Найдите величины угла между прямыми АА1 и ВВ1.(В
условии задачи даны равносторонние треугольники, при этом требуется найти угол
между прямыми, следовательно здесь будет рационально применить метод поворота)
Физминутка.
Применим зеркальную симметрию. Повторение движений за учителем или соседями
по парте. Рисуем по воздуху пальцами симметричные фигуры.
1. Определите фигуры, данные в условии, укажите их свойства.
2. Выделите элементы принадлежащие данным фигурам.
3. Уточните, если требуется вопрос задачи.
4. Соотнесите условие с требованием задачи и определите ключевые слова
или элементы, преобразование которых указывает на нужный метод решения.
Задача 1. Окружность, центр которой принадлежит биссектрисе
угла, пересекает его стороны в точках А. В. С и D (рис. 6). Доказать, что
|АВ| = |СD|.
Выделяем признак, выбора метода. Так как в условии задачи задана
биссектриса угла, то есть его ось симметрии, то из этого мы можем сделать
вывод, что, возможно, применение для решения данной задачи метода осевой
симметрии. Ключевое слово – биссектриса.
Задача 2. На сторонах АВ и АС треугольника АВС построены
равносторонние треугольники АВМ и АСN. Доказать, что МN=ВС.
Чтобы определить метод решения задачи, необходимо (Рабочая тетрадь зад.11, стр.8.)
1. построить чертеж, покажем его на рис.6.
2. анализируя формулировку задачи определить соответствующие фигуры,
задающие преобразование.
М
N
А
В
Рис.6 С
В результате получаем следующие критерии выбора метода. В задаче
рассматриваются равносторонние треугольники, все стороны и углы которых равны, следовательно,
применим метод поворота, причем на угол 60°.
Решение:
1. Определим центр поворота - вершина А;
2. Так как в правильных треугольниках ÐМАВ=60°, АМ=АВ и ÐNАС=60°,
АС=АС, следовательно (В)=М, (С)=N
3. ВС=МN по свойству поворота ;
Приведём факты,
помогающие решать задачи с векторами:
1) при сложении векторы можно менять местами; 2) при
повороте каждого из слагаемых векторов на один и тот же угол на этот же угол
поворачивается и вся сумма; 3) два вектора равны, если равны их ортогональные
проекции на каждую из двух произвольно выбранных непараллельных прямых; 4)
сумма векторов, образующих треугольник или многоугольник, равна нулю. Часто
бывает полезно записать вектор или (несколько векторов) как сумму двух других
векторов, проекцию вектора на прямую как сумму проекций и т. д. Один из
употребительных приёмов решения задач на векторы - проектирование векторов на некоторое
направление. Искусство решения таких задач состоит в выборе направления
проектирования.
Задача 2. На плоскости даны две пересекающиеся окружности w1 и
w2 . Пусть А – одна из точек их пересечения. Из точки А по окружностям w1 и
w2 соответственно одновременно начинают двигаться точки М1 и М2.
Точки движутся с постоянными скоростями в одном и том же направлении. После
одного оборота обе точки одновременно возвращаются в точку А. Доказать, что на
плоскости существует неподвижная точка Р такая, что расстояния от Р до М1
и М2 равны в течение всего времени движения.
Признак выбора метода: в задаче требуется доказать равенство двух
отрезков, и это может следовать из того, что треугольник, содержащий эти
стороны равнобедренный. Это позволяет нам воспользоваться методом осевой симметрии.
Решение: Обозначим центры окружностей w1 и
w2 за О1, О2, а их радиусы – r1, r2 (рис.9)
Определим положение точки Р, для этого:
1)
выберем за ось симметрии
серединный перпендикуляр l к отрезку О1О2;
2)
строим образ окружности w1 (Sl(w1)= w2);
3)
находим точку Р
симметричную точке А относительно прямой l на образе w2;
4)
получаем О1Р= r2 , О2Р=r1;
Покажем, что найденная таким образом точка удовлетворяет условию
задачи:
Рассмотрим положения точек М1 и М2 в некоторый
момент времени
5)
т.к. ÐАО1М1=Ð АО2М2, то ÐАО1Р=ÐАО2Р(по
свойствам осевой симметрии);
6)
из 5) следует, что ÐМ1О1Р=Ð М2О2Р;
7)
по признаку равенства
треугольников по двум сторонам М1О1= О2Р= r1, М2О2= О1Р= r2 и углу между ними –из 6), получаем равенство
треугольников: ∆М1О1Р=∆М2О2Р;
8)
из 7) следует, что М1Р= М2Р;
М1 А
w1
Рис.9 М2
Рефлекия
Учитель. Оцените значимость и познавательную сторону урока, положив на правую
чашу, зеркально симметричного предмета – весов, самосимметричные фигуры из
представленного набора.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.