07.02.2013 г.

Математика

5 класс

Тема: Обыкновенные дроби (урок повторения и обобщения)

Цели:

Образовательные:

Повторение понятий правильные и неправильные дроби, сократимые и несократимые, дроби, равные единице; сравнение дробей; алгоритм выделения целой части из неправильной дроби; представление смешанного числа в виде неправильной дроби.

правильное чтение и произношение обыкновенных дробей, смешанных чисел;

формирование умений и навыков сложения, вычитания, умножения и деления обыкновенных дробей и смешанных чисел.

Развивающие:

развитие самостоятельности и внимательности, информационно-коммуникативной компетентности;

развитие вычислительных навыков, умение работать в группе;

развитие навыков исследовательской культуры.

Воспитательные:

воспитание интереса к изучению математики;

умение оценить самого себя.

Тип урока: комбинированный

Формы организации познавательной деятельности: фронтальная, индивидуальная, игровая.

Использование педагогических технологий: идея игровой формы в обучении математике; приёмы разноуровневого обучения; личностно – ориентированный подход.

Оборудование: интерактивная доска.

Ход урока

Организационный момент (Лошак Наталья и Мейрам Назира, уч-ся 9 класса)

Ведущий 1:

Кто сказал, что математика скучна,

Что она сложна, суха, тосклива?..

В этом вы не правы, господа,

Знайте: математика - красива!

Ведущий 2:

Вам приятно жить в опрятном доме,

Где у каждой вещи место есть?

Математика создать такой порядок может,

И за это ей хвала и честь!

Какой бы ни была задача сложной,

Математика решение найдет.       

Все она по полочкам разложит,

Все она в систему приведет.

Ведущий 1:

Сколько в ней самой изящных линий,

Мощных формул, строгих теорем,

Тот не назовет ее красивой,

Кто с наукой не знаком совсем.

Нет неблагодарнее занятья,

Чем красоту словами объяснять.

Не любить ее нельзя, я точно знаю:

Можно только знать или не знать.

Постановка цели урока (учитель)

В этом году мы начали изучать обыкновенные дроби. Очень необычные числа, начиная с их непривычной записи и заканчивая сложными правилами действий с ними. Хотя с первого знакомства с ними было понятно, что без них не обойтись даже в обычной жизни, так как нам каждый день приходится сталкиваться с проблемой деления целого на части, и мне даже в определенный момент показалось, что нас больше окружают не целые, а дробные числа. С ними мир оказался сложней, но в тоже время интересней. У меня возникли вопросы. Нужны ли дроби? Важны ли они? Мне захотелось узнать, откуда пришли к нам дроби, кто придумал правила работы с ними. Хотя слово придумал, наверное, не очень подходит, потому что в математике все должно быть проверено, поскольку все науки и производства в нашей жизни опираются на четкие математические законы, действующие во всем мире.

Историческая справка. Слайды № 2-5 (Дуганова Марина, Морозова Лейла, Кузнецова Альбина, Коломина Елизавета)

Ведущий 2:

Есть о математике молва,

Что она в порядок ум приводит,

Потому хорошие слова

Часто говорят о ней в народе.

Ты нам, математика даешь

Для победы трудностей закалку,

Учится с тобою молодежь

Развивать и волю, и смекалку.

Ведущий 1:

С тех пор, как существует мирозданье,

Такого нет, чтоб не нуждался в знанье.

Какой мы не возьмем язык и век, -

Всегда стремился к знанью человек.

Ведущий 2:

Математика! Даже в каменный век

Обращался к тебе человек,

Без тебя невозможно предметы считать,

Невозможно построить мосты,

Там, где сложное, новое надо создать,

Лучшим другом являешься ты.

Из истории возникновения обыкновенных дробей.

   Необходимость в дробных числах возникла у человека на весьма ранней стадии развития. Уже дележ добычи, состоявший из нескольких убитых животных, между участниками охоты, когда число животных оказывалось не кратным числу охотников, могло привести первобытного человека к понятию о дробном числе.

Наряду с необходимостью считать предметы у людей с древних времён появилась потребность измерять длину, площадь, объём, время и другие величины. Результат измерений не всегда удаётся выразить натуральным числом, приходится учитывать и части употребляемой меры. Исторически дроби возникли в процессе измерения.

Потребность в более точных измерениях привела к тому, что начальные единицы меры начали дробить на 2, 3 и более частей. Более мелкой единице меры, которую получали как следствие раздробления, давали индивидуальное название, и величины измеряли уже этой более мелкой единицей.

    В связи с этой необходимой работой люди стали употреблять выражения: половина, треть, два с половиной шага. Откуда можно было сделать вывод, что дробные числа возникли как результат измерения величин. Народы прошли через многие варианты записи дробей, пока не пришли к современной записи.

Дроби в Древнем Египте

  В Древнем Египте архитектура достигла высокого развития. Для того, чтобы строить грандиозные пирамиды и храмы, чтобы вычислять длины, площади и объемы фигур, необходимо было знать арифметику.

   В Древнем Египте некоторые дроби имели свои особые названия – а именно, часто возникающие на практике 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/6 и 1/8. Кроме того, египтяне умели оперировать с так называемыми аликвотными дробями (от лат. aliquot – несколько) типа 1/n – их поэтому иногда также называют «египетскими»; эти дроби имели свое написание: вытянутый горизонтальный овальчик и под ним обозначение знаменателя. Что касается остальных дробей, то их следовало раскладывать в сумму египетских. Древние египтяне уже знали, как поделить 2 предмета на троих, для этого числа - 2/3 - у них был специальный значок. Это была единственная дробь в обиходе египетских писцов, у которой в числителе не стояла единица - все остальные дроби непременно имели в числителе единицу (так называемые основные дроби). Если египтянину нужно было использовать другие дроби, он представлял их в виде суммы основных дробей. Например, вместо 8/15 писали 1/3+1/5. Иногда это бывало удобно.   Умели египтяне также умножать и делить дроби. Но для умножения приходилось умножать доли на доли, а потом, быть может, снова использовать таблицу. Ещё сложнее обстояло с делением. Важную работу по исследованию египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи.

Дроби на Руси

            В русском языке слово "дробь" появилось лишь в VIII веке. Происходит слово "дробь" от слова "дробить, разбивать, ломать на части". У других народов название дроби также связано с глаголами "ломать", "разбивать", "раздроблять". В первых учебниках дроби назывались "ломанные числа". В старых руководствах находили следующие названия дробей на Руси:

– половина, полтина,                                          – треть,

– четь,                                                                   – полтреть,

– полчеть,                                                             – полполтреть,

– полполчеть,                                                      – полполполтреть (малая треть),

– полполполчеть (малая четь),                         – пятина,

– седьмина,                                                              – десятина.

Дроби в Древней Греции

   Египетские дроби продолжались использоваться в древней Греции и впоследствии математиками всего мира до средних веков, несмотря на имеющиеся к ним замечания древних математиков (к примеру, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской системой). Максим Плануд греческий монах, ученый, математик в  13  веке  ввел  название  числителя  и  знаменателя

  В Греции употреблялись наряду с единичными, «египетскими» дробями и общие обыкновенные дроби. Среди разных записей употреблялась и такая: сверху знаменатель, под ним – числитель дроби. Например,  означало три пятых. Еще за 2-3 столетия до Евклида и Архимеда греки свободно владели арифметическими действиями с дробями.

Дроби в Индии

 Современную систему записи дробей создали в Индии. Только там писали знаменатель сверху, а числитель снизу, и не писали дробной черты. Зато вся дробь помещалась в прямоугольную рамку. Иногда использовалось и «трехэтажное» выражение с тремя числами в одной рамке; в зависимости от контекста это могло обозначать неправильную дробь (a + b/c) или деление целого числа a на дробь b/c. Правила действий над дробями почти не отличались от современных.    

Дроби  у  арабов

  Записывать дроби как сейчас стали арабы. Средневековые арабы пользовались тремя системами записи дробей. Во-первых, на индийский манер записывая знаменатель под числителем; дробная черта появилась в конце XII – начале XIII в. Во-вторых, чиновники, землемеры, торговцы пользовались исчислением аликвотных дробей, похожим на египетское, при этом применялись дроби со знаменателями, не превышающими 10 (только для таких дробей арабский язык имеет специальные термины); часто использовались приближенные значения; арабские ученые работали над усовершенствованием этого исчисления. В-третьих, арабские ученые унаследовали вавилонско-греческую шестидесятеричную систему, в которой, как и греки, применяли алфавитную запись, распространив ее и на целые части.

Дроби в Вавилоне

  Вавилоняне пользовались всего двумя цифрами. Вертикальная черточка обозначала одну единицу, а угол из двух лежащих черточек – десять. Эти черточки у них получались в виде клиньев, потому что вавилоняне писали острой палочкой на сырых глиняных дощечках, которые потом сушили и обжигали.

  В древнем Вавилоне предпочитали  постоянный знаменатель, равный 60-ти. Шестидесятеричными дробями, унаследованными от Вавилона, пользовались греческие и арабские математики и астрономы. Исследователи по-разному объясняют появление у вавилонян шестидесятеричной системы счисления. Скорее всего здесь учитывалось основание 60, которое кратно 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60, что значительно облегчает всякие расчеты.

   Но было неудобно работать над натуральными числами, записанными по десятичной системе, и дробями, записанными по шестидесятеричной. А работать с обыкновенными дробями было уже совсем трудно. Поэтому голландский математик Симон Стевин предложил перейти к десятичным дробям.

Дроби в Древнем Риме

  Интересная система дробей была в Древнем Риме. Она основывалась на делении на 12 долей единицы веса, которая называлась асс. Двенадцатую долю асса называли унцией. А путь, время и другие величины сравнивали с наглядной вещью - весом. Например, римлянин мог сказать, что он прошел семь унций пути или прочел пять унций книги. При этом, конечно, речь шла не о взвешивании пути или книги. Имелось в виду, что пройдено 7/12 пути или прочтено 5/12 книги. А для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия.

 Даже сейчас иногда говорят: "Он скрупулёзно изучил этот вопрос."  Это значит, что вопрос изучен до конца, что не одной самой малой неясности не осталось. А происходит странное слово "скрупулёзно" от римского названия 1/288 асса - "скрупулус". В ходу были и такие названия: "семис"- половина асса, "секстанс"- шестая его доля, "семиунция"- половина унции, т.е. 1/24 асса и т.д. Всего применялось 18 различных названий дробей. Чтобы работать с дробями, надо было помнить для этих дробей таблицу сложения и таблицу умножения. Поэтому римские купцы твёрдо знали, что при сложении триенса (1/3 асса) и секстанса получается семис, а при умножении беса (2/3 асса) на сескунцию (2/3 унции, т.е.1/8 асса) получается унция. Для облегчения работы составлялись специальные таблицы, некоторые из которых дошли до нас.

Обобщение. Слайд № 6

Сценка «Математика по-неандертальски» (Козак Денис, Шатилов Данил, Федик Саша)

Двоечник Ослиное Ухо. Ты уроки сделал?

Отличник Вырви Глаз. А как же! Я же отличник! Вот…(Показывает кусок булыжника.)

Двоечник. Дай списать…(Достает другой булыжник и, все  время,    посматривая на первый, высекает.) Тук– тук– тук– тук- тук…

Учитель. (Появляясь). Здравствуйте, дети!

Первый и второй. У! У! У!

Учитель. Прошу садиться! (Пытается сесть и сам, но тотчас вскакивает как ужаленный.) А- а- а! Кто подложил мне бивень   мамонта?! Это твои штучки, Ослиное Ухо! Завтра с отцом в школу…

Двоечник А папа не может: он в командировке, в соседнем племени.

Учитель. Тогда пусть…

Двоечник. А мама не может: она огонь в очаге поддерживает…

Учитель. Тогда…

Двоечник А бабушка на охоте – за мамонтом гоняется.

Учитель. (хватает огромный камень, выстукивает на нем). А я вот (тук – тук…) ей напишу записку (тук - тук …), и останешься сегодня без сырого мяса…

Двоечник За что?! (Плачет.) Я больше не буду - у…

Отличник. Он больше не будет!

Учитель. А ты Вырви Глаз не заступайся! Ослиное Ухо к скале. Повторим математику.

Отличник (шепотом) Шпоры! Шпоры возьми! (протягивает булыжники)

Двоечник (Взяв булыжники, идет к скале). Я готов!

Учитель. Высекай условие задачи: «По небу летели птеродактили». Высек?

Двоечник (высекает). «Птеродактили». Высек.

Учитель. «Сначала их было столько, сколько пальцев на одной руке, потом к ним престало еще столько. Сколько стало всего?»

Отличник (отвлекая) Ой, посмотрите в окно! Динозавриха с динозавриком!

Учитель. Где? (Идет к окну.)

Двоечник (в это время лихорадочно перебирает шпоры - булыжники). Это не то, это тоже не то…

Учитель. (у окна.) Ну, где динозавры?

Отличник. Долго шли! Уже вымерли…

Учитель. Ах, Вы шутите! Ну. Сейчас мы пошутим! Ослиное ухо. Садись – два! А ты, Вырви Глаз, к скале. Решил задачу про птеродактилей?

Отличник Конечно! Я же первобытный отличник!

Учитель. Ну, и сколько же будет птеродактилей?

Отличник Птеродактилей будет много!

Учитель. Ну, неплохо, садись – четверка,

Отличник. За что четверка – то?!

Учитель. Ответ не совсем полный. Надо было сказать: «Птеродактилей будет очень много!»

Отличник (плачет) Ну спросите меня еще! Зачем мне четверка, я же отличник!… Ну спросите!

Учитель. Ладно, так и быть, слушай задачку: «У одного мальчика были…ммм, ослиные уши» Одно ему намяли, одно оторвали. Сколько всего ослиных ушей было у мальчика?

Отличник О- о- о! Меня не проведешь! Одно! Одно ухо было у мальчика. Одно ему на мяли его же оторвали!

Учитель. Неправильно! В ответе – два уха! С ответом не сходиться! Ха – ха…

Отличник. Как… не сходиться? С каким ответом, покажите…

Учитель Да вот он перед тобой. Ослиное ухо, встань, покажись! Ну, конечно. Два!

Отличник (хватает первого за ухо) Сейчас сойдется! Извини, друг! У меня должен сойтись ответ. Ну что тебе – ухом больше, ухом меньше…. А у меня, если с ответом не сойдется – четверка в четверти, представляешь?…

Двоечник А – а – а! (Убегает).

Повторение. Слайды № 6-37.

Ведущий 1:

Вот почтенное жюри

Вам доверено немало:

Справедливо ставить баллы.

Не победа всем важна –

Справедливость им нужна!

Пожелаем вам пока

Чтоб не дрогнула рука

Игра – презентация с гиперссылками «Своя игра»

Учащиеся работают в группах.

      Правила игры.

      Цена вопроса (от 100 до 500 очков) и раздел выбираются группами по очереди. Ответ на вопрос  готовится каждой группой и  записывается в тетрадь (переход к задаче и проверка ответа производится с помощью гиперссылки.) Очки присуждаются всем группам, правильно ответившим на вопрос. В конце игры оцениваются наиболее активные учащиеся.

Разделы:

1)Действия с обыкновенными дробями.

2)Основные задачи на дроби.

3)Что такое процент.

Итог урока.