Урок по теме "Арифметическая прогрессия"

Казанское  суворовское  военное  училище

КОНСПЕКТ ОТКРЫТОГО УРОКА

 ПО ТЕМЕ:

«Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии»

                                                                                                                                                    

                                                      Разработала

                                                                                      преподаватель математики

                                                              Борзова И.Б.

                                                                                     Обсуждено

                                                                               на заседании ПМК математики

                                                                               и информатики

                                                                               протокол № __ от _________2011                                         

КАЗАНЬ – 2011

Цели урока:

Образовательные: познакомить учащихся с выводом формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии; учить учащихся применять полученные формулы при решении задач.

Развивающие: развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся на уроке посредством анализа арифметической прогрессии, вывода формул; с помощью решения задач исследовательского характера и самостоятельного вывода учащимися формул, развивать интеллектуальные качества личности такие, как самостоятельность, способность к оценочным действиям, обобщению; формировать умение четко и ясно излагать свои мысли.

Воспитательные: прививать учащимся интерес к предмету посредством применения информационных технологий( с использованием компьютера), решения исторических задач; формировать умение аккуратно и грамотно выполнять математические записи, составлять таблицы.

Методическая цель: активизация мыслительной деятельности суворовцев.

         На протяжении всего урока используется презентация по теме «Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии».

         Цель презентации: повышение эффективности урока за счет привлечения интереса суворовцев к данной теме и более динамичного изложения материала.

         Для того чтобы сделать презентацию наглядной, более познавательной и интересной для учащихся используются иллюстрации.

ХОД  УРОКА

       I.      Организация начала урока.

Приветствие учащихся, мобилизация внимания.

    II.      Актуализация опорных знаний.

Учитель: мы продолжаем изучение темы «Арифметическая прогрессия». Сегодня познакомимся с формулой суммы n первых членов арифметической прогрессии. Для этого проведем экскурс по ранее изученному материалу, который нам пригодится при изучении нового. (Слайды 1 – 10)

1.     Дайте определение арифметической прогрессии.

2.     Дана арифметическая прогрессия. Найдите ее разность.

1; 5; 9;…  (d =4)

105; 100;…  (d=-5)

-13; -15; -17;…  (d=-2)

1,5; 2;  2,5;…  (d=0,5)

3.     Как проверить, является ли последовательность арифметической прогрессией?

4.     Проверьте: является ли последовательность арифметической прогрессией?

a)     –2; -4; -6; -8; -10;…  (Да)

b)    –13; -3; 13; 23;…  (Нет)

5.     В чем заключается свойство арифметической прогрессии?

6.     Назовите формулу  n-го члена арифметической прогрессии.

7.    Найдите пятый член арифметической прогрессии, если  = 2, d =5.

8.    3; 7; …- арифметическая прогрессия.

а) Найти: 1) d;  2) .

Ответ: 1) d = 4;  2)  = 43.

б) Составить формулу n-го члена.

Ответ: .

 в) Найти номера членов прогрессии, удовлетворяющих условию

       > 100.

Ответ: 4n - 1 > 100; 4n > 101;  n >25,25;  n = 26; 27;…

III. Постановка проблемы.

Учитель предлагает учащимся сложить все натуральные числа от 1 до 100.  (Слайд 11)

Поиск путей решения.

Учащиеся высказывают свои предположения, затем подводится итог: сообразив, что суммы 1 + 100; 2 + 99;…равны, 101 * 50 = 5050

Это интересно:

Познакомимся еще с одним большим ученым, который своими трудами двинул далеко вперед развитие математики. (Слайд 12)

Карл Фридрих Гаусс родился в 1777 году в городе Брауншвейге, в Германии, в семье бедного водопроводчика. Уже с детских лет он проявлял способности в математике.

Однажды учитель предложил ученикам сложить вместе все числа от 1 до 100. Не успел учитель прочитать условие задачи, как Гаусс поднял руку: «Готово!». Он в шестилетнем возрасте применил к ряду целых чисел от 1 до 100 способ нахождения суммы членов арифметической прогрессии и мгновенно дал ответ – 5050.

Почти шесть десятилетий длилась научная деятельность Гаусса. Он сумел оставить заметный след почти во всех отделах теоретической и прикладной математики. Гаусс – астроном, физик, геодезист.

IV. Вывод формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Записать на доске и в тетрадях тему урока.

Ученики вместе с учителем записывают вывод формулы. (Слайды 13,14)

Дополнительный вопрос:  (Слайд 15)

Сколько типов задач можно решить по формуле ?

V. Первичное закрепление.

1)    Устная работа. (Слайд 16)

                               а)       Найти     Ответ: 110.

                               б)         Найти      Ответ: - 14.

                               в)     Найти     Ответ: - 57.

                               г)         Найти    Ответ: 0.

2)      Вычислите сумму девяти первых членов арифметической прогрессии (аn), если а1= -17, d = 6. (Слайд 17)

-         Можно ли вычислить сразу, используя формулу?

-         Нет, так как неизвестен девятый член.

-         Как его найти?

По формуле n – го члена арифметической прогрессии.

Решение:         .

Вопрос: А нельзя ли найти сумму, не вычисляя девятого члена прогрессии?

Постановка проблемы: получить формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии, зная ее первый член и разность.

(Вывод формулы у доски учеником).

Это интересно. (Слайд 18)

Папирус Ахмеса (2000 г. до н. э.)

 В записях встречается формула

Сегодня, используя  эту формулу, мы  находим сумму n первых членов арифметической прогрессии. Оказывается, что четыре тысячи лет назад древние египтяне решали те же задачи, что и мы.

VI. Решение задач.

1)               Задача 1. Тело в первую секунду прошло 15 м, а в каждую следующую проходило на 2 м больше, чем в предыдущую. Какой путь прошло тело за 20 секунд? (Слайды 19,20)

2)               Задача 2. Из пункта А в пункт В выехал грузовой автомобиль со скоростью 40 км/ч. Одновременно из пункта В навстречу ему отправился второй грузовик, который в первый час прошел 20 км, а каждый следующий проходил на 5  км больше, чем в предыдущий. Через сколько часов они встретятся, если расстояние от А до В равно 125 км? (Слайды 23,24)

3)    Заполнить таблицу. (Слайд 25)

VII. Самостоятельная работа. (Слайды 26,27)

Вариант 1

Дано: (а_n) - арифметическая прогрессия.

1.  a₁ = -3,  a₆ =21.          S₆ - ?

2.  a₁ = 6, d = -3.             S₄  -?

Вариант 2

Дано: (а_n) - арифметическая      прогрессия.

1.  a₁ =2, a₈ = -23.           S₈ -?

2.  a₁ = -7, d = 4.             S₅ -?

Суворовцы меняются тетрадями и проверяют решения друг друга.

VIII. Дополнительная задача из учебника «Арифметика» Магницкого (конец 18 века). (Слайд 28)

IX. Подведение итогов урока.

X. Задание на самостоятельную подготовку: П.15 стр.140 – 143; № 443