Урок по теме: "Физический смысл производной"

              Тема урока: «Физический смысл производной на уроках математики»

            Цели урока:

1.     Определение физического смысла производной, использование механического истолкования производной при решении задач, физический смысл производной второго порядка.

2.     Развитие логического мышления при установлении связи физических величин с понятием производной, развитие монологической речи в ходе объяснений, обоснований выполняемых действий.

3.     Развитие навыков самостоятельной работы.

Тип урока: урок изучения новой темы

Оборудование: таблицы производных, карточки с задачами.

                                  Ход урока:

I.                    Организационный  момент.

II.                 Постановка задачи урока.                                                                                              Задание учащимся. Отгадайте ключевое слово урока.                                                   1)С её появлением математика перешагнула из алгебры в математический анализ;                                                                                                                             2)Ньютон назвал её «флюксией» и обозначал точкой;                                        3)Бывает первой, второй, …;                                                                               4)Обозначается штрихом.                                                                                                 Вопрос. Что называется производной?                                                                         Ответ . Производной функции в данной точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.                                     f'(x)=                                                                                                 Тема урока «Производная в технике, физике, химии, экономике…»

«… нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…»                Н. И. Лобачевский.            «Скажи мне, и я забуду. Покажи мне, и я запомню. Дай мне действовать самому, и я научусь.» 

                        Конфуций

III.                Изучение новой темы.                                                                                           Механический смысл производной.                                                                    Производная пути по времени есть скорость, производная скорости по времени есть ускорение. Применяется при расчете скорости и ускорения машины, величины тормозного пути, при выявлении нарушений при движении автомобиля.                                                                                                     Учащиеся делятся на три группы. Каждая группа получает карточку с задачей. Им дается время на обдумывание и решение задачи. Затем по одному ученику от группы объясняют решение у доски.

 Задача 1. Машина движется по автостраде так, что расстояние от начальной точки изменяется по закону  s=5t – 0,5t² (м), где t – время движения в секундах. Найдите скорость тела через 2 секунды после начала движения.

Задача 2. Из города выезжают два автомобиля и некоторое время движутся по законам s₁(t)= - t² + 6t и s₂(t)= 4t. Какое расстояние будет между ними, когда их скорость станет одинаковой?

Задача 3. Рокер движется по прямой дороге так, что расстояние s до него от поста ГАИ изменяется по закону s= 4 + 3t – 0,5t² (м) , где t - время движения в секундах. Рассчитайте тормозной путь его мотоцикла.

                        Примеры физических величин и их производных.

1)плотность- производная массы по объёму.
2)сила – производная по перемещению	F = A'(s)	F=
3)мощность- производная работы по времени	N= A'(t)	N=
4)скорость- производная координаты по времени	v= S'(t)	V =
5)ускорение – производная скорости по времени	a= v'(t)	a =
6) давление – производная силы по площади	p= F'(s)	p=
7)ЭДС индукции- производная магнитного потока по времени	= Ф'(t)	=
8)сила тока – производная заряда по времени	I = q'(t)	I =

IV.              Закрепление.                                                                                                     Комментированное решение задач у доски.                                                                Задача 4. Скорость школьного автобуса массой 5 тонн возрастает по закону v = 0,1t³ + 0,2t. Определить равнодействующую всех сил действующих на него в момент времени 2 с.                                                                                                      Решение:                                                                                                                                              F = ma = mv'    F = m(0,1t³ + 0,2t)' = m(0,3t² + 0,2) = 5000·(0,3 · 4 + 0,2) = 7000 H = 7kH.                                                                                                                                         Задача 5. Уравнение колебаний тела на пружине имеет вид   х = 5cos2t. В какой ближайший момент времени скорость тела будет максимальной?  Производная в химии.                                                                                                      Задача 6. Пусть количество вещества вступившего в химическую реакцию задается зависимостью p(t)=  + 3t – 3 (моль). Найти скорость химической реакции через 3 секунды. ( v(t)=p'(t)).                                                                             Задача 7. Количество вещества получаемого в химической реакции, зависит от времени следующим образом Q=a(1+be^-kt). Oпределите скорость реакции.                                            Решение:  v= Q'=(a+abe^-kt)' = -abke^-kt                                                                      Производная в биологии.                                                                                                Задача 8. По известной зависимости численности популяции X(t) определить относительный прирост в момент времени t.  (P= x'(t))                                       Производная в географии.                                                                                              Задача 9. Вывести формулу для вычисления численности населения на ограниченной территории в момент времени t.                                                  Решение: Пусть у=у(t) – численность населения. Рассмотрим прирост населения за   , где k=k_p - k_c – коэффициент прироста ( k_p- коэффициент рождаемости, k_c- коэффициент смертности)  = ky, t.  = y' ;  y'=ky

V.                 Самостоятельная работа в двух вариантах.                                                                                 Вариант 1.

1.     В чем сущность физического смысла у'?                                                                                        А. Скорость.                                             Б. Ускорение.                                                                         В.Угловой коэффициент.                     Г.Не знаю.

2.     Точка движется по закону s(t)= 2t³ – 3t . Чему равна скорость тела в момент времени t₀= 1 с.?                                                                                                                                  А. 15            Б. 12             В. 9               Г. 3

3.    Зависимость пути S от времени движения выражается формулой S =   . Назовите формулу скорости.                                                                                                         А. t         Б.2gt        В. gt      Г. G

4.    Точка движется прямолинейно по закону  S(t) =   - 2t² +3t +1. B какие моменты времени её скорость равна нулю?                                                                                              А. 1 и 3            Б. 1 и 4             В. 2         Г. 2 и 0.

5.     Скорость тела, движущегося прямолинейно, определяется по формуле V(t)=5t³+t² . Чему равно ускорение тела в момент  t₀ = 1с?                                                    А. 17      Б. 32    В. 30      Г. 16

        Вариант  2.

1.     В чем сущность физического смысла у''?                                                                                        А. Скорость.                                             Б. Ускорение.                                                                         В.Угловой коэффициент.                     Г.Не знаю.

2.     Точка движется по закону s(t)= 2t³ – 3t . Чему равна скорость тела в момент времени t₀= 1 с.?                                                                                                                                  А. 15            Б. 12             В. 9               Г. 3

3.    Зависимость пути S от времени движения выражается формулой S =   . Назовите формулу ускорения.                                                                                                         А. t         Б.2gt        В. gt      Г. G

4.    Точка движется прямолинейно по закону  S(t) =   - 2t² +3t +1. B какие моменты времени её скорость равна нулю?                                                                                              А. 1 и 3            Б. 1 и 4             В. 2         Г. 2 и 0.

5.     Скорость тела, движущегося прямолинейно, определяется по формуле V(t)=5t³+t² . Чему равно ускорение тела в момент  t₀ = 1с?                                                    А. 17      Б. 32    В. 30      Г. 16

VI.              Подведение итогов урока.

VII.            Домашнее задание. Из сборника тестов для подготовки к ЕНТ подобрать задачи и решить их.