Урок по теме "Задачи на числовые зависимости"

Тема урока: Задачи на числовые зависимости.

Цели:

Образовательная:

Закрепить  знания  законов  алгебры  логики  и  умение  учащихся  решать

логические задачи различных типов.

Организовать  деятельность  учащихся  по   самостоятельному  применению

знаний в разнообразных ситуациях.

Развивающая:

Учить обобщать и систематизировать полученные знания.

Создать условия для развития у школьников умения работать во времени.

Воспитательная:

Воспитывать бережное отношение к школьному имуществу.

Осуществлять эстетическое воспитание.

Способствовать обогащению внутреннего мира школьников.

Этапы урока:

•   постановка цели урока и мотивация учебной деятельности;

•   проверка знаний теоретической части;

•   решение задач;

•   подведение итогов урока;

•   домашнее задание.

Ход урока:

I этап.Организационный: приветствие; проверка отсутствующих.

Проверка готовности к уроку.

II этап.Актуализация деятельности учащихся. «Что  значит  владение  математикой?
Это есть  умение  решать  задачи , причем  не  только  стандартные , но  и  требующие  известной  независимости  мышления , здравого  смысла , оригинальности , изобретательности .»
Д. Пойа.

1. Проверка домашнего задания

2. Фронтальный опрос

3. Устное решение задач

Задача 1. Может ли такое быть? Одного человека спросили: - Сколько вам лет? - Порядочно, – ответил он. - Я старше некоторых своих родственников почти в шестьсот раз. Может ли такое быть? Может, например если человеку 50 лет, а его внуку или внучке 1 месяц.

Задача 2. В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов. Кто хочет поразмыслить по поводу этой задачи? Ведь это всем известная задача. 32

Задача 3. Мама раздала детям по четыре конфеты, и три конфеты остались лишними. А чтобы дать детям по пять конфет, двух конфет не хватает. Сколько было детей? Кто хочет поразмыслить по поводу этой задачи?

III этап. Объяснение новой темы.

Начиная с начальной школы, вы учились решать задачи. Для этого с каждым годом вы обучались всё новым и новым методам и способам решения. Сегодня мы познакомимся с задачами на числовые зависимости, которые часто встречаются на олимпиадах, конкурсах. Эти задачи относятся к текстовым задачам, длярешение таких задач требуется наша сообразительность и способность к логическому мышлению. Решение текстовых задач делится на несколько этапов:

1) выбор неизвестных;

2)составление уравнений или систем уравнений, а в некоторых случаях — систем неравенств;

3)нахождение неизвестных или нужной комбинации неизвестных;

4) отбор решений, подходящих по смыслу задачи.

Задача1. Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если к этому числу прибавить 36, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти искомое двузначное число.

Решение: Пусть x — цифра десятков, y — цифра единиц искомого числа. Тогда само число равно 10x+y. Из условия следует, что x+y=12 и 10x+y+36=10y+x. Получаем систему двух уравнений, которую можно решить методом подстановки: выразить из первого уравнения x и подставить во второе полученное выражение. В результате, x=4 и y=8.

Ответ: 48

   Задача 2.  Числители трёх дробей пропорциональны числам 1, 2, 5, а знаменатели соответственно пропорциональны числам 1, 3, 7. Среднее арифметическое этих дробей равно  . Найти эти дроби.

Решение:Пусть числители дробей (согласно условию задачи), знаменатели дробей. Тогда искомые дроби имеют вид 

Из условия задачи имеем

 или

откуда  или  дробь, тогда дробь и дробь.

Ответ: 
IVэтап.Первичное осмысление нового материала. Работа в парах.

Задача 3. Найти двузначное число, зная, что число его единиц на 2 больше числа десятков и что произведение искомого числа на сумму его цифр равно 144. Решение: Пусть x — число десятков искомого числа; тогда x+2 — число единиц. Получаем уравнение (10x+(x+2)(x+(x+2))=144, откуда x=2 и x=−3211

Ответ: 24

ФИЗМИНУТКА .УПРАЖНЕНИЕ ДЛЯ ГЛАЗ.

Vэтап.  Закрепление нового материала. Работа в группах (по рядам).

I ряд.Задача 4. Ученику надо было умножить 78 на двузначное число, в котором цифра десятков втрое больше цифры единиц; по ошибке он переставил цифры во втором сомножителе, отчего и получил произведение, на 2808 меньшее истинного. Чему равно истинное произведение?

 Решение: 1. Пусть цифра единиц истинного множителя есть x (x — целое число, меньшее 10); тогда цифра десятков есть 3x, а сам множитель равен 3⋅10x+x=31x.  Ошибочно записанный множитель был 10x+3x=13x. Истинное произведение равно 78⋅31x, ошибочно полученное произведение есть 78⋅13x. По условию 78⋅31x−78⋅13x=2808, откуда x = 2. Значит, истинный множитель равен 62, а истинное произведение равно 4836

Ответ: 4836

IIряд.Задача 5. Если двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 1, а в остатке 16. Если же к квадрату разности цифр этого числа прибавить произведение его цифр, то по- лучится заданное число. Найти это число.

Решение. Обозначим первую цифру искомого числа х, а вторую цифру – у. Тогда искомое двузначное число равно 10х+у. Из первого условия задачи следует уравнение 10х+у=ху+16, а из второго – уравнение 10х+у= (х-у)2 +ху. Получим систему уравнений:

 Получим: (х-у)² =16, т.е. =4 и =-4. Если х=4+у, то получим квадратное уравнение у² -7у-24=0, решениями которого будут = 2 7 ±. Так как у – целое число, то в этом случае задача не имеет решений. Пусть х=у-4. Получим квадратное уравнение у ² -15у+56=0. Решая это уравнение, находим  =7 и =8,тогда  =3 и  =4.

Ответ: 37; 48

 III ряд.Задача 6. Среднее пропорциональное двух чисел на 12 больше меньшего из

этих чисел, а среднее арифметическое тех же чисел на 24 меньше большего

из чисел. Найти эти числа.

Решение:Пусть для определённости , тогда первое условие задачи даёт , а второе условие даёт  или . 

Следовательно, имеем систему уравнений 

Решая систему, находим  , . 

Так как , то найденная пара (6; 54) удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 6 и 54.
Критерии оценивания задания:

«5» ставится, если учащиеся выполнили правильно более 90% задания.

«4» - составлена математическая модель, уравнение. Уравнение решено не до конца.

«3» - при решении допущена вычислительная ошибка.

«2» ставится учащемуся, выполнившему менее 50% задания.

Оценка 2 в журнал не ставится, 3 - по желанию.

VI этап. Подведение итогов.

С какими задачами мы сегодня познакомились?

Каков алгоритм решения этих задач?  

Где встречаются эти задачи?

Какие качества помогают решать такие задачи?

Итак, сегодня на уроке мы с вами познакомились с задачами на числовые зависимости, решение которых предполагает составление и решение уравнений или систем уравнений, научились решать эти задачи при помощи составления математической модели, проверили свои знания с помощью самостоятельной работы.

Задание на дом.

Задача 1. Найдите двузначное число, зная, что число его единиц на 2 больше числа десятков, а произведение искомого числа на сумму его цифр равно 280. Ответ: 35.

Задача 2. Сумма двух трехзначных чисел, записанных одинаковыми цифрами, но в обратном порядке, равна 1252. Найти эти числа, если сумма цифр каждого равна 14, а сумма квадратов цифр равна 84. Ответ: 428 и 824

Задача 3. Сумма цифр двузначного числа равна 7. Если к каждой цифре прибавить по 2, то получится число, на 3 меньшее удвоенного первоначального числа. Найти число. Ответ: 25.