Уроки по комбинаторике. Урок 2. Решение комбинаторных задач (конспект урока + презентация)

• 1 слайд

  Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа с.Руновка Кировского района»
  Приморского края
  
  Тема урока: «Решение комбинаторных задач.
  Сочетания»
  Разработала учитель математики и информатики Федченко Л.П. – дополнение к поурочному плану
  
  

• 2 слайд

  Проверка домашнего задания
  Задача № 864
  Ответ: 6 флагов
  

• 3 слайд

  Проверка домашнего задания
  Задача № 881
  Из четырех чисел 0,1,2,3 составить всевозможные перестановки для кода:
  012, 013, 021, 023, 031, 032,
  102, 103, 120, 123, 130, 132,
  201, 203, 210, 213, 230, 231,
  301, 302, 310, 312, 320, 321.
  Всего 24 варианта,
  

• 4 слайд

  Проверка домашнего задания
  Задача № 881
  012, 013, 021, 023, 031, 032,
  102, 103, 120, 123, 130, 132,
  201, 203, 210, 213, 230, 231,
  301, 302, 310, 312, 320, 321.
  
  исключим числа с сочетанием 13, остается всего 30 вариантов.
  

• 5 слайд

  Вопросы учащимся:
  
  - Какие задачи называются комбинаторными?
  - Какие обозначения удобно вводить при решении комбинаторных задач?
  - В чем состоит особенность задач на перестановки?
  - Какими методами решаются задачи на перестановки и размещения?
  - Решаем ли мы комбинаторные задачи в повседневной жизни и где?
  ?
  

• 6 слайд

  Самостоятельная работа. Задача 1
  В парке 4 пруда. Было решено засыпать песком дорожки между ними так, чтобы можно было пройти от одного пруда к другому кратчайшим путем, т.е. не нужно было идти в обход.
  
  
  
  
  
  
  Задание: покажи, какие дорожки надо сделать. Сколько вариантов получится?
  
  

• 7 слайд

  Задача 2
  У Миши 6 яблок. Из них 4 красных и 2 зеленых. Миша съел 3 яблока. Какого цвета могли быть яблоки? Сколько вариантов у тебя получилось?
  
  
  
  
  
  
  
  

• 8 слайд

  
  
  
  Ответы к задачам самостоятельной работы
  

• 9 слайд

  Задача 1
  Ответ: 6 вариантов
  

• 10 слайд

  Задача 6
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  3 варианта
  

• 11 слайд

  Объяснение нового материала
  

• 12 слайд

  Задача 1.
  В школе учатся 4 мальчика, которые хорошо играют в волейбол.
  Сколькими способами можно выбрать из них двух человек для участия в соревнованиях?
  

• 13 слайд

  Решение:
  Дадим каждому мальчику номер от 1 до 4. Тогда каждую пару можно закодировать двухзначным числом. Ясно, что кодов 11, 22, 33 и 44 быть не может. Кроме того, такие коды, как, например, числа 24 и 42, означают одну и ту же пару школьников, поэтому нужно учитывать только одно из чисел. Получим такие коды:
  

• 14 слайд

  Всего 6 вариантов
  

• 15 слайд

  Задача 2 (рассмотреть задачу 2 из школьного учебника).
  Сколько словарей необходимо переводчику, чтобы он мог переводить непосредственно с любого из четырех языков — русского, английского, немецкого, французского — на любой дру­гой из этих языков?
  

• 16 слайд

  Решение:
  АН АР АФ
  НА HP НФ
  РА РН РФ
  ФА ФН ФР
  
  Ответ: 12 вариантов.
  

• 17 слайд

  Задача 3.
  Андрей зашел в магазин, чтобы купить футболки. В магазине оказались футболки четырех цветов: белые, голубые, красные и черные.
  Обозначьте цвета буквами Б, Г, К, Ч. Запишите все вариан­ты покупки, осуществляя их перебор в алфавитном порядке:
  а) Сколько вариантов покупки есть у Андрея, если он хочет купить две футболки?
  ББ, БГ, ..............................
  Ответ: .............................
  б) Сколько вариантов покупки есть у Андрея, если он хочет купить две футболки разного цвета? Ответ: .................................
  

• 18 слайд

  Решение задачи 3 с помощью таблицы.
  

• 19 слайд

  Решение задачи 3 с помощью таблицы.
  Ответ: 6 вариантов
  

• 20 слайд

  Что общего вы увидели в этих задачах?
  Почему в первой и третьей задачах мы получили 6 способов, а во второй 12?
  
  
  

• 21 слайд

  Вы видите, что в в этих задачах надо было из четырех элементов выбрать два.
  
  В первой задаче коды 12 и 21 считались одинаковыми, в третьей ГБ и БГ, а во второй АН и НА – разные.
  

• 22 слайд

  Таким образом, в обеих задачах нужно было, как говорят в математике, составить сочетания из четырех элементов по два.
  
  В первой задаче нам был не важен порядок этих сочетаний, то есть выбор двух школьников или футболок был равноправен,
  
  А во второй задаче при работе с двумя языками, например русским и английским, нужны два словаря: англо-русский и рус­ско-английский. Поэтому порядок сочетаний был важен, и именно поэтому в результате получилось ровно в два раза больше вариантов.
  

• 23 слайд

  Комбинаторные задачи, в которых нужно выбрать из n элементов т элементов
  (т < n) всевозможными способами, называются задачами на сочетания.
  

• 24 слайд

  ФИЗКУЛЬТМИНУТКА.
  
  Раз,два,три,четыре,пять (шаги на месте)!
  Все мы умеем считать (хлопки в ладоши),
  Отдыхать умеем тоже ( прыжки на месте).
  Руки за спину положим (руки за спину),
  Голову поднимем выше (поднять голову выше)
  И легко-легко подышим (глубокий вдох-выдох).
  Подтянитесь на носочках столько раз,
  Ровно столько, сколько пальцев (показали, сколько пальцев на руках)
  На руке у вас (поднимаемся на носочках … раз).
  
  

• 25 слайд

  Формирование умений и навыков
  Решение задач из учебника
  № 883, 870 на доске и в тетрадях.
  № 884 самостоятельно с проверкой на слайде.
  

• 26 слайд

  Задача № 868
  10,12,13, 20,21, 23, 30,31, 32.
  Всего 9 вариантов.
  102, 103, 120, 123, 130, 132, 201, 203, 210, 213, 230, 231, 301, 302, 310, 312, 320, 321.
  Всего 18 вариантов.
  

• 27 слайд

  Решение задачи № 869 (а) (б)
  АБ, АВ, АК, АП, АБ, АВ, АК, АП,
  БВ, БК, БП, БА, БВ, БК, БП,
  ВК, ВП, ВА, ВБ, ВК, ВП,
  КП КА, КБ, КВ, КП
  ПА, ПБ, ПВ, ПК.
  Порядок не важен Порядок важен
  Всего 10 вариантов. Всего 20 вариантов.
  
  
  
  

• 28 слайд

  Самостоятельная работа № 870
  а) б)
  12, 13, 14, 15, 16 12, 13, 14, 15, 16
  23, 24, 25, 26, 21,23, 24, 25, 26
  34, 35, 36, 31, 32, 34, 35, 36,
  45, 46, 41, 42, 43, 45, 46,
  56. 51, 52, 53, 54, 56.
  
  Всего 15 вариантов. Всего 30 вариантов.
  
  

• 29 слайд

  Задача 1
  Пятеро друзей встретились после каникул и обменялись рукопожатиями. Каждый, здороваясь, пожал руку. Сколько всего было сделано рукопожатий?
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 30 слайд

  Задача 1
  
  
  
  
  
  
  
  10 рукопожатий
  Такое решение задачи называют – решением с помощью графов
  

• 31 слайд

  Задача 2
  В класс пришли четыре новых ученика Миша, Вася, Катя, Лиза. С помощью дерева возможных вариантов покажи, все возможные варианты расположения четырех учеников за одной партой. Сколько вариантов выбора у него будет?
  
  
  
  
  Решение
  

• 32 слайд

  Решение задачи 2
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  12 вариантов
  *
  

• 33 слайд

  Задача 3
  В чемпионате по футболу участвовали 7 команд. Каждая команда играла 1 матч с другими командами. Сколько всего было встреч?
  
  Решите задачу правилом треугольника.
  

• 34 слайд

  Ответ к задаче 3
  Ответ: 21 матч.
  

• 35 слайд

  Рассмотрим задачу из учебника № 884.
  Способ I: перебор вариантов размещения пантер. Обозначим львов и пантер буквами «Л» и «П». Сначала укротитель должен поставить четырех львов:
  Л Л Л Л
  Пантеры могут располагаться впереди, сзади цепочки и между львами, главное, чтобы они не шли одна за другой.
  Получаем, что задача свелась к составлению всевозможных наборов кодов из четырех букв «Л» и двух букв «П», в которых две буквы «П» не могут идти подряд.
  

• 36 слайд

  Закончить перебор вариантов
  Имеем ? вариантов:
  ПЛПЛЛЛ
  ПЛЛПЛЛ
  Способ 2: использование сочетаний.
  Заметим, что для пантер имеются пять мест, удовлетворяющих условию задачи.
  *л*л*л*л*
  Из этих мест нужно выбрать два для размещения пантер. Таким образом, задача свелась к подсчету количества способов выбора из пяти мест два.
  Пронумеруем места цифрами 1,2,3,4 и 5. Тогда каждая пара мест будет закодирована двузначным числом, причем порядок в данном случае не важен.
  

• 37 слайд

  Спасибо
  за урок
  

Тема урока: «Решение комбинаторных задач. Сочетания»

Место урока в учебном плане: «Комбинаторика. Случайные события» урок 2/8.

Тип урока: комбинированный

Цели урока:

Образовательные:

·        ознакомить с типами задач на сочетания их решения;

·        сформировать умения  решать задачи на сочетания различными методами,

·        продолжить формирование навыков решения задач на перестановки.

Развивающие:

·        способствовать развитию логического мышления,

познавательного интереса учащихся,

памяти, внимания,

умения сравнивать и анализировать,

   Воспитательные:

·         воспитание интереса к изучению математики,

трудолюбия,

культуры учебного труда,

культуры речи, самостоятельности,

умения работать в коллективе.

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый,.

Формы познавательной деятельности учащихся: фронтальная, индивидуальная.

УМК: Математика: учебник для 6 кл. под редакцией Г.В.Дорофеева, И.Ф.Шарыгина и др., изд-во «Просвещение», 2008 г.; Математика,  5-6 : кн.  для учителя / [С. Б. Суворова, [ Л. В. Кузнецова,     С. С. Минаева,     Л. О. Рослова]. — М. : Просвещение, 2006.

Оборудование: ПК или ноутбук, проектор, экран, презентация к уроку..

Программное  обеспечение: ОС Windows, MS Power Point, презентация к уроку.

Дидактический материал: карточки для самостоятельной работы, карточки для работы на доске.

Литература:

1.     Математика : учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений/      Г. В. Дорофеев, И. Ф. Шарыгин, С. Б. Суворова и др.]; под ред. Г. В. Дорофеева, И. Ф. Шарыгина; Рос. акад. наук, Рос. акад. образования, изд-во «Просвещение». — 10-е изд. — М. : Просвещение, 2008.—302 с.: ил. — (Академический школь­ный учебник).

2.     Математика,  5—б : кн.  для учителя / [С. Б. Суворова,  Л. В. Кузнецова,     С. С. Минаева,     Л. О. Рослова]. — М. : Просвещение, 2006. — 191 с. : ил.

3.     Математика.   6   класс:    поурочные    планы    по   учебнику Г. В, Дорофеева, С. Б. Суворовой, И. Ф. Шарыгина и др. Часть II / авт.-сост. Т. Ю. Дюмина. - Волгоград: Учитель, 2006. -  247 с.

4.     Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей.  7—9  классы. / авт.- сост.  В. Н. Студенецкая. Изд. 2-е, испр. - Волгоград: Учитель, 2006. -428 с.

5.     Уроки математики с применением информационных технологий. 5-10 классы. Методическое- пособие с электронным приложением / Л.И. Горохова и др. 2-е изд., стереотип. -М.: Издательство «Глобус», 2010. - 266 с. (Coвременная школа).

6.     Преподавание математики в современной школе. Методические рекомендации. Владивосток: Издательство ПИППКРО, 2003.

7.     Автор-составитель - Р.И. Махиня, главный методист ПИППКРО, заслуженный учитель РФ, Рецензенты: Г.К. Пак, кандидат физико-математических наук ДВГУ; Е.А. Ланкина,    кандидат    физико-математических  наук ДВГУ.

8.     http://mmmf.math.msu.su/

9.     http://portfolio.1september.ru/

10. http://combinatorica.narod.ru/

План урока:

1.     Оргмомент

2.     Проверка домашнего задания

3.     Актуализация знаний

o   устная работа

o   решение задач у доски по карточкам и самостоятельно с проверкой (условия и ответы на слайдах)

4.     Объяснение нового материала.

5.     Физкультминутка.

6.     Формирование умений и навыков решения задач на сочетания всеми приемлемыми способами.

o   Решение задач на доске и в тетрадях с обсуждением.

o   Решение задач самостоятельно со взаимопроверкой.

7.     Итоги урока

8.     Домашнее задание.

Ход урока

1. Оргмомент

2. Проверка дом. задания (фронтально) и сверить ответы с решениями

   

 (Слайды 2-4)

3. Актуализация знаний. Устная работа

 (Слайд 5)

Вызвать к доске 4 учащихся – решение задач по карточкам.

Карточка № 1. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4? Реши задачу удобным способом.

Карточка № 2. Миша решил в воскресенье навестить дедушку, своего друга Петю и старшего брата Володю. В каком порядке он может организовать визиты? Сколько вариантов получилось?  Решить с помощью дерева  вариантов.

Карточка № 3. В одной деревне по сложившейся традиции мужчин называют каким-либо из следующих имен: Иван, Петр, Василий и Михаил. Проживают в этой деревне 15 мужчин. Может ли оказаться так, что в деревне нет мужчин с одинаковым именем и отчеством? Реши задачу, составив таблицу.

Карточка № 3. В пятницу в 4 классе должно быть четыре урока: математика, русский язык, физкультура и рисование. Сколько вариантов у завуча школы, который  должен составить расписание занятий на пятницу для 4 класса. Реши задачу удобным способом.

Учащиеся в тетрадях решают самостоятельно решают задачи.

 

(Слайды 6,7)

Ответы к задачам самостоятельной работы

  

(Слайды 9,10)

          Способ решения первой задачи называется методом графов.

4. Объяснение нового материала

Учитель. Запищите в тетрадь тему урока.

На прошлом уроке вы познакомились с комбинаторными  задачами на перестановки. Сегодня мы рассмотрим другой вид задачи. Чтобы понять их особенности, решим две задачи.

 

(Слайды 12-14)   

Таким образом, выбрать двух школьников из четырех можно шестью

способами.(Обратите внимание, что числа расположены в виде треугольника.)

Задача 2 (рассмотреть задачу 2 из школьного учебника).

 (Слайд 16)

Каждый из языков обозначим его первой буквой, и тогда каж­дый словарь будет «словом» из двух букв: например, АН — это ан­гло-немецкий словарь, а НА — немецко-английский.

Выпишем эти «слова» в алфавитном порядке, причем для удобства подсчета  вариантов  каждую  группу  «слов»,   начинающихся  с одной и той же буквы, расположим в отдельной строке.

Сначала фиксируем букву А и добавляем к ней все остальные буквы, кроме, естественно, самой буквы А. Так мы получим пер­вую строку: АН, АР, АФ. Затем фиксируем букву Н и, добавляя к ней остальные буквы, получаем вторую строку и т. д. В резуль­тате получим  12  «слов»:

(Слайд 17)

Таким образом, переводчику понадобится 12 словарей.

Задача № 3.

(Слайд 18)

 

(Слайды 19,20)

Учитель: - Что общего в рассмотренных задачах? (В рассмотренных задачах из четырех элементов нужно было выбрать всевозможными способами два.)

-  Почему в первой задаче мы получили 6 способов, а во второй 12? (В первой задаче коды 12 и 21 считались одинаковыми, а во второй АН и НА - разными.)

Учитель. Таким образом, в обеих задачах нужно было, как говорят в математике, составить сочетания из четырех элементов по два.

В первой задаче нам был не важен порядок этих сочетаний, то есть выбор двух школь­ников был равноправен.

А во второй задаче при работе с двумя языками, например русским и английским, нужны два словаря: англо-русский и рус­ско-английский. Поэтому порядок сочетаний был важен, и именно поэтому в результате получилось ровно в два раза больше вариантов.

Вопрос:

- Как можно изменить условие первой задачи, чтобы в результате полу­чилось не 6, а 12 вариантов?

Учитель.

  

(Слайд 21,22)

(Слайд 23)

Решаются они с помощью кодирования и подсчета кодов путем расположения их треугольником, с помощью дерева вариантов, таблиц.

Рассмотрим еще одну задачу (задача 3 из учебника).

Задача 3. При встрече 8 приятелей обменялись рукопожатиями. Сколько всего было рукопожатий?

Дадим каждому из приятелей номер — от 1 до 8. Тогда каждое рукопожатие можно закодировать двузначным числом. Например, двузначное число 47 — это рукопожатие между приятелями под номерами 4 и 7.

Ясно, что среди кодов рукопожатий у нас не появится, напри­мер, 33 — это означало бы, что один из друзей пожал руку сам себе. Кроме того, такие коды, как, например, числа 68 и 86, оз­начают одно и то же рукопожатие, а значит, учитывать надо толь­ко одно из них. Договоримся, что из чисел, кодирующих одно и то же рукопожатие, мы всегда будем учитывать меньшее. Поэтому из чисел 68 и 86 надо выбрать 68.

Коды рукопожатий естественно выписывать в порядке возрас­тания. Для подсчета их удобно расположить треугольником:

12,  13,  14,  15,  16,  17, 18,

       23,  24,  25,  26,  27, 28,

              34,  35,  36,  37, 38,

                     45,  46,  47, 48,

                            56,  57, 58,

                                   67, 68,

                                         78.

Число кодов равно:  7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28. Таким образом, всего было сделано 28 рукопожатий.

Как вы думаете, можно решить эту задачу методом графов или таблицы? (Да)

5. Физкультминутка. (Слайд 24)

6.Формирование знаний и умений.

Решение задач на сочетания из учебника № 868, 869 на доске и в тетрадях. (Слайд 25)

№ 868. Выпишите все возможные двузначные и трехзначные числа, которые мож­но составить из цифр 0, 1,2, 3, используя каждую цифру в записи толь­ко один раз.

Проверка решения задачи:

(Слайд 26)

869.   а) На соревнование по легкой атлетике нужно отправить двух мальчиков из пяти лучших спортсменов среди шестиклассников — Антона, Петра, Бо­риса, Володи, Коли. Перечислите все варианты выбора участников сорев­нования. Сколько этих вариантов?

б) Для участия в эстафете 2x100 м нужно выбрать двух мальчиков из пя­ти, обязательно указав, кто побежит первым, а кто — вторым. Перечисли­те все варианты выбора участников соревнования в этом случае. Сколько этих вариантов?

Проверка решения задачи:

(Слайд 27)

№ 870 самостоятельно с проверкой на слайде.

870.   На районной олимпиаде по математике оказалось шесть победителей. Од­нако на областную олимпиаду можно отправить только двоих.

а)  Сколько существует вариантов выбора двух кандидатов? Указание. Дайте каждому победителю номер — от 1 до 6.

б)  Сколько существует вариантов, если один из шести ребят признан луч­шим и он обязательно будет участвовать в областной олимпиаде?

(Слайд 28)

Самостоятельная работа

Самостоятельно решить в тетрадях следующие задачи. Затем поменяться тетрадью с соседом и взаимообразно проверить решения соседа и оценить.

 

(Слайд 29,30)

Проверка решения задач:

 

(Слайд 31,32)

 

(Слайд 33, 34)

7.     Итоги урока

Вопросы учащимся:

- В чем состоит особенность задач на сочетания?

- Какие два вида таких задач существуют? В чем состоит их отличие?

- Если нужно выбрать всевозможными способами из п элементов т эле­ментов, то в каком случае получится больше вариантов: когда порядок важен или когда порядок не важен? (Слайд 35)

       8.  Домашнее задание. (Слайд 36)

№  875, стр.207 № 4. инд.№ 884.

Придумать по 2 задачи сочетание.

Спасибо за урок.  (Слайд 37)