Задачи олимпиадного характера по математике (9 -11 класс)

Олимпиадные задания

Цели:

-развивать интуицию, догадку, эрудицию и владение методами математики;

-прививать навыки самостоятельного решения задач;

-пробудить математическую любознательность и инициативу;

-развивать устойчивый интерес к математике;

-воспитывать культуру математического мышления.

Олимпиадные задания по математике

1.     Делится ли  на 61?

2.     Можно ли разрезать арбуз на 4 части так, чтобы после того, как его съели, осталось 5 корок?

3.     На клетчатой бумаге изображена чашка с крышкой (см. рис. 1). На покраску крышки израсходовали 30 г  краски. Сколько ещё нужно грамм краски для покраски чашки?

Не забудьте  обосновать ответ.

4.   Вычислить:

  

5.     Найти сумму всех трёхзначных чисел, произведение цифр которых равно 6.

6.     Дедушка празднует свой день рождения. В 2015 году он отпраздновал 21-й  день рождения. Когда родился дедушка?                 

7.     В ящике 24 кг гвоздей. Как, имея только чашечные весы, без гирь  отмерить 9 кг гвоздей? 

8.   В треугольнике АВС известно, что АВ = 4 см, угол А равен 45⁰, угол С равен 30⁰. Найти ВС, АС и площадь треугольника АВС.

9.     Имеются двое песочных часов: на 3 минуты и 7 минут. Яйцо варится 11 минут. Как отмерить это время при помощи имеющихся часов?

10.  Найти значение выражения

    при .

11. Решить систему неравенств:

12. Сократите дробь:

РЕШЕНИЯ

1.     Делится ли  на 61?

Решение.

Разложим заданное число на множители. Тогда, получим

   – делится на 61.

Ответ: данное число  делится на 61.

2.     Можно ли разрезать арбуз на 4 части так, чтобы после того, как его съели, осталось 5 корок?

Решение.

Вырежем из арбуза длинный тонкий цилиндр, протыкающий арбуз насквозь. Это одна из частей, от которой останется две корки. Остальную часть арбуза произвольным образом разрежем на три части, каждая из которых дает по одной корке.

Ответ: можно.

3.     На клетчатой бумаге изображена чашка с крышкой (см. рис. 1). На покраску крышки израсходовали 30 г  краски. Сколько ещё нужно грамм краски для покраски чашки? Не забудьте  обосновать ответ.

 Решение.

Площадь закрашенной части составляет ровно 2 клеточки. Тогда на покраску 1 клетки расходуется 15 г краски. Площадь «чашки» составляет   3 клеточки. Тогда на ее покраску потребуется еще 45 г краски.

Ответ: 45г. краски.

4.     Вычислить:

  

  Решение.

 

Ответ: 1008.

5.      Найти сумму всех трёхзначных чисел, произведение цифр которых равно 6.

Решение.

Найдём все трёхзначные числа, произведение цифр которых равно 6. 6=6×1×1=3×2×1. Итак, таких чисел будет девять: 611, 161, 116, 321, 312, 231, 213, 132, 123. Их сумма равна 2220.

Ответ: 2220.

6.     Дедушка празднует свой день рождения. В 2015 году он отпраздновал 21-й  день рождения. Когда родился дедушка?   

Решение.

214=84,    2015 – 84=1931 (год рождения дедушки)

Ответ: 1931 год рождения

7.     В ящике 24 кг гвоздей. Как, имея только чашечные весы, без гирь  отмерить 9 кг гвоздей? 

Решение.

Отмерить 12 и отложить 12; из 12 отмерить 6 и отложить 6; из 6 отмерить 3 и взять 6.

8.   В треугольнике АВС известно, что АВ = 4 см, угол А равен 45⁰, угол С равен 30⁰. Найти ВС, АС и площадь треугольника АВС.

Ответ.  ВС = 8 см, АС = , S = 8.

9.     Имеются двое песочных часов: на 3 минуты и 7 минут. Яйцо варится 11 минут. Как отмерить это время при помощи имеющихся часов?

Решение.

Перевернуть обои часы. Кода пройдет 3 минуты в семиминутных часах останется 4 минуты. Поставьте яйца в это время вариться.  Когда 4 минуты закончатся, перевернуть   7 – минутные  часы обратно, т.е. 4+7=11.

10. Найти значение выражения

    при .

Решение

 Если , то .

Ответ: –2013.

11. Решить систему неравенств:

 Решение.

Ответ: 0 < x < 1.

12. Сократите дробь:

Решение: