Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Задачи+решения для проведения турнира по математике ( 7-8 класс)
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Задачи+решения для проведения турнира по математике ( 7-8 класс)

Выбранный для просмотра документ 1.ppt

библиотека
материалов
3 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1
Описание слайда:

№ слайда 2
Описание слайда:

№ слайда 3
Описание слайда:

Выбранный для просмотра документ 10.ppt

библиотека
материалов
Задача № 10
Команда из Пети, Васи и одноместного самоката участвует в гонке. Дистанция ра...
Достаточно обозначить число участков, которые проезжает Петя через х и решить...
Если Петя проедет 18 участков и пробежит оставшиеся 42–18=24 он затратит 18*3...
Ответ: Петя должен проехать на самокате 18 участков
5 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Задача № 10
Описание слайда:

Задача № 10

№ слайда 2 Команда из Пети, Васи и одноместного самоката участвует в гонке. Дистанция ра
Описание слайда:

Команда из Пети, Васи и одноместного самоката участвует в гонке. Дистанция разделена на участки одинаковой длины, количество равно 42, в начале каждого – контрольный пункт. Петя пробегает участок за 9 мин, Вася – за 11 мин, а на самокате любой из них проезжает участок за 3 мин. Стартуют они одновременно, а на финише учитывается время того, кто пришёл последним. Ребята договорились, что один проезжает первую часть пути на самокате, остаток бегом, а другой – наоборот (самокат можно оставить на любом контрольном пункте). Сколько участков Петя должен проехать на самокате, чтобы команда показала наилучшее время?

№ слайда 3 Достаточно обозначить число участков, которые проезжает Петя через х и решить
Описание слайда:

Достаточно обозначить число участков, которые проезжает Петя через х и решить уравнение: 3х+9(42-х) = 3(42-х)+11х 3х+378-9х = 126-3х + 11х 3х-9х+3х-11х=126-378 -14х=-252 х=-252: (-14) х=18- число участков, которые проезжает Петя Решение

№ слайда 4 Если Петя проедет 18 участков и пробежит оставшиеся 42–18=24 он затратит 18*3
Описание слайда:

Если Петя проедет 18 участков и пробежит оставшиеся 42–18=24 он затратит 18*3 + 24*9=270 минут. При этом Васе, наоборот, достанется проехать 24 участка, пробежать 18 на что уйдёт 24*3 + 18*11= 270 минут. Если же Петя проедет меньшее число участков, то его время ( соответственно, время команды) увеличится. Если Петя проедет большее количество участков, то увеличится время Васи (и время команды).

№ слайда 5 Ответ: Петя должен проехать на самокате 18 участков
Описание слайда:

Ответ: Петя должен проехать на самокате 18 участков

Выбранный для просмотра документ 2.ppt

библиотека
материалов
Задача № 2
В ∆ АВС: АВ = ВС и каждый из углов А и С равен 50˚. Из точки С под углом 30˚...
Найдем ∟ CDB из ∆ BDC : ∟ СВD = 20о, ∟ВСD = 50о + 30о = 80о ∟ СDВ = 180˚_(20...
∆ ABC: ∟ ABC = 180o –(50˚+50˚)= =180˚-100o= 80o. ∟ABD = 80o – 20o = 60o . В...
Ответ: ∟ CAD = 10o
5 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Задача № 2
Описание слайда:

Задача № 2

№ слайда 2 В ∆ АВС: АВ = ВС и каждый из углов А и С равен 50˚. Из точки С под углом 30˚
Описание слайда:

В ∆ АВС: АВ = ВС и каждый из углов А и С равен 50˚. Из точки С под углом 30˚ к основанию АС проведены внешним образом отрезки СD и AD. ∟СВD = 20˚. Найти ∟ СAD.

№ слайда 3 Найдем ∟ CDB из ∆ BDC : ∟ СВD = 20о, ∟ВСD = 50о + 30о = 80о ∟ СDВ = 180˚_(20
Описание слайда:

Найдем ∟ CDB из ∆ BDC : ∟ СВD = 20о, ∟ВСD = 50о + 30о = 80о ∟ СDВ = 180˚_(20˚+80˚)=80о.Следовательно, ∆ BCD- равнобедренный, тогда ВС = BD. Значит, и ∆ ABD – равнобедренный, так как AB = BD.

№ слайда 4 ∆ ABC: ∟ ABC = 180o –(50˚+50˚)= =180˚-100o= 80o. ∟ABD = 80o – 20o = 60o . В
Описание слайда:

∆ ABC: ∟ ABC = 180o –(50˚+50˚)= =180˚-100o= 80o. ∟ABD = 80o – 20o = 60o . В равнобедренном ∆ ABD один из углов равен 60о ,значит он равносторонний. ∟ ВAD= (180˚ -60o):2=60˚, тогда ∟ CAD = 60o- 50o = 10o.

№ слайда 5 Ответ: ∟ CAD = 10o
Описание слайда:

Ответ: ∟ CAD = 10o

Выбранный для просмотра документ 3.ppt

библиотека
материалов
Петр регулярно добирался по прямолинейному шоссе из пункта А в пункт В, расст...
Для нахождения времени, которое Петя шёл пешком, допустим что всё время он ех...
2 часа 20 мин Петя шёл пешком.
4 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1
Описание слайда:

№ слайда 2 Петр регулярно добирался по прямолинейному шоссе из пункта А в пункт В, расст
Описание слайда:

Петр регулярно добирался по прямолинейному шоссе из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 15 км. Он либо шел пешком со скоростью 3 км/час, либо его подвозил друг на велосипеде ( часть пути либо весь путь), тогда их скорость была 12 км/час. Сколько времени он шел пешком, если добирался до пункта назначения 3 часа.

№ слайда 3 Для нахождения времени, которое Петя шёл пешком, допустим что всё время он ех
Описание слайда:

Для нахождения времени, которое Петя шёл пешком, допустим что всё время он ехал на велосипеде со скоростью 12 км/ч. Тогда за 3 часа он бы преодолел 12×3=36 (км.) А на самом деле он преодолел 15 км, то есть на 36-15=21 (км) меньше, потому что часть пути он двигался пешком со скоростью 3 км/ч. Эта скорость меньше чем скорость передвижения на велосипеде на 12-3=9 (км/ч). Пешком Петя двигался столько времени, сколько нужно для преодоления 21 км со скоростью 9 км/ч, то есть: 21 км : 9 км/ч = 21000 м : (9000:60) м/мин = = 21000 м : 150 м/мин =140 мин = 2 часа 20 мин.

№ слайда 4 2 часа 20 мин Петя шёл пешком.
Описание слайда:

2 часа 20 мин Петя шёл пешком.

Выбранный для просмотра документ 4.ppt

библиотека
материалов
Задача № 4
Докажите, что разность между трехзначном числом и числом, записанным теми же...
Решение Пусть трехзначное число будет авс=100а+10в+с. Тогда число, записанное...
3 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Задача № 4
Описание слайда:

Задача № 4

№ слайда 2 Докажите, что разность между трехзначном числом и числом, записанным теми же
Описание слайда:

Докажите, что разность между трехзначном числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, не может быть квадратом натурального числа в десятичной системе.

№ слайда 3 Решение Пусть трехзначное число будет авс=100а+10в+с. Тогда число, записанное
Описание слайда:

Решение Пусть трехзначное число будет авс=100а+10в+с. Тогда число, записанное в обратном порядке сва=100с+10в+а. Найдем разность d d = 100а + 10в + с –(100с + 10в + а) = = 100а + 10в + с –100с – 10в – а = =99а -99с =99(а-с)= 9 · 11(а - с) = 32·11(а-с) Так как а – с ≠ 11, то d ≠ n2. Что и требовалось доказать.

Выбранный для просмотра документ 5.ppt

библиотека
материалов
Задача № 5
Восстановите математическую запись примера АННА - ВАЛЯ _______ 4 7 0 9 где р...
Решение Сначала определим соотношения между буквами цифрами в примере. Т.к А...
Значит А < Я, А+10-Я=9 А=9+Я-10 А=Я-1 А+1=Я Н-1=Л, А > 5. Значит Н ≤ А, Н+10...
Далее рассмотрим возможные значения В: 1)Если В=1, то А=В+5=6, Н=А-3=6-3=3,...
 2)Если В=2, то А=В+5=7, Н=А-3=7-3=4, Л=Н-1=4-1=3, Я =8 _ 7447 2738 4702
 3)Если В=3, то А=В+5=8, Н=А-3=8-3=5, Л=Н-1=5-1=4, Я =9 _ 8558 3849 4709
Ответы: 1) 6336 - 1627 ________ 4709 2) 7447 - 2738 _________ 4709 3) 8558 -...
8 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Задача № 5
Описание слайда:

Задача № 5

№ слайда 2 Восстановите математическую запись примера АННА - ВАЛЯ _______ 4 7 0 9 где р
Описание слайда:

Восстановите математическую запись примера АННА - ВАЛЯ _______ 4 7 0 9 где разные буквы обозначают разные цифры, а одинаковые буквы - одинаковые цифры.

№ слайда 3 Решение Сначала определим соотношения между буквами цифрами в примере. Т.к А
Описание слайда:

Решение Сначала определим соотношения между буквами цифрами в примере. Т.к А первая слева, то А ≠ 0 Если А =9, Я=0 _9НН9 ВАЛ0 4 7 0 9 и тогда Н=Л, что невозможно

№ слайда 4 Значит А &lt; Я, А+10-Я=9 А=9+Я-10 А=Я-1 А+1=Я Н-1=Л, А &gt; 5. Значит Н ≤ А, Н+10
Описание слайда:

Значит А < Я, А+10-Я=9 А=9+Я-10 А=Я-1 А+1=Я Н-1=Л, А > 5. Значит Н ≤ А, Н+10 –А=7 Н = А-3 , А-1-В=4, таким образом,А=В+5.

№ слайда 5 Далее рассмотрим возможные значения В: 1)Если В=1, то А=В+5=6, Н=А-3=6-3=3,
Описание слайда:

Далее рассмотрим возможные значения В: 1)Если В=1, то А=В+5=6, Н=А-3=6-3=3, Л=Н-1=3-1=2, Я =7. _ 6336 1627 4709

№ слайда 6  2)Если В=2, то А=В+5=7, Н=А-3=7-3=4, Л=Н-1=4-1=3, Я =8 _ 7447 2738 4702
Описание слайда:

2)Если В=2, то А=В+5=7, Н=А-3=7-3=4, Л=Н-1=4-1=3, Я =8 _ 7447 2738 4702

№ слайда 7  3)Если В=3, то А=В+5=8, Н=А-3=8-3=5, Л=Н-1=5-1=4, Я =9 _ 8558 3849 4709
Описание слайда:

3)Если В=3, то А=В+5=8, Н=А-3=8-3=5, Л=Н-1=5-1=4, Я =9 _ 8558 3849 4709

№ слайда 8 Ответы: 1) 6336 - 1627 ________ 4709 2) 7447 - 2738 _________ 4709 3) 8558 -
Описание слайда:

Ответы: 1) 6336 - 1627 ________ 4709 2) 7447 - 2738 _________ 4709 3) 8558 - 3849 ________ 4709

Выбранный для просмотра документ 6.ppt

библиотека
материалов
Задача № 6
Если дату 10 февраля 2001 года записать в виде 10.02.2001, а затем убрать то...
Решение Заметим, что при условии, что дата записывается как палиндром, день и...
2) Чтобы дата была как можно ближе к 2001,неоходимо брать самый большой возм...
Ответ: 20 февраля 2002года - 20.02.2002 2) 29 ноября 1192 года- 29.11.1192
5 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Задача № 6
Описание слайда:

Задача № 6

№ слайда 2 Если дату 10 февраля 2001 года записать в виде 10.02.2001, а затем убрать то
Описание слайда:

Если дату 10 февраля 2001 года записать в виде 10.02.2001, а затем убрать точки, то получится палиндром (т.е число, число читающееся слева направо и справа налево одинаково). Найдите ближайшую к 10.02.2001 дату, обладающую тем же свойством. Рассмотрите два случая: 1) требуемая дата еще не наступила 2) требуемая дата уже прошла Ответ обосновать.

№ слайда 3 Решение Заметим, что при условии, что дата записывается как палиндром, день и
Описание слайда:

Решение Заметим, что при условии, что дата записывается как палиндром, день и месяц однозначно находятся по заданному году. 1) В 2001году других палиндромов быть не может, а в следующем 2002 году это должен быть двадцатый день второго месяца. Итак, получаем- 20.02.2002

№ слайда 4 2) Чтобы дата была как можно ближе к 2001,неоходимо брать самый большой возм
Описание слайда:

2) Чтобы дата была как можно ближе к 2001,неоходимо брать самый большой возможный год, меньший 2001. Вторая цифра года должна быть первой цифрой месяца, т.е. 0 или 1, т.к. месяцев не больше 12. В 2000 году палиндрома быть не может (нулевого дня не бывает), следовательно, первые две цифры года-11 (соответственно, месяц-ноябрь).Третью цифру года нужно взять максимально возможную, т.е. 9, тогда четвёртой (т.к в ноябре не больше 31 дня) может быть два. Получится дата-палиндром 29.11.1192.

№ слайда 5 Ответ: 20 февраля 2002года - 20.02.2002 2) 29 ноября 1192 года- 29.11.1192
Описание слайда:

Ответ: 20 февраля 2002года - 20.02.2002 2) 29 ноября 1192 года- 29.11.1192

Выбранный для просмотра документ 7.ppt

библиотека
материалов
Задача № 7
В выпуклом четырёхугольнике ABCD стороны АВ и СD параллельны ,а диагонали АС...
Решение Впишем четырёхугольник ABCD в прямоугольник EFGH со сторонами, парал...
В силу неравенства треугольника BM ≤ BC+CM=BC+AD.Но BM=DL как диагонали прям...
4 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Задача № 7
Описание слайда:

Задача № 7

№ слайда 2 В выпуклом четырёхугольнике ABCD стороны АВ и СD параллельны ,а диагонали АС
Описание слайда:

В выпуклом четырёхугольнике ABCD стороны АВ и СD параллельны ,а диагонали АС и BD перпендикулярны. Докажите, что AD+ВС=АВ+СD.

№ слайда 3 Решение Впишем четырёхугольник ABCD в прямоугольник EFGH со сторонами, парал
Описание слайда:

Решение Впишем четырёхугольник ABCD в прямоугольник EFGH со сторонами, параллельными диагоналям (EFӀӀAC и EHӀӀBD) Пусть L точка пересечения прямых DC и EF, а M – точка на прямой HG такая, что LMӀӀFG.Тогда ABCD – параллелограмм AB=СL. Т.к GM=FL=EB=HD и AH=CG, то ∆AHD= ∆CGM(По двум катетам) AD=CM.

№ слайда 4 В силу неравенства треугольника BM ≤ BC+CM=BC+AD.Но BM=DL как диагонали прям
Описание слайда:

В силу неравенства треугольника BM ≤ BC+CM=BC+AD.Но BM=DL как диагонали прямоугольника BLDM, и DL=DC+CL=DC+AB. Следовательно ,AD+BC=DL=DC+CL=DC+AB ч.т.д.

Выбранный для просмотра документ 8.ppt

библиотека
материалов
Задача №8
Две биссектрисы ∆ ABC пересекаются под углом 60⁰. Докажите, что один из углов...
1 случай Пусть биссектрисы AA1 и СС1 ∆ ABC пересекаются в точке I . Допустим...
2 случай Пусть ∟АIC=60⁰ Тогда ∟IАС+∟IСА=120⁰, отсюда ∟ВАС+∟ВСА=240⁰, что нев...
Ответ : ∟АВС=60⁰.
5 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Задача №8
Описание слайда:

Задача №8

№ слайда 2 Две биссектрисы ∆ ABC пересекаются под углом 60⁰. Докажите, что один из углов
Описание слайда:

Две биссектрисы ∆ ABC пересекаются под углом 60⁰. Докажите, что один из углов этого треугольника равен 60⁰.

№ слайда 3 1 случай Пусть биссектрисы AA1 и СС1 ∆ ABC пересекаются в точке I . Допустим
Описание слайда:

1 случай Пусть биссектрисы AA1 и СС1 ∆ ABC пересекаются в точке I . Допустим, что ∟AIC1 = 600. По теореме о внешнем угле треугольника ∟AIC1 = ∟IAС+∟IСА=(∟ВАС+∟ВСА):2 Тогда ∟ВАС+∟ВСА=120⁰ ∟АВС=180⁰-∟ВАС-∟ВСА=60⁰.

№ слайда 4 2 случай Пусть ∟АIC=60⁰ Тогда ∟IАС+∟IСА=120⁰, отсюда ∟ВАС+∟ВСА=240⁰, что нев
Описание слайда:

2 случай Пусть ∟АIC=60⁰ Тогда ∟IАС+∟IСА=120⁰, отсюда ∟ВАС+∟ВСА=240⁰, что невозможно.

№ слайда 5 Ответ : ∟АВС=60⁰.
Описание слайда:

Ответ : ∟АВС=60⁰.

Выбранный для просмотра документ 9.ppt

библиотека
материалов
Задача № 9
Когда Винни – Пух пришёл в гости к Кролику ,он съел 3 тарелки мёда,4 тарелки...
Решение По условию 3м + 4с + 2в > 2м +3с+ 4в, 3м-2м+4с-3с > 4в-2в откуда м +...
Ответ: От сгущёнки толстеют больше
4 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Задача № 9
Описание слайда:

Задача № 9

№ слайда 2 Когда Винни – Пух пришёл в гости к Кролику ,он съел 3 тарелки мёда,4 тарелки
Описание слайда:

Когда Винни – Пух пришёл в гости к Кролику ,он съел 3 тарелки мёда,4 тарелки сгущёнки и 2 тарелки варенья ,а после этого не смог выйти наружу из-за того ,что сильно растолстел от такой еды. Но известно ,что если бы он съел 2 тарелки мёда ,3 тарелки сгущёнки и 4 тарелки варенья или 4 тарелки мёда , 2 тарелки сгущёнки 3 тарелки варенья ,то спокойно смог бы покинуть нору гостеприимного Кролика. От чего больше толстеют :от варенья или от сгущёнки?

№ слайда 3 Решение По условию 3м + 4с + 2в &gt; 2м +3с+ 4в, 3м-2м+4с-3с &gt; 4в-2в откуда м +
Описание слайда:

Решение По условию 3м + 4с + 2в > 2м +3с+ 4в, 3м-2м+4с-3с > 4в-2в откуда м + с > 2в (*) По условию 3м + 4с + 2в > 4м + 2с + 3в, 4с-2с > 4м-3м+3в-2в откуда 2с > м + в. Складывая последнее неравенство с неравенством (*), получаем м + 3с > м + 3в ( отнимем м) 3с > 3в (разделим на 3) откуда с > в.

№ слайда 4 Ответ: От сгущёнки толстеют больше
Описание слайда:

Ответ: От сгущёнки толстеют больше


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 25.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров407
Номер материала ДВ-377125
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх