Задачи+решения для проведения турнира по математике ( 7-8 класс)

• 1 слайд

  Задача №1
  

• 2 слайд

   
  Задача №1
   
  

• 3 слайд

   
  Решение
  

• 1 слайд

  Задача № 2
  

• 2 слайд

  В ∆ АВС:
  АВ = ВС и каждый из углов
  А и С равен 50˚. Из точки С под углом 30˚ к основанию АС проведены внешним образом отрезки СD и AD.
  ∟СВD = 20˚. Найти ∟ СAD.
  
  

• 3 слайд

  Найдем ∟ CDB из ∆ BDC : ∟ СВD = 20о, ∟ВСD = 50о + 30о = 80о
  ∟ СDВ = 180˚_(20˚+80˚)=80о.Следовательно, ∆ BCD- равнобедренный, тогда ВС = BD. Значит, и ∆ ABD – равнобедренный,
  так как AB = BD.
  

• 4 слайд

  ∆ ABC: ∟ ABC = 180o –(50˚+50˚)=
  =180˚-100o= 80o. ∟ABD = 80o – 20o = 60o .
  В равнобедренном ∆ ABD один из углов равен 60о ,значит он равносторонний.
  ∟ ВAD= (180˚ -60o):2=60˚, тогда
  ∟ CAD = 60o- 50o = 10o.
  

• 5 слайд

  Ответ:
  
  
  
  ∟ CAD = 10o
  

• 1 слайд

  Задача № 3
  

• 2 слайд

  Петр регулярно добирался по прямолинейному шоссе из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 15 км. Он либо шел пешком со скоростью 3 км/час, либо его подвозил друг на велосипеде
  ( часть пути либо весь путь), тогда их скорость была 12 км/час. Сколько времени он шел пешком, если добирался до пункта назначения 3 часа.
  
  

• 3 слайд

  Решение
  Для нахождения времени, которое Петя шёл пешком, допустим что всё время он ехал на велосипеде со скоростью 12 км/ч.
  Тогда за 3 часа он бы преодолел 12×3=36 (км.)
  А на самом деле он преодолел 15 км, то есть на
  36-15=21 (км) меньше, потому что часть пути он двигался пешком со скоростью 3 км/ч. Эта скорость меньше чем скорость передвижения на велосипеде на 12-3=9 (км/ч).
  Пешком Петя двигался столько времени,
  сколько нужно для преодоления 21 км со скоростью 9 км/ч, то есть:
  21 км : 9 км/ч = 21000 м : (9000:60) м/мин =
  = 21000 м : 150 м/мин =140 мин = 2 часа 20 мин.
  
  
  

• 4 слайд

  Ответ:
  2 часа 20 мин Петя шёл пешком.
  

• 1 слайд

  Задача № 4
  

• 2 слайд

  Докажите, что разность между трехзначном числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, не может быть квадратом натурального числа в десятичной системе.
  

• 3 слайд

  Решение
  Пусть трехзначное число будет авс=100а+10в+с.
  Тогда число, записанное в обратном порядке сва=100с+10в+а.
  Найдем разность d
  d = 100а + 10в + с –(100с + 10в + а) =
  = 100а + 10в + с –100с – 10в – а =
  =99а -99с =99(а-с)= 9 · 11(а - с) = 32·11(а-с)
  Так как а – с ≠ 11, то d ≠ n2.
  Что и требовалось доказать.
  
  
  

• 1 слайд

  Задача № 5
  
  
  
  

• 2 слайд

  Восстановите математическую запись примера
  АННА
  -
  ВАЛЯ
  _______
  4 7 0 9
  
  где разные буквы обозначают разные цифры, а одинаковые буквы - одинаковые цифры.
  
  

• 3 слайд

  Решение
  Сначала определим соотношения между буквами цифрами в примере.
  Т.к А первая слева, то А ≠ 0
  Если А =9, Я=0
  _9НН9
  ВАЛ0
  4 7 0 9
  
  и тогда Н=Л, что невозможно
  
  

• 4 слайд

  
  Значит А < Я, А+10-Я=9
  А=9+Я-10
  А=Я-1
  А+1=Я
  Н-1=Л, А > 5.
  Значит Н ≤ А, Н+10 –А=7
  Н = А-3 , А-1-В=4, таким образом,А=В+5.
  
  
  
  
  
  

• 5 слайд

  
  Далее рассмотрим возможные значения В:
  
  1)Если В=1, то А=В+5=6, Н=А-3=6-3=3, Л=Н-1=3-1=2, Я =7.
  _ 6336
  1627
  4709
  
  
  

• 6 слайд

  2)Если В=2, то А=В+5=7, Н=А-3=7-3=4, Л=Н-1=4-1=3, Я =8
  _ 7447
  2738
  4702
  
  

• 7 слайд

  3)Если В=3, то А=В+5=8, Н=А-3=8-3=5, Л=Н-1=5-1=4, Я =9
  
  _ 8558
  3849
  4709
  
  
  

• 8 слайд

  Ответы:
  1) 6336
  - 1627
  ________
  4709
  2) 7447
  - 2738
  _________
  4709
  3) 8558
  - 3849
  ________
  4709
  

• 1 слайд

  Задача № 6
  

• 2 слайд

  Если дату 10 февраля 2001 года записать в виде 10.02.2001, а затем убрать точки, то получится палиндром (т.е число, число читающееся слева направо и справа налево одинаково). Найдите ближайшую к 10.02.2001 дату, обладающую тем же свойством. Рассмотрите два случая:
  1) требуемая дата еще не наступила
  2) требуемая дата уже прошла
  Ответ обосновать.
  
  

• 3 слайд

  Решение
  Заметим, что при условии, что дата записывается как палиндром, день и месяц однозначно находятся по заданному году.
  1) В 2001году других палиндромов быть не может, а в следующем 2002 году это должен быть двадцатый день второго месяца. Итак, получаем-
  20.02.2002
  

• 4 слайд

  2) Чтобы дата была как можно ближе к 2001,неоходимо брать самый большой возможный год, меньший 2001. Вторая цифра года должна быть первой цифрой месяца, т.е. 0 или 1, т.к. месяцев не больше 12. В 2000 году палиндрома быть не может (нулевого дня не бывает), следовательно, первые две цифры года-11 (соответственно, месяц-ноябрь).Третью цифру года нужно взять максимально возможную, т.е. 9, тогда четвёртой (т.к в ноябре не больше 31 дня) может быть два. Получится дата-палиндром 29.11.1192.
  

• 5 слайд

  Ответ:
  20 февраля 2002года - 20.02.2002
  
  
  2) 29 ноября 1192 года- 29.11.1192
  

• 1 слайд

  Задача № 7
  

• 2 слайд

  В выпуклом четырёхугольнике ABCD стороны АВ и СD параллельны ,а диагонали АС и BD перпендикулярны.
  Докажите, что AD+ВС=АВ+СD.
  
  

• 3 слайд

  Решение
  Впишем четырёхугольник ABCD в прямоугольник EFGH со сторонами, параллельными диагоналям (EFӀӀAC и EHӀӀBD) Пусть L точка пересечения прямых DC и EF, а M – точка на прямой HG такая, что LMӀӀFG.Тогда ABCD – параллелограмм AB=СL. Т.к GM=FL=EB=HD и AH=CG, то ∆AHD= ∆CGM(По двум катетам) AD=CM.
  
  

• 4 слайд

  В силу неравенства треугольника BM ≤ BC+CM=BC+AD.Но BM=DL как диагонали прямоугольника BLDM, и DL=DC+CL=DC+AB. Следовательно ,AD+BC=DL=DC+CL=DC+AB ч.т.д.
  
  

• 1 слайд

  Задача №8
  

• 2 слайд

  Две биссектрисы
  ∆ ABC пересекаются под
  углом 60⁰. Докажите,
  что один из углов
  этого треугольника
  равен 60⁰.
  

• 3 слайд

  1 случай
  Пусть биссектрисы AA1 и СС1 ∆ ABC
  пересекаются в точке I . Допустим,
  что ∟AIC1 = 600.
  По теореме о внешнем угле треугольника
  ∟AIC1 = ∟IAС+∟IСА=(∟ВАС+∟ВСА):2
  Тогда
  ∟ВАС+∟ВСА=120⁰
  ∟АВС=180⁰-∟ВАС-∟ВСА=60⁰.
  

• 4 слайд

  2 случай
  
  Пусть ∟АIC=60⁰
  
  Тогда ∟IАС+∟IСА=120⁰, отсюда
  
  ∟ВАС+∟ВСА=240⁰, что невозможно.
  

• 5 слайд

  Ответ :
  ∟АВС=60⁰.
  
  

• 1 слайд

  Задача № 9
  

• 2 слайд

  
  Когда Винни – Пух пришёл в гости к Кролику ,он съел 3 тарелки мёда,4 тарелки сгущёнки и 2 тарелки варенья ,а после этого не смог выйти наружу из-за того ,что сильно растолстел от такой еды. Но известно ,что если бы он съел 2 тарелки мёда ,3 тарелки сгущёнки и 4 тарелки варенья или 4 тарелки мёда , 2 тарелки сгущёнки 3 тарелки варенья ,то спокойно смог бы покинуть нору гостеприимного Кролика. От чего больше толстеют :от варенья или от сгущёнки?
  
  

• 3 слайд

  Решение
  По условию
  3м + 4с + 2в > 2м +3с+ 4в,
  3м-2м+4с-3с > 4в-2в
  откуда м + с > 2в (*)
  По условию
  3м + 4с + 2в > 4м + 2с + 3в,
  4с-2с > 4м-3м+3в-2в
  откуда 2с > м + в.
  Складывая последнее неравенство с неравенством (*), получаем
  м + 3с > м + 3в ( отнимем м)
  3с > 3в (разделим на 3)
  откуда с > в.
  

• 4 слайд

  Ответ:
  От сгущёнки толстеют больше
  

• 1 слайд

  Задача № 10
  

• 2 слайд

  Команда из Пети, Васи и одноместного самоката участвует в гонке. Дистанция разделена на участки одинаковой длины, количество равно 42, в начале каждого – контрольный пункт. Петя пробегает участок за 9 мин, Вася – за 11 мин, а на самокате любой из них проезжает участок за 3 мин. Стартуют они одновременно, а на финише учитывается время того, кто пришёл последним. Ребята договорились, что один проезжает первую часть пути на самокате, остаток бегом, а другой – наоборот (самокат можно оставить на любом контрольном пункте). Сколько участков Петя должен проехать на самокате, чтобы команда показала наилучшее время?
  

• 3 слайд

  Достаточно обозначить число участков,
  которые проезжает Петя через х и решить уравнение:
  3х+9(42-х) = 3(42-х)+11х
  3х+378-9х = 126-3х + 11х
  3х-9х+3х-11х=126-378
  -14х=-252
  х=-252: (-14)
  х=18- число участков, которые проезжает Петя
  Решение
  

• 4 слайд

  Если Петя проедет 18 участков и пробежит оставшиеся 42–18=24 он затратит
  18*3 + 24*9=270 минут.
  При этом Васе, наоборот, достанется проехать 24 участка, пробежать 18 на что уйдёт
  24*3 + 18*11= 270 минут.
  Если же Петя проедет меньшее число участков, то его время ( соответственно, время команды) увеличится. Если Петя проедет большее количество участков, то увеличится время Васи (и время команды).
  
  

• 5 слайд

  Ответ:
  
  Петя должен проехать на самокате 18 участков