Индивидуальное задание для студентов на самостоятельную работу по теме: «Приложение производной к исследованию функций».

Индивидуальное задание для студентов на самостоятельную работу по теме: «Приложение производной к исследованию функций».

Задание: Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить её график.

 1. .           

2. .           

3. .

 4. .        

 5. .          

6. .

 7. .    

8. .    

9. .

 10. .           

Схема полного исследования функции

    Для полного исследования функции и построения её графика применяется следующая примерная схема:

1. указать область определения функции;

2. найти точки разрыва функции, точки пересечения её графика с осями координат и вертикальные асимптоты  (если они существуют);

3. установить  наличие  или  отсутствие  четности,   нечетности,   пе­риодичности функции;

4. исследовать функцию на монотонность и экстремум;

5. определить интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба;

6.  найти асимптоты графика функции;

7.  произвести необходимые дополнительные вычисления;

8.  построить график функции.

Пример. .

Решение.   Воспользуемся рекомендуемой схемой.

1. Областью определения функции является множество .

2.      Ордината точки графика у > 0 при  ,  при  .

3.       Точки пересечения графика данной функции с осями координат:

(0, –9/4) и (– 3, 0).

4. Легко находим, что  -  вертикальная асимпто­та, причем:

.

5.  Исследуем функцию на возрастание, убывание, ло­кальный экстремум:

.

Из условия у' = 0 следует  , откуда .

 

В интервале , следовательно, функция возрастает в этом интервале. В  у' < 0, т. е. функция убывает. Поэтому функция в точке  имеет локальный максимум: . В интервале (4; 11) у' < 0, следовательно, функция убывает на этом интер­вале; в  у' > 0, т. е. функция возрастает. В точке  имеем локальный минимум: .

       6.  Исследуем график функции на выпуклость, вогну­тость  и  определим  точки   перегиба.  Для  этого  найдем

.

Очевидно, что в интервале , и в этом интервале кривая выпукла; в  , т. е. в этом интервале кривая вогнута. Так как при  функция не определена, то точка перегиба отсутствует.

      7. Находим наклонные асимптоты :

,

Таким   образом,    существует   единственная    наклонная асимптота  .

9.     Строим график функции