1423611
столько раз учителя, ученики и родители
посетили официальный сайт ООО «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
Добавить материал и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок Алгебра КонспектыКонспект урока по математике на тему "Независимые повторения испытаний с двумя исходами"

Конспект урока по математике на тему "Независимые повторения испытаний с двумя исходами"

IV Международный дистанционный конкурс «Старт» Идёт приём заявок Для дошкольников и учеников 1-11 классов 16 предметов ОРГВЗНОС 25 Р. ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

Конспект по алгебре и началам анализа.

Учитель: Денисенко Н. В.

Тема: Независимые повторения испытаний с двумя исходами

Класс: 11.

Цели:

  1. Познакомить учащихся с формулой Бернулли, показать ее значение в теории вероятностей.

  2. Повторить изученные ранее понятия из теории вероятностей и комбинаторики (достоверное событие, сочетания, классическое определение вероятности, рамки, в которые заключена вероятность любого события).

  3. Обучить применению формулы Бернулли при вычислении вероятностей.

  4. Расширить культуроведческую компетенцию школьников.

План:

1. Вступительное слово учителя.

2. Повторение элементов комбинаторики и понятий теории вероятностей (задача на сочетания, противоположные события, их вероятности).

3. Введение формулы Бернулли (из какой проблемы возникла, историческая справка).

4. Закрепление теоремы Бернулли (задачи 1 и 2).

5. Теорема о наиболее вероятном числе «успехов» в hello_html_443248c0.gif испытаниях.

6. Самостоятельное решение задачи.

7. Заключительное слово учителя, подведение итогов урока.

8. Домашнее задание.

Оборудование: тетрадь, учебник.

Организация: вступительное слово учителя, объяснение нового материала, решение задач, самостоятельная работа, заключительные выводы по теме.

Ход урока:

  1. Организационный момент.

  2. Повторение элементов комбинаторики и понятий теории вероятностей.

В теории вероятностей большое значение имеют элементы комбинаторики. Знание формул сочетания, размещения, перестановок во многом облегчает задачу при нахождении вероятности события определенного типа.

Вам уже знакомы многие факты из комбинаторики. Вспомним некоторые из них.

Задача.

Сколько диагоналей в выпуклом 10-угольнике?

Какой многоугольник называется выпуклым?

Если мы нарисуем 10 точек на плоскости и будем соединять каждые две из них всеми различными способами, что мы получим? (10-угольник с проведенными в нем диагоналями).

Сколькими способами можно соединить две точки из десяти?

Будут ли здесь повторения?

Важен ли здесь порядок соединения точек?

Какую формулу из комбинаторики в таком случае здесь необходимо применить? (Сочетание из 10 по два, без повторений).

hello_html_38f5a800.gif

hello_html_m77bea37c.gif

Сколько диагоналей? Равно ли количество диагоналей полученному числу сочетаний? (Нет, число диагоналей на 10 меньше, т.е. 35).

3. Введение формулы Бернулли

С помощью классического определения вероятности события, мы можем легко вычислять вероятность того, что некоторое событие произойдет. Однако, можно потребовать большего. Существует формула, позволяющая вычислить вероятность того, что событие произойдет ровно hello_html_m417594b3.gif раз в серии из hello_html_443248c0.gif испытаний.

Будем рассматривать событие А с двумя возможными исходами. Событие А может произойти или не произойти. Обозначим за hello_html_m7124785b.gif – вероятность появления данного события в одном, отдельно взятом, испытании, другими словами – вероятность «успеха». Обозначим за hello_html_m483bb7fc.gif - вероятность того, что событие не произойдет при проведении одного испытания, другими словами – вероятность «неудачи». При проведении испытания нас ждет либо успех, либо неудача. Так или иначе, будет один из данных исходов. Поэтому, сумма вероятностей hello_html_m7124785b.gif и hello_html_m483bb7fc.gif равна 1 (достоверное событие). Итак,

hello_html_298f1f8c.gif

Учтем также, что вероятность появления события А в каждом отдельном испытании удовлетворяет двойному нестрогому неравенству:

hello_html_76c1acb0.gif

Пусть проводится теперь серия из hello_html_443248c0.gif испытаний. Вероятность того, что в серии из hello_html_443248c0.gif испытаний событие А произойдет ровно hello_html_m417594b3.gif раз, вычисляется по формуле:

hello_html_24897418.gif

где hello_html_568c55ef.gif - число сочетаний.

Эта формула носит имя известного математика Якова Бернулли, одного из династии великих математиков рода Бернулли.

4. Закрепление теоремы Бернулли.

Задача 1.

Что вероятнее: выиграть у равносильного противника 3 партии из 4 или 5 из 8?

Решение:

hello_html_m71444846.gif (противники равносильны).

Необходимо сравнить hello_html_m5c687002.gif и hello_html_72fb56b1.gif


hello_html_65882106.gif


hello_html_m75627a95.gif

Итак,

hello_html_m2f3f6ee4.gif

Задача 2.

Четыре студента, готовясь к экзамену, выучили только 5 билетов из 20. Сдавать экзамены они будут в разных аудиториях. Какова вероятность того, что:

А) все четыре друга сдадут экзамен?

Б) никто из студентов не сдаст экзамен?

В) сдадут экзамен 3 из 4-х студентов?

Г) сдаст экзамен хотя бы один из студентов?

Решение:

hello_html_m20cadb2e.gif

hello_html_m1317086a.gif

hello_html_m285f9452.gif

А) hello_html_m69b9ad2.gif

Б) hello_html_213828ba.gif

В) hello_html_57009b35.gif

Г) hello_html_m3dcebf33.gif

5. Теорема о наиболее вероятном числе «успехов» в hello_html_443248c0.gif испытаниях.

Справедливо утверждение:

наиболее вероятное число «успехов» в серии из hello_html_443248c0.gif испытаний приблизительно может быть вычислено как произведение числа hello_html_443248c0.gif проведенных опытов на вероятность появления события в отдельном испытании hello_html_m6e4b098c.gif

6. Самостоятельное решение задачи.

Какова вероятность того, что при 8 бросании монеты выпадет:

  1. Ровно 5 раз – орел;

  2. Поровну орлов и решек?

Решение:

  1. hello_html_m1a8def63.gif

  2. hello_html_66fef6e3.gif

7. Заключительное слово учителя, подведение итогов урока.

8. Домашнее задание.

Из задачника Мордковича: № 23.1; № 23.2.



4


Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Краткое описание документа:

Тема: Независимые повторения испытаний с двумя исходами

Класс: 11.

Цели:

  • 1.Познакомить учащихся с формулой Бернулли, показать ее значение в теории вероятностей.
  • 2.Повторить изученные ранее понятия из теории вероятностей и комбинаторики (достоверное событие, сочетания, классическое определение вероятности, рамки, в которые заключена вероятность любого события).
  • 3.Обучить применению формулы Бернулли при вычислении вероятностей.
  • 4.Расширить культуроведческую компетенцию школьников.
ВНИМАНИЮ УЧИТЕЛЕЙ: хотите организовать и вести кружок по ментальной арифметике в своей школе? Спрос на данную методику постоянно растёт, а Вам для её освоения достаточно будет пройти один курс повышения квалификации (72 часа) прямо в Вашем личном кабинете на сайте "Инфоурок".

Пройдя курс Вы получите:
- Удостоверение о повышении квалификации;
- Подробный план уроков (150 стр.);
- Задачник для обучающихся (83 стр.);
- Вводную тетрадь «Знакомство со счетами и правилами»;
- БЕСПЛАТНЫЙ доступ к CRM-системе, Личному кабинету для проведения занятий;
- Возможность дополнительного источника дохода (до 60.000 руб. в месяц)!

Пройдите дистанционный курс «Ментальная арифметика» на проекте "Инфоурок"!

Подать заявку
IV Международный дистанционный конкурс «Старт» Для дошкольников и учеников 1-11 классов Рекордно низкий оргвзнос 25 Р. 16 предметов ПОДАТЬ ЗАЯВКУ

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.