Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок «Арифметика последовательностей и рекуррентные соотношения»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Урок «Арифметика последовательностей и рекуррентные соотношения»

библиотека
материалов

Арифметика последовательностей и рекуррентные соотношения


В школьном курсе математики знакомство с рекуррентными соотношениями происходит на примерах арифметической и геометрической прогрессий. Рассмотрение рекуррентных соотношений другого вида (например, числа Фибоначчи) часто входят в программы факультативов, а их решения, как правило, получают методом математической индукции, что требует определенного навыка в построении правильного индуктивного предположения. В настоящей заметке предложен подход к решению этих задач на основе построения арифметических последовательностей (формальные степенные ряды). Этот подход широко применяется во многих разделах математики, а применительно к рекуррентным соотношениям позволяет заменить рекуррентное соотношение уравнением в формальных степенных рядах. В частности, рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами приводят к линейному уравнению в формальных степенных рядах, которое решается стандартным образом с учетом специфики арифметики формальных степенных рядов.


  1. Пусть hello_html_m130a8823.gif - последовательность элементов множества A (A = Z, Q, R, C). Будем записывать последовательность hello_html_m130a8823.gif в виде

hello_html_18271f96.gif, (1)

где t – формальная переменная. Такая форма записи последовательности называется формальным степенным рядом. Конечную последовательность hello_html_m2f47a5be.gifбудем рассматривать как бесконечную последовательность, в которой hello_html_11f7fbe5.gif. Слагаемые вида hello_html_18c625ac.gifчасто будем опускать и записывать конечную последовательность hello_html_m2f47a5be.gif в виде hello_html_m367e1641.gif. Множество формальных степенных рядов с коэффициентами из hello_html_718f0f76.gifбудем обозначать hello_html_m7b21181e.gif. Если hello_html_m13730e86.gif, то коэффициент hello_html_422cb331.gifназывается свободным членом формального степенного ряда hello_html_m712ecc77.gif и будем обозначать hello_html_mb86cb1d.gif.


  1. Введем на множестве формальных степенных рядов hello_html_m7b21181e.gif операции сложения и умножения.

Если

hello_html_m13730e86.gif, hello_html_784ddb6.gif,

то

hello_html_m3fe86768.gif, (2)

hello_html_m219afed8.gif, (3)

где

hello_html_3e97fff2.gif. (4)

Непосредственно проверяется, что введенные операции обладают свойствами:

hello_html_da9d6ec.gif, (5)

hello_html_6076a627.gif, (6)

hello_html_mc7f0dc5.gifhello_html_19308240.gif (7)

Если hello_html_6346fc66.gif, то определим противоположный ряд hello_html_m17ac5d5b.gif формулой

hello_html_m4d59bbe1.gif. (8)

Тогда

hello_html_232dbedf.gif. (9)






Операция умножения в hello_html_m7b21181e.gif обладает свойствами:

hello_html_m6432ed72.gif, (10)

hello_html_m6632c70d.gif, (11)

hello_html_m137dfa54.gif (12)

hello_html_9eae719.gifhello_html_m461516d9.gif. (13)


  1. Определим для формального степенного ряда hello_html_m712ecc77.gif производную hello_html_3c6b1b21.gifформулой

hello_html_m3c39287a.gif (14)

Производная обладает свойствами:

hello_html_m4ecc738c.gif, (15)

hello_html_935bff7.gif. (16)

Равенства (15), (16) непосредственно вытекают из определения (14).

Если hello_html_m712ecc77.gif - произвольный формальный степенной ряд, а hello_html_m29639699.gif - формальный степенной ряд без свободного члена, т.е. hello_html_28cf3530.gif, то определена подстановка

hello_html_5d7526d3.gif. (17)


  1. Рассмотрим вопрос об обратимости формального степенного ряда. Формальный степенной ряд hello_html_784ddb6.gifназывается обратным к формальному степенному ряду hello_html_m13730e86.gif, если

hello_html_16a8ddc3.gif. (18)

Если обратный формальный степенной ряд существует, то он единственен и обозначается

hello_html_m2b9e0bab.gif.

Примеры.

    1. Пусть hello_html_63c61d09.gif. Тогда

hello_html_m16e078ed.gif

(сумма бесконечной геометрической прогрессии).

    1. hello_html_m5c10958e.gif (сумма конечной геометрической прогрессии).

Следующая теорема дает критерий обратимости формального степенного ряда.


Теорема. Формальный степенной ряд hello_html_m7e3892b.gif обратим тогда и только тогда, когда свободный член hello_html_m13b724e0.gif обратим в hello_html_718f0f76.gif.


hello_html_m74dcadd6.gifЕсли hello_html_m5e973964.gif обратим в hello_html_m7b21181e.gif и hello_html_714f4dc2.gif, то hello_html_m499ae15e.gif. В частности, hello_html_37ed7df8.gif, т.е. hello_html_422cb331.gif обратим в hello_html_718f0f76.gif.


hello_html_791942b9.gifПусть hello_html_m5e973964.gif и hello_html_422cb331.gif обратим в hello_html_718f0f76.gif. Тогда

hello_html_m7a20d978.gif,

гдеhello_html_m4336e311.gif - формальный степенной ряд без свободного члена. Воспользуемся формулой бесконечной геометрической прогрессии с подстановкой hello_html_m5982acc0.gif, т.е. определим

hello_html_32014b1b.gif.

Непосредственная проверка приводит к равенству

hello_html_16a8ddc3.gif, т.е. hello_html_m5e52285b.gif


  1. В качестве приложения формальных степенных рядов рассмотрим рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами. Арифметика формальных степенных рядов позволяет в этом случае полностью решить вопрос вычисления таких последовательностей. В качестве примера рассмотрим числа Фибоначчи (см., например, [1]), т.е., последовательность hello_html_m499010aa.gif, заданную условиями:

hello_html_80562df.gif, hello_html_m677e2038.gif, hello_html_5a53cbc0.gifhello_html_5fd3c5d5.gif. (19)

Пусть hello_html_15058026.gif - соответствующий формальный степенной ряд. Из рекуррентного соотношения (19) следует равенство

hello_html_6d0823d7.gif


Учитывая начальные условия hello_html_80562df.gif, hello_html_m677e2038.gif, получаем,

hello_html_743be299.gif, т.е., hello_html_m60c14fe3.gif, hello_html_m55b41ca4.gif.

Таким образом, задача сводится к вычислению

hello_html_m2dcc17a2.gif

hello_html_m1f1cdef4.gif.

Следовательно, hello_html_m15c3239e.gif, где hello_html_3e59e5dc.gifи hello_html_557e2b85.gif - корни уравнения hello_html_75c3efab.gif, а hello_html_28723455.gifи hello_html_m6df0a7d8.gif находим из начальных условий. Вычисляя – получаем:

hello_html_27a681f4.gif; hello_html_4cabddd5.gif.

В итоге,

hello_html_m4a38bd03.gif, hello_html_59584d96.gif

Итак, решение рекуррентного соотношения (19) сводится к решению линейного уравнения в Rhello_html_60ed9a86.gif.

Этот подход непосредственно распространяется на рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами:

hello_html_73b7f403.gif, hello_html_m5a8e2950.gif (20)

hello_html_7b3818d2.gif - заданные числа (начальные условия).


Характеристическим уравнением рекуррентного соотношения hello_html_m4c05f2c1.gifназывается уравнение

hello_html_6d4adbab.gif (21)

Следующая теорема служит обобщением приведенного примера.


Теорема. Если характеристическое уравнение (21) рекуррентного соотношения (20) имеет простые корни hello_html_104c1726.gif, то решения рекуррентного соотношения (20) имеют вид

hello_html_708b34ca.gif , (22)

где hello_html_4fdb95b3.gif- постоянные коэффициенты. (Коэффициенты hello_html_4fdb95b3.gif можно определить из начальных условий hello_html_7b3818d2.gif.)


Таким образом, если характеристическое уравнение имеет простые корни, то решение рекуррентного соотношения (22) – сумма геометрических прогрессий со знаменателями hello_html_104c1726.gif.


□ Пусть

hello_html_5b1da5c5.gif


Итак, hello_html_m712ecc77.gif удовлетворяет линейному уравнению

hello_html_m755fdf11.gif, (23)

где hello_html_m67944486.gif - многочлен степени hello_html_104ccec4.gif. Отсюда

hello_html_m458a9284.gif,

где hello_html_104c1726.gif - корни характеристического уравнения, а hello_html_4fdb95b3.gif- постоянные коэффициенты. Следовательно, hello_html_708b34ca.gif.■


Если характеристическое уравнение рекуррентного соотношения (20) имеет корни hello_html_104c1726.gif кратностей hello_html_bfa94bd.gifсоответственно, то при решении линейного уравнения (23) нужно воспользоваться равенством

hello_html_774b700d.gif

(при этом полагаем, что hello_html_5e559cbf.gif).


Отсюда следует


Теорема. Если характеристическое уравнение (21) рекуррентного соотношения (20) имеет корни hello_html_104c1726.gif кратностей hello_html_bfa94bd.gifсоответственно, то решение рекуррентного соотношения (20) есть сумма геометрических прогрессий и их производных до порядкаhello_html_2300ff9f.gifhello_html_7ebc23ef.gif.














Литература.


  1. Башмаков М.И., Беккер Б.М., Гольховой В.М. Задачи по математике, Алгебра и анализ, «Наука», Библиотечка «Квант», вып. 22, 1982г.



Крапивин Александр Александрович,

преподаватель математики ГОУ Пушкинский лицей №1500, к.ф-м.н.

Тел. (495)994-5848, 8(916)550-7075.

Краткое описание документа:

В школьном курсе математики знакомство с рекуррентными соотношениями происходит на примерах арифметической и геометрической прогрессий.

Рассмотрение рекуррентных соотношений другого вида (например, числа Фибоначчи) часто входят в программы факультативов, а их решения, как правило, получают методом математической индукции, что требует определенного навыка в построении правильного индуктивного предположения.

В настоящей заметке предложен подход к решению этих задач на основе построения арифметических последовательностей (формальные степенные ряды).

Этот подход широко применяется во многих разделах математики, а применительно к рекуррентным соотношениям позволяет заменить рекуррентное соотношение уравнением в формальных степенных рядах. В частности, рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами приводят к линейному уравнению в формальных степенных рядах, которое решается стандартным образом с учетом специфики арифметики формальных степенных рядов.

Автор
Дата добавления 21.07.2013
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров501
Номер материала 10672072113
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх