- 20.07.2013
- 12097
- 24
В школьном курсе математики знакомство с рекуррентными соотношениями происходит на примерах арифметической и геометрической прогрессий. Рассмотрение рекуррентных соотношений другого вида (например, числа Фибоначчи) часто входят в программы факультативов, а их решения, как правило, получают методом математической индукции, что требует определенного навыка в построении правильного индуктивного предположения. В настоящей заметке предложен подход к решению этих задач на основе построения арифметических последовательностей (формальные степенные ряды). Этот подход широко применяется во многих разделах математики, а применительно к рекуррентным соотношениям позволяет заменить рекуррентное соотношение уравнением в формальных степенных рядах. В частности, рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами приводят к линейному уравнению в формальных степенных рядах, которое решается стандартным образом с учетом специфики арифметики формальных степенных рядов.
, (1)
где t – формальная переменная. Такая форма записи последовательности
называется формальным степенным рядом. Конечную
последовательность будем рассматривать как
бесконечную последовательность, в которой
.
Слагаемые вида
часто будем опускать и записывать
конечную последовательность
в виде
. Множество формальных степенных рядов с
коэффициентами из
будем обозначать
. Если
, то
коэффициент
называется свободным членом формального
степенного ряда
и будем обозначать
.
Если
,
,
то
, (2)
, (3)
где
. (4)
Непосредственно проверяется, что введенные операции обладают свойствами:
, (5)
, (6)
(7)
Если , то определим противоположный ряд
формулой
. (8)
Тогда
. (9)
Операция
умножения в обладает свойствами:
, (10)
, (11)
(12)
. (13)
(14)
Производная обладает свойствами:
, (15)
. (16)
Равенства (15), (16) непосредственно вытекают из определения (14).
Если -
произвольный формальный степенной ряд, а
-
формальный степенной ряд без свободного члена, т.е.
, то
определена подстановка
. (17)
. (18)
Если обратный формальный степенной ряд существует, то он единственен и обозначается
.
Примеры.
1)
Пусть . Тогда
(сумма бесконечной геометрической прогрессии).
2)
(сумма конечной
геометрической прогрессии).
Следующая теорема дает критерий обратимости формального степенного ряда.
Теорема. Формальный
степенной ряд обратим тогда и только тогда,
когда свободный член
обратим в
.
□ Если
обратим в
и
, то
. В
частности,
, т.е.
обратим
в
.
Пусть
и
обратим
в
. Тогда
,
где - формальный
степенной ряд без свободного члена. Воспользуемся формулой бесконечной
геометрической прогрессии с подстановкой
, т.е.
определим
.
Непосредственная проверка приводит к равенству
, т.е.
■
,
,
. (19)
Пусть - соответствующий
формальный степенной ряд. Из рекуррентного соотношения (19) следует равенство
Учитывая начальные условия ,
,
получаем,
, т.е.,
,
.
Таким образом, задача сводится к вычислению
.
Следовательно, , где
и
-
корни уравнения
, а
и
находим из начальных условий. Вычисляя –
получаем:
;
.
В итоге,
,
Итак, решение рекуррентного соотношения (19)
сводится к решению линейного уравнения в R.
Этот подход непосредственно распространяется на рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами:
,
(20)
- заданные числа
(начальные условия).
Характеристическим уравнением
рекуррентного соотношения называется
уравнение
(21)
Следующая теорема служит обобщением приведенного примера.
Теорема. Если
характеристическое уравнение (21) рекуррентного соотношения (20) имеет простые
корни , то решения рекуррентного соотношения
(20) имеют вид
, (22)
где - постоянные
коэффициенты. (Коэффициенты
можно определить из
начальных условий
.)
Таким образом, если характеристическое
уравнение имеет простые корни, то решение рекуррентного соотношения (22) –
сумма геометрических прогрессий со знаменателями .
□ Пусть
Итак, удовлетворяет
линейному уравнению
, (23)
где - многочлен степени
. Отсюда
,
где - корни
характеристического уравнения, а
- постоянные
коэффициенты. Следовательно,
.■
Если характеристическое уравнение
рекуррентного соотношения (20) имеет корни кратностей
соответственно, то при решении линейного
уравнения (23) нужно воспользоваться равенством
(при этом полагаем, что ).
Отсюда следует
Теорема.
Если характеристическое уравнение (21) рекуррентного соотношения (20) имеет
корни кратностей
соответственно,
то решение рекуррентного соотношения (20) есть сумма геометрических прогрессий
и их производных до порядка
.
Литература.
Крапивин Александр Александрович,
преподаватель математики ГОУ Пушкинский лицей №1500, к.ф-м.н.
Тел. (495)994-5848, 8(916)550-7075.
Настоящий материал опубликован пользователем Крапивин Александр Александрович. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материалФайл будет скачан в форматах:
Рабочий лист "Арифметика в картинках" создан для детей 3-5 лет. Он состоит из семи заданий, рефлексии и ответов к заданиям. Задания составлены в игровой форме, красочно оформлены. Они направлены на развитие внимания, памяти, мелкой моторики. Рабочий лист могут использовать в своей работе как воспитатели, так и родители для занятий с детьми дома.
Материал представлен в 2-х форматах: в формате pdf, готовом для печати, и в формате docx, доступном для редактирования.
Курс повышения квалификации
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Еще материалы по этой теме
Смотреть
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
В школьном курсе математики знакомство с рекуррентными соотношениями происходит на примерах арифметической и геометрической прогрессий.
Рассмотрение рекуррентных соотношений другого вида (например, числа Фибоначчи) часто входят в программы факультативов, а их решения, как правило, получают методом математической индукции, что требует определенного навыка в построении правильного индуктивного предположения.
В настоящей заметке предложен подход к решению этих задач на основе построения арифметических последовательностей (формальные степенные ряды).
Этот подход широко применяется во многих разделах математики, а применительно к рекуррентным соотношениям позволяет заменить рекуррентное соотношение уравнением в формальных степенных рядах. В частности, рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами приводят к линейному уравнению в формальных степенных рядах, которое решается стандартным образом с учетом специфики арифметики формальных степенных рядов.
7 005 946 материалов в базе
Вам будут доступны для скачивания все 171 594 материалы из нашего маркетплейса.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
10 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.