1101059
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 5.520 руб.;
- курсы повышения квалификации от 1.200 руб.
Престижные документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ 60%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО сейчас!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок")

Манифест «Инфоурок»
ИнфоурокМатематикаКонспектыУрок «Арифметика последовательностей и рекуррентные соотношения»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Только сейчас Вы можете пройти дистанционное обучение прямо на сайте "Инфоурок" со скидкой 60% по курсу повышения квалификации "Организация работы с обучающимися с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ) в соответствии с ФГОС" (72 часа). По окончании курса Вы получите печатное удостоверение о повышении квалификации установленного образца (доставка удостоверения бесплатна).

Подать заявку на этот курс    Смотреть список всех 646 курсов

Урок «Арифметика последовательностей и рекуррентные соотношения»

библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

Арифметика последовательностей и рекуррентные соотношения


В школьном курсе математики знакомство с рекуррентными соотношениями происходит на примерах арифметической и геометрической прогрессий. Рассмотрение рекуррентных соотношений другого вида (например, числа Фибоначчи) часто входят в программы факультативов, а их решения, как правило, получают методом математической индукции, что требует определенного навыка в построении правильного индуктивного предположения. В настоящей заметке предложен подход к решению этих задач на основе построения арифметических последовательностей (формальные степенные ряды). Этот подход широко применяется во многих разделах математики, а применительно к рекуррентным соотношениям позволяет заменить рекуррентное соотношение уравнением в формальных степенных рядах. В частности, рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами приводят к линейному уравнению в формальных степенных рядах, которое решается стандартным образом с учетом специфики арифметики формальных степенных рядов.


  1. Пусть hello_html_m130a8823.gif - последовательность элементов множества A (A = Z, Q, R, C). Будем записывать последовательность hello_html_m130a8823.gif в виде

hello_html_18271f96.gif, (1)

где t – формальная переменная. Такая форма записи последовательности называется формальным степенным рядом. Конечную последовательность hello_html_m2f47a5be.gifбудем рассматривать как бесконечную последовательность, в которой hello_html_11f7fbe5.gif. Слагаемые вида hello_html_18c625ac.gifчасто будем опускать и записывать конечную последовательность hello_html_m2f47a5be.gif в виде hello_html_m367e1641.gif. Множество формальных степенных рядов с коэффициентами из hello_html_718f0f76.gifбудем обозначать hello_html_m7b21181e.gif. Если hello_html_m13730e86.gif, то коэффициент hello_html_422cb331.gifназывается свободным членом формального степенного ряда hello_html_m712ecc77.gif и будем обозначать hello_html_mb86cb1d.gif.


  1. Введем на множестве формальных степенных рядов hello_html_m7b21181e.gif операции сложения и умножения.

Если

hello_html_m13730e86.gif, hello_html_784ddb6.gif,

то

hello_html_m3fe86768.gif, (2)

hello_html_m219afed8.gif, (3)

где

hello_html_3e97fff2.gif. (4)

Непосредственно проверяется, что введенные операции обладают свойствами:

hello_html_da9d6ec.gif, (5)

hello_html_6076a627.gif, (6)

hello_html_mc7f0dc5.gifhello_html_19308240.gif (7)

Если hello_html_6346fc66.gif, то определим противоположный ряд hello_html_m17ac5d5b.gif формулой

hello_html_m4d59bbe1.gif. (8)

Тогда

hello_html_232dbedf.gif. (9)






Операция умножения в hello_html_m7b21181e.gif обладает свойствами:

hello_html_m6432ed72.gif, (10)

hello_html_m6632c70d.gif, (11)

hello_html_m137dfa54.gif (12)

hello_html_9eae719.gifhello_html_m461516d9.gif. (13)


  1. Определим для формального степенного ряда hello_html_m712ecc77.gif производную hello_html_3c6b1b21.gifформулой

hello_html_m3c39287a.gif (14)

Производная обладает свойствами:

hello_html_m4ecc738c.gif, (15)

hello_html_935bff7.gif. (16)

Равенства (15), (16) непосредственно вытекают из определения (14).

Если hello_html_m712ecc77.gif - произвольный формальный степенной ряд, а hello_html_m29639699.gif - формальный степенной ряд без свободного члена, т.е. hello_html_28cf3530.gif, то определена подстановка

hello_html_5d7526d3.gif. (17)


  1. Рассмотрим вопрос об обратимости формального степенного ряда. Формальный степенной ряд hello_html_784ddb6.gifназывается обратным к формальному степенному ряду hello_html_m13730e86.gif, если

hello_html_16a8ddc3.gif. (18)

Если обратный формальный степенной ряд существует, то он единственен и обозначается

hello_html_m2b9e0bab.gif.

Примеры.

    1. Пусть hello_html_63c61d09.gif. Тогда

hello_html_m16e078ed.gif

(сумма бесконечной геометрической прогрессии).

    1. hello_html_m5c10958e.gif (сумма конечной геометрической прогрессии).

Следующая теорема дает критерий обратимости формального степенного ряда.


Теорема. Формальный степенной ряд hello_html_m7e3892b.gif обратим тогда и только тогда, когда свободный член hello_html_m13b724e0.gif обратим в hello_html_718f0f76.gif.


hello_html_m74dcadd6.gifЕсли hello_html_m5e973964.gif обратим в hello_html_m7b21181e.gif и hello_html_714f4dc2.gif, то hello_html_m499ae15e.gif. В частности, hello_html_37ed7df8.gif, т.е. hello_html_422cb331.gif обратим в hello_html_718f0f76.gif.


hello_html_791942b9.gifПусть hello_html_m5e973964.gif и hello_html_422cb331.gif обратим в hello_html_718f0f76.gif. Тогда

hello_html_m7a20d978.gif,

гдеhello_html_m4336e311.gif - формальный степенной ряд без свободного члена. Воспользуемся формулой бесконечной геометрической прогрессии с подстановкой hello_html_m5982acc0.gif, т.е. определим

hello_html_32014b1b.gif.

Непосредственная проверка приводит к равенству

hello_html_16a8ddc3.gif, т.е. hello_html_m5e52285b.gif


  1. В качестве приложения формальных степенных рядов рассмотрим рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами. Арифметика формальных степенных рядов позволяет в этом случае полностью решить вопрос вычисления таких последовательностей. В качестве примера рассмотрим числа Фибоначчи (см., например, [1]), т.е., последовательность hello_html_m499010aa.gif, заданную условиями:

hello_html_80562df.gif, hello_html_m677e2038.gif, hello_html_5a53cbc0.gifhello_html_5fd3c5d5.gif. (19)

Пусть hello_html_15058026.gif - соответствующий формальный степенной ряд. Из рекуррентного соотношения (19) следует равенство

hello_html_6d0823d7.gif


Учитывая начальные условия hello_html_80562df.gif, hello_html_m677e2038.gif, получаем,

hello_html_743be299.gif, т.е., hello_html_m60c14fe3.gif, hello_html_m55b41ca4.gif.

Таким образом, задача сводится к вычислению

hello_html_m2dcc17a2.gif

hello_html_m1f1cdef4.gif.

Следовательно, hello_html_m15c3239e.gif, где hello_html_3e59e5dc.gifи hello_html_557e2b85.gif - корни уравнения hello_html_75c3efab.gif, а hello_html_28723455.gifи hello_html_m6df0a7d8.gif находим из начальных условий. Вычисляя – получаем:

hello_html_27a681f4.gif; hello_html_4cabddd5.gif.

В итоге,

hello_html_m4a38bd03.gif, hello_html_59584d96.gif

Итак, решение рекуррентного соотношения (19) сводится к решению линейного уравнения в Rhello_html_60ed9a86.gif.

Этот подход непосредственно распространяется на рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами:

hello_html_73b7f403.gif, hello_html_m5a8e2950.gif (20)

hello_html_7b3818d2.gif - заданные числа (начальные условия).


Характеристическим уравнением рекуррентного соотношения hello_html_m4c05f2c1.gifназывается уравнение

hello_html_6d4adbab.gif (21)

Следующая теорема служит обобщением приведенного примера.


Теорема. Если характеристическое уравнение (21) рекуррентного соотношения (20) имеет простые корни hello_html_104c1726.gif, то решения рекуррентного соотношения (20) имеют вид

hello_html_708b34ca.gif , (22)

где hello_html_4fdb95b3.gif- постоянные коэффициенты. (Коэффициенты hello_html_4fdb95b3.gif можно определить из начальных условий hello_html_7b3818d2.gif.)


Таким образом, если характеристическое уравнение имеет простые корни, то решение рекуррентного соотношения (22) – сумма геометрических прогрессий со знаменателями hello_html_104c1726.gif.


□ Пусть

hello_html_5b1da5c5.gif


Итак, hello_html_m712ecc77.gif удовлетворяет линейному уравнению

hello_html_m755fdf11.gif, (23)

где hello_html_m67944486.gif - многочлен степени hello_html_104ccec4.gif. Отсюда

hello_html_m458a9284.gif,

где hello_html_104c1726.gif - корни характеристического уравнения, а hello_html_4fdb95b3.gif- постоянные коэффициенты. Следовательно, hello_html_708b34ca.gif.■


Если характеристическое уравнение рекуррентного соотношения (20) имеет корни hello_html_104c1726.gif кратностей hello_html_bfa94bd.gifсоответственно, то при решении линейного уравнения (23) нужно воспользоваться равенством

hello_html_774b700d.gif

(при этом полагаем, что hello_html_5e559cbf.gif).


Отсюда следует


Теорема. Если характеристическое уравнение (21) рекуррентного соотношения (20) имеет корни hello_html_104c1726.gif кратностей hello_html_bfa94bd.gifсоответственно, то решение рекуррентного соотношения (20) есть сумма геометрических прогрессий и их производных до порядкаhello_html_2300ff9f.gifhello_html_7ebc23ef.gif.














Литература.


  1. Башмаков М.И., Беккер Б.М., Гольховой В.М. Задачи по математике, Алгебра и анализ, «Наука», Библиотечка «Квант», вып. 22, 1982г.



Крапивин Александр Александрович,

преподаватель математики ГОУ Пушкинский лицей №1500, к.ф-м.н.

Тел. (495)994-5848, 8(916)550-7075.

Ого! На "Инфоуроке" олимпиады стали бесплатными    успеть подать заявку
Не тот материал, который искали? Воспользуйтесь поиском по нашей базе из 3116331 материала.
Искать
Краткое описание документа:

В школьном курсе математики знакомство с рекуррентными соотношениями происходит на примерах арифметической и геометрической прогрессий.

Рассмотрение рекуррентных соотношений другого вида (например, числа Фибоначчи) часто входят в программы факультативов, а их решения, как правило, получают методом математической индукции, что требует определенного навыка в построении правильного индуктивного предположения.

В настоящей заметке предложен подход к решению этих задач на основе построения арифметических последовательностей (формальные степенные ряды).

Этот подход широко применяется во многих разделах математики, а применительно к рекуррентным соотношениям позволяет заменить рекуррентное соотношение уравнением в формальных степенных рядах. В частности, рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами приводят к линейному уравнению в формальных степенных рядах, которое решается стандартным образом с учетом специфики арифметики формальных степенных рядов.

Общая информация

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Благодарность за вклад в методическое обеспечение учебного процесса по преподаваемой дисциплине

Опубликуйте 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Добавить материал
Сертификат о создании персонального учительского сайта

Опубликуйте 5 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить сертификат о создании сайта

Добавить материал
Грамота за высокий уровень сформированности информационно-коммуникационной компетентности

Опубликуйте 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Добавить материал
Свидетельство за транслирование результатов своей профессиональной деятельности

Опубликуйте 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Добавить материал
Грамота за личный вклад в повышение качества образования

Опубликуйте 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Добавить материал
Почётная грамота за высокий уровень профессионализма

Опубликуйте 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Добавить материал
Золотая грамота за современный подход к преподаванию и повышение качества педагогического труда

Опубликуйте 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную золотую грамоту

Добавить материал
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.