Инфоурок Математика КонспектыУрок «Арифметика последовательностей и рекуррентные соотношения»

Урок «Арифметика последовательностей и рекуррентные соотношения»

Скачать материал

Арифметика последовательностей и рекуррентные соотношения

 

В школьном курсе математики знакомство с рекуррентными соотношениями происходит на примерах арифметической и геометрической прогрессий. Рассмотрение рекуррентных соотношений другого вида (например, числа Фибоначчи) часто входят в программы факультативов, а их решения, как правило, получают методом математической индукции, что требует определенного навыка в построении правильного индуктивного предположения. В настоящей заметке предложен подход к решению этих задач на основе построения арифметических последовательностей (формальные степенные ряды). Этот подход широко применяется во многих разделах математики, а применительно к рекуррентным соотношениям позволяет заменить рекуррентное соотношение уравнением в формальных степенных рядах. В частности, рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами приводят к линейному уравнению в формальных степенных рядах, которое решается стандартным образом с учетом специфики арифметики формальных степенных рядов.

 

  1. Пусть  - последовательность элементов множества A (A = Z, Q, R, C). Будем записывать последовательность  в виде

,                                                      (1)

где t – формальная переменная. Такая форма записи последовательности называется формальным степенным рядом. Конечную последовательность будем рассматривать как бесконечную последовательность, в которой . Слагаемые вида часто будем опускать и записывать конечную последовательность  в виде . Множество формальных степенных рядов с коэффициентами из будем обозначать . Если , то коэффициент называется свободным членом формального степенного ряда  и будем обозначать .

 

  1. Введем на множестве формальных степенных рядов  операции сложения и умножения.

Если

, ,

то

,                                     (2)

,                                                         (3)

где

.                                                                            (4)

Непосредственно проверяется, что введенные операции обладают свойствами:

,                                                                                       (5)

,                                                                (6)

                                                               (7)

Если , то определим противоположный ряд  формулой

.                                                                                           (8)

Тогда

.                                                                                               (9)

 

 

 

 

 

Операция умножения в  обладает свойствами:

,                                                                                          (10)

,                                                                      (11)

                                                               (12)

                     .                                            (13)

 

  1. Определим для формального степенного ряда  производную формулой

                              (14)

Производная обладает свойствами:

,                                                                           (15)

.                                                                    (16)

Равенства (15), (16) непосредственно вытекают из определения (14).

Если  - произвольный формальный степенной ряд, а  - формальный степенной ряд без свободного члена, т.е. , то определена подстановка

.                                                                       (17)

 

  1. Рассмотрим вопрос об обратимости формального степенного ряда. Формальный степенной ряд называется обратным к формальному степенному ряду , если

.                                                               (18)

Если обратный формальный степенной ряд существует, то он единственен и обозначается

.

Примеры.

1)      Пусть . Тогда

(сумма бесконечной геометрической прогрессии).

2)       (сумма конечной геометрической прогрессии).

Следующая теорема  дает критерий обратимости формального степенного ряда.

 

Теорема. Формальный степенной ряд  обратим тогда и только тогда, когда свободный член  обратим в .

 

Если  обратим в  и , то . В частности, , т.е.  обратим в .

 

Пусть  и   обратим в . Тогда

,

где  - формальный степенной ряд без свободного члена. Воспользуемся формулой бесконечной геометрической прогрессии с подстановкой , т.е. определим

.

Непосредственная проверка приводит к равенству

, т.е.  ■

 

  1. В качестве приложения формальных степенных рядов рассмотрим рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами. Арифметика формальных степенных рядов позволяет в этом случае полностью решить вопрос вычисления таких последовательностей. В качестве примера рассмотрим числа Фибоначчи (см., например, [1]), т.е.,  последовательность , заданную условиями:

, ,  .                                         (19)

Пусть  - соответствующий формальный степенной ряд. Из рекуррентного соотношения (19) следует равенство

 

Учитывая начальные условия , , получаем,

, т.е.,  , .

Таким образом, задача сводится к вычислению

.

Следовательно, , где и  - корни уравнения , а и  находим из начальных условий. Вычисляя – получаем:

; .

В итоге,

,

Итак, решение рекуррентного соотношения (19) сводится к решению линейного уравнения в R.

Этот подход непосредственно распространяется на рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами:

,                                                                (20)

 - заданные числа (начальные условия).

 

Характеристическим уравнением рекуррентного соотношения  называется уравнение

                                                                         (21)

Следующая теорема служит обобщением приведенного примера.

 

Теорема. Если характеристическое уравнение (21) рекуррентного соотношения (20) имеет простые корни , то решения рекуррентного соотношения (20) имеют вид

 ,                                                                                  (22)

где - постоянные коэффициенты. (Коэффициенты  можно определить из начальных условий .)

 

Таким образом, если характеристическое уравнение имеет простые корни, то решение рекуррентного соотношения (22) – сумма геометрических прогрессий со знаменателями .

 

□ Пусть

 

 

Итак,  удовлетворяет линейному уравнению

,                                                              (23)

где  - многочлен степени . Отсюда

,

где  - корни характеристического уравнения, а - постоянные коэффициенты. Следовательно, .■

 

Если характеристическое уравнение рекуррентного соотношения (20) имеет корни  кратностей соответственно, то при решении линейного уравнения (23) нужно воспользоваться равенством

(при этом полагаем, что ).

 

Отсюда следует

 

Теорема. Если характеристическое уравнение (21) рекуррентного соотношения (20) имеет корни  кратностей соответственно, то решение рекуррентного соотношения (20) есть сумма геометрических прогрессий и их производных до порядка .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература.

 

  1. Башмаков М.И., Беккер Б.М., Гольховой В.М. Задачи по математике, Алгебра и анализ, «Наука», Библиотечка «Квант», вып. 22, 1982г.

 

 

Крапивин Александр Александрович,

преподаватель математики ГОУ Пушкинский лицей №1500, к.ф-м.н.

Тел. (495)994-5848, 8(916)550-7075.

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Урок «Арифметика последовательностей и рекуррентные соотношения»"

Настоящий материал опубликован пользователем Крапивин Александр Александрович. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

  • Скачать материал
    • 21.07.2013 1504
    • DOCX 244.5 кбайт
    • Оцените материал:
  • Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    • На сайте: 9 лет и 7 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 1061
    • Всего материалов: 1

Рабочий лист "Арифметика в картинках"

Файл будет скачан в форматах:

  • pdf
  • docx
660
8
20.10.2023
Разработок в маркетплейсе: 38 636
Покупателей: 172 901
Рабочий лист "Арифметика в картинках" создан для детей 3-5 лет. Он состоит из семи заданий, рефлексии и ответов к заданиям. Задания составлены в игровой форме, красочно оформлены. Они направлены на развитие внимания, памяти, мелкой моторики. Рабочий лист могут использовать в своей работе как воспитатели, так и родители для занятий с детьми дома. Материал представлен в 2-х форматах: в формате pdf, готовом для печати, и в формате docx, доступном для редактирования.

Краткое описание методической разработки

Рабочий лист "Арифметика в картинках" создан для детей 3-5 лет. Он состоит из семи заданий, рефлексии и ответов к заданиям. Задания составлены в игровой форме, красочно оформлены. Они направлены на развитие внимания, памяти, мелкой моторики. Рабочий лист могут использовать в своей работе как воспитатели, так и родители для занятий с детьми дома.

Материал представлен в 2-х форматах: в формате pdf, готовом для печати, и в формате docx, доступном для редактирования.

Развернуть описание
Смотреть ещё 5 403 курса

Методические разработки к Вашему уроку:

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Краткое описание документа:

В школьном курсе математики знакомство с рекуррентными соотношениями происходит на примерах арифметической и геометрической прогрессий.

Рассмотрение рекуррентных соотношений другого вида (например, числа Фибоначчи) часто входят в программы факультативов, а их решения, как правило, получают методом математической индукции, что требует определенного навыка в построении правильного индуктивного предположения.

В настоящей заметке предложен подход к решению этих задач на основе построения арифметических последовательностей (формальные степенные ряды).

Этот подход широко применяется во многих разделах математики, а применительно к рекуррентным соотношениям позволяет заменить рекуррентное соотношение уравнением в формальных степенных рядах. В частности, рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами приводят к линейному уравнению в формальных степенных рядах, которое решается стандартным образом с учетом специфики арифметики формальных степенных рядов.

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

7 005 946 материалов в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Оформите подписку «Инфоурок.Маркетплейс»

Вам будут доступны для скачивания все 171 594 материалы из нашего маркетплейса.

Мини-курс

Диверсификация финансовых рынков и институтов

3 ч.

699 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Управление контентом: разработка технических заданий, брифов и редакционных стандартов

4 ч.

699 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Мастерство PowerPoint: систематизация, интерактивность и эффективность

10 ч.

699 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 1816 человек из 83 регионов
  • Этот курс уже прошли 446 человек
Смотреть ещё 5 403 курса