Учитель математики высшей категории Абдрашитова Асия Анваровна ОСШ № 6               г. Шахтинска, Карагандинской обл.

  Урок алгебры

Тема: Арифметическая и геометрическая прогрессии

Цель: образовательная: 1) Обобщение и систематизация теоретического материала по данной теме . 2) отработка умений и навыков применения формул п-го члена прогрессий, суммы п первых членов, свойств членов прогрессий. 3) развивать умения и навыки применять формулы прогрессии при решении задач, в которых используются обе прогрессии

Развивающая: 1) Развитие навыков работы с дополнительной литературой, с историческим материалом. 2) развивать познавательную активность учащихся 3) учить их видеть связь между математикой и окружающей жизнью 4) прививать навыки самостоятельности 5) формировать интерес к изучению математики, расширить кругозор учащихся

Воспитательная: Воспитание эстетических качеств и умения общаться

I. Сообщение темы и цели урока:

Сегодня мы проводим заседание учёного совета.

На повестку дня выносится вопрос «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

Цель нашего заседания:

Глубоко рассмотреть работу сотрудников по данной теме, а именно обобщить информацию по прогрессиям, совершенствовать навыки нахождения п-го члена и суммы п первых членов данных прогрессий с помощью формул, развивать умения и навыки применять формулы прогрессий при решении задач, в которых используются обе прогрессии, рассмотреть значение изученного материала. Присвоить наиболее грамотным, творческим, активным сотрудникам степень « знаток арифметической и геометрической прогрессий»

На заседании совета присутствуют кафедры:

Кафедра «Истории математики»

Кафедра « Вычислительной и прикладной математики»

Кафедра «Исследования и анализа»

II Конкурс на соответствие

Как в любом научно- исследовательском заведении в начале проведём конкурс на соответствие, т.е. проверим уровень математической подготовки членов кафедр по данному вопросу.

Я задаю вопросы, вы должны будете поднять сигнальную карточку красного цвета, если ответ положительный или белую , если – отрицательный.

1)  сумма первого и второго членов геометрической прогрессии равна нулю, а произведение их равно 4. Можно ли задать такую геометрическую прогрессию? (нет)

2)  может ли сумма п первых членов арифметической прогрессии быть 0 ? (да)

3)  сумма первого и второго членов арифметической прогрессии равна 0, а частное их равно 1. Можно ли задать такую арифметическую прогрессию? (да)

4)  является ли последовательность (С_n) – арифметической прогрессией, если равенство С_п=  верно для любого n большего 0 (да)

5)  может ли сумма п первых членов геометрической прогрессии (q≠1) быть нулём ? (нет)

6)  является ли последовательность (С_п) геометрической прогрессией n больше 1), если верно равенство С²_n= Сn_-1*Сn₊₂ ? (да)

Итог итак мы проверили уровень подготовки членов кафедр по данной теме. Можно сделать вывод, что сотрудники в основном соответствуют предъявленным требованиям. Подготовились к заседанию хорошо.

III. Сообщения кафедр.

Итак можно переходить к следующему этапу заседания ученого совета. Прослушаем сообщения кафедр по изучаемому вопросу.

1.      первым заслушаем кафедру «Истории математики»

понятие числовой последовательности возникло и развивалось задолго до создания учения о функциях.

Сведения  связанные с прогрессиями впервые встречаются в дошедших до нас документах Древней Греции. Уже в 5 веке до н. э. греки знали следующие прогрессии и их суммы:

1)      1+2+3+…+n =  последовательность натуральных чисел.

2)      2+4+6+…+ 2n = n(n+1)

В 78 веке в английских и французских учебниках появились обозначения арифметической и геометрической  прогрессии.

Некоторые формулы , относящиеся к прогрессиям , были известны китайским и индийским ученым. Например, Ариабхатта (5 в. ) знал формулы для общего члена суммы арифметической прогрессии.

Слово «прогрессия» с латинского означает «движение вперед» (как и слово прогресс) встречается впервые у римского автора Боэция .

Из одной клинописной таблички можно заключить, что наблюдая Луну от новолуния до полнолуния вавилоняне пришли к такому выводу :

В первые 5  дней после новолуния рост освещения лунного диска совершается по закону геометрической прогрессии со знаменателем 2.

Впервые задачи на прогрессии возникли из наблюдения над явлениями природы и из исследования общественно-экономических явлений, к которым применим закон арифметической и геометрической прогрессий.

Первоначально под прогрессией понимали всякую числовую последовательность. В конце средних веков этот термин перестал быть общеупотребляемым.

В конце 17 века Грегори употребляет термин «ряд». Другой видный английский математик Джон Валлис применяет для бесконечных рядов термин «бесконечные прогрессии».

В настоящее время мы рассматриваем прогрессии как частные случаи числовых последовательностей.

Спасибо кафедре «истории математики» за интересное сообщение.

Слушаем кафедру «исследования и анализа».

2.      Выступление кафедры «исследования и анализа»:

 Почитав подряд определения арифметической и геометрической прогрессий, мы обратили внимание на то, что они похожи. Надо лишь заменить сложение умножением или наоборот. А зная формулу n-го члена арифметической прогрессии, можно получить формулу для n-го члена геометрической прогрессии, если заменить сложение умножением, а умножение возведем в степень:

а_{п  =} а₁+(n-1)d         в_п = в₁q^п—1

На связь между прогрессиями первым обратил внимание Архимед.

В 1544г вышла книга немецкого математика Штифеля «Общая арифметика», который составил такую таблицу:

нулю арифметической прогрессии соответствует 1 геометрической прогрессии. Это очень важный факт. Выясним связь между этими прогрессиями. Например, нужно умножить 128 над  ½. написано -1, над 128 написано 7, сложим эти числа -1+7=6

под числом 6 находится 64. это и есть искомое произведение.

Применяя тождества умножения и деления степеней аⁿ _*а^m =  а^n+m, аⁿ/а^m = а^n-m, то нижнюю строчку таблицы Штифеля можно переписать так:

2^-4, 2^-3, 2^-2, 2^-1, 2⁰, 2¹,2², 2³, 2⁴,2⁵, 2⁶, 2⁷.

Нетрудно сообразить: 2^-1*2⁷=2⁶

Делаем вывод:

Если показатели составляют арифметическую прогрессию, то сами степени составляю геометрическую прогрессию.

 Спасибо кафедре «исследования и анализа» за интересное сообщение.

3. слушаем кафедру «вычислительной и прикладной математики»:

Мы приготовили задания для устного решения .

1)      (С_п)- арифметическая прогрессия., с₁= 20, d=3 найти с₅-?

С₅ = с₁ + 4d = 20 + 4*3 = 32

2)      (х_п)- геометрическая прогрогрессия, х_{1= 32,} q=1/2 , найти х₅?

 Х₅ = х₁*q⁴ = 32*(1/2)⁴ = 32/16 = 2

3)      чему равна сумма первых трех членов арифметической прогрессии, если а₁=7, а₂=15 _. S₃-?  (45)

4)      в₁=5, q=1/3. S₂-?   (6)

5)      (в_п)- бесконечная убывающая геом. прогрессия  в₁=4, q=1/2. найти её сумму   (8)

6)      определить по какому закону написаны пары строк и продолжить их

а) 1,3,7,15,…(31)

б)2,5,10,17,…(26)

7) найти х

20=20+18+16+14+…+х   (-18)

Я: спасибо кафедре « вычислительной и прикладной математики» за приготовленные устные задания. Мы с удовольствием порешали.

IV.             ЗАСЕДАНИЕ ПРОДОЛЖАЕТСЯ.

Проверим, как наши научные работники знают теоретический материал, т. Е. формулы. Отработаем понимание математической речи на слух.

У вас есть перфокарты, в окошечках которой вы должны будете вносить номер формулы, которую я зачитываю с доски.

1)а_n = а₁+d*(n-1)

2) в_n = в₁* q^n-1

^{3) S}_п ==

4) S_n =     (q≠1)

5)S =  (/q/1)

6) а_п =  ½(а_n-1+ а_n+1)

7) в²_n = в_n-1* в_n+1

читаю названия этих формул :

1) свойство членов геометрической прогрессии                               (7)

2) сумма n- первых членов арифметической прогрессии                 (3)

3) сумма бесконечной геометрической прогрессии (/q/≤1)              (5)

4) свойство членов арифметической прогрессии                              (6)

5) n-й член арифметической прогрессии                                            (1)

6) сумма n-первых членов геометрической прогрессии                   (4)

7) n-й член геометрической прогрессии                                             (2)

Проверим самостоятельно свои работы. Проверим ответы: 7356142

Оценочная система: «0» - 5

                                    «1» - 4

                                    «2»--3

поднимите сигнальные карточки у кого оценка 5,4,3,2

Попрошу заведующих кафедрами собрать перфокарты.

Мы выяснили, что наши сотрудники кафедр хорошо знают формулы и понимают математическую речь на слух. В повседневном общении это очень важное качество уметь воспринимать информацию на слух и быстро принимать решения.

V.                Командировка

Научные сотрудники каждой кафедры ездили в творческие командировки, где должны были подобрать, подготовить задачи на изучаемую тему и составить сборник задач в соответствии с профилем кафедры. Заслушаем отчеты кафедр о проделанной работе.

1)      Первой отчитывается кафедра «Истории математики»

Они составили сборник задач, в который вошло----- задач, составленных многими поколениями математиков, Познакомим вас с наиболее интересными из них.

( вывешивают рисунок)

1)    Индийская легенда об изобретении шахмат (начало нашей эры)

Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сета попросил дать ему за 1клетку шахматной доски 1 зерно, за 2- 2, за 3-4, …. Обрадованный царь приказал выдать такую скромную награду. Смог ли царь наградить Сету как он просил?

В₁=1_,q=2.n=64.

1,2,2²,2³,…,2⁶³ – геометрическая прогрессия

S₆₄= 2⁶⁴-1=8 446 744 073 709 551 615

18 квинтильонов 446 квадрильонов 744 триллиона 73 ,биллиона709 миллионов 551 тысяча 615.

Такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000 раз больше поверхности земли, а размер амбара, в который можно засыпать это зерно должны быть: высота- 4 м, ширина -10м., длина 30 000 000 км, что в 62 раза больше расстояния от земли до солнца. А вес этого зерна составит 184 млрд.467млн.440 тыс.737 тонн 95 кг. 516 г. пшеницы. Такое количество зерна необходимо выращивать 92 года.

2)    Еще одна задача, которая была приведена в старинной арифметике Магницкого:

Некто продавал лошадь за 156 руб. Но покупатель раздумал приобретать лошадь, говоря: нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит. Тогда продавец предложил другие условия:

Если по твоему, цена лошади высока, то купи только ее подковные гвозди, лошадь же тогда получишь бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. за первый гвоздь дай мне всего ¼ копейки, за второй ½ коп., за третий-1 коп, и т. д Покупатель соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условие, рассчитывая что за гвозди придется уплатить не более 10 руб. на сколько покупатель проторговался?

Составим последовательность: ¼,1/2,1,2,2²,…,2²¹- геометр. Прогрессия

q=2, а₁=1/4, п=24   S=

Я: ребята, в нашей жизни также встречаются игроки, предлагающие  различные на первый взгляд заманчивые предложения игры. Но прежде, чем соблазниться подумайте, просчитайте, так ли уж выгодно предложение.

Спасибо кафедре «Истории математики» за интересные задачи. Сдайте свой сборник задач.

3)    Приглашаем кафедру «Прикладной и вычислительной математики».

Члены кафедры подобрали задачи устного решения с непосредственным применением формул и задачи практического содержания.

1.Банк дает своим вкладчикам 15 % годовых. Чему станет, равен вклад 1000 тенге через 2 года?

Решение:

(в_п) – геометрическая прогрессия

в₁= 1000,q = 1,15 т. к. банк выдает саму эту сумму и + 15% годовых, в₂= 1000*1,15²=1322,5 (т).

2.Волшебный квадрат (выяснить свойство)

3.Заполнить пропуски

      (26,14)

4.Найдите х:

20=20+18+16+14+…+х         (-18)

5.Подставьте следующее число

1,3,7,15,… (31)

2,5,10,17,…(26)

6. Решить устно следующие задачи  

1) ( а_п)- арифметическая прогрессия, а_{1 =} 4,d=3.а₃-?    (10)

2)(в_п) -геометрическая прогрессия, в₂=6, q =2, в₁-? (3)

3) (а_п) -арифметическая прогрессия а₁=7, а_{2 =} 15, S₃_?  (45)

4) (в_п) -геометрическая прогрессия  в₁=5, q= 1/3, S₂-?  (6)

5) (в_п) -бесконечная убывающая геометрическая прогрессия, в₁=4, q= ½. S_п-?  (8)

    4) Отчет о творческой командировке кафедры «Исследования и анализа».

Они разработали сборник задач, содержащий ----задач. Члены кафедры предлагают решить задачу, которая связывает арифметическую и геометрическую прогрессии в своем условии.

VI . Спасибо всем кафедрам за большую работу по созданию сборников задач по теме геометрической и арифметической прогрессии.

Стук в дверь!

Пришел курьер, принес телеграмму следующего содержания:

«Уважаемые коллеги, у меня пропал важный документ. Прошу помочь его найти. На месте пропажи остались следы.» профессор Прогрессио.

Итак, попрошу провести расследование заведующих кафедрами

Отдаю им следы с заданиями:

1)      найти среднее арифметическое пятого и седьмого членов арифметической прогрессии, если а₅= 33, а₇=35

а₆=

2)      найти среднее геометрическое, если в₁=1, в₃= 9,

в₂=

3)      а₁+а₂+а₃=3

а₂+а₃+а₅=11

найти d_, затем, разделив его значение на 2, найдете № стола.

а₁-а₅=-8

а₁- (а₁+4d) = -8

а₁-а₁-4d= -8

-4d=-8

d= 2

2/2=1 № стола

пока зав. Кафедрами расследуют дело о пропаже документа, выясним, как научные работники умеют быстро и четко находить верные ответы, решив следующие тесты.

VII итоговое тестирование

Вам необходимо решить задания и подчеркнуть верные ответы, № ответов записать на листочках, тесты сдать

       1 вариант

     1) (а_п) – арифметическая прогрессия,  а₁=10,d = -0.1  найти а₄.

Ответы: 1) 9,7   2) 99,  3) -97,  4) 10,3  5) -10,3

2)      (в_п) – геометрическая прогрессия,  в₁=4, q = 2, найти в₆_

ответы: 1) -0,125,  2) 0,125,  3) 1,25,  4) 12,5  5) 125

₃₎        12; 6,…- бесконечная геометрическая прогрессия. Найти её сумму S_п

ответы: 1) 6, 2)-12,  3) 24, 4) -24, 5) 12

4)      представить в виде обыкновенной дроби число 0,(11)

ответы: 1) 1, 2) -9, 3) -, 4) , 5) 9

5)      найти сумму ста первых членов последовательности (х_п) , если х_п=2п+1

ответы: 1) 20400,2) 1200, 3) 102, 4) 1020, 5) 10200

2 вариант

1) (в_п) геометрическая прогрессия, в₁=32,  q = -, найти в₅

ответы: 1) 2, 2) -2, 3) ½, 4) -1/2, 5) 32

3)      (в_п) –геометрическая прогрессия , в₁= 625, q= 1/5, найти S

ответы: 1) 190, 2) -190, 3) 10, 4) 1, 5) -10

4)      представить в виде обыкновенной дроби число 0,(21)

ответы: 1) 1/33, 2) 1/7, 3) -7/33, 4) 7/33, 5) 33/7

5)      -3;-6,… арифметическая прогрессия , найти а₂₅

ответы : 1) 69, 2) -69, 3) 75, 4) -72, 5) -75

3 вариант

1) представить в виде обыкновенной дроби число 0,(6)

ответы: 1) 2/3, 2) -2/3, 3) -1, 4) 1, 5) 0,6

2) (в_п) – геометрическая прогрессия , в₁= 1, q =3, найти S₄

ответы: 1)81, 2) 40, 3) 80, 4) -80, 5) -40

      3)(в_п) –геометрическая прогрессия, в₁= 32, q = , найти в₈

   ответы: 1) ½, 2) -1/4, 3) ¼, 4) -1/2, 5) 64

      4)(а_п) – арифметическая прогрессия , а₁₌ -10, d=2, найти S₅

  ответы: 1) -28, 2) -70, 3) 70, 4) -30, 5) 39

6)      3;7,…-арифметическая прогрессия найти а₁₀

ответы: 1) -36, 2) 36, 3) -33, 4) 33, 5) 39

VIII. Домашнее задание. Наши зав кафедрами провели расследование и выяснили, что важный документ находится в кабинете № 34, на 3 ряду, на столе №1. посмотрим, что же это за документ

Это задание на дом: повторить все формулы, решить упражнения 467(а), 478*(а), 445(а), 477(а), 480(г), 438(а)