Выбранный для просмотра документ Решение разными способами, т Виета.ppt
Скачать материал "Презентация «Решение квадратных уравнений разными способами. Теорема Виета» (8 класс)"
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Курс профессиональной переподготовки
Курс профессиональной переподготовки
1 слайд
квадратные уравнения
Урок №9. Решение квадратных уравнений известными способами. Теорема Виета.
Автор: Ильина Юлия Валерьевна
ГБОУ лицей №373
«Экономический лицей»
Санкт- Петербург
2 слайд
Какие виды квадратных уравнений мы на сегодня знаем и какими способами можно их решать?
Неполные – разложение на множители
Полные – общая формула или полный квадрат
Со вторым четным коэффициентом – спец. формула
Приведенные – спец. формула
3 слайд
Решаем уравнения и заносим результат в специальные клеточки.
4 слайд
запишем 1 в первую клетку каждой из строчек.
Найдите модуль произведения корней.
Полное, общая формула
5 слайд
Запишем 5 во вторую клетку
Найдите сумму корней уравнения
Приведенное, спец. формула
6 слайд
Запишем 4 в третью клетку
найти Больший по модулю корень
Полный квадрат, Один корень
7 слайд
Запишем 0 в четвертую и седьмую клетки
Найдите меньший по абсолютной величине корень.
Неполное, разложение на множители
8 слайд
Запишем 6 в шестую клетку.
Найдите сумму корней уравнения
Приведенное, спец. формула
9 слайд
Запишем 3 в последнюю клетку
Найти модуль разности корней уравнения
Неполное,
разность квадратов
10 слайд
Решаем уравнения и заносим результат в специальные клеточки.
1
1
дальше
11 слайд
Решаем уравнения и заносим результат в специальные клеточки.
1
5
1
дальше
12 слайд
Решаем уравнения и заносим результат в специальные клеточки.
1
5
4
1
дальше
13 слайд
Решаем уравнения и заносим результат в специальные клеточки.
1
5
4
1
0
0
дальше
14 слайд
Решаем уравнения и заносим результат в специальные клеточки.
1
5
4
1
6
0
0
дальше
15 слайд
Решаем уравнения и заносим результат в специальные клеточки.
1
5
4
1
6
0
0
3
Годы жизни великого математика Франсуа Виета
16 слайд
Франсуа Виет
Автор теоремы, носящей его имя, на основе которой построен один из способов решения приведенных квадратных уравнений.
17 слайд
Виет, Вьет (Vièete) Франсуа (1540, Фонтене-ле-Конт, – 13.12.1603, Париж), французский математик.
По профессии юрист. В 1591 ввёл буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнений; благодаря этому стало впервые возможным выражение свойств уравнений и их корней общими формулами. Ему принадлежит установление единообразного приёма решения уравнений второй, третьей и четвертой степеней. Среди открытий сам Виет особенно высоко ценил установление зависимости между корнями и коэффициентами уравнений. Для приближённого решения уравнений с численными коэффициентами Виет предложил метод, сходный с позднейшим методом Ньютона. Сочинения Виета написаны трудным языком и поэтому получили меньшее распространение, чем заслуживали.
18 слайд
Теорема Виета
19 слайд
Прямая теорема
Если приведенное квадратное уравнение
имеет неотрицательный дискриминант, то сумма корней уравнения равна второму коэффициенту (р) взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену (q) со своим знаком.
20 слайд
Доказательство:
Пусть - корни уравнения, т.е.
тогда
21 слайд
Обратная теорема
Если для чисел справедливы формулы
то и - корни уравнения
22 слайд
Доказательство
Если и таковы, что
Значит уравнениеможно представить в виде:
Пусть , тогда
т. е. - корень уравнения.
Для доказать самостоятельно.
23 слайд
Небольшой тест для закрепления формул Виета.
1.
2.
3.
4.
5.
6
14
- 2; - 3
- 6; 8
24 слайд
Домашнее задание
№ 328 – 332 (1 ст)
412class.ucoz.ru›stranici/viet.html
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Материалы урока.doc
Тема урока: «Решение квадратных уравнений различными способами. Теорема Виета»
Класс: 8
Методическая разработка урока
Цели:
Повторение, обобщение способов решения квадратных уравнений, изученных ранее.
Теоретический новый материал: теорема Виета и обратная ей, доказательство.
Демонстрация применения формул Виета, как простой способ решения приведенных уравнений.
Задачи:
Образовательные: обобщить прежние умения и навыки, познакомить с новыми приемами решения квадратных уравнений.
Развивающие: развивать логическое мышление, устную, аргументированную речь учащихся, развивать интерес к предмету через содержание учебного материала и способы его организации.
Воспитательные: воспитывать культуру общения, умение слышать и слушать, доказывать свою точку зрения.
Содержание учебного материала
1) Обобщение видов уравнений и способы их решения, (слайд 2).
2) Решение квадратных уравнений и занесение результатов в специальные клетки, (слайды 3-9).
3) Краткое знакомство с Франсуа Виетом, (слайд 16,17).
4) Прямая и обратная теоремы с доказательством, (слайды 19-22).
5) Применение формул Виета для решений уравнений, (меловая доска).
6) Тест, проверяющий уровень изученного материала, (слайд 23).
7) Подведение итогов, домашнее задание, (слайд 24).
Этапы урока
I этап. Обобщение опыта (деловая игра).
На слайде №2 вопрос: какие виды квадратных уравнений мы на сегодня знаем, и какими способами умеем их решать? (результаты ответов учащихся обобщены и оформлены на слайде)
Учитель: применим наши знания и умения. Решаем уравнения, определив вид и способ решения, результаты заносим в специальные клеточки в соответствии с требованиями, (слайд №3).
 |
 |
 |
 |
||||||||
 |
|||||||||||
 |
 |
 |
 |
||||||||
(Такие карточки лежат перед каждым учеником на столе. На этом этапе для решения каждого задания к планшету вызывается один из учащихся, остальные решают в своих тетрадях, сверяясь с результатами на доске. Для проверки, после того, как учащийся закончил решение, с правой стороны доски появляется краткое решение, подготовленное учителем. Сравнивается не только результат, но и оптимальный способ решения. «В награду» решавший задание ученик заносит, с помощью «мышки», выполненное требование в заданную клетку и переходит к следующему. Процесс повторяется до заполнения всех клеток.)
Задание 1. (слайд № 4)
Найдите модуль произведения корней.
2х2+3х-2=0
2х2+3х-2=0 – полное
D=25
х1= - 2 x2=
Запишем 1 в первую клетку каждой из строчек. (Производится данная операция)
(технически: все цифры, записанные в требованиях связаны с клетками гиперссылкой, чтобы занести число в заданную клетку надо навести курсор «мыши» на цифру и щелкнуть, появится слайд с клетками, еще одно нажатие на мышь ставит цифру на свое место, если клеток две, то два нажатия, далее щелкнуть по стрелочке в левом нижнем углу появится следующее задание.)
Задание 2. (слайд № 5)
Найдите сумму корней уравнения.
х2-5х+6=0
х2-5х+6=0 – приведенное
x1=3 x2=2
x1+x2=5
Запишите 5 во вторую клетку.
Задание 3. (слайд № 6)
Найти больший по модулю корень
х2-8х+16=0
х2-8х+16=0 – полный квадрат
(х-4)2=0
х=4
Один
корень 
Запишите 4 в третью клетку.
( При решении этого уравнения ученик должен выбрать один из способов решения: решать как приведенное по спец. формуле, как уравнение со вторым четным коэффициентом, используя формулу полного квадрата. Рациональнее решить выделив полный квадрат, но если ученик его не увидит, то результат решения, а именно, единственный корень, должен указать этот способ решения. При проверке показан именно этот способ. При этом учитель должен заострить внимание учащихся на том, что данное уравнение можно решить различными способами.)
Задание 4. (слайд № 7)
Найдите меньший по абсолютной величине корень.
х2-7х=0
х2-7х=0 – неполное
х(х-7)=0
х1=0 х-7=0
х2=7
Запишите 0 в четвертую и седьмую клетки.
Задание 5. (слайд № 8)
Найдите сумму корней уравнения.
х2-6х+7=0
х2-6х+7=0 – приведенное
x1,2=3
x1+x2=(3+
)+(3-)=6
Запишите 6 в шестую клетку.
Задание 6. (слайд № 9)
Найдите модуль разности корней уравнения.
4х2-9=0
4х2-9=0 – неполное
х1=
х2=
Запишите 3 в последнюю клетку.
( Во время нахождения модуля разности может, если модулями занимались мало, возникнуть вопрос, какой из корней должен стоять на месте уменьшаемого? Стоит рассмотреть оба варианта и убедится, что это не имеет значения.)
(На этом этапе учащиеся работают самостоятельно, проверяя себя, внимательно читая задания и выполняя требования. Учитель только контролирует процесс, вызывает к доске учеников. (Желающих ответить не мало.) В результате повторены все известные на этот момент способы решения квадратных уравнений, их виды, такие понятия как абсолютная величина (модуль), рациональные и иррациональные числа, формулы сокращенного умножения.)
II этап. Краткое знакомство с великим ученым.
Итак: все клетки заполнены, но что означает эта запись? (слайд № 15)
 |
 |
 |
 |
||||||||
 |
|||||||||||
 |
 |
|
 |
||||||||
Годы жизни великого французского математика Франсуа Виета.
Краткое знакомство. (слайды №16,17)
Виет, Вьет (Vièete) Франсуа (1540, Фонтене-ле-Конт, – 13.12.1603, Париж), французский математик. По профессии юрист. В 1591 ввёл буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнений; благодаря этому стало впервые возможным выражение свойств уравнений и их корней общими формулами. Ему принадлежит установление единообразного приёма решения уравнений второй, третьей и четвертой степеней. Среди открытий сам Виет особенно высоко ценил установление зависимости между корнями и коэффициентами уравнений. Для приближённого решения уравнений с численными коэффициентами Виет предложил метод, сходный с позднейшим методом Ньютона. Сочинения Виета написаны трудным языком и поэтому получили меньшее распространение, чем заслуживали.
(Чтобы подробнее познакомиться с великим ученым, учитель предлагает сделать к следующему уроку двоим ученикам небольшие сообщения ( если презентации, то 3-4 слайда) о его биографии и научной деятельности, особенно теорема носящая имя Виета в том виде, в котором записывал ее сам автор. В помощь, в конце урока, будет дан адрес сайта с необходимой информацией.)
III этап. Учителем формулируется и доказывается прямая теорема (слайды №19,20),
Прямая теорема
Если приведенное квадратное уравнение х2+px+q=0 имеет неотрицательный дискриминант, то сумма корней уравнения равна второму коэффициенту (p) с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену со своим знаком
x1+x2= - p
x1
x2=q.
Доказательство:
Пусть D
, х1,х2
– корни уравнения, т. е.
х1=
, x2=
, тогда
х1+х2=
= - p
х1x2=
=
)2 =
= q ч.т.д.
обратную теорему под руководством учителя формулируют сами учащиеся, доказывает теорему учитель (слайды №21,22). Учащиеся ведут конспект.
Обратная теорема
Если для чисел х1,х2,p,q справедливы формулы
x1+x2= - p
x1x2=q.
То х1и х2 – корни уравнения х2+px+q=0.
Доказательство:
Если х1 и
х2 таковы, что x1+x2=
- p x1x2=q,
значит уравнение х2+px+q=0 можно представить в виде
х2-(x1+x2)х+
x1x2=0.
Пусть х=х1, тогда
х12-(x1+x2)х1+
x1x2=
х12-х12-х1·х2+х1·х2=0
т. е. х1 – корень уравнения.
Для х2 доказать самостоятельно дома.
IV этап. Демонстрация применения формул Виета для решения уравнений.
Учитель на примере подробно демонстрирует преимущества решения уравнения с помощью формул Виета. (запись решения ведется на меловой доске)
х2+10х+9=0
x1+x2= - 10
x1x2=
9
Подбираем корни,
заметив, что произведение положительно, следовательно, корни одного знака, но
сумма корней отрицательна, значит, корни имеют знак «минус». Произведение каких
множителей равно 9, например: -3 и -3, но -3+(-3)
-10, еще - 9 и -1.
Проверим:
-9+(-1)= -10. Это и есть корни нашего уравнения.
Учащиеся отмечают, что этот способ прост и существенно облегчает процесс решения.
V этап. Тест, направленный на проверку изученного материала, (слайд 23).
|
Вопрос |
Ответ |
|
Чему равна сумма корней уравнения х2-6х+8=0 |
6 |
|
Чему равно произведение корней уравнения х2+9х+14=0 |
14 |
|
Найдите пары чисел, удовлетворяющие условиям m+n= -5 и mn=6 |
-2; -3 |
|
Найдите пары чисел, удовлетворяющие условиям m+n= 2 и mn= -48 |
-6; 8 |
|
Составьте приведенное квадратное уравнение, имеющее корни 8 и - 2 |
х2-6х-16=0 |
VI этап. Учитель, с помощью учащихся, подводит итоги урока, (повторили пройденное, узнали о великом математике и новом способе решения приведенных уравнений, сообщает, что на следующем уроке, будем применять изученные теоремы для решения уравнений) задает домашнее задание, направленное на запоминание формул.
(№328 -332 (1 ст)) (слайд 24)
412class.ucoz.ru›stranici/viet.html
Методическое обеспечение урока
1.Образовательные технологии, методы и приемы, их место в уроке.
Технологии: игровая, здоровье сберегающая (комфортная обстановка), личностно-ориентированная, информационная.
2. Дидактические материалы и средства обучения.
Раздаточный материал (карточки)
Планшет
3. Оформление.
Презентация (24 слайда)
4. Рекомендации по подготовке и проведению урока.
Оборудование: компьютер, планшет или интерактивная доска, проектор, меловая доска, раздаточный материал (карточки), ученические тетради.
Для проведения урока не требуется никаких дополнительных действий. Урок полностью готов.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Урок по алгебре для 8 класса (лучше спаренный) состоит из двух частей: повторение, обобщение способов решения квадратных уравнений, изученных ранее- проходит в виде деловой игры; теоретический новый материал: теорема Виета и обратная ей, доказательство, демонстрация применения формул Виета, как простой способ решения приведенных уравнений. Готовая презентация, существенно облегчит учителю подготовку к уроку, прилагается конспект урока. Детям понравилось, потом несли мне свои презентации о теореме и авторе.
6 969 841 материал в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Ильина Юлия Валерьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Вам будут доступны для скачивания все 156 247 материалов из нашего маркетплейса.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
3 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.