Найдено 14 материалов по теме
Предпросмотр материала:
Панорамный урок по алгебре в 8 классе
Учитель: Истляуп А.А., учитель математики школы-гимназии №17 г.Актобе
Тема урока: Решение алгебраических уравнений степени выше второй. Схема Горнера. Теорема Безу.
Цель урока:
Образовательная: ознакомить учащихся с приемами и методами решения уравнений высших степеней, схемой Горнера, теоремой Безу.
Развивающая: уметь решать уравнения высших степеней, уметь делить многочлен на двучлен, используя схему Горнера, теорему Безу.
Воспитательная: воспитать у учащихся интерес к предмету.
Ход урока:
1. Организационный момент.
2. Актуализация знаний.
3. Введение знаний.
4. Воспроизведение знаний.
5. Итог урока.
Одним из способов решения уравнений высших степеней является способ разложения на множители многочлена, стоящего в левой части уравнения. Этот способ основан на следующем применении теоремы Безу.
- многочлен n-ой
степени
- старший коэффициент,
- свободный член.
Если
, то получим уравнение n-ой степени, короче
.
Если известен хотя
бы один корень
алгебраического уравнения, то
нахождение остальных корней этого уравнения сводится к решению уравнения,
имеющего на единицу меньшую степень, чем исходное уравнение.
При решении
алгебраических уравнений
можно использовать метод понижения
степени уравнения, основанный на теореме Безу и делении многочлена
на одночлен
, где
- корень уравнения
.
Определение.
Значение
, при котором многочлен
обращается в нуль называется корнем этого
многочлена.
Если алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами имеет целее корни, то каждый из этих корней является делителем свободного члена.
Решить
уравнение ![]()
1 способ: ![]()
Группируем 
или ![]()
2 способ: выпишем делители свободного члена ![]()
А) найдем хотя бы один корень данного уравнения, нетрудно догадаться,
что корнем этого уравнения является
.
По следствию теорем
Безу, если
- корень многочлена
, то этот многочлен делится на двучлен
, т.е. на
, т.е.
снизили степень данного уравнения на единицу.
Б) Для этого по
схеме Горнера разделили этот многочлен на двучлен
.
|
|
1 |
0 |
-7 |
-6 |
|
-1 |
1 |
-1 |
-6 |
0 |
тогда получим
уравнение
, корни которого
,
,
.
Ответ: -2; -1; 3
Решить
уравнение ![]()
А) находим делитель
свободного члена:
.
Б) найдем хотя бы
один корень данного уравнения. Очевидно, что при
значение
многочлена равно 0.
. Следовательно,
является корнем уравнения третьей
степени.
В) применяя теорему
Безу, снизим степень уравнения на единицу, деля данный многочлен на двучлен
, где
, т.е.
имеем
.
Г) деление произведем по схеме Горнера:
|
|
1 |
-2 |
-5 |
6 |
|
1 |
1 |
-1 |
-6 |
0 |
Получим уравнение: ![]()
Д) приравнивая каждый многочлен к нулю: (произведение равно нулю, если один из множителей равен 0)
или ![]()
Ответ: -2; 1; 3
Решить уравнение ![]()
А) находим делитель
свободного члена:
.
Б) найдем хотя бы
один корень данного уравнения. Для этого находим значение многочлена
в этих точках.
.
![]()
![]()
![]()
Следовательно,
данное уравнение имеет один корень
, а числа
не являются корнями.
В) если известен
хотя бы один корень
алгебраического уравнения, то
нахождение остальных корней сводится к решению уравнения, имеющего на единицу
меньшую степень, чем исходное уравнение, т.е.снизим степень уравнения на
единицу, т.е.
.
Г) найдем
коэффициенты уравнения
, произведя деление данного
многочлена
на двучлен
по
схеме Горнера:
|
|
1 |
2 |
-2 |
-6 |
5 |
|
1 |
1 |
3 |
1 |
5 |
0 |
Получим уравнение: ![]()
Д) снизим степень
уравнения
на единицу.
1) найдем делители
свободного члена
;
2) числа
не являются корнями исходного уравнения;
3) произведем
деление многочлена
на двучлен
по схеме Горнера:
|
|
1 |
3 |
1 |
-5 |
|
1 |
1 |
4 |
5 |
0 |
4) получим уравнение
![]()
или
уравнение
корней не имеет
Ответ: 1
Итог: Вопросы:
1) При решении уравнений третьей степени какой способ решения уравнений вам проще применять?
Ответ: второй, а именно теорему Безу и схему Горнера
2) Как будете решать уравнение степени выше третьей?
Ответ: находим среди делителей свободного члена хотя бы один корень, а затем по теореме Безу будем понижать степень уравнения, раскладывая многочлен на множители до тех пор пока не получим уравнение, которое мы можем решать.
Профессия: Учитель математики в начальной школе
Профессия: Учитель математики
В каталоге 6 510 курсов по разным направлениям