Решение алгебраических уравнений степени выше второй.

Найдено 14 материалов по теме

Панорамный урок по алгебре в 8 классе на тему «Решение алгебраических уравнений степени выше второй»

    DOCX

Предпросмотр материала:

Панорамный урок по алгебре в 8 классе

 

Учитель: Истляуп А.А., учитель математики школы-гимназии №17 г.Актобе

 

Тема урока: Решение алгебраических уравнений степени выше второй.  Схема Горнера. Теорема Безу.

 

Цель урока:

Образовательная: ознакомить учащихся с приемами и методами решения уравнений высших степеней, схемой Горнера, теоремой Безу.

 

Развивающая: уметь решать уравнения высших степеней, уметь делить многочлен на двучлен, используя схему Горнера, теорему Безу.

 

Воспитательная: воспитать у учащихся интерес к предмету.

 

Ход урока:

1.                      Организационный момент.

2.                      Актуализация знаний.

3.                      Введение знаний.

4.                      Воспроизведение знаний.

5.                      Итог урока.

 

Одним из способов решения уравнений высших степеней является способ разложения на множители многочлена, стоящего в левой части уравнения. Этот способ основан на следующем применении теоремы Безу.

 

 - многочлен n-ой степени  - старший коэффициент, - свободный член.

Если , то получим уравнение n-ой степени, короче .

Если известен хотя бы один корень алгебраического уравнения, то нахождение остальных корней этого уравнения сводится к решению уравнения, имеющего на единицу меньшую степень, чем исходное уравнение.

При решении алгебраических уравнений   можно использовать метод понижения степени уравнения, основанный на теореме Безу и делении многочлена на одночлен , где - корень уравнения .

Определение. Значение , при котором многочлен обращается в нуль называется корнем этого многочлена.

Если алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами имеет целее корни, то каждый из этих корней является делителем свободного члена.

Решить уравнение

1 способ:

Группируем

или

2 способ: выпишем делители свободного члена

А) найдем хотя бы один корень данного уравнения, нетрудно догадаться, что корнем этого уравнения является .

По следствию теорем Безу, если - корень многочлена , то этот многочлен делится на двучлен , т.е. на , т.е. снизили степень данного уравнения на единицу.

Б) Для этого по схеме Горнера разделили этот многочлен на двучлен .

       

 

1

0

-7

-6

-1

1

-1

-6

0

 

тогда получим уравнение , корни которого , , .

Ответ: -2; -1; 3

 

Решить уравнение

А) находим делитель свободного члена: .

Б) найдем хотя бы один корень данного уравнения. Очевидно, что при  значение многочлена равно 0. . Следовательно,  является корнем уравнения третьей степени.

В) применяя теорему Безу, снизим степень уравнения на единицу, деля данный многочлен на двучлен , где , т.е. имеем .

Г) деление произведем по схеме Горнера:

 

 

1

-2

-5

6

1

1

-1

-6

0

 

Получим уравнение:

Д) приравнивая каждый многочлен к нулю: (произведение равно нулю, если один из множителей равен 0)

или

Ответ: -2; 1; 3

 

Решить уравнение

А) находим делитель свободного члена: .

Б) найдем хотя бы один корень данного уравнения. Для этого находим значение многочлена  в этих точках.

.

Следовательно, данное уравнение имеет один корень , а числа  не являются корнями.

В) если известен хотя бы один корень  алгебраического уравнения, то нахождение остальных корней сводится к решению уравнения, имеющего на единицу меньшую степень, чем исходное уравнение, т.е.снизим степень уравнения на единицу, т.е..

Г) найдем коэффициенты уравнения , произведя деление данного многочлена  на двучлен  по схеме Горнера:

 

 

1

2

-2

-6

5

1

1

3

1

5

0

 

Получим уравнение:

Д) снизим степень уравнения на единицу.

1) найдем делители свободного члена ;

2) числа  не являются корнями исходного уравнения;

3) произведем деление многочлена  на двучлен  по схеме Горнера:

 

 

1

3

1

-5

1

1

4

5

0

 

4) получим уравнение

или уравнение корней не имеет

 

Ответ: 1

 

Итог: Вопросы:

1) При решении уравнений третьей степени какой способ решения уравнений вам проще применять?

Ответ: второй, а именно теорему Безу и схему Горнера

2) Как будете решать уравнение степени выше третьей?

Ответ: находим среди делителей свободного члена хотя бы один корень, а затем по теореме Безу будем понижать степень уравнения, раскладывая многочлен на множители до тех пор пока не получим уравнение, которое мы можем решать.

 

Краткое описание материала

Урок разработан для 8 классов с математическим уклоном обучения. Полезен для учителей математики, внедряющих на уроках неординарные схемы решения уранвений и неравенств. Тема урока: Решение алгебраических уравнений степени выше второй. Схема Горнера. Теорема Безу. Цель урока: Образовательная: ознакомить учащихся с приемами и методами решения уравнений высших степеней, схемой Горнера, теоремой Безу. Развивающая: уметь решать уравнения высших степеней, уметь делить многочлен на двучлен, используя схему Горнера, теорему Безу. Воспитательная: воспитать у учащихся интерес к предмету. ВЫДЕРЖКА ИЗ ТЕКСТА «Итог: Вопросы: 1) При решении уравнений третьей степени какой способ решения уравнений вам проще применять? Ответ: второй, а именно теорему Безу и схему Горнера 2) Как будете решать уравнение степени выше третьей? Ответ: находим среди делителей свободного члена хотя бы один корень, а затем по теореме Безу будем понижать степень уравнения, раскладывая многочлен на множители до тех пор пока не получим уравнение, которое мы можем решать.»

Панорамный урок по алгебре в 8 классе на тему «Решение алгебраических уравнений степени выше второй»

5

(1 оценка)

Файл будет скачан в формате:

    DOCX

Автор материала

Аленова Айжан Илимисовна

учитель начальных классов

  • На сайте: 10 лет и 4 месяца
  • Всего просмотров: 215740
  • Подписчики: 0
  • Всего материалов: 72
  • 215740
    просмотров
  • 72
    материалов
  • 0
    подписчиков

Об авторе

Категория/учёная степень: Высшая категория

Место работы: КГУ "СОШ-гимназия № 17"

Макарова Елена Геннадьевна работает в школе-гимназии №17 с 1999 года. Общий педагогический стаж составляет 20 лет. Образование высшее. В 1994 году закончила Актюбинский педагогический институт им. К. Жубанова по специальности «учитель физики и информатики». С 2010 по 2012 гг. являлась модераторм областного эксперимента «PR-технологии в образовательном процессе: инновационный аспект». С 2012 г. является руководителем регионального эксперимента «Критериальная система оценивания- как модель достижения качества образлования». В течение ряда лет педагог выступала с освещением опыта своей работы на конференциях и семинарах различного уровня: международная научно-практическая интернет- конференция «Современные проблемы естественно-математического образования» (2009 г.), республиканский научно-практический семинар «Актуальные вопросы повышения качества преподавания математики и физики в современной школе» (2010 г.), областная научно-практическая конференция- семинар «Образовательный процесс XXI века: сущность, состояние и перспективы» (2010 г.), международная научно-практическая конференция «Актуальные проблемы использования информационных технологий в учебном процессе» (2011 г.), областная научно-практическая конференция «Қазіргі кезенде жастарға заманауи білім мен тәрбие берудің көкейкесті мәселелері» (2011 г.), областной калейдоскоп педагогических идей «Внедрение PR- технологии в образовательный процесс: проблемы и перспективы» (2012 г.), областная научно-практическая конференция «Естественнонаучное образование: проблемы и перспективы», городская августовская конференция работников образования «Модернизация системы образования- главный вектор качественного роста человеческого капитала» международная научно-практическая интернет-конференция «Современные проблемы естественно-математического образования» (2012 г.), областная научно- практическая конференция «Организация творческой и исследовательской работы педагога- один из факторов повышения качества образования» (2012 г.). республиканская научно-практическая конференция «Повышение качества физико-математического образования: инновационные и экспериментальные проекты» (2013 г.). Выступления вошли в сборники материалов конференций. Педагог принимала участие в региональном совещании педагогической общественности по вопросам качества учебников и УМК (2011 г.), в региональном семинаре по вопросам внедрения нового государственного стандарта образования (2012 г.), на расширенном заседании Коллегии Министерства образования и науки РК (2013 г.) С 2009 г. является постоянным экспертом и разработчиком тестовых заданий по физике Национального Центра тестирования. Постоянный творческий поиск характерен и для ее работы в области моделирования нового содержания преподавания физики, и для ее деятельности по созданию технологий обучения данному предмету. Ежегодно Елена Геннадьевна проводит авторские семинары по физике для слушателей ОблИПК и ПК. В 2011 году ею был проведен областной семинар тренинг учителей физики «Развитие компетентности педагога в организации эвристической и проектно-исследовательской деятельности обучающихся». Елена Геннадьевна принимает участие в работе семинаров и в качестве учителя физики и в качестве заместителя директора по методической работе. Ею был показан урок «Исследование зависимости скорости диффузии молекул газа от диаметра соединительной трубки» в рамках Республиканского научно-практического семинара «Актуальные вопросы повышения качества преподавания математики и физики в современной школе» (2010 г.). Макаровой Е.Г. был организован и проведен городской семинар для заместителей директоров школ «Применение инновационных технологий как средства формирования ключевых компетенций учащихся» (2010 г.), городская научно-практическая конференция «Управление качеством образования на основе внедрения инновационных и экспериментальных проектов в учебно-воспитательный процесс современной школы» (2012 г), городская научно-практическая конференция «Современные подходы к развитию функциональной грамотности школьников как ключевой ориентир для повышения качества физико-математического образования» (2013 г.) Педагогом разработаны и внедрены в практику авторские учебные программы «Методы решения физических задач», «Школа будущего абитуриента». На республиканском и областном конкурсах авторских программ эти программы были отмечены дипломами и сертификатами. Большой вклад педагогом внесено в разработку учебно-методического обеспечения учебного процесса. Педагогом в соавторстве разработано и выпущены методические пособия «Технология формирования познавательных интересов школьников» (2011 г.), «Применение инновационных технологий как средства формирования ключевых компетенций учащихся» (2010 г.), «Внедрение инновационных технологий в современной школе как фактор развития творческих способностей педагогов и школьников» (2011 г.). Елена Геннадьевна является автором учебно-методических пособий: «Решебник задач по физике» (к учебнику естественно- математического направления «Физика-10 класс») (2011 г.), «Решебник. Готовимся к ЕНТ» (2012 г.), «Организация инновационной формы познавательного интереса учащихся через внедрение PR- технологий в образовательный процесс» (2012 г.), методических рекомендаций к проведению занятий спецкурса «Методы решения физических задач» (2012 г.), «Технологические карты по физике для 7-11 классов» (2013 г.). Опыт учителя освещался на страницах республиканского научно-методического журнала «Физика в казахстанской школе», республиканского информационно-методического журнала «Открытая школа», республиканского научно-методического журнала «Администратор» российского научно- методического журнала «Педагогические измерения», областного научно-методического журнала «Өрлеу». Одним из направлений распространения опыта Макаровой Е.Г. являются электронные публикации на педагогических сайтах, форумах, электронных сообществах: электронный педагогический журнал «Большая перемена», дистанционный образовательный портал «Продленка», социальная сеть работников образования nsportal.ru, Казахстанский интернет-журнал «Коллеги», социальная сеть педагогов InfoUrok.ru, социальный портал «На урок», методический портал «К уроку.ru». В 2010 г. разработка урока-конференции «Проблемы разрушения озонового слоя в атмосфере» отмечена сертификатом Макарова Е.Г. является участником и призером различных педагогических конкурсов: Международный конкурс проектов по энергоэффективности «Энергия и среда обитания» (2010 г.)- сертификат; Областной интернет- марафон «Слагаемые профессионального успеха: сотворчество учителя и ученика» в номинации «Лучший инновационный проект» (2010 г.)- 1 место; Областной конкурс- проектов «Школа Казахстана- 2020» в номинации «Интерактивная презентация» (2012 г.)- 2 место; Областной конкурс «Активные методы обучения, деятельностный и компетентностный подход в образовательном процессе» педагог заняла (2012 г.)- 1 место. Областная педагогическая олимпиада (2012 г.)- 1 место; VII Республиканский фестиваль инновационно-педагогических идей (2012 г.)- грамота; Областной конкурс цифровых образовательных ресурсов «IT- урок» (2012 г.)- 2 место. Учитель является обладателем гранта областного педагогического марафона «Лучший учитель» (2009, 2010, 2011 гг.). Елена Геннадьевна является дипломантом Фестиваля педагогических идей «Открытый урок», открытого интернет-конкурса «Педагогическое мастерство», призером III Российско-Международного конкурса творческих инновационных идей в области работы с одаренными детьми. Одним из направлений деятельности Елены Геннадьевны является организация научно-исследовательской деятельности школьников. На протяжении многих лет ее ученики- постоянные участники и призеры областных и республиканских научно-практических конференций, городских, областных олимпиад по физике, международных олимпиад и слетов по астрономии. Ученики Акимов Ф. и Аманжолов М. заняли 3 место в IV Российско-Международном астрономическом турнире (2009 г.), 3 место в XLII Олимпиаде ННЦ по астрономии и физике космоса (2009 г.), являются дипломантами XII Астрономической олимпиады ННЦ стран СНГ (2009 г.), призерами II Республиканского слета юных астрономов и космонавтов (2010 г.). Мухамбедьяров Б. И Сагиев Е. являются дипломантами XLIV Олимпиады ННЦ по астрономии и физике космоса (2010 г.), V Российско-Международного астрономического турнира школьников (2010 г.), призерами I Республиканского астрономического турнира школьников (2010 г.) В 2011 учебном году Мухамбедьяров Б. занял 2 и 3 место в III Республиканском слете юных астрономов и космонавтов, 2 место в I Республиканском астрономическом турнире, 1 место и грамоту в номинации «Оригинальный экспонат» в VII Международной научно-практической конференции «Открываем мир науки», 2 место в городской олимпиаде по физике, 2 место в областной научно-практической конференции «Дарын». Сагиев Е. занял 2 место в I Республиканском астрономическом турнире, 3 место в областной научно-практической конференции «Дарын», являлся участником VII Международной научно-практической конференции «Открываем мир науки». Носова А. заняла 2 место на областной и республиканской научно-практической конференции МАН (2011 г.). Копабаев А. занял 1 место в областной научно-практической конференции «Дарын», 1 место в областной научно-практической конференции МАН (2011 г.), 2 место в республиканской научно-практической конференции МАН (2011 г.), 1 место в Международной научно-практической конференции «Жас ғалым-2011», 2 место в областной и республиканской научно-практической конференции МАН (2012 г.), 3 место в областной научно-практической конференции «Дарын» (2012 г.), 2 место в международном турнире «Компьютерная физика» (2013 г.), 1 место в Казахстанской интернет-олимпиаде по физике (2012 г.). Буханов А. занял 1 место в городской олимпиаде по физике (2009, 2011 г.), 1 место в областной олимпиаде (2009 г.), 2 место в областной олимпиаде (2010 г.), 1 место в областной этапе II Президентской олимпиаде по физике (2010 г.). Кабдрахманов Н. занял 1 место в областном конкурсе «Лучший научный проект» (2012 г.).1 место в Казахстанской интернет-олимпиаде по физике (2012 г.). Стрелков Д. занял 2 место в областном конкурсе научно-исследовательских проектов «Физика және астрономия әліменде» (2012 г.). Тлегенова У. заняла 1 место в городском, 1 место в областном, 2 место в республиканском конкурсе творческих и исследовательских проектов «Зерде» (2013 г.), 3 место в международной олимпиаде по физике «Физтех- 2013». Учащиеся Лагизова Т. и Лукавенко Т. заняли 2 место в областной научно-практической конференции МАН (2013 г.). Опыт работы Макаровой Е.Г. по организации научно-исследовательской деятельности школьников обобщен не только на областном, но и на республиканском уровне.

Подробнее об авторе
Подробнее об авторе

Настоящий материал опубликован пользователем Аленова Айжан Илимисовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт.

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы: