Задачи с параметрами.

1)Найдите наименьшее целое значение а, при котором функция  f(х) =  +  - 9ах      убывает на всей числовой прямой. 

2)Найдите наибольшее целое к, при котором функция

f(х) = х³ – кх² + 4кх + 5 не имеет экстремумов.  

3) При каких значениях параметра а наименьшее на отрезке  значение функции  равно 3?

4) При каком натуральном значении параметра a уравнение

х³+ 3х² - 9х – а = 0 имеет ровно два корня?

5)   При каком наименьшем натуральном а функция  возрастает на всей числовой прямой?

 1.

№ 1. Вычислите производную функции y = 9x² -cosx .

1) y ^' =18x -sin x ;                  2) y ^' = 3x ² -sin x ;        3) y ^' =18x +sin x ;                 4) y ^' = 3x ² +sin x .

№ 2. Найдите производную функции e^x +3cos x .

1) y¢ = xe^x-1 - 3sin x                                   2) y¢ = e^x - 3sin x

3) y¢ = e^x + 3sin x                                      4) y¢ = xe^x-1 + 3sin x

№ 3. Найдите производную функции у= sin(4x- 7) .

1)      y' ^{= 1}cos(4x- 7)

2)      y' = cos4x

3)      y' = 4cos (4x - 7)

4)      y' = 4cos (x - 7)

№ 4. Найдите значение производной функции y = x ^{2 ×}(3x ⁵ - 2) в точке x₀ = -1.

                 1) -6                     2)  5                     3) 17                     4)  25

№5.  Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции

p

у= 7х-5sin x в точкесабсциссой х₀ = .

2

                        7p²                                                  2)   2;                        3)  3,5p-5;                4)    7.

         1)           ;

8

№ 6. Точка движется по координатной прямой согласно закону x(t) =t² +5t -7, где x(t) – координата точки в момент времени t . Найдите её

скорость при t =3.

№ 7. Точка движется по координатной прямой согласно закону x(t) = t² +t +2 , где x(t)- координата точки в момент времени t (время измеряется в секундах, расстояние – в метрах). В какой момент времени скорость точки будет равна 5 м/с?

№ 8. На рисунке изображён график функции у = f (х) и касательная к нему в точке с абсциссой

x . Найдите значение производной в точке x . 0 0 1)  6;      2)    2 3)   3  4)   - 2

№ 9. К графику функции y = f (x) в его точке с абсциссой

x₀ =6 проведена касательная. Определите угловой коэффициент касательной, если на рисунке изображен график производной данной функции.

№ 10. Найдите сумму координат точки пересечения касательной, проведенной к графику функции f (x) = 6x - x² -11  в его точке с абсциссой x₀ = -2 , с осью абсцисс.

№ 11.         Непрерывная функция y= _{f (x)}      задана         на    отрезке [a;b]. На рисунке изображен график      ее    производной y = f ¢(x). В ответе укажите количество    точек экстремума этой функции.

№ 12. Непрерывная функция ^{y= f (x)} задана на отрезке [a;b].

На         рисунке      изображен график         ее    производной ^{y = f ¢(x)}. В ответе укажите количество точек минимума этой функции.

№ 13. На рисунке изображен график производной функции y = f ^' (x), заданной на отрезке [-6;5]. Исследуйте функцию y = f (x),  на монотонность и укажите число промежутков убывания.

№14.          Найдите сумму наименьшего и наибольшего значений функции

f (x) = 2x³ -9x² +12x на отрезке         [0;2].

 2.

№ 1.  Вычислите производную функции y= x³ + sin x . 1) y ^' = x ² +cosx ;                  2) y ^' = 3x ² + cos x ; 3) y ^' = x ² -sin x;                 4) y ^' = 3x ² - cos x .

№ 2.  Найдите производную функции y e= ^x + 3cosx.

1) y e¢ = ^x + 3sinx                                      2) y e¢ = ^x -3sin x

3) y xe¢ =  ^x-1 + 3sin x                            4) y xe¢ =    ^x-1 -3sin x

№ 3.  Найдите производную функции у= cos(0,5x+ 3).

1                y' = - 0,5sin(0,5x+ 3)

2                y' = 0,5sin(0,5x+ 3)

3                y' = - 2sin(0,5x+ 3) 4  y' = 2sin(0,5x+ 3)

№ 4.  Найдите значение производной функции y = x⁵ ×ln x в точке x₀ =e³.

1) 15                     2) 15× e¹²                       3) 5×e³     4) 16×e¹²

№5.  Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции у =-0,5х² в точке с абсциссой х₀ =-3.

           5)   -3;                      6)   -4,5;                   7)  3;                        8)    0.

№ 6.   Точка движется по координатной прямой согласно закону x t( )= + -10 8t 0,5t², где x t( ) – координата точки в момент времени t . Найдите её скорость при t = 6.

№ 7.   Точка движется по координатной прямой согласно закону x(t) = t² +t +2, где x(t)- координата точки в момент времени t (время измеряется в секундах, расстояние – в метрах). В какой момент времени скорость точки будет равна 7 м/с?

№ 8.  На рисунке изображён график функции у = f(х) и касательная к нему в точке с абсциссой x . Найдите значение

0

производной в точке x .

0

1) 1;       2) - 5; 3) - 1; 4) 5. № 9.  К графику функции y = f (x) в его точке с абсциссой x₀ =2 проведена касательная. Определите угловой коэффициент касательной, если на рисунке изображен график производной данной функции.

№ 10.  Найдите сумму координат точки пересечения касательной, проведенной к графику функции         f (x) = 5x² -9x -7  в его точке с абсциссой

№ 11.  Непрерывная функция y= f (x) задана на отрезке [a;b]. На

рисунке изображен график ее производной y = f ¢(x). В ответе укажите количество точек экстремума этой функции.

№ 12.  Непрерывная функция ^{y= f (x)} задана на отрезке [a;b]. На

рисунке изображен график ее производной ^{y = f ¢(x)}. В ответе укажите количество точек графика этой функции, в которых касательная параллельна оси Ох.

№ 13.  На рисунке изображен график производной функции y = f ^' (x), заданной на отрезке [-6;6]. Исследуйте функцию y = f (x),  на монотонность и укажите число промежутков возрастания.

№14.  Найдите сумму наименьшего и наибольшего значений функции      f( х) = х³ – 3 х ² – 9 х + 2     на отрезке [-2;0].

 3.

№ 1.  Вычислите производную функции y=x¹² + sin x.

     1) y ^' =12x + cos x ;                  2) y ^{' = x13} - cos x ;

13

     3) y ^' =12x¹¹ - cos x;                 4) y ^' =12x¹¹ + cos x .

№ 2.  Найдите производную функции y e= ^x - 5sin x.

1) y xe¢ =     ^x-1 -5cosx     2) y e¢ =      ^x +5cosx

3) y e¢ = ^x -5cosx              4) y xe¢ =   ^x-1 + 5cosx

№ 3.  Найдите производную функции у=sin ^æç^x + 5^ö÷.

                                                                                                                           è3      ø

1)      y' = sin (x+ 5)

2)      y' = - ¹cos^æç ^x + 5^ö÷

                          3      è 3     ø

                     1   æx + 5ö÷

3)      y' =       sin ç

                     3      è3      ø

                     1    æx + 5ö÷

4)      y' =       cosç

                     3      è3      ø

№ 4.  Найдите значение производной функции y = x^{4 ×}(2x³ - ⁴)  в точке x₀ =-1.

                 1) -2                     2)  3                     3) 6                      4)  30

№5.  Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции у=- ⁴ в точкесабсциссой х₀ =-2 .

х

           9)   1;                      10)            2;            11)           0;             12)             -1.

№ 6.  Точка движется по координатной прямой согласно закону x t( )=t²+ -2t 5, где x t( ) – координата точки в момент времени t .

Найдите её скорость при t =2.

№7.  Точка движется по координатной прямой согласно закону x(t) = t² + t + 2 , где x(t)- координата точки в момент времени t (время

измеряется в секундах, расстояние – в метрах). В какой момент времени скорость точки будет равна 9 м/с?

№ 8.  На рисунке изображён график функции у

= f (х)  и касательная к нему в точке с

абсциссой x . Найдите значение производной в точке x . 0     0

1)      8

2)      2

3)      – 2

4)      4

№ 9.  К графику функции y = f (x) в его точке с абсциссой x₀ = 2 проведена касательная. Определите угловой коэффициент касательной, если на рисунке изображен график производной данной функции.

№ 10.  Найдите сумму координат точки пересечения касательной, проведенной к графику функции f (x) = 4x² -2x -7  в его точке с абсциссой x₀ = -1, с осью абсцисс.

№ 11.  Непрерывная функция y= f (x) задана на отрезке [a;b]. На рисунке изображен график   ее    производной y = f ¢(x). В ответе укажите точку    максимума этой функции.

№ 12.  Непрерывная функция y= f (x) задана на отрезке [a;b]. На рисунке изображен график   ее    производной y = f ¢(x). В ответе укажите количество точек максимума этой функции.

№ 13.  На рисунке изображен график производной функции y = f ^' (x), заданной на отрезке [-6;5]. Исследуйте функцию y = f (x),  на монотонность и укажите число промежутков убывания.

№ 14.  Найдите сумму наименьшего и наибольшего значений функции f(х) =  х ³ – 9 х ² + 15 х +1  на отрезке [-1;2] .

Список сайтов сети Интернет для подготовки к ЕГЭ

Список сайтов сети Интернет для подготовки к ЕГЭ

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Салтыковская средняя общеобразовательная школа

 Ртищевского района Саратовской области»

Мастер – класс  по математике

в 11 классе

по теме

«ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

В ЗАДАНИЯХ ЕГЭ»

Провела учитель математики

Белоглазова Л.С.

2012-2013 учебный год

Цель мастер – класса: развивать  у учащихся навыки  применения теоретических  знаний  по теме «Производная функции» для решения задач  единого государственного экзамена.

Задачи

Образовательные: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме

«Производная функции», рассмотреть прототипы задач ЕГЭ по данной теме, предоставить обучающимся возможность проверить свои знания при самостоятельном решении задач.

Развивающие: способствовать развитию памяти, внимания, навыков самооценки и самоконтроля; формированию основных ключевых компетенций (сравнение, сопоставление, классификация объектов, определение адекватных способов решения учебной задачи на основе заданных алгоритмов, способность самостоятельно действовать в ситуации неопределённости, контролировать и оценивать свою деятельность, находить и устранять причины возникших трудностей).

Воспитательные: способствовать:

 формированию у учащихся ответственного отношения к учению;

развитию устойчивого интереса к математике;

созданию положительной внутренней мотивации к изучению математики.

Технологии: индивидуально–дифференцированного обучения, ИКТ.

Методы обучения: словесный, наглядный, практический, проблемный.

Формы работы: индивидуальная, фронтальная, в парах.

Оборудование и материалы для урока:  проектор, экран, ПК для каждого ученика, тренажёр (Приложение №1),презентация к уроку (Приложение №2),индивидуально – дифференцированные карточки для самостоятельной работы в парах (Приложение №3),список  сайтов сети Интернет, индивидуально-дифференцированное  домашнее задание (Приложение №4).

Пояснение к мастер - классу. Данный мастер – класс проводится в 11 классе  с целью подготовки к ЕГЭ. Нацелен  на применение  теоретического материала по теме «Производная функции»  при решении экзаменационных задач.

Продолжительность мастер – класса – 30 мин.

Структура мастер - класса

         I.Организационный момент -1 мин.

II.Сообщение темы, цели мастер - класса, мотивация учебной деятельности-1 мин.

III. Фронтальная работа. Тренинг «Задания В8 ЕГЭ». Анализ работы с тренажёром - 6 мин.

IV.Индивидуально - дифференцированная работа в парах. Самостоятельное решение задач В14. Взаимопроверка - 7 мин.

V. Проверка  индивидуального домашнего задания. Задача с параметром С5 ЕГЭ

-3 мин.

VI.Оn – line тестирование. Анализ результатов тестирования - 9 мин.

VII. Индивидуально – дифференцированное домашнее задание -1 мин.

VIII.Оценки за урок - 1 мин.

IX.Итог урока. Рефлексия -1 мин.

Ход  мастер - класса

I.Организационный момент.

II.Сообщение темы, цели мастер - класса, мотивация учебной деятельности.

(Слайды 1-2,приложение №2)

-Тема нашего занятия «Производная  функции в заданиях ЕГЭ». Всем известно высказывание «Мал золотник да дорог». Одним из таких «золотников» в математике является производная. Производная применяется при решении многих практических задач математики, физики, химии, экономики и других дисциплин. Она позволяет решать задачи просто, красиво, интересно.

Тема «Производная» представлена в заданиях части  В (В8, В14) единого государственного экзамена.  Некоторые задания С5 также можно решить с применением производной. Но для решения этих задач  требуется хорошая математическая  подготовка и нестандартное мышление.

Вы работали с  документами, регламентирующими структуру и содержание контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена по математике  2013. Сделайте  вывод о том, какие  знания и умения вам нужны для успешного решения задач  ЕГЭ по теме «Производная».

 (Слайды 3-4, приложение №2)

 - Мы изучили «Кодификатор элементов содержания по МАТЕМАТИКЕ  для составления контрольных измерительных материалов для проведения единого государственного экзамена», 

«Кодификатор требований к уровню подготовки выпускников»,  «Спецификацию контрольных измерительных материалов», «Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2013»  и  выяснили,  какие  знания и умения о функции и её производной нужны для успешного решения задач по теме «Производная».

Необходимо

ü ЗНАТЬ

правила вычисления производных;

производные основных элементарных функций;

геометрический и физический смысл производной;
уравнение касательной к графику функции;
исследование функции с помощью производной.

ü УМЕТЬ

выполнять действия с функциями (описывать по графику поведение и свойства функции, находить её наибольшее и наименьшее значения).

ü ИСПОЛЬЗОВАТЬ

приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни.

- Вы владеете теоретическими знаниями по теме «Производная».  Сегодня мы будем УЧИТЬСЯ ПРИМЕНЯТЬ ЗНАНИЯ О ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЕГЭ. (Слайд 4, приложение №2)

Ведь недаром Аристотель говорил, что “УМ ЗАКЛЮЧАЕТСЯ НЕ ТОЛЬКО В ЗНАНИИ, НО И В УМЕНИИ ПРИМЕНЯТЬ ЗНАНИЯ НА ПРАКТИКЕ”   (Слайд 5, приложение №2)

В конце урока мы вернёмся к цели нашего занятия и выясним, достигли ли её?

III. Фронтальная работа. Тренинг «Задания В8 ЕГЭ» (Приложение №1). Анализ работы с тренажёром.

- Выберите правильный ответ из четырёх предложенных.

- В чём, по вашему мнению, заключается сложность  выполнения  задания В8?  

 - Как вы думаете, какие типичные ошибки допускают выпускники на экзамене при решении этой задачи?

 -При ответах на вопросы задания В8 вы должны уметь описывать по графику производной поведение и свойства функции, а по графику функции – поведение и свойства производной функции.  А для этого  нужны  хорошие теоретические знания  по  следующим темам: «Геометрический и механический смысл производной. Касательная к графику функции. Применение производной к исследованию функций».

- Проанализируйте, какие задания вызвали у вас затруднения?

- Какие теоретические вопросы вам необходимо знать?

IV. Индивидуально - дифференцированная работа в парах. Самостоятельное решение задач В14. Взаимопроверка. (Приложение №3)

-Вспомните алгоритм решения задач (В14 ЕГЭ)  на нахождение точек экстремума, экстремумов функции, наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке  с помощью производной.

-Решите задачи с помощью производной.

Перед учащимися поставлена проблема:

«Подумайте, можно ли решить некоторые задачи В14 другим способом, без применения производной?»

1 пара (Лукьянова Д., Гаврюшина Д.)

1)В14. Найдите точку минимума функции у =10х-ln(х+9)+6     

2)В14. Найдите наибольшее значение функции y = 

 - Попытайтесь решить  вторую задачу двумя способами.

2 пара (Санинская Т., Сазанов А.)

1)В14. Найдите наименьшее значение функции у=(х-10) на отрезке

[8; 10]

2)В14. Найти точку максимума функции  у= -  

(Учащиеся защищают своё решение, записывая основные этапы решения задач  на доске. Учащиеся 1 пары (Лукьянова Д., Гаврюшина Д.) предоставляют два способа решения задачи №2).

Разрешение проблемы.  Вывод, который должны сделать учащиеся:

«Некоторые задачи В14 ЕГЭ  на нахождение наименьшего и наибольшего значения функции можно решить без применения производной, опираясь на свойства функций».

- Проанализируйте, какая ошибка была допущена вами в задаче?

- Какие теоретические вопросы вам необходимо повторить?

V. Проверка  индивидуального домашнего  задания. Задача с параметром С5(ЕГЭ)  (Слайды  7-8, приложение №2)

-Лукьяновой К. было дано индивидуальное домашнее задание: из пособий по подготовке к ЕГЭ  выбрать задачу с параметром  (С5) и решить её с помощью производной.

(Учащаяся приводит решение задачи, опираясь на функционально - графический метод,  как один из методов решения  задач  С5 ЕГЭ  и даёт  краткое объяснение данного метода).

- Какие знания о функции и её производной необходимы при решении задач С5 ЕГЭ?

VI. Оn – line тестирование по заданиям В8, В14.  Анализ результатов тестирования.

Сайт для тестирования на уроке:  http://www.ege-online-test.ru/

- Кто не допустил ошибок?

- Кто испытывал трудность при тестировании? Почему?

- В каких заданиях допущены ошибки?

- Сделайте вывод, какие теоретические вопросы вам необходимо знать?

VII. Индивидуально – дифференцированное домашнее задание

(Слайд 9, приложение №2), (Приложение №4).

-Я подготовила список сайтов сети интернет для подготовки к ЕГЭ. Вы можете также проходить на этих сайтах Оn – line тестирование. К следующему уроку вам нужно: 1) повторить теоретический материал по теме «Производная функции»;

2) на сайте «Открытый банк заданий по математике» (http://mathege.ru/) найти прототипы заданий В8 и В14 и решить не менее 10 задач;

3)  Лукьяновой К., Гаврюшиной Д. решить задачи с параметрами. Остальным учащимся решить  задачи 1-8 (вариант 1).

VIII. Оценки за урок.

                 - Какую оценку  за  урок ты бы себе поставил?

                 - Как ты думаешь,  можно было бы тебе работать на уроке лучше?

IХ. Итог урока. Рефлексия

- Подведем итог нашей работы. Какова была цель урока? Как вы считаете, достигнута ли  она?

-Посмотрите на доску и одним предложением, выбирая начало фразы, продолжите предложение, которое вам больше всего подходит.

Я почувствовал…

Я  научился…

У меня получилось …

Я смог…

              Я попробую …

              Меня удивило, что …

              Мне захотелось…

-Можете ли вы сказать, что в ходе урока произошло обогащение запаса ваших знаний?

-Итак, вы повторили  теоретические вопросы о производной функции, применили свои знания при решении прототипов заданий ЕГЭ (В8, В14), а Лукьянова К. выполнила задачу С5 с параметром, которая является задачей повышенной степени сложности.

-Мне приятно было с вами работать,  и надеюсь, что знания, полученные на уроках математики, вы сможете успешно применить не только при сдаче  ЕГЭ, но и в дальнейшей своей  учёбе.

- Закончить урок мне хотелось бы словами итальянского философа Фомы Аквинского «Знание – столь  драгоценная вещь, что его не зазорно добывать из любого источника» (Слайд 10, приложение №2).

Желаю успехов в подготовке к ЕГЭ!