Презентация по теме "Производная и ее применение" к уроку Алгебры 10 класс

• 1 слайд

  Методическая разработка урока по алгебре в 10 классе
  «Производная и ее применение»
  

• 2 слайд

  Методическая разработка урока алгебры в 10 классе
   
  «Производная и ее применение»
  
  Цели:
  Образовательные: рассмотреть применение производной в
  заданиях В-8, В-14 (ЕГЭ), вырабатывать у учащихся практические
  умения и навыки по применению производной.
  Развивающие: способствовать дальнейшему развитию
  математически грамотной речи, внимания, наблюдательности,
  самоконтроля, исследовательских навыков учащихся,  
  математического и логического мышления, активизации
  познавательской деятельности.
  Воспитательные: воспитывать аккуратность,
  дисциплинированность, способность самостоятельно принимать
  решения.
  Место урока в системе уроков по теме: обобщающий урок по  
  теме
  «Производная и ее применение»
  Тип урока: комбинированный
  Формы урока: фронтальные, индивидуальные
  Оборудование: компьютер, проектор, карточки с проверочной
  работой, доска, мел.
  
  

• 3 слайд

  Структура урока:
  1. Организационный момент
   
  2. Устные задания  
  
  3. Проверочная работа
   
  4. Отработка навыков по применению изученного материала
   
  5. Презентация самостоятельно выполненных заданий
   
  6. Исторические сведения о производной, ее применение
   
  7. Домашнее задание
   
  8. Подведение итогов
  
  

• 4 слайд

  Ход урока
  1. Организационный момент
  2. Устные задания (рассмотреть различные виды заданий В-8 (ЕГЭ))
  
  
  1)Найти значение производной в точке х
  
  2)Определить количество целых значений х, в которых функция положительна
  
  3)Найти количество точек, в которых производная равна 0
  
  4)Найти количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой
  у=с
  
  5)Найти точку экстремума функции
  
  6)Найти количество точек экстремума функции
  
  7)Найти длину наибольшего из промежутков возрастания
  
  8)Найти количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой
  у=кх+в
  

• 5 слайд

  Задача 1.3. На рисунке изображен график функции y = f (x), и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение
  производной функции y = f (x) в точке х0.
  Решение.
  Ответ: - 0,75 .
  А
  В
  С
  А
  В
  С
  Ответ: - 3 .
  a)
  б)
  

• 6 слайд

  Задача 3.3. На рисунке изображен график функции y = f (x),
  определенной на интервале (a;b). Определите количество целых
  точек, в которых производная функции положительна.
  a)
  б)
  Решите самостоятельно!
  Решение.
  , если
  возрастает.
  Целые решения при :
  х=-2; х=-1; х=5; х=6.
  Их количество равно 4.
  Целые решения при :
  х=2; х=3; х=4; х=10; х=11.
  Их количество равно 5.
  Ответ: 4.
  Ответ: 5.
  

• 7 слайд

  Задача 4.2. На рисунке изображен график функции y = f (x),
  определенной на интервале (a; b). Найдите количество точек, в
  которых производная функции y = f (x) равна 0.
  Решите устно!
  Ответ: 7.
  Ответ: 7.
  Ответ: 8.
  Ответ: 6.
  1
  3
  4
  2
  

• 8 слайд

  Задача 5.2. На рисунке изображен график функции y = f (x),
  определенной на интервале (a; b). Найдите количество точек, в
  которых касательная к графику функции параллельна прямой у = с.
  1
  3
  4
  2
  Решите устно!
  Ответ: 4.
  Ответ: 9.
  Ответ: 8.
  Ответ: 9.
  

• 9 слайд

  Задача 6.2. На рисунке изображен график производной функции f (x), определенной на интервале (a; b). Найдите точку экстремума функции f (x) .
  Решите устно!
  1
  3
  4
  2
  Ответ: -3.
  -3
  Ответ: 7.
  7
  Ответ: -1.
  -1
  Ответ: 4.
  4
  

• 10 слайд

  В точке минимума производная функции равна нулю либо не существует.
  Видно, что таких точек на отрезке [-2; 7] три: —1,5; 4,5; 6,5. При этом в точке 4,5 производная слева отрицательна, а справа положительна, значит, это точка минимума. В точках -1,5 и 6,5 производная меняет знак с «+» на «—» это точки максимума.
  Решение.
  Ответ: 1 .
  4,5
  -
  +
  Задача 7.1. На рисунке изображен график производной функции y = f (x), определенной на интервале (-3; 8). Найдите количество точек минимума функции y = f (x) на отрезке [-2; 7].
  

• 11 слайд

  Задача 8.1. На рисунке изображен график производной функции y = f (x), определенной на интервале (-11; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
  В этой задаче необходимо сначала найти промежутки возрастания функции, т.е. промежутки на которых f´(x) > 0.
  
  Решение.
  В нашем случае их три: (-11; -10), (-7; -1) и (2; 3), наибольшую длину из них, очевидно, имеет промежуток (-7; -1), его длина равна:
  -1-(-7) = 6.
  Ответ: 6 .
  -10
  -7
  -1
  2
  6
  

• 12 слайд

  Задача 9.2. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (x1; x2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = -2x + 7 или совпадает с ней.
  1
  Решение.
  Ответ: 3 .
  Касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = -2x+7 или совпадает с ней, то ее угловой коэффициент равен -2.
  Найдем количество точек, в которых f´(x)= -2.
  Решение.
  Поступим аналогично, найдем количество точек, в которых f´(x)= -2.
  Ответ: 4 .
  y = -2
  y = -2
  2
  

• 13 слайд

  Проверочная работа
  

• 14 слайд

  Вариант 2
  

• 15 слайд

  Проверочная работа
  Вариант 1
  Вариант 2
  Ответы
  -0,51.-0,5
  
  52. 8
  
  5 3. 3
  
  34. 4
  
  25. 1
  
  106. 3
  
  67. 4
  
  

• 16 слайд

  x
  y
  1
  1
  0
  x0
  f(x)
  Вариант 1
  Введите ответ:
  1.
  Найдите значение производной функции в точке х0 по рисунку с изображенным графиком функции y=f(x) и касательной к нему в точке с абсциссой х0
  далее
  

• 17 слайд

  Вариант 1
  Введите ответ:
  2.
  На рисунке изображен график функции y=f(x) определенный
  на [-5;11]. Определите количество целых значений x,
  в которых f′(x) < 0
  x
  y
  f(x)
  1
  0
  -5
  5
  7
  11
  далее
  

• 18 слайд

  Вариант 1
  Введите ответ:
  3.
  На рисунке изображен график функции y=f(x) на [а;b].
  Найдите количество точек, в которых f′(x) =0
  x
  y
  1
  1
  01
  a
  b
  f(x)
  далее
  

• 19 слайд

  Вариант 1
  Введите ответ:
  4.
  На рисунке изображен график функции y=f(x) на [-5;-3)U(-3;11].
  Найдите количество точек, в которых касательная
  к графику функции параллельна прямой у=С.
  x
  y
  1
  0 1
  -5
  11
  f(x)
  -3
  далее
  

• 20 слайд

  Вариант 1
  Введите ответ:
  5.
  На рисунке изображен график производной функции
  y=f′(x) на (а;b). Найдите количество точек максимума.
  x
  y
  1
  1
  0
  a
  f′(x)
  b
  далее
  

• 21 слайд

  Вариант 1
  Введите ответ:
  6.
  Функция определена на отрезке [-6;12]. На рисунке изображен график ее производной. Укажите длину наибольшего из промежутков возрастания функции.
  x
  y
  1
  1
  0
  12
  -6
  -3
  7
  f′(x)
  далее
  

• 22 слайд

  Вариант 1
  Введите ответ:
  7.
  На рисунке изображен график производной функции f(x). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y= -2 x +1 или совпадает с ней.
  x
  y
  1
  1
  0
  b
  a
  f′(x)
  7
  далее
  

• 23 слайд

  Вариант 2
  Введите ответ:
  1.
  На рисунке изображен график функции и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0.
  x
  y
  1
  0
  1
  f(x)
  x0
  далее
  

• 24 слайд

  Вариант 2
  Введите ответ:
  2.
  На рисунке изображен график функции y = f(x) определенный на [-5;12]. Определите количество целых значений х,
  при которых f′(x)>0
  y
  1
  0 1 6 10 12 x
  -5
  f(x)
  далее
  

• 25 слайд

  Вариант 2
  Введите ответ:
  3.
  На рисунке изображен график функции y=f(x) на [а;b].
  Найдите количество точек, в которых f′(x) =0
  x
  y
  0 1
  a
  b
  f(x)
  1
  далее
  

• 26 слайд

  Вариант 2
  Введите ответ:
  4.
  На рисунке изображен график функции y=f(x) на [-5;-3)U(-3;11].
  Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у=С
  x
  y
  0 1
  -5
  -3
  11
  далее
  

• 27 слайд

  Вариант 2
  Введите ответ:
  5.
  На рисунке изображен график производной функции y=f′(x) на (а;b). Найдите количество точек минимума.
  x
  y
  0
  a
  b
  f′(x)
  1
  1
  далее
  

• 28 слайд

  Вариант 2
  Введите ответ:
  6.
  Функция определена на отрезке [-5;12]. На рисунке изображен график ее производной. Укажите длину наименьшего из промежутков убывания функции.
  y
  0 1 7 12 x
  -5
  1
  f′(x)
  далее
  

• 29 слайд

  Вариант 2
  Введите ответ:
  7.
  На рисунке изображен график производной функции f(x). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=x+5 или совпадает с ней.
  x
  y
  0 1
  a
  b
  f′(x)
  1
  далее
  

• 30 слайд

  Рассмотреть решение заданий (В-14), например: данное задание или одно из предложенных дальше
   
  

• 31 слайд

  –
  
  +
  x
  y\
  y
  -5
  -4
  –
  
  +
  Найдите наибольшее значение функции
  y = ln(x+5)5 – 5x на отрезке [-4,5; 0]
  -4,5
  0
  max
  Наибольшее значение функция будет принимать в точке максимума.
  Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка.
  (
  )
  /
  1
  lnx
  =
  x
  y = 5ln(x+5) – 5x
  1. Найти f /(x)
  2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.
  3. Вычислить значения функции в критических точках
  и на концах отрезка.
  4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее или наибольшее.
  x = -4
  [-4,5; 0]
  0
  Можно рассуждать иначе
  Запишем функцию в удобном для дифференцирования виде
  1.
  Ответ: 20
  назад
  

• 32 слайд

  Найдите наибольшее значение функции
  y = 7cosx +16x – 2 на отрезке [-3π/;0]
  Функция на всей области определения возрастает. Нетрудно догадаться, что у / > 0.
  Тогда наибольшее значение функция будет иметь в правом конце отрезка, т.е. в точке х=0.
  1. Найти f /(x)
  2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.
  (
  )
  /
  cosx
  =
  – sinx
  Если вы не догадались, то вычислите значения функции в каждом конце отрезка и выберите наибольшее.
  0
  2.
  Ответ: 5
  назад
  

• 33 слайд

  Критических точек нет.
  Тогда наибольшее значение функция будет принимать в одном из концов отрезка.
  Можно было и раньше догадаться, что наибольшее значение будет именно в левом конце отрезка! Как?
  
  6
  5
  sin
  =
  ÷
  ø
  ö
  ç
  è
  æ
  -
  p
  6
  sin
  ÷
  ø
  ö
  ç
  è
  æ
  -
  -
  p
  p
  Найдите наибольшее значение функции
  
  
  y = 10sinx – x + 7 на отрезке
  1. Найти f /(x)
  2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.
  (
  )
  /
  sinx
  =
  cosx
  0
  36
  2
  1
  -
  6
  sin
  =
  -
  =
  p
  6
  5
  sin
  =
  ÷
  ø
  ö
  ç
  è
  æ
  -
  p
  Формула приведения
  Синус –нечетная функция
  Ответ: 32
  3.
  назад
  

• 34 слайд

  Функция на всей области определения убывает. Нетрудно догадаться, что у / < 0.
  Тогда наименьшее значение функция будет иметь в правом конце отрезка, т.е. в точке х=0.
  Найдите наименьшее значение функции
  
  
  y = 5cosx – 6x + 4 на отрезке
  1. Найти f /(x)
  2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.
  (
  )
  /
  cosx
  =
  – sinx
  1
  0
  Если вы не догадались, то вычислите значения функции в каждом конце отрезка и выберите наименьшее.
  Ответ: 9
  4.
  назад
  

• 35 слайд

  Найдите наибольшее значение функции
  
  y = 12cosx + 6 x – 2 + 6 на отрезке
  1. Найти f /(x)
  2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.
  Но нам не нужны ВСЕ стационарные точки. Необходимо сделать выбор тех значений, которые попадут в заданный отрезок
  Ответ: 12
  4.
  назад
  

• 36 слайд

  Презентация самостоятельно выполненных заданий
   
  

• 37 слайд

  Самостоятельная работа
  Вариант 1
  Вариант 2
  Найдите наименьшее значение функции y= 13cos(x)-15x+7 на [-3π/2;0]
  Найдите наибольшее значение функции y= 2tg(x)-2x+5 на [-π/4;0]
  Решение
  y´= -13sin(x)-15
  
  y´= 0-13sin(x)-15=0
  sin(x)=-15/13<-1
  Критических точек нет, т.к |sin(x)|≤1
  
  Находим значение функции на границах промежутка
  
  y(-3π/2)= 13cos(-3π/2)-15*(-3π/2)+7
  y(-3π/2)=45π/2+7
  y(0)= 13cos(0)-15*0+7=20
  
  20<45π/2+7
  Ответ: Наименьшее значение функции
  20
  Решение
  y´= 2/cos2(x)-2
  
  y´= 0 2/cos2(x)-2=0
  cos2(x)= 1 cos(x)=1 или cos(x)=-1
  
  x=0 единственная точка
  принадлежащая [-π/4;0]
  y(0)= 5
  
  Находим значение функции на границах промежутка
  y(0)= 5
  y(-π/4)= y= 2tg(-π/4)-2*(-π/4)+5
  y(-π/4)=3+π/2 < y(0)= 5
  Ответ: Наибольшее значение функции 5
  

• 38 слайд

  Практическое применение производной
  Российский математик Х1Х века П.Л.Чебышев говорил: «Особую важность имеют те методы науки, которые позволяют решать практические задачи».
  С такими задачами в наше время приходится иметь дело
  представителям самых разных специальностей:
  1) инженеры-технологи стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции;
  2) конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей;
  3) экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными и т.д.
  
  Задачи подобного рода носят общее название – задачи
  на оптимизацию.
  

• 39 слайд

  Перевезти дешевле
  

• 40 слайд

  Получить максимальную
  энергию солнечных батарей
  

• 41 слайд

  максимально увеличить полезную
  площадь
  

• 42 слайд

  выполнить
  объем работ
  в кратчайший срок
  

• 43 слайд

  Экономия пресной воды
  

• 44 слайд

  эффективное использование оборудования
  

• 45 слайд

  Задача. (№46)
  Нужно огородить участок прямоугольной формы забором
  длиной 200 м. Каковы должны быть размеры этого
  прямоугольника, чтобы площадь была наибольшей?
  a=x м
  b=(100-X) м
  Дано: Прямоугольник
  Р=200м
  S=Sнаиб
  Найти: а, b
  Решение: Пусть a = x м, тогда b= (100-x) м
  S=a*b S=x(x-100)S=x2-100x
  Найдем, при каких значениях х, функция S=S(х) = x2-100x принимает
  наибольшее значение при х принадлежащем [0;100]
  S´=2x-100
  -
  +
  x
  S´(x)
  S(x)
  0 50
  100
  max
  2x-100 >0
  X=50 – точка максимума
  Т.О. a=50м b=50м Значит, искомый прямоугольник – квадрат
  

• 46 слайд

  Стих о производной
  В данной функции от икс, наречённой игреком,
  Вы фиксируете икс, отмечая индексом,
  Придаёте вы ему тотчас приращение,
  Тем у функции самой вызвав изменение.
  Приращений тех теперь взявши отношение,
  Пробуждаете к нулю у дельта икс стремление.
  Предел такого отношенья выясняется,
  Он производною в науке называется!
  

• 47 слайд

  Список литературы
   
  Настольная книга учителя математики М.: ООО «Издательство АСТ»:
  ООО «Издательство Астрель» 2004 г.;
  Тематическое приложение к вестнику образования № 4 2005 г.;
  Программа для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. Математика 5–11 кл. М.: Дрофа 2001 г.;
  А. Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа 10–11 классы. Учебник - М.: Мнемозина 2007 г.;
  А. Г. Мордкович, Л. О. Денищева, Т. А. Корешкова, Т. Н. Мишустина, Е. Е. Тульчинская . Алгебра и начала анализа 10–11 классы. Задачник – М: Мнемозина 2007, 2007 г.;
  А. Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа 10–11 классы. Пособие для учителей М.: Мнемозина 2004 г.;
  А. Г. Мордкович, Е. Е. Тульчинская . Алгебра и начала анализа 10–11 классы. Контрольные работы - М.: Мнемозина 2005 г
  1.Чудаева Елена Владимировна, учитель математики МОУ «Инсарская СОШ №1»
  2. Савченко Е.М., МОУ гимназия №1, г. Полярные Зори, Мурманская обл.
  
  

Краткое описание документа:

Презентация по теме "Производная и ее применение" к уроку Алгебры 10 класс.

Одна из трудных для понимания учащимися тем курса алгебры в 10 классе.

Рассмотрена вся теория по теме, варианты решения заданий разного уровня (Базовый и профильный) - так как данная тема отражена в экзаменах базового и профильного уровней.