Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Рабочий материал по теме "Арифметический квадратный корень и его свойства"

Рабочий материал по теме "Арифметический квадратный корень и его свойства"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Н

Понятие арифметического квадратного корня

а сегодняшний день вам известны 5 арифметических действий: сложение, обратное сложению – вычитание, умножение, обратное умножению – деление, и возведение в натуральную степень. Теперь вам предстоит освоить шестое действие, обратное возведению в квадрат, которое называется извлечение квадратного корня.

Квадратным корнем из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число b которое в квадрате дает число а.

hello_html_m39941813.gif


Знак корня

Значение корня

hello_html_5789e2f7.gifhello_html_m43ebe978.gifhello_html_770d44a3.gif


Подкоренное выражение корня


hello_html_m5b85ed6.gif


hello_html_m72db8b62.gif



hello_html_43978071.gif





Читается:

«Корень из двадцати пяти равен пяти»





Потому что:

  1. 5 – число неотрицательное

  2. 52=25






 Прочитайте запись и объясните ее:

hello_html_m75764c40.gif, hello_html_210f9f91.gif, hello_html_6deb1d5.gif, hello_html_m172b43de.gif, hello_html_m4a7feb73.gif

 Какие из выражений не имеют смысла и почему:

hello_html_m1477993b.gif, hello_html_m5353fc.gif, hello_html_m5aedacfd.gif, hello_html_3144c8f.gif ?

 Попробуйте найти значение корня

hello_html_m3c44f292.gifhello_html_m74883f91.gifhello_html_m7ba82737.gifhello_html_9497aab.gifhello_html_44f4690c.gif

 Запишите выражения и найдите их значения:

квадратный корень из сорока девяти,

квадратный корень из восьмидесяти одного,

квадратный корень из одной шестнадцатой,

квадратный корень из одной сотой,

квадратный корень их четырех сто двадцать первых.




Контрольная точка

Найдите значение корня:

hello_html_fa93830.gif, hello_html_7085beca.gif, hello_html_2063da01.gif, hello_html_5c2b423a.gif,hello_html_mb78835f.gif, hello_html_85bd91f.gif,hello_html_m10cf89d8.gif, hello_html_m5762d5f8.gif, hello_html_2c38ebea.gif, hello_html_m3b2a468e.gif




  • Что такое квадратный корень?

  • Как найти значение квадратного корня?

  • Почему подкоренное выражение не может быть отрицательным?

  • Почему значение корня – неотрицательное число?




hello_html_728f58d6.gifhello_html_m1179471.gif






Н

Нахождение арифметического квадратного корня

аходить значение квадратного корня можно с помощью таблицы квадратов или калькулятора.


Как работать с таблицей квадратов?

Возведение в квадрат: 752 = 5625

Извлечение квадратного корня:hello_html_7f8228a7.gif


75 – это 7 десятков и 5 единиц

Смотрим единицы


hello_html_m19d22045.gifhello_html_m80b1b71.gifhello_html_m80b1b71.gifhello_html_m80b1b71.gifhello_html_m80b1b71.gifhello_html_m80b1b71.gifhello_html_m80b1b71.gifhello_html_m80b1b71.gifhello_html_m80b1b71.gifhello_html_m80b1b71.gif

5

6

7

8

9

1

2

3

4


hello_html_m6114e43e.gif

hello_html_mecca5c0.gif

1

hello_html_m7be6c008.gif

hello_html_mecca5c0.gif

2


hello_html_mecca5c0.gif

3



hello_html_mecca5c0.gif

4


hello_html_mecca5c0.gif

5


hello_html_mecca5c0.gif

6



hello_html_mecca5c0.gif

7

5625

hello_html_m37868dda.gif

hello_html_mecca5c0.gif

8


hello_html_mecca5c0.gif

9





Те корни, которые имеют приближенное значение, называются иррациональными числами.


hello_html_ma067f1b.gif - число рациональное


hello_html_m21876b23.gif - число иррациональное




 С помощью таблицы квадратов возведите данные числа в квадрат и запишите обратное действие:

752 = 5625 hello_html_7f8228a7.gif7502 = 562500 hello_html_2cd4202b.gif7,52 = 56,25 hello_html_m6c069230.gif

232 = 1202 = 1,42 =

572 = 6202 = 3,42 =

822 = 4102 = 0,252 =

462 = 95002 = 5,62 =

512 = 7302 = 0,842 =

972 = 2602 = 2,92 =

Проверьте результата с помощью калькулятора.

 Найдите значение квадратного корня, используя таблицу квадратов:

hello_html_ma067f1b.gif, hello_html_m520c7c8e.gif, hello_html_68646b09.gif, hello_html_m70f54737.gif, hello_html_6f28b8f.gif, hello_html_2a75dae0.gif, hello_html_m44e7ea79.gif,

hello_html_761b6b34.gif, hello_html_m36889903.gif, hello_html_1e49aa91.gif, hello_html_m29d14275.gif, hello_html_m31c749ef.gif, hello_html_m65d35f52.gif

 Найдите значение выражения: Решите уравнение:

hello_html_7ddca79b.gifhello_html_m3054a944.gifhello_html_39aadd7e.gif

hello_html_5c88516.gifhello_html_m3ecf9e5c.gifhello_html_m1ca207e8.gif

hello_html_m2176cf99.gifhello_html_m6c6a7fe3.gifhello_html_2c23a58a.gif

hello_html_ma76ccc.gif

 Вычислите значение корня с помощью калькулятора, округляя результат до сотых:

hello_html_m764cbb3c.gif, hello_html_240e784b.gif, hello_html_m4e1ae4a8.gif, hello_html_m2c53b61f.gif, hello_html_m74d3b3cf.gif, hello_html_3e9edffe.gif, hello_html_25ff18cf.gif, hello_html_6e0accc4.gif


Контрольная точка

Выпишите рациональные числа:

hello_html_37870a5c.gif, hello_html_m74d3b3cf.gif, hello_html_m212a01d3.gif, hello_html_73cc50aa.gif, hello_html_m127f9c94.gif, hello_html_40ce5520.gif, hello_html_m19cf8667.gif, hello_html_m534dfa11.gif, hello_html_7a706fde.gif, hello_html_685dea53.gif.


hello_html_728f58d6.gifhello_html_3fff8390.gif

  • Для чего нужна таблица квадратов?

  • Как с помощью таблицы квадратов найти hello_html_20e1276b.gif, hello_html_m2ed747dc.gif, hello_html_m49606d25.gif?

  • Какие числа называют иррациональными?

  • Какие числа называют рациональными?




  1. И

    Свойства квадратного корня

    з двух корней больше тот, у которого подкоренное выражение больше.

hello_html_20d3afd.gifт.к. 15>7



  1. Если корень возвести в квадрат, то получим подкоренное выражение:

hello_html_5a442b92.gif, а > 0


hello_html_m706f941.gif


  1. Если извлечь корень из квадрата некоторого числа, то получим модуль подкоренного выражения:

hello_html_980a94e.gif

х2


hello_html_m5c535cfa.gifhello_html_38334b92.gif










 Расположите предложенные числа в порядке возрастания:

а) hello_html_672e5935.gif, hello_html_328774b5.gif, hello_html_5ecee591.gif, hello_html_m503a281a.gif, hello_html_mbbe52e1.gif, hello_html_m4f41846.gif, hello_html_m2304b6e.gif, hello_html_m534dfa11.gif,

б) hello_html_7580e730.gif, 12, hello_html_6db58642.gif, hello_html_1da90ed0.gif, hello_html_10d55265.gif, 3, hello_html_7a706fde.gif, hello_html_685dea53.gif.

 Укажите: а) три целых числа, следующих за hello_html_1da90ed0.gif, hello_html_m4f41846.gif;

б) два целых числа предшествующих hello_html_328774b5.gif, hello_html_m503a281a.gif;

в) два целых числа, между которыми находится hello_html_5ecee591.gif, hello_html_m74d3b3cf.gif.

 Найдите значение следующих выражений:

hello_html_24db2b6d.gif, hello_html_m8a31d2d.gif, hello_html_m391bcfef.gif, hello_html_mcf841be.gif, hello_html_m73d581cd.gif

hello_html_71377a61.gif, hello_html_m46596897.gif, hello_html_m13aa44ee.gif, hello_html_m69483adc.gif, hello_html_263d825.gif

hello_html_m7d58332d.gif, hello_html_m26c58702.gif, hello_html_m414664ff.gif, hello_html_4dbef8c2.gif, hello_html_25af2b1d.gif, hello_html_m3f3e1f36.gif, hello_html_7156e92a.gif

 Какое из свойств можно применить, чтобы представить число в виде квадрата?

Сколько чисел в квадрате дадут один и тот же результат?

Представьте в виде квадрата следующие числа: 3, 5, 12, 4,5, 10, х.


 Какое из этих свойств можно применить при решении уравнения х2 ?

Разберите образец решения уравнения х2=а:

х2=hello_html_m5c2d70a1.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m53d4ecad.gif

х=hello_html_m48e7bb07.gifhello_html_m53d4ecad.gif


hello_html_6820dc64.gifhello_html_6820dc64.gif


Решите уравнения: х2=4, х2=5, х2=7, х2= -25, х2+1=4, 4х2=0, (х-1)2=4, (х+3)2=8

К множеству каких чисел относятся корни уравнения в каждом из случаев?


Контрольная точка


Сравните: hello_html_m2304b6e.gif и 12, hello_html_40ce5520.gif и hello_html_m212a01d3.gif, 0 и hello_html_m534dfa11.gif, -hello_html_1da90ed0.gif и hello_html_1da90ed0.gif

Представьте в виде квадрата число: 7; 15; 3,6; 1210; у; -16

С числами, записанными в виде квадратного корня (независимо от того извлекается корень точно или приближенно), можно выполнять ряд действий.

1

Действия с корнями

. Умножать: hello_html_5ae5cee9.gif

hello_html_42fcdb13.gif

hello_html_7b0e8096.gif

2. Делить: hello_html_315144ea.gif

hello_html_5ff78386.gif

hello_html_7b79fb62.gif

3. Складывать и вычитать как подобные слагаемые: hello_html_m25ed88e3.gif

hello_html_m4efe4ea9.gif

hello_html_m5c04ea4b.gif

4. Выносить множитель из-под корня:

hello_html_f2c1f89.gif

hello_html_bb75048.gif

5. Вносить множитель под знак корня:

hello_html_1dbd5a44.gif

hello_html_m4d6d6e13.gif

hello_html_m7eaf22b6.gif

Таким образом: если а > 0, b>0

hello_html_e1140a.gifhello_html_76cb9595.gif


hello_html_3faeba97.gifhello_html_7ac908be.gif

 Выпишите те выражения, в которых возможны дальнейшие действия, выполните эти действия: hello_html_7127cda9.gif, hello_html_1c1244c9.gif, hello_html_m13062b10.gif, hello_html_5e9b6b82.gif, hello_html_14d3247.gif, hello_html_28b113e0.gif, hello_html_m291fd5b6.gif

 Объясните, как, применяя свойства корня, упростить действия по нахождению значения выражения:

hello_html_c16728c.gif, hello_html_59d4482e.gif, hello_html_572f7072.gif, hello_html_m26adbe14.gif, hello_html_188d70f7.gif, hello_html_6786fc45.gif.

 Найдите значение выражения: hello_html_6ae59c6.gif, hello_html_2132b076.gif, hello_html_36466324.gif

 Приведите подобные слагаемые:

hello_html_29329d6a.gif, hello_html_159583a6.gif, hello_html_685f837a.gif

 Вынесите множитель из-под знака корня:

hello_html_339503ea.gif, hello_html_4cb26117.gif, hello_html_2fc1f61b.gif. hello_html_m146ae0a1.gif, hello_html_490383ce.gif, hello_html_254bb7f9.gif, hello_html_4f0989c0.gif

 Внесите множитель под знак корня: hello_html_7ecec514.gif, hello_html_546bdf43.gif, hello_html_m14721308.gif, hello_html_m3594a651.gif, hello_html_m31fb6c71.gif, hello_html_m47f2154.gif

 Сравните числа, представив их в виде корня:

hello_html_7ecec514.gif и hello_html_me1f06a2.gif, hello_html_585909a9.gif и hello_html_5b1b984.gif, 7 и hello_html_1da90ed0.gif, hello_html_319c121e.gif и 2

 Вынесите, если это возможно, множитель из-под корня и упростите выражение:

hello_html_6e18013.gif, hello_html_m20b798e6.gif, hello_html_m202d2452.gif, hello_html_3e945b21.gif


Контрольная точка

Расположите числа в порядке возрастания:

hello_html_7ecec514.gif, 0, hello_html_6ee22a35.gif, 1,5, hello_html_48895203.gif, -2,5, hello_html_me1f06a2.gif, hello_html_3175f98d.gif, 1

hello_html_728f58d6.gifhello_html_3fff8390.gif

  • Какие действия можно выполнять с иррациональными числами?

  • В каких случаях нужно уметь вносить множитель под знак корня?

  • Как внести отрицательный множитель под корень?

  • Для чего нужно уметь выносить множитель из-под корня?



Вы рассмотрели, как выполняется умножение и деление иррациональных чисел, узнали в каких случаях эти числа можно складывать и вычитать, научились выносить множитель из-под корня и вносить его под корень.

Т

Преобразование выражений, содержащих квадратные корни

акие действия как раскрытие скобок, сокращение дроби, приведение дроби к общему знаменателю с иррациональными числами выполняются так же, как и с рациональными.


Часто, после выполнения действий с иррациональными числами (исключение - сокращение дроби), в результате получается дробь, знаменатель которой содержит иррациональное число (число под корнем). Обычно ответ не оставляют в таком виде, его преобразовывают так, чтобы в знаменателе не было корня. Такие действия называю – освобождение знаменателя дроби от иррациональности.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби нужно подобрать выражение и умножить и числитель и знаменатель дроби на него. Здесь возможны два случая:

а) в знаменателе корень – умножай на точно такой же корень;

hello_html_14872a14.gif







б) в знаменателе сумма или разность корней – умножай на сопряженное выражение.

 Выполните действия:

hello_html_25a7e0af.gifhello_html_m588d732d.gif

hello_html_c64829c.gifhello_html_3172c19f.gif

hello_html_4aadb464.gifhello_html_4c2b985f.gif

hello_html_4ba2f07a.gifhello_html_7a73a1ec.gif


 Вынесите общий множитель за скобки:

hello_html_1ff26822.gifhello_html_51b62a5b.gif

hello_html_2e249d03.gifhello_html_m2610773f.gif

hello_html_m5667ec7a.gifhello_html_6d31a499.gif

hello_html_m4d7ff093.gifhello_html_57a6e999.gif

 Разложите на множители, используя формулу «разность квадратов»:

1 – х а2 – 3 у – 5 b - 2

* Разложите на множители, используя формулу a3b3:

hello_html_328ea36b.gifhello_html_ac83d0b.gifhello_html_m1d720d90.gifhello_html_m495c0b5e.gif


 Сократите дробь:

hello_html_m156ecff.gifhello_html_1f5b7c64.gifhello_html_4f7e237e.gifhello_html_19254ac3.gifhello_html_46dc75d7.gif


 Выполните действия: hello_html_12116682.gif, hello_html_m7598f3f4.gif

 Освободитесь от иррациональности в знаменателе, выполнив действия по образцу:

hello_html_4c462be5.gif, hello_html_me19e352.gif, hello_html_m66680f3f.gif, hello_html_7519add.gif, hello_html_437b647a.gif

hello_html_m32f58861.gif, hello_html_m24f03370.gif, hello_html_m31d55e67.gif, hello_html_3f0557d0.gif, hello_html_m3b43c635.gif


hello_html_1200c35b.gif


Функция hello_html_14fd8ca1.gif, так же как и любая другая функция, обладает определенными свойствами и имеет свой график

В

Функция hello_html_14fd8ca1.gif , ее свойства и график

ыясните свойства и вид графика функции, выполнив практическую работу.



  1. Подготовительная часть

Вспомните:

  • функция – это зависимость между двумя переменными (обычно это х и у); эта зависимость выражается формулой, например: у=3х+2, у= hello_html_m797b7f3c.gif, у=х2 ;

  • х называют независимой переменной или аргументом функции, а у – зависимой переменной или значением функции;

  • график функции – это множество точек, соответствующих таблице значений функции;

  • у каждой функции свой вид графика.













  1. Практическая часть

а) Заполните таблицу значений для функции hello_html_14fd8ca1.gif (пользуйтесь калькулятором, результат округляйте до десятых):


х

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

16

25

у














б) По данным таблицы постройте график функции, отметив на координатной плоскости точки с координатами (х;у) и соединив их плавной линией.


  1. Аналитическая часть

    • Почему в таблице нет отрицательных значений х?

    • Почему график функции hello_html_14fd8ca1.gif проходит через начало координат?

    • Почему график функции расположен в первой координатной четверти?


Выводы запишите в тетрадь.


4. Выполните задание:

1) какие из точек будут принадлежать графику функции hello_html_14fd8ca1.gif:

А(-1; 1), В(2,25; 1,5), С(100; -10), D(0,4489; 0,68)?

2) с помощью графика найдите приближенное значение hello_html_730e5605.gif, hello_html_mc1b61fd.gif, hello_html_m489f4b7d.gif, hello_html_m764cbb3c.gif

3) постройте график функции hello_html_m14d3d485.gif



Тема 1: «Арифметический квадратный корень и его свойства»


Теоретические вопросы

  1. Что такое квадратный корень?

  2. Почему квадратный корень из отрицательного числа не существует?

  3. Какие числа называются иррациональными? Приведите примеры.

  4. Объясните свойства: «квадрат корня» и «корень квадрата» (формулы, применение, различие).

  5. Перечислите свойства квадратного корня.

  6. Как выполнить вынесение множителя из-под знака корня?

  7. Как выполнить внесение множителя под знак корня?

  8. Как сравнить значения корней?

  9. Какими свойствами обладает график функции hello_html_14fd8ca1.gif?



















Контрольные задания

  1. Найдите значение корня: hello_html_ma067f1b.gif, hello_html_719051ac.gif, hello_html_m48538199.gif, hello_html_8579232.gif, hello_html_m7c826173.gif, hello_html_m64d818de.gif, hello_html_m6746c0fa.gif

  2. Выпишите иррациональные числа: hello_html_m4f41846.gif, hello_html_m212a01d3.gif, hello_html_m2bbd60bd.gif, hello_html_7b0aeda3.gif, hello_html_m57cc6998.gif

  3. Выпишите выражения, имеющие смысл:

hello_html_m5751fae1.gif, hello_html_76e931d2.gif, -hello_html_m3ce3bb2b.gif, hello_html_m2d1e2d5c.gif, hello_html_5f5c77bf.gif, hello_html_6027477d.gif

  1. Представьте в виде квадрата: 5, hello_html_m25de9899.gif, х, х+1

  2. Представьте в виде квадратного корня: 3, 15, 1,3, х

  3. Найдите значение выражения: hello_html_329327da.gif, hello_html_m2b842486.gif, hello_html_b3d8b30.gif, hello_html_m2ed7d4f7.gif, hello_html_m4588951b.gif

  4. Вычислите, применяя свойства квадратного корня:

hello_html_m1b63cb41.gif, hello_html_79e34529.gif, hello_html_m78e51b49.gif, hello_html_m1cfb2858.gif

  1. Вынесите множитель из-под знака корня: hello_html_4cb26117.gif, hello_html_7e75fb1f.gif, hello_html_m1e4dd4b2.gif, hello_html_m794c3697.gif

  2. Внесите множитель под знак корня: hello_html_m329f1d22.gif, hello_html_1f8681cf.gif, hello_html_m2c1d86aa.gif, hello_html_1f920071.gif

  3. Расположите числа в порядке возрастания: 5; hello_html_1da90ed0.gif; 1; hello_html_32aec3a2.gif; hello_html_1f2544bc.gif, hello_html_7ef93b41.gif

  4. Оцените значение корня: hello_html_725414e8.gif, hello_html_m2bbd60bd.gif, hello_html_5265a2ab.gif

  5. Какая из точек принадлежит графику функции hello_html_14fd8ca1.gif:

А(-9; -3), В (3;9), С(9; -3), D(9;3)?

  1. Решите уравнение: х2=5, х2+4=0, (х-3)2=8

  2. Решите уравнение: hello_html_m30105c09.gif, hello_html_m6515626.gif, hello_html_m287b0361.gif, hello_html_m7a27a025.gif

  3. При каких значениях переменной выражение имеет смысл: hello_html_4e4c3b98.gif, hello_html_m7de891d7.gif, hello_html_399902bf.gif, hello_html_m6da6ccfe.gif








Краткое описание документа:

Данный дидактический материал напрвлен на изучение темы "Арифметический квадратный корень и его свойства", содержит необходимый теоретический материал, тренировочные задания для разработки темы и контрольные вопросы. Может использоваться для самостоятельного изучения темы, обощеннного повторения или в коррекционной работе по ликвидации пробелов знаний учащихся по данной теме.

Автор
Дата добавления 09.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров446
Номер материала ДВ-046330
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх