• 

  1 слайд

  Решение задач
  

• 

  2 слайд

  Расстояние между двумя точками
  Расстояние между точками A(x1; y1 z1) и B(x2; y2; z2) вычисляется по формуле
  

• 

  3 слайд

  Задача 1
  Найти координаты точки C на отрезке AB такой, что
  AC : CB = k, где A(x1; y1; z1) и B(x2; y2; z2).
  

• 

  4 слайд

  Задача 2
  

• 

  5 слайд

  Пример 1
  В единичном кубе A…D1 точки E, K и L — середины ребер AA1, CD и B1C1 соответственно, а точки M и N лежат соответственно на отрезках EK и LK так, что
  EM : EK = 2 : 3, а LN : NK = 1 : 4. Найти длину отрезка МN.
  

• 

  6 слайд

  Угол между прямыми в пространстве
  Ненулевой вектор, коллинеарный прямой, называется ее направляющим вектором. 
  При нахождении угла  между прямыми m и l используют формулу
  

• 

  7 слайд

  Угол между прямыми в пространстве
  Или (в координатной форме)
  

• 

  8 слайд

  Пример 2
  В единичном кубе A…D1 найти угол между прямыми АЕ и DF, где Е и F — точки, расположенные на ребрах CD и C1D1 так, что
  

• 

  9 слайд

  Способы задания плоскости
  Плоскость в пространстве однозначно определяется:
  а) тремя точками, не лежащими на одной прямой;
  б) прямой и точкой, не лежащей на этой прямой;
  в) двумя пересекающимися прямыми;
  г) двумя параллельными прямыми.
  

• 

  10 слайд

  Составление уравнения плоскости
  Составив уравнение плоскости MNP, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой и заданные своими координатами
  M(xM; yM; zM), N(xN; yN; zN), P(xP; yP; zP).
  
  Пусть это уравнение имеет вид ax + by + cz + d = 0, где a, b, c, d — неизвестные числа. Подставим в него координаты точек M, N, P.
  

• 

  11 слайд

  Получим систему уравнений:
  Решив ее, найдем: a = pd, b = qd, c = rd (если окажется, что d = 0, то a = pc, b = qc; если d = c = 0, то a = pb). Подставив в исходное уравнение и сократив на d ≠ 0, получим уравнение
  рx + qy + rz + 1 = 0.
  

• 

  12 слайд

  Пример 3
  Дан единичный куб A…D1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки B, D и C1.
  

• 

  13 слайд

  Найдем координаты точек: B(0; 1; 0), D(1; 0; 0), C1(1; 1; 1). Записав в общем виде уравнение плоскости
  ax + by + cz + d = 0 и подставив в него координаты этих точек, получим систему уравнений:
  Отсюда b = –d, a = –d и c = d. Тогда уравнение плоскости BC1D имеет вид –dx – dy + dz + d = 0, или
  –x – y + z + 1 = 0.
  Решение
  

• 

  14 слайд

  Угол между плоскостями
  

• 

  15 слайд

  Пример 4
  В прямоугольном параллелепипеде A…D1 известны ребра AB = 8, AD = 6, CC1 = 5. Найти угол между плоскостями BDD1 и AD1B1.
  

• 

  16 слайд

  Пример 5
  В правильной четырехугольной призме A…D1 стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 4. На ребре AA1 отмечена точка E так, что AE : EA1 = 3 : 1. Найти угол между плоскостями ABC и BED1.
  

• 

  17 слайд

  Расстояние от точки до плоскости
  

• 

  18 слайд

  Пример 6
  Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1. Сторона основания равна 2, а боковое ребро — 3. Точка D — середина ребра CC1. Найти расстояние от точки C до плоскости AB1D.
  

• 

  19 слайд

  Пример 7
  В правильной четырехугольной призме A…D1 стороны основания равны 1, боковые ребра равны 2. Точка E — середина ребра AA1. Найдите расстояние от вершины A до плоскости BED1.
  

• 

  20 слайд

  Расстояние от точки до прямой
  Рассмотрим способ вычисления расстояния от точки A до прямой l в пространстве, основанный на применении формулы расстояния от точки до плоскости.
  ρ(A; BDC) = ρ(A; l)
  

• 

  21 слайд

  Пример 8
  В единичном кубе A…D1 найти расстояние от точки D1 до прямой РQ, где Р и Q — середины соответственно ребер A1B1 и ВС.
  

• 

  22 слайд

  Угол между прямой и плоскостью
  

• 

  23 слайд

• 

  24 слайд

• 

  25 слайд

  Пример 9
  В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, в которой AB = 5, SA = 4, точка Е — середина ребра SB. Найти угол между прямой CE и плоскостью SBD.
  

• 

  26 слайд

  Пример 10
  В правильной шестиугольной призме A…F1, все ребра которой равны 1, найти угол между прямой AB1 и плоскостью ACE1.
  

• 

  27 слайд

  Расстояние между скрещивающимися прямыми
  Если скрещивающиеся прямые поместить в параллельные плоскости, то расстояние между этими прямыми будет равно расстоянию между построенными плоскостями, а оно равно расстоянию от любой точки одной прямой до плоскости, содержащей вторую прямую.
  

• 

  28 слайд

  Пример 11
  В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 7, найти расстояние между прямыми AA1 и BC1.
  

• 

  29 слайд

  Пример 12
  В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF боковое ребро и сторона основания равны 5 и 3 соответственно. Точка N — середина ребра SF, а точка M делит ребро SD так, что SM : MD = 1 : 3. Найти расстояние между прямыми AN и EM.
  

Краткое описание материала