Угол между касательной и хордой

Урок геометрии в 10 классе УМК Л.С.Атанасян

МБОУ Верхличская СОШ Красногорского района Брянскойобласти

Учитель: Струговец Елена Васильевна

Тема урока: Угол между касательной и хордой.

Цель урока:

• Систематизировать знания учащихся по разделу планиметрии «Углы, связанные с окружностью». Доказать теорему об  угле между касательной и хордой. Создать содержательные и организационные условия для применения школьниками комплекса знаний для решения задач.
• Развивать личностно-смысловые отношения учащихся к изучаемому предмету. Способствовать формированию коллективной и самостоятельной работы, формировать умение четко и ясно излагать свои мысли.
• Прививать учащимся интерес к предмету через совместную творческую работу; формировать умение аккуратно и грамотно выполнять геометрические построения и математические записи.

Оборудование:

1.     Тематические таблицы.

2.     Тесты и карточки для ответов.

Ход урока.

I.                  Организационный момент. (1 мин)

Проверить готовность учащихся к уроку, отметить отсутствующих.

II.               Постановка цели. (2мин)

В тетради запишите дату, тему урока. На уроке мы повторим теоретические знания по теме «Углы, связанные с окружностью». Докажем теорему об  угле между касательной и хордой, научимся применять её к решению задач различных типов.

III.           Актуализация знаний. (7 мин)

1)    Диктант (с последующей проверкой). Закончить прочитанное предложение.

1.     Угол, вершина которой лежит на окружности называется … (вписанным).

2.     Угол с вершиной в центре окружности - … (центральный).

3.     Отрезок, соединяющий две точки окружности называется … (хордой).

4.     Наибольшея из хорд окружностей - … (диаметр).

5.     Мера дуги равна мере … (центрального угла).

6.     Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется…(касательной)

7.     Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания взаимно…(перпендикулярны)

8.     Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется… (секущей).

9.     Все вписанные углы, опирающиеся на диаметр …(прямые)

10. Угол, образованный двумя касательными, проведенными из одной общей точки называется …(описанным).

2) Решение задач по чертежу.

3) Решение задач

1.     Центральный угол АОВ на 30⁰ больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. Найдите каждый из этих углов.

Ответ.30⁰; 60⁰.

2.     Точки А и В разделяют окружность на две дуги, меньшая из которых равна 140⁰. Большая дуга точкой М делится в отношении 6 : 5, считая от точки А. Найдите ВАМ.

Ответ.50⁰.

IV.Доказательство теоремы.(5мин)

Мы знаем, что вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Докажем теорему об угле между касательной и хордой.    

Теорема.
Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, измеряется половиной заключенной в нем дуги.
Доказательство.

Рис.1
     

 Пусть АВ- данная хорда, СС₁- касательная, проходящая через точку А. Если АВ- диаметр (рис.1), то заключенная внутри угла ВАС (и также
угла ВАС₁) дуга является полуокружностью. С другой стороны, углы ВАС и ВАС₁ в этом случае прямые, поэтому утверждение теоремы верно.

Рис.2
        Пусть теперь хорда АВ не является диаметром. Для определенности будем считать, что точки С и С₁ на касательной выбраны так, что угол САВ-
острый, и обозначим буквой а величину заключенной в нем дуги (рис.2). Проведем диаметр АD  и заметим, что треугольник АВD  прямоугольный, поэтому АDВ = 90° - DАВ = ВАС, Поскольку угол АВВ вписанный, то АDВ = , а значит, и ВАС = . Итак, угол ВАС между касательной АС и хордой АВ измеряется половиной заключенной в нем дуги.
        Аналогичное утверждение верно в отношении угла ВАС₁. действительно, углы ВАС и ВАС₁ -смежные, поэтому ВАС₁ = 180-=. С другой стороны, (360° — ) это величина дуги АDВ, заключенной внутри угла ВАС₁. Теорема доказана.

IV.                                    Решение задач по чертежу. (5мин)

V.                                       1. Если

2. Если

VI. Решение задач с оформлением. (7мин)

1. Через точку D, лежащую на радиусе ОА окружности с центром О, проведена хорда ВС, перпендикулярная к ОА, а через точку В проведена касательная к окружности, пересекающая прямую ОА в точке Е. Докажите, что луч ВА- биссектриса .

Доказательство.

АВЕ=АВ – по теореме об  угле между касательной и хордой.

АВС=АС – вписанный угол.

АВ=АС – равные хорды стягивают равные дуги, а хорды АВ и АС равны, так как АВС – равнобедренный. Следовательно, АВЕ=АВС, луч ВА- биссектриса .

VII. Домашнее задание. (3мин)

1. В треугольнике АВС А=32⁰, а С=24⁰. Окружность с центром в точке В проходит через точку А, пересекает АС в точке М, ВС – в точке N. Чему равен АNМ?

2. Уметь доказывать теорему.

VIII. Подведение итогов. Самоанализ урока. (3мин)

Анализ работы учащихся на уроке. Выставление отметок.

Самоанализ по полученным знаниям

Имя ученика: _______________________________________

	Какие умения сформированы на уроке	“5”	“4”	“3”	“2”
1	Знаю определения видов углов
2	Могу находить  величины углов при решении задач
3	Теорема об угле  между касательной и хордой.
4	Понятно доказательство теоремы
5	Применяю теорему при решении задач

Краткое описание документа:

Урок в10 классе по теме "Угол между касательной и хордой"Этот урок позволит:

• Систематизировать знания учащихся по разделу планиметрии «Углы, связанные с окружностью». Доказать теорему об  угле между касательной и хордой. Создать содержательные и организационные условия для применения школьниками комплекса знаний для решения задач.
• Развивать личностно-смысловые отношения учащихся к изучаемому предмету. Способствовать формированию коллективной и самостоятельной работы, формировать умение четко и ясно излагать свои мысли.

Прививать учащимся интерес к предмету через совместную творческую работу; формировать умение аккуратно и грамотно выполнять геометрические построения и математические записи.