Тема урока «Делимость чисел»

ПЛАН:

1. Организационный момент                                                                      2’

2. Объяснение   темы                                                                                   36’

3. Домашнее задание                                                                                    2’

ЦЕЛИ:

Образовательная: Обобщение и углубление темы «делимость натуральных чисел и их свойства», изученные в 5 – 6 классах, вывод доказательств свойств делимости целых неотрицательных чисел.

Развивающая:  Внимательность, усидчивость, расширить кругозор и математическую культуру учащихся, развить умение самостоятельно мыслить.

Воспитательная: Познавательный интерес к предмету, умение слушать окружающих, аккуратность

МЕТОД: Словесный, наглядный

ФОРМА: Коллективная

ТИП: Урок лекция

ОБОРУДОВАНИЕ: 

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

Здравствуйте, садитесь. Тема сегодняшнего занятия  «Делимость чисел. Натуральные числа и их свойства. Делимость целых неотрицательных чисел». Урок пройдет в форме лекции. Внимательно слушайте, конспектируйте записи и включайтесь в работу вместе со мной.

2.

В 5- 6 классах мы изучали свойства натуральных, целых и рациональных чисел и арифметические операции над ними. В основе изучения целых и рациональных чисел лежали свойства натуральных чисел и операций над ними. В самом деле, положительное рациональное число задается парой натуральных чисел ( числителем и знаменателем дроби, изображающей это число) и все операции над такими числами сводятся к операциям над их числителями и знаменателями. Отрицательные числа получаются путем приписывания знака «- » к положительному числу. Поэтому в основе всей арифметики лежат натуральные числа.

По сути дела, вся теория натуральных чисел сводится к одному единственному отношению – «следовать за». Например, 4 следует за числом 3, 17 – за числом 16, и т. д.  при этом есть число 1, которое ни за каким другим натуральным числом не следует. Существуют четыре свойства отношения следования0,из которых можно вывести все остальные свойства натуральных чисел и операций над ними. Эти свойства сформулировал итальянский математик ДЖ. Пеано ( 1858 – 1932) в 1891 г.

·        Единица – натуральное число, которое не следует ни за каким другим натуральным числом

·        За каждым натуральным числом следует одно и только одно число

·        Каждое натуральное число, отличное от 1, следует за одним и только одним натуральным числом

·        Совокупность натуральных чисел, содержащая число 1, а вместе с каждым числом и следующие за ним число, содержит все натуральные числа.

Основные утверждения:

·        Для натуральных чисел существуют операции сложения и  умножения, причем сумма и произведение натуральных чисел являются натуральными числами

·        Сложение и умножение натуральных чисел обладают свойствами перестановочности и сочетательности: a + b = b + a , ab = ba, ( a + b ) + c = a + ( b + c ), ( ab)c = a( bc)

·        Умножение натуральных чисел обладает свойством распределительности относительно сложения: a(b+c) = ab + ac

·        Имеет место равенство 1а = а

Далее к натуральным числам присоединяют число 0, для которого выполняются равенства  а + 0 = а , а · 0 = 0

После чего определяют отношение «а меньше b» , обозначающее, что в последовательности 0, 1, 2, 3, 4, …,n , … число а встречается раньше числа b.

При этом a < b в том  и только в том случае, когда найдется такое натуральное число с, что а + с = b. Число с – называют разностью чисел b и а и обозначают b – а.

Имеют место равенства:

 a – b – c = a – ( b + c) , a – b + c = a – ( b – c) , ( a – b ) c = ac – bc

Отношение a < b обладает следующими свойствами:

·        Для любых чисел а и b выполняется одно и только одно из отношений a < b, a > b, a = b.

·        Если a < b  и b < c, то a < c

·        В любой совокупности натуральных чисел, содержащих хотя бы одно число, есть наименьшее число

·        Если a < b , то для любого натурального числа с имеем a + c < b + c, ac < bc

·        Если  c < a < b , то a – c < b – c

Из сформулированных выше свойств натуральных можно вывести ряд следующих утверждений:

·        Равенство ab = 0 выполняется в том и только том случае, когда один из множителей равен  нулю.

В самом деле, если а = о или b = 0, то ab = 0.  обратно, если  а не равно 0 и b не равно 0, то a и b – натуральные числа, а поэтому их произведение – натуральное число, а не нуль.

·        Если k не = 0 и ak = bk, то a = b

В самом деле, имеем 0 = ak – bk = (a – b)k. Так как k не = 0, то из этого равенства следует, что a – b = 0, т. е. a = b.

N- совокупность всех натуральных чисел

N₀ – совокупность целых неотрицательных чисел.

Одним из важнейших понятий арифметики целых неотрицательных чисел является понятие делимости. Мы изучали его в 6- Ом классе, но лишь разъясняли свойства делимости на примерах, а не доказывали их. Сейчас проведем доказательство этих свойств.

Число а из  N₀  делится на число b из  N₀   , если есть такое число с из   N₀      , что a = bc.     В этом случае пишут a  b.

Так как для любого b имеем 0b = 0, то для любого b из N₀   справедливо, что

0 b . Если a b и b не = 0, то существует лишь одно число с из N₀  такое что a = bc. В самом деле, если a = bc₁ и a = bc₂, причем с₁ не равно с₂, то 0 = bс₁ – bс₂ = b( c₁ – c₂), чего не может быть , поскольку b не = 0 и c₁ – c₂ не = 0

Единственное число с такое, что a = bc, называют частным от деления a на b ( b не = 0) и обозначают  a b или a/b

Из равенства а = а1 и а = 1а следует, что для любого а из N₀   имеем а  а = 1 при а не = 0 и а 1 = а.

Запись 0 : 0 не имеет числового значения, так как для всех b из N₀   справедливо равенство 0 = b0 и потому 0 : 0 не определено, так как в этом случае нет ни одного числа с  из N₀   такого, сто = 0 с. Кратко говорят: «делить на ноль нельзя.»

Утверждения о делимости чисел из N₀   :

·        Если a b и а > 0, то a ≥ b

·        Если a b и  b  а , то a = b

·        Если a b и b c, то a  с

·        Если a  с и b  с , то для любых чисел m и n из N₀ имеем ( ma + nb)  с. Если кроме того ma >  nb, то ( ma -  nb) : с.

·        Если a b и k не =  0, то ka  k b

·        Если ka  k b  и k не =  0, то a b

·        Если a  bс, то (а : b )  с , а если  (a :  b) с  то a bс

Докажем свойство 3.

Если a b и b c, то найдутся такие числа k и  l из N₀ , что a = bk, b = cl . но тогда имеем  a = ( cl)k = c(lk)/     Поскольку lk принадлежит N₀ , то a с

Докажем свойство 6.

Заметим, что в силу ka  k b  найдется такое число с из N₀ , что ak = ( bk) c = ( bc)k. Так как k не = 0, то равенство ak = ( bc) k может выполнятся лишь тогда, когда  a = bc. Значит , a  b

При доказательстве различных утверждений о натуральных числах используют некоторые утверждения о совокупностях ( множествах) целых неотрицательных чисел. Назовем множество А, состоящее из некоторых целых неотрицательных чисел, конечным, если найдется такое число а из N, что х ≤ а для всех х из А. Например, множество трехзначных натуральных чисел конечно, так как все такие числа меньше, чем 1000. утверждения, о которых шла речь, формулируются следующим образом:

А) В любом множестве чисел из N₀ , содержащем хотя бы одно число ( непустом), есть наименьшее число.

Б) В любом непустом конечном множестве чисел N₀ есть наибольшее число.

ПРИМЕР:

Докажем, что для лыбых двух натуральных чисел a и b, таких что b ≤ а, найдется такое натуральное число q , что bq ≤ a < b(q + 1).

Решение:

Обозначим через А множество всех натуральных чисел с, таких, что bc ≤ a. Это множество не пустое, так как  ему принадлежит число 1. В самом деле, b1 = b ≤ a. Далее, А – конечно, так как все числа из А не больше, чем а. Действительно, если с > а, то bc> ab ≥ a и поэтому с не принадлежит А. по утверждению Б) из сказанного выше следует, что в А есть наибольшее число q. Это значит, что bq ≤ a, а b(q + 1) > a.

Теорема: Если  a и b – натуральные числа, такие что a ≥ b и b >1, то найдутся такие числа q и r из N₀ что a = bq + r, причем 0 ≤ r < q.

Доказательство: ( из примера) Из b ≤ a следует, что существует такое число q из N, что bq ≤ a < b(q + 1). Обозначим разность a – bq через r. Тогда имеем a = bq + r, причем 0 ≤ r < b/

Теорема доказана.

Покажем что числа  q  и r, для которых a = bq + r, причем 0 ≤ r < q. Однозначно определяются числами a и b. В самом деле,

пусть a = bq₁ + r₁ = bq₂ + r₂ , причем 0 ≤r₁ < r₂ < b.

Тогда 0 = (bq₁ + r₁) – (bq₂ + r₂) = b (q₁ – q₂) + (r₁ - r₂).

И поэтому r₂ – r₁ = b (q₁ – q₂).Значит r₂ – r₁ делится на b.

Поскольку b не = 0, отсюда следует, что r₂ – r₁≥b. Но это не может быть, так как 0 ≤r₁ < r₂ < b. И поэтому r₂ – r₁< b.

Аналогично доказывается невозможность неравенства r₂ < r₁. Поэтому r₂ =r₁.

Но тогда bq₁ = bq₂ и так как b не = 0, то q₁ = q_2.

Итак, пара чисел (q, r) однозначно определяется заданием пары чисел ( a, b). Число q называют неполным частным при делении а и b , а число r – остатком при делении.

3. Выучить конспект. Доказать 2, 4 и 5 свойства делимости.